Analise na Reta

Analise na Reta

(Parte 6 de 7)

Entao, Z′ e um subgrupo abeliano de K com respeito a operacao de adic ao.

Exercıcio 5: Verifique que se

Exercıcio 6: Verifique que xy ∈ Z′ quaisquer que sejam x,y ∈

Podemos, assim, identificar Z′ com o grupo Z dos numeros inteiros.

Seja, agora, Q′ = de K, pois:

Corpos ordenados

◦ se mn

◦ se mn

temos que

Com efeito, todo subcorpo de K deve conter pelo menos 0 e 1; por adicoes sucessivas de 1, todo subcorpo de K deve conter N; tomando os simetricos, deve conter Z e por divisoes em Z, deve conter o conjunto das frac oes m

Este menor subcorpo de K se identifica, de maneira natural, com o corpo Q dos numeros racionais.

Assim, dado um corpo ordenado K, podemos considerar, de modo natural, as inclusoes N ⊂Z⊂Q⊂K.

Exemplo 3.5 O corpo ordenado Q(t) contem todas as fracoes do tipo p

Johann Bernoulli (1667-1748) Suıca.

Prova. Faremos a demonstracao por inducao em n.

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Observac ao 3.2 (Sobre a Boa Ordenacao)

Existem conjuntos nao-vazios de numeros inteiros que nao possuem um menor elemento.

Exemplo 3.6 O conjunto Z nao possui um menor elemento.

Mas, se um conjunto nao-vazio X ⊂ Z e limitado inferiormente, entao X possui um menor elemento.

Intervalos

4. Intervalos

Num corpo ordenado, existe a importante noc ao de intervalo.

• Intervalos limitados: Dados a,b ∈ K, a < b, definimos os intervalos limitados de extremos a e b como sendo os conjuntos:

• Intervalos ilimitados: Dado a ∈ K, definimos os intervalos ilimitados de origem a como sendo os conjuntos:

Observac ao 4.1 Ao considerar o intervalo fechado [a,b] e conveniente admitir o caso a = b em que o intervalo [a,a] consiste apenas do unico ponto a. Tal intervalo chama-se intervalo degenerado.

Observac ao 4.2 Todo intervalo nao-degenerado e um conjunto infinito.

Com efeito, se a,b ∈ K e a < b entao a < a+b

a+xn

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Entao, a << xn+1 < xn < ... < x2 < x1 < b.

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Fig. 1: Construc ao da sequencia x1,x2,...,xn,

Proposic ao 4.1 Seja K um corpo ordenado e a,x ∈ K. As seguintes afirmac oes sao equivalentes:

Prova. Temos que

Intervalos

Observac ao 4.4 Todas as afirmacoes da proposicao e do seu corolario sao verdadeiras com < em vez de ≤.

Assim, o intervalo aberto (a − ε,a + ε), de centro a e raio ε, e formado pelos pontos x ∈ K cuja distancia, |x − a|, de a e menor do que ε.

Na figura ao lado, representamos os elementos do conjunto em questao, no caso, a,x ∈ (a −

ε,a + ε), por um ponto cheio. Os pontos sem preenchimento representam pontos que nao pertencem ao conjunto em questao.

Proposic ao 4.2 Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado K, valem as relac oes:

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Definic ao 4.2 Seja X um subconjunto de um corpo ordenado K.

• X e limitado superiormente quando existe b ∈ K tal que x ≤ b para todo x ∈ X, ou seja X ⊂ (−∞,b]. Cada b com esta propriedade e uma cota superior de X.

• X e limitado inferiormente quando existe a ∈ K tal que x ≥ a para todo x ∈ X, ou seja, X ⊂ [a,+∞). Cada a com esta propriedade e uma cota inferior de X.

• X e limitado quando e limitado superior e inferiormente, ou seja, quando existem a,b ∈ K, a < b, tais que X ⊂ [a,b].

De fato, se pq

Exemplo 4.2 No corpo Q(t) das fracoes racionais, o conjunto N dos numeros naturais e limitado inferior e superiormente, pois N ⊂ [0,+∞) e n < t para todo n ∈ N, ja que o coeficiente do termo de maior grau de

Numeros reais

Teorema 4.1 Num corpo ordenado K, as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

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