a ciência dos sistemas complexos

a ciência dos sistemas complexos

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Xt+1 0,8

a) b)

1 Xt

Fig. 1:Gráficodafunçãoquadráticado intervalo[0,1]e sérietemporalcaótica.

A transformaçãoda fiÇJura11podeser mergulhadanafamíliade transforma- ções xn+l = 4/1XII(1- XII) , dependentes do parâmetro /1, e May15J,num contexto de dinâmica de populações, descobriu que ao variar o parâmetro

/1E[0,1] podiamexistirtransiçõesbruscas entrecomportamentosassintóticos regularesperiódicose comportamentoscaóticos (ou ergódicos).Na fi- gura 12 apresentamos o conjunto de estados assintóticos acessíveis da transformaçãoXII+l =4/1XII(1- XII), em função do parâmetro /1.

Fig. 12:Diagramade bifurcaçõesemfunçãodo parâmetro J1 paraa funçãoquadrática do intervalo.xn+l=4J1xn(1- xn)

Até agora mostramoscomo surgemcomportamentoscaóticos em modelos matemáticosnão-lineares.Seria interessanteque eles aparecessemem sis-

temasreais.De facto,numsimplescircuitoeléctricocom umajunçãop-n de capacidadevariávelfoi possível observaro mesmocomportamentoqualitativoque o encontradona figura 1216).Na figura13 está representadoo dia- gramade bifurcaçõesa dinâmicacaóticado sistemaem funçãode umaten- são exterior. As figuras 12a) e 12b) foram obtidas a duas temperaturas diferentes.

1S " a) b) " @

Fig. 13:Diagramade bifurcaçõesobtidoexperimentalmentenumcircuitocomumajunção p-ncomcomportamentonão-linear. "

Outroexemplode sistemacaóticoé o atractorestranhode Lorenz17),associado à evoluçãotemporalda temperaturano interiorde um fluído, mantidoentre duasplacasparalelasa temperaturasdiferentes.A equaçãode Lorenzé x= O"(y- x) y=rx-y-xz em que x é proporcionalà funçãode correntee y e z são duas funçõesre- lacionadas com a temperatura.Os parâmetrosr e (j são proporcionais, respectivamente,aos númerosde Reynolds e Prandtle b é um factor de forma.Na figura 14 está representadaa órbitano espaço de fases (x,y,z) de um pontoinicialgenérico.Nesteexemplo,as órbitasde fase não convergem para nenhumestado estacionário,percorrendoerraticamenteuma região limitadado espaçode fases.

Quando se variao parâmetror encontramoso mesmotipode estruturaque as encontradasnos mapasdo intervalo.Na figura15, representamoso dia- gramade bifurcaçõesdo atractorde Lorenz em função de r. Comparando estediagramade bifurcaçõescomo da figura12, mostra-sea analogiaentre o comportamentodas soluções da equaçãode Lorenz com as soluçõesda equaçãodiscretado intervalo,construídaa partirda transformaçãode Smale. Conclui-seassimqueo sistemade Lorenztemcomportamentocaótico.

Pensa-se que o comportamentoencontradono atractorLorenzé comum a muitos sistemas não-lineares com pelo menos três variáveis de estado. A associaçãode processos caóticosa dinâmicasnão-linearesdeterministas abre um novo capítulo na ciência moderna,possibilitandoa utilizaçãode modelos matemáticosno controloe previsãoda evoluçãotemporaldestes sistemas. Em particular,é hoje um assunto de intensainvestigaçãoo desenvolvimentode métodosde controlonão-linearparasistemascaóticos18).

4. CALCULABILlDADE E IMPREVISIBILlDADE

Para terminar,vamos introduzirum sistemacaóticosimplesmas cujas propriedadescomputacionaiscontradizemtodosos resultadosanalíticos.

Seja a transformaçãodo intervalo xn+l =g(xn)=21xnl-I (9)

Fig. 15:Diagramade bifurcaçõesemfunçãodoparâmetror parao atractorde Lorenz.

comx"E[-I,I]. Ora,comoo declivedafunçãog(x) é :1:2,os 2" pontos fixos das iteradas g"(x) são instáveis.Por outro lado, é possível mostrar que este sistemaé caóticoe tem sensibilidadeàs condições iniciais,o que implicaque as iteradasde um pontogenéricodo intervalo[-1,1]percorrem densamenteesse intervalo.

Noentanto,quandose itera,porexemplo,o ponto Xn =0,97397,aofimde

53 iteradasa sua imagemcai no pontofixo instável x =1, figura 16. Ora, isto contradiztodos os resultadosanalíticose a própriaafirmaçãode que o sistemaé caótico.

Fig. 16: Orbita do ponto xn =0,97397 , poriteraçãodafunçãodointervalo(9).

Qual a razão desta discrepânciaentre resultadosanalíticos e observação numérica?A respostaé simples e está associada à representaçãodigital dos númerosnos computadores.Na figura 17 está representadoo gráfico da funçãocontínua(9), assim como o seu gráficona representaçãointerna de umcomputadora 4 bits.Devidoà precisãofinitados computadores,pois estestrabalhamapenascom númerosracionais,os pontosfixos instáveisda função (9) são transformadosem pontos fixos estáveis e o sistema com- porta-se numericamentecomo um sistema regular,apenas com um longo transiente.

Fig. 17: Gráfico da função g(x) e da sua aproximação na representação interna de um computador.

Terminamoscom esteexemplo,parachamara atençãoparao factode que a previsãonuméricade sistemasnão-linearespode fornecersoluções bastantediferentesdas encontradastanto nos modelosmatemáticoscomo na realidadeda experiência.Assim, os critériosde validaçãodos modelosnuméricostemde ser confrontados,por umlado,comos resultadosdas previsões teóricas(consistência),poroutro,com os resultadosexperimentais(ca-

libração).

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