Analise na Reta

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Isso prova a unicidade do elemento inverso multiplicativo de x.

Por fim, as operacoes de adicao e multiplicacao num corpo K achamse relacionadas pelo axioma:

Exemplos de corpos

2. Exemplos de corpos

Exemplo 2.1 O conjunto Q dos numeros racionais, com as operacoes

q′ e pq

De fato, lembrando que p q = p′ que a soma e a multiplicac ao de numeros racionais estao bem definidas.

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• seja pq q e o simetrico de p q , pois

• Seja pq p e inverso de p q , pois

Exercıcio 1: Verificar as propri- edades comutativa, associativa e a distributividade das operac oes

definidas no exemplo 2.1 sobre os numeros racionais.

Exemplo 2.2 O conjunto Z2 = {0,1} com as operacoes de adicao e multiplicac ao definidas nas tabuadas abaixo e um corpo.

Exercıcio 2: Verificar a associatividade e a distributividade das

De fato, a comutatividade e a associatividade da adic ao seguem-se direto do fato que Q e um corpo.

A comutatividade da multiplicac ao sai direto da definic ao e da comutatividade da multiplicac ao de numeros racionais.

Exemplos de corpos

Exercıcio 3: Verificar a propriedade associativa da multiplicac ao e propriedade distributiva das operacoes definidas no exemplo 2.2 sobre Q(i).

O corpo Q(i) chama-se o corpo dos numeros complexos racionais.

p e q sao polinomios com coeficientes racionais, sendo q(t) nao identicamente nulo, com as operac oes de adic ao e multiplicac ao definidas abaixo e um corpo.

Com efeito,

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3. Corpos ordenados

Um corpo ordenado e um corpo K no qual existe um subconjunto

P ⊂ K, chamado o conjunto dos elementos positivos de K, com as seguintes propriedades:

(1) A soma e o produto de elementos positivos sao elementos positivos. Ou seja, x,y ∈ P =⇒ x + y ∈ P e x · y ∈ P.

Os elementos de −P chamam-se negativos.

Logo, num corpo ordenado, −1 nao e quadrado de elemento algum.

Exemplo 3.1 Q e um corpo ordenado no qual P =

• De fato, se p

• Seja pq

ou pq

Corpos ordenados

Exemplo 3.2 Q(t) e um corpo ordenado no qual

Lembre que o coeficiente lıder de um polinomio e o coeficiente do seu termo de maior grau.

De fato:

q′(t) ∈ P, entao os coeficientes an e bm dos termos de maior

cj = bmq2 i, onde qi e q′i sao os coeficientes dos termos de maior grau

do termo de maior grau de pq e positivo ou o coeficiente do termo de maior grau de pq e negativo. Logo, ou p(t)

Definic ao 3.1 Num corpo ordenado K, dizemos que x e menor do que y, e escrevemos x < y, se y − x ∈ P, ou seja, y = x + z, z ∈ P. Podemos, tambem, dizer que y e maior do que x e escrever y > x.

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Proposic ao 3.1 A relacao de ordem x < y num corpo ordenado satisfaz as seguintes propriedades:

(2) Tricotomia: dados x,y ∈ K, ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: ou x = y, ou x < y, ou y < x.

Corpos ordenados

todas as outras propriedades acima demonstradas para a relacao x < y sao validas, tambem, para a relac ao x ≤ y.

• Num corpo ordenado K, 0 < 1, logo 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 <, e o

subconjunto de K formado por estes elementos e infinito, e se identifica de maneira natural ao conjunto N dos numeros naturais.

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subconjunto de K formado pelos elementos 1′,1′ + 1′,1′ + 1′ + 1′,que
zero, ou seja, 1 + 1 + 1 ++ 1 6= 0 qualquer que seja o numero de

Em particular, um corpo ordenado K e infinito e tem caracterıstica parcelas 1.

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