Analise na Reta

Analise na Reta

(Parte 4 de 7)

Exemplo 3.3 O conjunto dos numeros primos e infinito (fato conhecido) e enumeravel.

Corolario 3.3 Um subconjunto de um conjunto enumeravel e enumeravel.

que X e enumeravel.

Prova. Como f : X −→ Y e sobrejetiva, f possui uma inversa a direita, ou seja,

Teorema 3.3 Se X e Y sao conjuntos enumeraveis, entao o produto cartesiano X × Y e enumeravel.

Conjuntos nao-enumeraveis

Prova. Sendo X e Y finitos ou infinitos enumeraveis, existem func oes f : X −→ N e g : Y −→ N injetivas.

Corolario 3.6 O conjunto Q dos numeros racionais e enumeravel.

Sabemos que Q = q e sobrejetiva,

Corolario 3.7 Sejam X1,X2,...,Xn,conjuntos enumeraveis. Entao a

segue-se do corolario 3.5 que Q e enumeravel.

n=1 Xn e enumeravel. Ou seja, uma reuniao enumeravel de conjuntos enumeraveis e enumeravel.

Prova.

sobrejetiva e N × N e enumeravel, tem-se que X e enumeravel.

Observac ao 3.2 Uma reuniao finita X = X1 ∪∪ Xk de conjuntos

enumeraveis e enumeravel.

duto cartesiano X1 ×× Xk e enumeravel.

de conjuntos enumeraveis e enumeravel.

Instituto de Matematica - UFF 23

Analise na Reta 4. Conjuntos nao-enumeraveis

Veremos, agora, que existem conjuntos nao-enumeraveis. Mais geralmente, mostraremos que, dado qualquer conjunto X, existe sempre um conjunto cujo numero cardinal e maior do que o de X.

• Nao vamos definir o que e o numero cardinal de um conjunto. Diremos,

• Como todo conjunto X infinito contem um subconjunto enumeravel, temse que card(N) ≤ card(X), ou seja, o numero cardinal de um conjunto infinito enumeravel e o menor dos numeros cardinais dos conjuntos infinitos.

Para ver as demonstracoes dos fatos citados ao lado e obter mais

informac oes sobre numeros cardinais de conjuntos, veja o livro: Teoria Ingenua dos Conjuntos de Paul Halmos.

Teorema 4.1 (Teorema de Cantor)

Prova.

Conjuntos nao-enumeraveis

Provamos, assim, que dado qualquer conjunto X, existe sempre um conjunto cujo numero cardinal e maior do que o de X

Corolario 4.1 Sejam X1,X2,...,Xn,conjuntos infinitos enumeraveis.

Entao, o produto cartesiano ∞∏

Prova.

Basta considerar o caso em que todos os Xn sao iguais a N. De fato, para cada n ∈ N, existe uma bijecao fn : N −→ Xn. Entao, a funcao

(x1, x2,, xn, . . .) 7−→ (f1(x1), f2(x2), . . . , fn(xn), . . .) ,

• O argumento usado na demonstracao do teorema acima, chama-se metodo da diagonal de Cantor, devido ao caso particular X = N.

Instituto de Matematica - UFF 25

vemos ϕ(1) = s1,ϕ(2) = s2,etc., onde s1,s2,... sao sequencias de

Analise na Reta elementos de Y, ou seja,

s1 = (y11, y12, y13,)
s2 = (y21, y22, y23,)
s3 = (y31, y32, y33,)

Para cada n ∈ N, podemos escolher yn ∈ Y tal que yn 6= ynn, onde ynn e o n−esimo termo ynn da diagonal.

Assim, nenhuma lista enumeravel pode esgotar todas as funcoes em F(N;Y).

• Seja P(A) o conjunto cujos elementos sao todos os subconjuntos do conjunto A.

Para cada X ⊂ A, consideremos a func ao caracterıstica de X:

Conjuntos nao-enumeraveis

Instituto de Matematica - UFF 27

Parte 2 O conjunto dos numeros reais

Neste capıtulo, adotaremos o metodo axiomatico para apresentar os numeros reais. Isto e, faremos uma lista dos axiomas que apresentam o conjunto R dos numeros reais como um corpo ordenado completo.

Mas surge, naturalmente, uma pergunta: Existe um corpo ordenado completo? Ou melhor: partindo dos numeros naturais, seria possıvel, por meio de extensoes sucessivas do conceito de numero, chegar a construcao dos numeros reais? A resposta e afirmativa e a passagem crucial e dos racionais para os reais. Por exemplo: Dedekind construiu o conjunto dos numeros reais por meio de cortes (de Dedekind), cujos elementos sao colecoes de numeros racionais; e Cantor obteve um corpo ordenado completo cujos elementos sao as classes de equivalencia de sequencias de Cauchy de numeros racionais.

Provada a existencia, surge uma outra pergunta relevante: sera que existem dois corpos ordenados completos com propriedades diferentes? A resposta e negativa, ou seja, dois corpos ordenados completos diferem apenas pela natureza de seus elementos, mas nao pela maneira como os elementos se comportam. A maneira adequada de responder a questao da unicidade e a seguinte: Dados K e L corpos ordenados completos, existe um unico isomorfismo f : K −→ L, ou seja, existe uma unica bijec ao f : K −→ L tal que f(x+y) = f(x)+f(y) e f(x·y) = f(x)·f(y). Como, alem disso, o fato de f preservar a soma implica que x < y ⇐⇒ f(x) < f(y), K e L sao indistinguıveis no que diz respeito as propriedades de corpos ordenados completos (ver exercıcios 5 e 56).

Instituto de Matematica - UFF 29

Corpos 1. Corpos

Um corpo e um conjunto K munido de duas operacoes:

que satisfazem as seguintes condicoes, chamadas axiomas de corpo:

Instituto de Matematica - UFF 31

Analise na Reta

y e o quociente de x por y.

A multiplicac ao de x por y sera designada, tambem, pela justaposic ao xy.

(Parte 4 de 7)

Comentários