Analise na Reta

Analise na Reta

(Parte 7 de 7)

existe n ∈ N tal que n > b

portanto, uma cota superior de N.

Definic ao 4.3 Dizemos que um corpo ordenado K e arquimediano se N ⊂ K e ilimitado superiormente.

Exemplo 4.3 O corpo Q dos numeros racionais e arquimediano, mas o corpo Q(t), com a ordem introduzida no exemplo 3.2, nao e arquimediano.

5. Numeros reais

Definic ao 5.1 Seja K um corpo ordenado e X ⊂ K um subconjunto limitado superiormente. Um elemento b ∈ K chama-se supremo de X quando b e a menor das cotas superiores de X em K.

Assim, b ∈ K e o supremo de X se, e so se, b satisfaz as duas condic oes abaixo:

Instituto de Matematica - UFF 47

Analise na Reta

O supremo de um conjunto X sera denotado por supX.

Observac ao 5.2 O conjunto vazio ∅ nao possui supremo em K, pois todo elemento de K e uma cota superior do conjunto vazio e K nao possui um menor elemento.

Definic ao 5.2 Um elemento a ∈ K e o ınfimo de um subconjunto Y ⊂ K limitado inferiormente quando a e a maior das cotas inferiores de Y.

Assim, a ∈ K e o ınfimo de Y se, e so se, a satisfaz as duas condic oes abaixo:

Observac ao 5.4 O conjunto ∅ nao possui ınfimo em K, pois todo elemento de K e uma cota inferior do conjunto vazio e K nao possui um maior elemento.

Numeros reais

• Se b = supX ∈ X, entao supX e o maior elemento de X, pois b ≥ x para todo x ∈ X e b ∈ X.

• Se a = infX ∈ X, entao infX e o menor elemento de X, pois a ≤ x para todo x ∈ X e a ∈ X.

Em particular, se ◦ X e finito, entao o supX e o infX existem e pertencem a X.

De modo analogo, podemos provar que a = infX. Observe que, neste exemplo, supX 6∈ X e infX 6∈ X.

elemento de Y e, portanto, o supremo de Y.

Pela desigualdade de Bernoulli, temos que

Instituto de Matematica - UFF 49

Analise na Reta

Mostraremos, agora, que alguns conjuntos limitados de numeros racionais nao possuem ınfimo ou supremo em Q.

Lema 5.1 (Pitagoras) Nao existe um numero racional cujo quadrado seja igual a 2.

Prova.

Suponhamos, por absurdo, que existe pq

O fator 2 aparece um numero par de vezes na decomposicao de p2 e de q2 em fatores primos.

Como p2 possui um numero par de fatores iguais a 2 e 2q2 possui um numero ımpar de fatores iguais a 2, chegamos a uma contradicao.

Exemplo 5.4 Sejam

Mostraremos que X nao possui um supremo em Q e que Y nao possui um ınfimo em Q.

(Parte 7 de 7)

Comentários