Analise na Reta

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(Parte 3 de 7)

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Corolario 2.4 Seja g : X −→ Y uma func ao sobrejetiva. Se X e finito, entao Y e finito e o seu numero de elementos nao excede o de X.

Designamos por IA : A −→ A a func ao identidade do conjunto A. Prova.

g ◦ f = IY, ou seja, g possui uma inversa a direita.

Entao, pelo corolario anterior, Y e um conjunto finito e o seu numero de elementos nao excede o de X.

g ◦ f = IX, ou seja, f possui uma inversa a esquerda. Verifi-

Exemplo 2.1 O conjunto dos numeros naturais e infinito.

p = ϕ(1) ++ ϕ(n).

Outra maneira de verificar que N e infinito e considerar o conjunto dos numeros naturais pares P = {2n = n+n|n ∈ N}

Como P e um subconjunto proprio de N, temos, pelo corolario 2.2, que N e infinito.

Observac ao 2.3 Como consequencia dos fatos provados acima para conjuntos finitos, segue que:

Conjuntos finitos e infinitos

• se Y e infinito e f : X −→ Y e sobrejetiva, entao X e infinito. Segue da observacao ao lado que os conjuntos Z e Q, dos numeros inteiros e dos numeros racionais, respectivamente, sao infinitos, pois ambos contem N.

• se X admite uma bijecao sobre uma de suas partes proprias, entao X e infinito.

Definic ao 2.3 Um conjunto X ⊂ N e limitado se existe p ∈ N tal que n ≤ p para todo n ∈ X.

Teorema 2.3 Seja X ⊂ N nao-vazio. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) X e finito; (b) X e limitado; (c) X possui um maior elemento.

(a)=⇒(b) Seja X = {x1,...,xn} e seja a = x1 ++ xn. Entao a > xi

Observac ao 2.4 Um conjunto X ⊂ N e ilimitado quando nao e limitado, ou seja, para todo p ∈ N existe n ∈ X tal que n > p.

Note que: pelo teorema 2.3, an-

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Teorema 2.4 Sejam X, Y conjuntos finitos disjuntos, com m e n elementos respectivamente. Entao, X ∪ Y e finito e possui m + n elementos.

com n1,...,nk elementos, respectivamente. Entao X1 ∪∪ Xk e finito e
possui n1 ++ nk elementos.

Exercıcio 3: Use o teorema 2.4 e o Princıpio de Induc ao para provar o corolario 2.5, ao lado.

Entao Y1 ∪∪ Yk e finito e possui no maximo n1 + ... + nk elementos.

Prova.

Como ϕi e uma bijecao, temos que Xi e finito e possui ni elementos,

Logo, pelo corolario anterior, X1 ∪∪ Xk e finito e possui n1 + ... + nk

elementos.

f : X1 ∪∪ Xk −→ Y1 ∪ ... ∪ Yk

Conjuntos finitos e infinitos

tos respectivamente. Entao o produto cartesiano X1 ×× Xk e finito e
possui n1 ·· nk elementos.

Prova. Basta provar o corolario para k = 2, pois o caso geral segue por induc ao em k.

Sejam X e Y conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente.

Se Y = {y1,...,yn}, entao X × Y = X1 ∪∪ Xn, onde Xi = X × {yi},
i = 1,, n.

Corolario 2.8 Sejam X e Y conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente. Entao o conjunto F(X;Y) de todas as func oes de X em Y e finito e possui nm elementos.

Logo, basta provar que F(Im;Y) e um conjunto finito e que possui nm elementos.

F : F(Im;Y) −→ Y ×× Y (m fatores)

Seja a func ao

F(f) = (f(1),, f(n)) .

definida por

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Analise na Reta 3. Conjuntos enumeraveis

Definic ao 3.1 Um conjunto X e enumeravel quando e finito ou quando existe uma bijec ao f : N −→ X. Neste caso, X diz-se infinito enumeravel e

X = {x1,, xn, . . .} .

Exemplo 3.1 O conjunto P dos numeros naturais pares e o conjunto I = N − P dos numeros naturais ımpares sao conjuntos infinitos enumeraveis.

De fato, as func oes

Exemplo 3.2 O conjunto Z dos numeros inteiros e infinito enumeravel. De fato, a funcao ϕ : Z −→ N definida por

Teorema 3.1 Todo conjunto infinito X contem um subconjunto infinito enumeravel.

Para cada subconjunto A nao-vazio de X podemos escolher um elemento xA ∈ A.

Conjuntos enumeraveis

Corolario 3.1 Um conjunto X e infinito se, e somente se, existe uma bijecao f : X −→ Y de X sobre uma parte propria Y ⊂ X.

Prova. Se uma tal bijec ao existir, pelo corolario 2.2, X nao e finito.

X − Y = {a1, a3,, a2n−1, . . .}.

Observac ao 3.1 Como consequencia do teorema anterior, temos que:

Um conjunto e finito se, e somente se, nao admite uma bijec ao sobre uma parte sua propria.

Obtem-se, assim, uma caracterizac ao dos conjuntos finitos que independe do conjunto N.

Teorema 3.2 Todo subconjunto X ⊂ N e enumeravel.

Prova. Se X e finito, entao X e enumeravel, por definic ao.

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(a) f(1) < f(2) << f(n);

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