a ciência dos sistemas complexos

a ciência dos sistemas complexos

(Parte 2 de 3)

Defacto,quandoseanalisao problemadasvibraçõesdeumacordachegaseàequaçãonão-linear

J2cp - c2 êicp :J 2 -

obtem-seaequaçãodasondas(3),apenasválidaparao estudodapropagaçãodepequenasperturbações.

Nafigura4estárepresentadaaevoluçãotemporaldeumacordapresanas extremidades,calculadaatravésdaequaçãolinear(3)edaequaçãonão-li- near(4).Comoseavaliafacilmenteporanálisedasfiguras,o espectroda soluçãodaequaçãolinearmantem-seinvarianteaolongodotempo,a me- nosdevariaçõesdeamplitude,enquantoqueparaa soluçãodaequação não-linearaparecemnovasfrequências.Levanta-seentãoo problemade sabercomoé quea energiaseespalhoupelosrestantesmodospróprios.

Assimulaçõesapresentadasnafigura4 nãoforamprolongadasnotempo, poisparat>0,155a soluçãonuméricadaequaçãonão-linearnãocon- verge, emboraa técnica utilizadana obtençãodas soluções apresentadas na figuratenhasido baseadana resoluçãoformalda soluçãogeraI9),'O).

Equação linear Equação não-linear 0.2 t=O 0.2 t=O

t=0.155 0.2 t=0.155

-o .1 -o .1

Fig.4: Evoluçãodeumaondaprogressivanaequaçãodeondaslinear(3)e não-linear(4).

No caso de cordas relativistas(c = 1)a leide propagaçãode umaonda obedeceà equaçãode evolução3)

;irp- ;Yrp=2 drpdrpd2rp_ (drp)2 d2rp _(drp)2 d2rp dt2 dX2 dt dx dtdx dx dt2 dt dx2

Na figura5 está representadaa evoluçãotemporalde duas perturbaçõesna cordainfinitamostrandoa formaçãodinâmicade singularidades.Enquantoque"

10 t=1 t=2 " fiA ~--- a) t=3 t=4

Fig.5: a) Formaçãode singularidadesnainteracçãode duasperturbaçõesnumacordain- finitarelativista.b) Superfícieintegralcorrespondenteà regiãodo espaçoem que se formamsingularidadesnumasoluçãoparticulardeequação(5).

noutras equações não-linearescomo a Korteweg-deVriesa interacçãode dois pacotesde onda do tipo solitãonão gera nenhumtipode estruturana zona de interacção.No caso da equação(5), a solução </J(x,t)pode tomar vários valoresnos mesmospontosx e t, figura5a). Isto é, se o observável </J(x,t)pode tomarvários valores num ponto do espaço e não existe ne- nhumcritériode escolha da boa solução, é de esperarque o resultadode umaobservaçãoseja umasequênciade valoresaleatórios.

As soluções representadasna figura5a) foramobtidasanalíticamenteatravés da parametrizaçãodas soluções1O)e não foi possível encontrarum método numéricoque permitisseresolveras singularidades.O que é interes- sante reternesteexemploé de que para pequenasamplitudesa interacção entre as duas frentes de onda não apresenta qualquer problematécnico, não se gerando singularidades,enquantopara grandes amplitudesaparecem e desaparecemsingularidades,todas elas parametrizadapelo tempo. Na figura5b) estão representadosdois cortesda superfícieintegralde uma solução da equação (5), mostrandoo mecanismode formação,evoluçãoe desaparecimentodas singularidades.

3.3. Sistemas químicos. Formação de Padrões

A reacçãoquímicaautocatalítica B+X _/1 Y 2X +Y _/2 3X é descritapelas equaçõescinéticas

-=-k]B(C-Y) dt

X(t)=C--Y(t)

.. em que X, Ye B são as concentraçõesdas espécies químicase k] e k2 são as constantesdas reacções.A constanteC =X(t) +Y(t) é invarianteao longodo tempo,estandorelacionadacoma leida conservaçãoda massa.

Com, k]=k2=1,0 e as concentraçõesiniciais X(O)=0,5 e Y(O)=0,0, é possível mostrarque as concentraçõespodemevoluirpara dois estadosde equilíbriogenéricos (X =C, Y =O,B =O) e (X =O,Y =C, B;::O:O). O primeiro estadoé atingidose B <0,617. Se B >0,617, podemoster uma infinidade de soluções de equilíbrio.Na figura6, representamosa evoluçãodas concentraçõesno espaçode fases (X,B) .

Se esta reacçãoé efectuadanumreactoragitado,garantindouma homogenização dos vários componentes químicos, qualquer um dos estados de equilíbriodo sistemade equações (7) é atingidonas condições indicadas. No entanto,se a reacçãose dá num meio espacialmenteextendido,como acontece por exemplonos tecidos biológicos,as várias espécies químicas difundem-se,passando a pxistircompetiçãoentrereacçãoe difusão. Neste caso, as equaçõesde evoluçãodas espéciesquímicassão:

dX 2 ( d2X d2X

)dt] 2 Y dx2 di dB =--kBX+D ( d2B+d2B

)dt ] B dX2 di i11 (i,B) Phase ~pace

Fig.6: Espaçodefasesdaequaçãocinética(7).

em que Dx, Dy e DB são os coeficientesde difusãono meiodas três es- pécies químicas.Sistemas destes tipo, que têmsoluções cinéticaselementares, podem gerar fenómenos bastante complexos. Por exemplo, esco- lhendo Dx=0,01, Dy=0,0001eDB=0,00001,a concentraçãoespacialda espéciequímicaX evoluiconformese mostranafigura7.

t=50 t=10 t=50 @

Fig. 7: Evoluçãotemporaldo sistemade reacção-difusão(8),paracondiçõesiniciaisaleatóriase condiçõesfronteirade fluxonulo. Integraçãonuméricacom o métodode Euler numaredede 150x150.Aofimdotempot=50o sistemaatingiuo estadodeequilíbrio.

Assim, a reacçãoquímica(6) gerou estruturaespacialatravésde uma interacção difusiva,embora as leis cinéticassejam elementares.Este tipo de acoplamentoé umexemplode comose podemformarpadrõesemsistemas bioquímicas,levando muitosautoresa pensarque este tipo de fenómenos está na base da morfogénese11),12).Na figura8 estãorepresentadasduas distribuiçõesespaciaisobtidasem reacçõesautocatalíticas13).

3.4. Caos determinista

Quando se observa a evolução (temporal)de um sistemae se selecciona umavariável,por exemplox, como representativado seu estado,a hipótese de trabalhomaissimplese a maisutilizadanas aplicaçõesé de que a evolução da médiatemporalde x(t) nosdáumamedidaaproximadadecomoo estadodo sistemaestá a evoluir.A teoriaergódicaestabeleceas condições de existênciadestevalormédio.Contudo,existemsistemasreaisem que es- tes valoresmédiospodemestarmaldefinidos,não assumindonenhumvalor particular. Neste caso estamos na presença de sistemas aleatórios,

Fig.8: Distribuiçãoespacialdeconcentraçãoobtidasemdoisprocessosautocatalíticosdiferentes.

em geral,associadosà formaçãode singularidadesnas soluçõesdas equa- ções dinâmicas,como é o caso dos exemplos3.1 e 3.2. Nos sistemascom caos determinista,estesvaloresmédiosexistemsempremas a dinâmicado sistemaé aleatóriaou caótica.

Para determinarse umsistematemcaos deterministaexisteuma metodolo- gia simplesque consiste em avaliarcomo é que um sistema se comporta face a pequenasvariaçõesnas condiçõesiniciais.Se, para pequenasvariações nas condições iniciais ao fim de um tempo t o estado do sistema afasta-seexponencialmenteno tempo,na métricado espaço de fases, então o sistematemsensibilidadeàs condiçõesiniciais.Em geral, umsistema com sensibilidadeas condiçõesiniciaisé caótico.

O sistemacaóticomaissimplesé o modeloconhecidoportransformaçãode pasteleiroou ferradurade Smale14).Vejamos então como se constroi este modelo.

Suponha-se um quadradode lado 1 ao qual se aplicamas transformações (figura9): 13

1) Duplica-sea coordenadahorizontale divide-sepor 2 a coordenadavertical.

2) Sutura-severticalmenteem x =1 e empilham-seos dois rectângulos.

Fig.9: Protótipode umsistemacaótico:construçãodatransformaçãode Smaleoude pasteleiro.

Considerandoque o quadradoinicialrepresentao conjuntode todos os valores possíveis das variáveisdinâmicasde um sistema no instantet=O,no instantet=1o sistemaevoluiuparaumnovoestadoemque algunsdos pon- tos representativosdo estadodo sistematêmumaordemrelativaque foi alteradade acordocomas transformações1)e 2).

Vejamos então o que acontecequando se pinta uma figura no quadrado. Como se vê na figura1O,os pontoscoloridosvão mudandode posição ao longodo tempoe a figuracoerenteinicialdesfez-se completamente.Muitos autores designama transformaçãode Smale por transformaçãode paste- leiro(por razõesobvias...).

.. Fig. 10: Misturade cond,içõesiniciais e propriedadesaleatóriasda transformaçãode Smale.

Ora, é possívelmostrarque paraestatransformaçãodeterminista,dois pon- tos muitopróximosno quadradoinicialafastam-seexponencialmentecom o tempo,e assim a transformaçãode Smale tem sensibilidadeem relaçãoas condições iniciais. Por outro lado, este sistema é equivalenteao processo estocásticodo jogo da cara-ou-coroa,protótipode sistemascom propriedades estocásticas.

Todo o sistemadinâmicocomesta propriedadeé umsistemadinâmicocaótico!

Para encontrar sistemas que tenham estas propriedades basta então construir transformações com a capacidade de "dobrarem"ao longo do tempo o conjuntode estados iniciais. Ora, isto pode ser conseguido através de transformações de um intervalo, sobrejectivas e não invertíveis.

Por exemplo, a transformação quadrática do intervalo [0,1],

xn+l=4xII(1- XII)' figura 11a), tem esta propriedade.Na figura 11b) está representado a evolução temporal de um ponto genérico do intervalo

[0,1],concluindo-se que a evolução temporalda transformaçãoé aleató- ria, emborao sistema dinâmicoseja determinista,isto é, um pontodo domíniotransforma-seunivocamentenumpontodo contradomínio.De facto, é possível mostrarque este sistema é caótico.

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