a ciência dos sistemas complexos

a ciência dos sistemas complexos

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The progress in physics certainly will depende to a large extenton the progress01nonlinear mathematics,01methods

01solving nonlinearequations. W. Heisenberg2}

Faz-se uma introduçãoà ciência dos sistema complexos através de exemplos simples, escolhidos de modo a realçar alguns aspectos das relações entre o não-linear,o colectivo, o caos, a previsibilidade e a calculabilidade.

Rui Dilão Departamentode Fisica do 1ST

1. INTRODUÇÃO

Quando se juntaum grandenúmerode sistemas,as propriedadesmacroscópicas ou colectivasdo sistemacompostonão estão, em geral, relaciona- das com as propriedadesdos seus constituintesindividuais.Neste caso, o sistemacompostoé umsistemacomplexo.

As ciências como a física, a biologia,a química,a economia,a históriae a medicinaestudamsistemas complexos:têm que lidar com as catástrofes, com a turbulência,comas doenças,com as revoluções,com a evoluçãonatural,com a extinçãodos dinossaurios,com a evoluçãoda bolsa e do uni- verso. Com o desenvolvimentode máquinasde cálculopoderosasque che- gam a realizar1011operaçõesde vírgulaflutuantepor segundo,é possível cálcularestes sistemas.

A grandedificuldadeno estudodas propriedadesdos sistemascomplexosé de que,emgeral,os modelosmatemáticosassociadosconduzemà determi- naçãode soluçõesde equações não-lineares,sendo difícila aferiçãode soluçõesnuméricascomos resultadosexperimentaise comas soluçõesanalí- ticas (quando existem). Como a experiência tem mostrado, aparecem dificuldadesrelativasà fraca previsibilidadeque muitosalgoritmosfornecem, tendo-secriado a necessidadede desenvolvertécnicas específicas para a análise de sistemas não-lineares. A teoria dos sistemas dinâmicos tenta cumpriresteprograma.

O objectivoda teoria dos sistemas dinâmicos é estudar as propriedades qualitativasdas soluções de equações, estabelecendonovos métodos de analise,observaçãoe descriçãodos sistemasreais.A teoriaqualitativados sistemasdinâmicosocupa-sedas propriedadestopológicasdas soluçõesde equações. A teoria métricados sistema sdinâmicosou teoria ergódicaestuda o problemada possibilidadede determinarvalores médiosde grandezas associadasà descriçãodos sistemas.

Enquantoos métodosquantitativosestão por excelênciaassociados a pro- blemaslineares,a teoriados sistemasdinâmicosdesenvolvetécnicasqualitativasde analiseglobalde soluçõesde equaçõescom o objectivode deter- minare classificaros seus tipos genéricos.Esta abordagempermiteprever propriedadesdinâmicas,como sejam o aparecimentoou desaparecimento de singularidades,a emergênciade propriedadesestocásticas,etc.. Recen- temente,por análisedirectade séries temporaisobtidasexperimentalmente, estas técnicasqualitativastêmvindo a ser utilizadasna previsãoda evolu- ção de sistemascujas equaçõesdinâmicasnãoexistemou estão maldefinidas1).

O mundodos sistemascomplexosé o mundodas transiçõesde fase, das mudançasbruscas de comportamentoou das bifurcações,da emergência de ordem em processos caóticos,.da ocorrência de processos violentos como a explosãode umasupernovaou a extinçãode umaespécie. Como estes processos estão invariavelmenteassociados a modelos matemáticos não-lineares,esta exposição está organizadatendocomo pontode partida as relaçõesentreo lineare o não-linear,tentandomostrara diversidadede fenómenosque podemsurgirnos sistemascomplexos.

Nos exemplosque se seguem,iremosver como se relacionamalgunsdes- tes problemas,realçandoas relaçõesentreo não-linear,o colectivo,o caos, a previsibilidadee a calculabilidade.

" 2. SISTEMAS LINEARES VERSUS SISTEMAS NÃO-LINEARES

Nos sistemas de equações lineares, sejam elas equações às diferenças, equações diferenciaisordináriasou equações às derivadasparciais,é sem- pre possíveldeterminarsoluçõesque obedecema condiçõesiniciaise condições fronteira.Mais ainda, atravésde um conjuntode soluções particula- res, é sempre possível gerar novas soluções através de combinações linearesdas soluçõesdadas.

Esta últimapropriedadedesigna-se por princípioda sobreposição,técnica utilizadana construçãode soluções gerais de equações, e tem aplicações importantesna mecânica, no electromagnetismoe na mecânicaquântica. Por isso é muitofrequenteassociar esta propriedadeà própriaestruturae ao âmbitodas teoriasemquestão.

Dos vários domíniosda física, o electromagnetismoe a mecânicaquântica são particularmentesensíveis a esta discussão. Como é conhecido, as equaçõesque determinamos campose as funçõesde ondasão lineares,e o princípioda sobreposiçãoaparecesemprecomo uma ferramentapara a descriçãodos fenómenosque são tratadosnestesdomínios.

Por exemplo, Werner Heisenberg, referia-se à mecânica quântica da seguintemaneira2):

Linearityin quantumtheoryhas a verydeep, almostphilosophical reason and is notjust connected withsome approximation.In quantumtheorywe do not deal with facts but withpossibilities: the square of the wave func- tion describes the probability,and the superpositionof the wave function the possibility of adding two solutions to get a new solution, is absolutely essential for the whole foundationof quantum theory. Thereforeit defini- tely would be wrong to say that the linear character of quantumtheoryis approximatein the same sense as the linearityof Maxwell's equations is approximate.

Por outrolado,em relaçãoao electromagnetismoe à electrodinâmicaquân- tica a relaçãoentreo lineare o não-linearé completamentediferente.Max Borne LeopoldInfeldescreveram3):

In ali these cases there is sufficientevidence that the present theory (for- mulatedby Dirac's wave equation)holds as long as the wave-Iengths(of the Maxwell or the de Broglie waves) are long compared with the "radius of the electron" e2/me2, but breaks down for a field containing shorter waves. The non-appearence of Planck's constant in this expression for the radius indicates that in first place the electromagneticlaws are to be modified; the quantumlaws may then be adapted to the new field equations.

e maistarde,Barbashove Clhernikovcomentavam4):

Since the appearenceof the paper of Bom and Infeldon a nonlinearelec- trodynamicsof thefreefieldit has becomeclearthatthenonlineartheoryleads to qualitativelynew and much richerphysical concepts than the linear theory.

3. EXEMPLOS DE SISTEMAS NÃO-LINEARES COM COMPORTAMENTO COMPLEXO. EMERGÊNCIA DE PROPRIEDADES COLECTIV AS.

3.1. A equação de Burgers: formação e propagação de singularidades

A equação de Burgers descreve a evolução de um sistema de partículas sem interacçõesmútuas.É um o exemplode como se podemformarestru- turas complexas (singularidades)quando se passa da descrição do movimentode uma partículapara a descrição (colectiva)do movimentode um conjuntode partículas.

Como é bem conhecido, uma partícula isolada tem um movimentorectilíneo e uniforme,e a sua lei de movimentoé x(t) =vot+Xo em que Xo é a posição da partícula no instante t=Oe Vo é a sua velocidade.Vamos então considerar um conjunto infinito (contínuo) de partículas isoladas e sem interacções mútuas. No instante t=O,a distribuição espacial de velocidade e densidade é, respectivamente, vn(x)=v(x,t=O) e

Pn(x)=p(x,t=O),figura 1.

1 2t PO(X) r

Fig. 1: Distribuiçõesiniciaisdevelocidade(vo(x)) e densidade(Po(x)) de umconjunto de partículas.

Como o movimentode cadapartículaobedeceà equaçãode Newton,x=O, a velocidadedas partículasnuminstantearbitrárioté dv=dv+dx dv=dv+vdv=O dt dt dt dx dt dx

'" A equaçãode Burgersparao movimentocolectivodas partículasé dV+vdV=O

Como se mostrafacilmente5),6),a solucão da equação de Burgers, obedecendoàs condiçõesiniciais Vo(x) e Po(x), é v(x,t)=vo(x+tv(x,t))

p(x,t)=Po(xo) emqueXo é acoordenadaLagrangeana,Xo=x(t =O).

Na figura 2 estão representadasas funções velocidade e densidade para

"'"V"1

Fig.2:Evoluçãotemporaldeumadistribuiçãodepartículas, ao fimdostempos t =1,O e t = 1.5 calculadaa partirdasdistribuiçõesdevelocidadee densidadedafigura1.

Noinstantet=1,0enopontox=Xcaderivadade v(x,t)emordemaxé infinitae para t>1,O, existeumaregiãodo espaçoemquea velocidade daspartículaspodetomardoisvalores.Domesmomodo,atravésdográfico dadensidadedepartículasconclui-sequeem t=1,Oformou-seumasingu- laridadenafunçãop(x,t):p(xc,t=1)=0.Daanáliseexactadassoluções daequaçãodeBurgersdecorrequeexistemapenassoluçõesbemdefinidas paratempos

c Xo Vo (xo)

8 Seemgeralumsistemadeequaçõesàsderivadasparciaisnão-lineares evoluiparasoluçõesquepodemtomarmaisdoqueumvalornoespaço, surgeoproblemadesabercomointerpretarassoluçõesquandoestasaparecemassociadasasistemasreais.Existemduaspropostasbemdiferentes. Paraalgunsautores,baseadosemresultadosexperimentaise nanecessi- dadedeprevisibilidadedesistemasreais,assoluçõessingularessãoaproximadasporsoluçõesconstruídasatravésdaregradaalavancadeMaxwell, figura3.Nestecaso,diz-sequea soluçãodaequaçãodesenvolveuma

Fig.3:FormaçãodeumafrentedechoquenaequaçãodeBurgers.A frentedeondade choqueédeterminadapelaigualdadedasáreasa)eb):RegradaalavancaMaxwell.

ondadechoqueoufrentedeondadechoque,a queestáassociadauma velocidadedepropagaçãocaracterística.A demonstraçãodestaregraempí-1 c t=1,0

.. t=1,5 ricadeve-seaHopF),Contudo,dopontodevistacomputacionaleparasistemasemqueexisteo controloanalíticodoprocessodeformaçãodeste tipodesingularidades,osresultadosnuméricossãodiferentesdosresultadosteóricos.

Outrosautorespreferemconsiderarquesistemascomumcomportamento destetipo,osváriosvaloresadmissíveisemcadapontodoespaçopodem defactoocorrere,nãoexistindocritériodeescolha,osresultadosexperimentaissãointerpretadoscomosendodenaturezaestocástica.

Defacto,ambasas interpretaçõessãopossíveis.Se sepretendeseguir umafrentedeondadechoque,a primeirainterpretaçãoéadequada,Contudo,quandosemedeumcampoouumavelocidadenointeriordeumasin- gularidade,osresultadosexperimentaisvãoa favordasegundainterpreta- ção.A primeirainterpretaçãoexplicabema formaçãodecogumelose de jactosemexplosõesdeestrelas8),A segundainterpretaçãodáconta,por exemplo,daobservaçãodeoscilaçõesaleatóriasdocampomagnéticoda magneto-esfera,naregiãodechoquedoventosolar.

Desteexemploconclui-sequeassoluçõesdeequaçõesàsderivadasparciaisnão-lineares(tecnicamenteequaçõesquasi-lineares)podemgerarfenó- menoscomplexoscomosejama formaçãodesingularidadeseo aparecimentode aleatoriedadedurantea evoluçãotemporaldos sistemas, tornando-osdifíceisdeprever.Quandoseanalisaocomportamentodassoluçõesdeequaçõesàsderivadasparciaisnão-linearesesobreasquaisnão existecontroloanalítico,é difícila calibraçãodosresultadosnuméricos quandocomparadoscomobservaçõesreais9).

Faceaestepanorama,écorrenteafirmarqueépossívelexistiremfenómenosnaturaiscujapossibilidadedeprevisãoconsistenaobservação.

3.2. A equaçãodasondas

Umapequenaperturbaçãonummeiocontinuopropaga-sedeacordocoma equação

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Noentanto,estaequaçãoé apenasumaaproximaçãoà leidepropagação.

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