Apostila de Metodos Numericos para Equações Diferenciais, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Baixe Apostila de Metodos Numericos para Equações Diferenciais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! 
           !   " #   $&%')(+*-,/.0213*5476-891:89'<;=*?>A@:* B=CEDGFIH:J)KMLONOJ)PQCOROSUTWVYXFZKMC[TOV]\Z^Q^Z_ `badcYegfhcYi=jlk mAn oqpr[m=pgshcYautvc w mAx=yYpgtzxAc ô¼õWö9÷„øéùÛúuõ ˜‚ S «Ë½ ¿•°)®¯FZLOKMÀÁKMT:FGTOV «l«]«l«l«l«l«l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«ûÍQÇS «Ë½W«¬ª X­º®¾C3TOCIT:FIXïFG®¾J¾K$ «l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«ûͦÊS «Ë½W« \ X­º®¾C3TOCIT:FIXïFG®¾J¾K$65€Þ²CQ´OTWKMÙzڗVz°ÒTOV]Þ²CQ´¦®¾CQJ¾´OC «]«l«]«l«l«l«ûÍ _S «Ë½W«Ë½ X­º®¾C3TOCITOV ?CQ´B=VºNOÉÄFZ´O´ «l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« _Q^S «Ë½W«ÎÆ X­º®¾C3TOCITOV ?CQ´B=VºNOÉÄFZ´O´.5€¿•°¾Ø¢NOVºÉÅF7(¼VºJ¯FZÀ «]«l«]«l«l«l« _ ªS «ÎÆ Â ÐzNWJ¯ÃZкKàFUT:Fĸ3CQÀMNWÙZC «l«l«l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« _ ½S «ÎÆO«¬ª ¿8&—®¾J¯FZ¹CQÀàFGÙZCUTOVlÑÒKMÐ:9:FGJ¾TO°)CQ´ «]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« _ Æ " ›2œ Ž™…: !†™ˆg’“¨…O£¥;<éEƒEˆŠ~€˜£uˆ¢…O #ÇW«¬ª X­„®¯C—TOCQ°È¿&W¹WÀ%MкKÁ®¾CQ° «l«l«l«l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« _ ÊÇW« \ X­„®¯C—TOCQ°=êÉĹWÀ%MкKÁ®¾CQ° «l«l«l«l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« _Q_ÇW«Ë½ ¿•Ø¢N:FZÙGCÄTOVlÿAK
NO°>GC «l«l«l«l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª ^Q^ÇW«Ë½W«¬ª ¿?Ø¢N:FGÙZCITOVlÿAKNW°>ZC@?=´WKMTOKÁÉÄVº´O°¾KÁCQ´:FZÀ «]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª ^Q^ÇW«Ë½W« \ ¿?Ø¢N:FGÙZCITOVlÿAKNW°>ZC[VzÉÑÈVºPQKMÉIV2Ü¥VºJ¾ÉÄFZ´OVº´¢®¾V «l«]«l«l«l«“ª ^ ÊÇW«Ë½W«Ë½ ¿?Ø¢N:FGÙZCITOVlÿAKNW°>ZC@ ²KÁTOKMÉIVz´O°)KMCQ´OFZÀ «l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª ^ ÍÇW«ÎÆ X­„®¯C—TOCQ°=XNOÀ¬®¯KMTWKMÉIVz´O°)KMCQ´:FGKM°€TOVlHéJ¾FZÐzKÁCQ´:FZÉIVz´¦®¾C «l«l«]«l«]«l«l«l«“ªQªQªÇW« S ¿•Ø¢N:FZÙGCÄTOV  TWDZVzкÙZC «l«l«l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ªQªEÍÇW«ËÇ ÿAKÁ°¾°¾KÁ¹:FZÙZC[V]ÿ=KM°¾¹VzJ)°>ZCIBÈNOÉÄ­ºJ¾KÁÐ FZ° «l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª \ ½ÇW«ËÇW«¬ª  ´:ÃZÀÁKM°)V2TOVlHéCZNOJ¾KÁVzJ «]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª \QSÇW«ËÇW« \ ¿?Ø¢N:FGÙZCÅXC—TOKÁÏ:ÐzFZT:F «l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª \ ÊÇW«ìÊ ¿•Ø¢N:FZÙGCÄTOV¼ÕuJ¯FZ´W°¾¹CQJ)®¾V+?È´OKMTWKMÉIVz´O°)KMCQ´:FGÀ «]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª \Z_ÇW«ËÍ ¿•Ø¢N:FZÙGCÄTOV¼ÕuJ¯FZ´W°¾¹CQJ)®¾V+ “KMTOKÁÉÄVº´O°¾KÁCQ´:FZÀ «l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª ÆOª A §CBED¦ƒ0!†F†™ˆHGåˆI;¥…Ov…: J#†uˆLK]…WG©¦‘ˆ3˜ šM   A –˜Œ鐨ƒ0NOh†uˆï’QPRSN …: š  š «¬ª ³  ÀMPQCZJ¾KÁ®¾ÉÄCYTOV¼Õ 9OCQÉÄFZ° «l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª SQ\ « \ ³ X­º®¯C—TOCIÕÒÿ2X  2KM´!9:FUF@2KM´!9OF «l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª S Æ «Ë½ ÑÒVzÀàFT&OFGÙZC «l«]«l«]«l«l«l«l«l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª SQS U”d–˜Œév…JU¥… š # V £¥†u˜¤Qˆ š  iv Conteúdo W I
   X .Y    ªQ«¬ª X­„®¯C—TOC[TOVY¿•NOÀÁVzJ « «l«l«l«l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« ƪQ« \ X­„®¯C—TOC[TOVYÌÈVzNO´ « «l«l«l«l«l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« _ \ «¬ª Þ²NOJ+DZF[Ð FGJ¯FZЄ®¯VzJM°+®¯KMÐzFZ°‹´OC[¹OÀMFZ´OCU®Z& « «]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«û½¦Ê\ « \ ÿACQÉ@M´WKMC×кCQÉĹWNW®·FZкKMCQ´OFZÀ R « «l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« Æ¢Ê\ «Ë½ ÞãFZJ¾FZк®¾VzJ[Á°)®¾KMÐ FG°‹¹:FZJ¯F[FUVzØ¢N:FGÙZCÄT:FUCQ´OT:F « «¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« Æ _\ «ÎÆ Ü•J¾CQ¹OFZP¦FZÙZC[TOV¼NOÉÅFUCQ´WT:FU°¾Vz´WCQKMT:FGÀ « «]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« SQ\\ « S Þ²CQ´OTWKMÙzڗVz°ÒTOV¼ÐºCQ´¦®¯CQJ)´OC[¹:FZJ¯F[C[Ð FZ°)C79WKM¹VzJ¾LSQÀÁKMÐzC « «l«]«l«]«l«l«l« S ½\ «ËÇ Þ²CQ´OTWKMÙzڗVz°ÈFZN\&WKÁÀMKMFZJ¾Vº°²¹:FZJ¾FIC[ÐzFZ°¾C[®¯J¾FZ´O°¾KÁVz´¦®¯V « «]«l«l«]«l«]«l«l«l« S ½\ «ìÊ ÿACQÉ@M´WKMC×кCQÉĹWNW®·FZкKMCQ´OFZÀå¹:FGJ¯FUNOÉÄFI¿?ÿµÜ}¹OFZJ¯FZLSQÀÁKMÐ F « «l«]«l«l«l« S Æ\ «ËÍ ÿAVºÐ FZKÁÉÄVº´¢®¾C[V]&3¹ÛCZ´OVz´OкKàFZÀTWVlNWÉÅFU°¾Vº´!QKÁTOV « «l«]«l«l«]«l«]«l«l«l« SQS\ « _ ÿACQÉ@M´WKMC×кCQÉĹWNW®·FZкKMCQ´OFZÀå¹:FGJ¯FUNOÉÄFI¿?ÿµÜ}VºÀ%Á¹W®¯KÁÐ F « «]«l«]«l«l«l« S Ê ÆO«¬ª XïFZÀ9:FUTOKM°)ÐzJ)Vº®·FUNO´WKCQJ)ÉÄV « «]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«ûÇQÍ ÇW«¬ª ¿&3VzÉI¹OÀMC[T:FUJ¾Vº¹OJ¾Vº°¾Vº´¢®¯FZÙGCÅÉÄFG®¯J)KMÐzKMFZÀ « «l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ªQª \ÇW« \ ^A´WPQNOÀMC[TOV˜FZ°)V « «]«l«l«l«l«l«]«l«]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª \ Ê «¬ª X­„®¯C—TOC[ÕÒÿ2X  ÀMKM´J9:FUFUÀMKM´J9:F « «]«l«l«]«l«]«¼«l«]«l«l«]«l«]«l«l«l«“ª S Æ D viii Lista de Tabelas { ut
 l  v      !   "     w   "yx    2ÃZJ)KMCQ°È¹OJ)CQLOÀMVºÉÅFG°A¹OJ¾ÃG®¯KÁÐzCQ°=TOVYVº´OPQVz´J9:FZJ¾KMFÅ°>GC TOVz°)ÐzJ¾K¬®¯CQ°AVzÉ ®¯VzJ)ÉÄCZ°ATOVY®¯F4&WFZ°ãTWVADGFZJ¾KMFZÙZC]T:FZ°ã¹WJ¾CQ¹OJ)KMVºT:FZTOVº°zM°)KMÐzFZ°²TOCY°¾KM°+®¯VºÉÅFlؗNWV2Vz°)®¯FZÉICQ°²KÁ´¢®¾VzJ)Vz°¾°¾FZTOCQ°VºÉ Vz°+®¯NOTOFZJ « ¿•°)®·FG°µDZFGJ¾KàFGÙzڗVz°A°[ZCOR´OCZJ¾ÉÄFZÀMÉIVz´¦®¯VGRÛTWVz°¾ÐºJ¾K¬®·FZ°2VºÉĹOJ)VzP¦FG´OTOC¨¶—°)VUFZ°ÀÁVzKM°zNO´OT:FZÉIVz´¦®¯FZKM°ãTOF Á°¾KÁÐ FWR—ÉÄVºÐ{Z´WKMÐ F3RWVzÀÁVº®¾J¾KMкKMT:FGTOVZR¢®¯VºJ¾ÉIC3TOKÁ´|{ZÉIKMÐzFWR¢Vº®¯Ð@} D—KMTOVF<ÕdFGLÛVºÀàF ªQ«Áª ~„« Ö2NOFZ´OTOCÐzCQÉYLOKM´:FGT:FZ°2ÐzCZÉFZ°¼VzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°YTOV[L:FZÀMFZ´OÙºCTOV[ÉÄFZ°¾°¾FWRÉICQÉIVz´¦®¯NOÉ V[Vz´OVºJ¾PQKMF<VºÀàFZ°2J)Vz°)NOÀÁ®¯FZÉ ´:FG°lVºØ¢N:FZÙzڗVz°lTOK
VzJ¾Vº´OÐzKMFZKM°AؗNWVIPZCvDZVzJ)´:FZÉTOK
VzJ)Vz´¦®¯Vº°QVz´!ZÉÄVº´OCQ°+Á°¾KÁÐzCQ° « ¹:FZJ+®¯KMJlT:F﹏CQ°+®¯VzJ)KMCQJlKM´¦®¾VzPQJ¾FZÙZCTOVz°+®·FZ°YVzØ¢N:F4ÙºÚ3Vº°zR€´!Q°UCQLW®¾VzÉICQ°UFZ°€NW´OÙzڗVz°UÉÄFG®¯VºÉÅ讯KMÐzFZ°lؗNWVTWVz°¾ÐºJ¾V„DQVzÉ CŠVº°)®¯FZTOChTOCh°¾KÁ°®¾VzÉÄFWR´OC ®¯VºÉŏC VU´OC<Vz°)¹:FZÙzCWRuVºÉ ®¾VzJ¾ÉICQ°2T:F/°)N:F<ÉÅFZ°)°¯FWRVº´OVzJ)PQKàF/CZNhDGFZJ)KàFZÙZCT:F[Ø¢N:FZ´¦®¯KÁT:FZTOV¼TOV¼ÉICED3KÁÉÄVº´¦®¯C «Þ²CQÉIClV‚&3VzÉI¹OÀMClTOVÈNOÉÅF¼VzØ¢N:FGÙZC]TOKVºJ¾Vz´WÐzKàFGÀOCQJ¾TWKM´:ÃZJ)KàFWRZTOVzJ)KÁDGFZT:F¼TOVÈNOÉÅF¼ÀMVºKNO´WT:FZÉIVz´¦®·FZÀn}˜ÀÁVzKdTWVUB=V]ƒ‹®¯CQ´ ~ R!®¯VºÉÄCQ°µF/VzØ¢N:FZÙZC Ø¢NOV[PQCEDQVzJ)´:F F/Ø¢NOVzTOF<TWVUNOɹ:FGJ¯FZØ¢NOVºTOKM°+®·F dv dt = g − c m v CQ´WTOV v ­¼F×DQVºÀMC—ÐzKMTOFZTOV2TOC[¹:FZJ¾FZØ¢NOVzTWKM°)®¯FWR g ­lFIFGÐzVzÀÁVzJ¾FZÙZCUTOF[PZJ¯F D—KMT:FZTWVZR m ­¼FÉÄFZ°¾°¾FÅV c C/ÐzC—VºÏOÐzKMVº´¦®¯VUTOVYFZJ¾J¾FZ°)®¾C « B=Vº°)®¯F/VzØ¢N:FZÙZC<FÄDGFZJ¾KMà DQVzÀuØ¢NOV×Vº°)®·F/°)Vz´OTWCTOK
VzJ)Vz´OкKàFZT:F3R v Rå­×Ð:9OFZÉÅFGT:FÅTOV…„4†6‡Óò‰ˆ6„Zä„ð‹Š—äêë:ä„âSŠ—ä„â:èêä «µÂ DGFZJ)Kàà DQVºÀdVºÉ J)VzÀàFGÙZCÅFØ¢N:FZÀ v Vz°)®¯ÃI°)Vz´OTWCÄTOK
VzJ)Vz´OкKàFZT:F3R t RO­¼TOVº´OCQÉIKM´:FZTOF[TWV@„4†6‡Óò‰ˆ6„Zä„ðÛò âSŠ—äêë:ä„âSŠ—ä„â:èÝä «Â VºØ—NOFZÙZCŠTWKVzJ)Vz´OкKàFZÀ?CQJ)TOKM´OÃZJ¾KMFWRdFGÐzKMÉÄFWR¥­/NOÉV]&3VzÉI¹OÀÁCgTOV/NOÉÄFïVºØ—NOFZÙZCTOVUëS‡ÓòeŒÅä„òe‡†Ž4‡[Š—ä]ŒUR™¹CQJ¾Ø¢NOVÅF°)N:FTWVzJ¾K¬DGFZT:F<TOVÄÉÄFZKÁ°¼FZÀÁ®¯F<CZJ¾TOVºÉ ­ÄNOÉÄF<TOVzJ)K
DGFZT:Fh¹OJ)KMÉIVzKMJ¾F « ¿•É кCQ´¦®¯J¾FZ¹:FZJ+®¯KMTOFWR€FhVºØ¢N:FZÙGC Ø¢NOVTOVz°)ÐzJ)VºDQVïFŠ¹ÛCQ°)KMÙZC x TOVNOÉ °¾KM°+®¯VºÉÅFUÉÄFZ°¾°¾Fv¶—ÉICQÀàFYкCQÉFGÉÄCQJ+®¯VºÐzKMÉIVz´¦®¾CU­lNWÉ V]&3VºÉĹOÀÁC[TOV¼NOÉÅFUVºØ—NOFZÙZCTOK
VzJ)Vz´OкKàFZÀ!CZJ¾TOKÁ´:ÃZJ¾KMFYTOV×óEäsZî—âSŠM†4‡Š—ä]Œ m d2x dt2 + c dx dt + k x = 0 ª ü ô‘bM’<“+÷4f|r¡õp”S•—–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a Ÿg¦ú.`˜ö¡\gh`ZbJa Õ¥FZLVzÀàF ªZ«Áª 5Å¿&WVºÉĹWÀMCQ°×TWV ÀMVzKÁ°+NO´WT:FZÉIVz´¦®·FZKÁ°×Ø¢NOV °>GC‡Vº°¾ÐºJ¾KÁ®¯FZ°UVzÉ ®¯VºJ¾ÉICQ°×TOV®¯F4&WFZ°ÒTOV2DZFGJ¾KàFGÙZC « 2™VºK ¿8&3¹OJ)Vz°)°>ZC/XïFG®¯VºÉÅ讯KMÐzF €FGJ¾Kàà DZVzKM°‹VlÜ¥FZJ>{ZÉIVº®¾J¾CQ° ¸3VºPQNO´OTOFIÀÁVzK!TOVlBÈV¢ƒ‹®¯CZ´ dv dt = F m DZVzÀÁC3кKMT:FZTWV£} v ~ RCQJ)Ù F¤} F ~V¼ÉÄFZ°¾°¾FL} m ~ 2VzKTWV]H:CQNWJ¾KMVºJ ~q = −k dT dx кCQ´OTON3®¯KÁD—KÁT:FZTOV ®¯­ºJ¾ÉIKMÐ F} k ~ Vµ®¯VºÉŏVzJ¾FG®¯NWJ¯FL} T ~ 2VzKTOVlHdKÁÐ:¥ ~j = −D dc dx кC3V„Ï:ÐzKÁVz´¦®¯V?TOV•TWKNO°[ZC+} D ~V¼ÐºCQ´OÐzVº´¦®¯J¯FGÙZC} c ~ CQ´WTOV m ­lFUÉÅFZ°)°¯FWR c CÄкC3V„Ï:ÐzKÁVz´¦®¯V¼TOVlFZÉICQJ+®¯VzкKMÉIVz´¦®¯CYV k FUÐzCZ´O°)®¯FZ´¦®¯V¼VzÀMÃZ°)®¾KMÐ FT:F[ÉICQÀàF « €FZÀMVlJ¾Vº°¾°¾FZÀÁ®¯FZJ=Ø¢NOVYVzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°2TOKVºJ¾Vz´WÐzKàFGKM°ÒCQJ¾TWKM´:ÃZJ)KàFZ°ÈTOVYFZÀÁ®¯FÄCQJ)TOVzÉ ¹C3TOVºÉ°)VzJYJ)VzTONJ$zKMTOFZ°×FNOÉ°¾KM°+®¯VºÉÅF<TOVÅVºØ¢N:FZÙzڗVz°YTOKVºJ¾Vz´WÐzKàFGKM°2CQJ)TOKM´:ÃGJ¾KàFG°lTWVŹOJ)KMÉIVzKMJ¾FCQJ)TOVzÉ « BÈC×V]&3VzÉI¹OÀÁC×FZкKMÉÄFWR¦¹ÛC—TOVºÉÄCQ°€KM´¦®¾J¾C—TON!$zKÁJ?NOÉÅFl´OCEDGF]DGFZJ¾KMÃEDZVzÀ y TOV„Ï:´OKMTOF¹CQJ y = dx dtØ¢NOV‹¹C3TWVã°¾VºJ•TOVzJ)KÁDGFZT:FAкCQÉ J)VzÀMFZÙZCµFZCA®¯VºÉŏCORQTWV‹ÉÄC—TOCAØ¢NOV‹CZLW®¯VºÉÄCQ°dC2°¾KM°+®¯VºÉÅF y = dx dt dy dt = −c y + k x mØ¢NOV[­UVzØ¢NOK¬DGFZÀMVº´¢®¾V[F VzØ¢N:FZÙZC<CQJ¾KÁPQKM´:FGÀuTWVI°)VzPQNW´OT:F CQJ¾TWVzÉ « ?=ÉÄFÅDQV¢$[ؗNWVINWÉÅFVºØ—NOFZÙZC¼TOK
VzJ)Vz´OкKàFZÀ3CQJ¾TOKÁ´:ÃZJ)KàF=TWV‹CQJ¾TOVºÉ n ¹C3TWVZRQTOV‹ÉIC—TOC2°¾KÁÉÄKÁÀàFZJºR¨°)VzJ•J)VzTON!$ºKMTOCFÒNOÉq°)KM°)®¾VzÉÄF‹TOV?VzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°¥TOK
VzJ)Vz´OкKàFZKÁ°!TOV?¹OJ¾KÁÉÄVºKMJ¾FãCQJ¾TOVºÉRv´!Z°RC—Ð FGJ¾VzÉICQ°´OCZ°¾°¯FFG®¾Vz´OÙZCI´:FUJ¾Vz°)CQÀMNWÙZCIT:FZ°‹VºØ—NOFZÙzڗVz°ÈTOV¼¹OJ¾KÁÉÄVºKMJ¾F×CQJ¾TOVºÉ «BAF[¹OJ¯Ã¨®¯KMÐzFWROÉ×NWKÁ®·FG°‹TOVz°+®·FZ°ÈVzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°ATOK
VzJ)Vz´OкKàFZKÁ°ãCQJ¾TWKM´:ÃZJ)KàFZ°ºROØ¢NOVlJ¾Vz¹WJ¾Vz°)Vz´¦®¯FZÉ NOÉ-PQJ¾FZ´OTOVU´I§OÉIVzJ)C TOVU¹OJ¾CZLOÀMVºÉÅFZ°=VzÉ Vz´OPQVº´!9:FZJ)KàFWRå´|ZC ¹C3TOVºÉ °)VzJ2J)Vz°¾CZÀ
D—KMTOFZ°‹VzÉI¹OJ¾VºP¦FZ´OTWC¨¶—°¾V2CZ°‹ÉÄ­„®¯C—TOCQ°‹FZ´OFZÀ%¬®¯KMкCQ°€TOC[Ð ÃZÀÁÐzNOÀÁC×TOKVºJ¾Vº´OÐzKMFZÀ «9 °¾°)KMÉRWCQ°ÉI­º®¾C3TOCZ°=´¢NOÉI­zJ)KMÐzCZ°ATOV]J¾Vz°)CQÀMNWÙZCÄTOVz°+®·FZ°=VzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°µTOKVºJ¾Vº´OÐzKMFZKM°ÈFZTOØ¢NOKÁJ¾VºÉ-NWÉÅFPQJ¾FZ´OTOV¼KÁÉŏCQJ)®>{Z´OкKàFYVºÉ DGÃZJ¾KÁCQ°ãÐ FGÉŏCQ°‹T:F[Vz´OPZVz´!9:FGJ¾KàF « ”•”•©¨«ªO÷ÓõúuõJa7¬TŸlö9ø6­.®9÷„ø0’n¯  ´¢NOÉI­zJ)KMÐzC¹:FZJ¾FNOÉy§O´WKMÐzCKM´OкJ¾VºÉÄVº´¢®¾C «  °¾VzPZNO´OT:Fï­ÄF¹OFZJ¾ÐºVzÀàFTOVºD—KÁT:FÎ ëS‡:¨æë|[M†±Tµ\ìŠ\‡ä]‡]‡>¤Š—ä/艇Óî3⺰[†6ŒÅä„â:蹍I¹OJ)CvDZVz´OKÁVz´¦®¯V TOFZ°UFZ¹OJ)C&WKÁÉÅFGÙzڗVz°lTOVzкCQJ¾J)Vz´¦®¯Vº°TOCZ°ãKM´OкJ¾VºÉÄVº´¢®¾CQ°ãFG´¢®¾VzJ)KMCQJ)Vz° «d °¾CZÉÅFlTOVz°+®¯Vz°‹TWCQKM°€VzJ)J¾CQ°íCZJ¾´OVºÐzVACä]‡]‡>Zð%6î:†Zð.Š—ä艇Óî3⺰[†6ŒÅä„â:蹍 «¿&W¹OFZ´OTOKÁ´OTOCÅVºÉ°¾­ºJ¾KMV]TOVlÕdF'—ÀMCQJ=F NO´OÙGC y RéؗNWVY¹CQ°¾°)NOKuFZ°A°)N:FZ°ÈTOVzJ)KÁDGFZT:FZ°ÐºCQ´¦®>M´¢N:FG°zR:VzÉ®¾CQJ¾´WCITWCI¹CQ´¦®¯C xi R yi+1 = yi + y ′ i ∆x + y ′′ i 2 ∆x2 + . . .+ y (n) i n! ∆xn +Rn CQ´WTOV y ′ = dy/dx V Rn J¾Vº¹OJ¾Vº°¾Vº´¢®¯FÄC[J¾Vº°)®¾CÄT:F[°¾­ºJ¾KÁVlV2­¼TOV„Ï:´OKÁTOCŏCQJ Rn = y(n+1)(ξ) (n+ 1)! ∆xn+1 CQ´WTOV ξ Vº°)®¯ÃIкCQ´¦®¯KMTWCI´WCÄKÁ´¢®¾VzJ+DZFGÀMCUTOV xi F xi+1 « ¿•°+®·F[V]&3¹:FZ´O°[ZC/FGKM´OT:FU¹C3TWV2°¾VzJVº°¾ÐzJ)KÁ®¯F´¢NOÉÄFLCQJ)ÉÅF<FZÀ¬®¯VzJ)´:FG®¾KÁDGFWR™°¾VÄÐzCQ´O°)KMTOVºJ¯FZJ)ÉÄCZ°lØ¢NOVÄVz°+®·FZÉICQ°¼®¯J¯F¨®·FZ´OTWCT:FVºØ—NOFZÙZCITOK
VzJ¾Vº´OÐzKMFZÀ!CQJ)TOKM´OÃZJ¾KMF y ′ = f(x, y) yi+1 = yi + f(xi, yi) ∆x + f ′ (xi, yi) 2 ∆x2 + . . .+ f (n−1)(xi, yi) n! ∆xn +O ( ∆xn+1 ) Þ²CQÉI¹:FZJ¯FG´OTOC‹Vz°+®·FÒV]&3¹:FZ´W°>ZCÈÐzCQÉ CÒÉÄ­„®¯C—TOCÒTOV?¿•NOÀMVºJzRvDQVzÉICQ°Ø¢NOV€Vz°+®¯Vž§OÀÁ®¾KMÉIC¹C3TWVl°)VzJÒVz°)ÐzJ)KÁ®¯C[кCQÉÄC yi+1 = yi + f(xi, yi) ∆x+ EtCQ´WTOV Et ­lCUDZVzJ¾TOFZTOVzKÁJ¾CIVzJ)J¾C[ÀMC—Ð FZÀÛTOVºD—KÁTOCÅFGC[®¾J¾NO´WÐ FZÉIVz´¦®¯CWR:°¾Vz´WTOCÄTOFZTOC[¹ÛCZJ Et = f ′ (xi, yi) 2 ∆x2 + . . .+ O ( ∆xn+1 ) Ü¥FZJ¯F/DGFZÀMCZJ¾Vz°=°¾NWÏOÐzKMVº´¦®¯VzÉIVz´¦®¾VI¹VzØ¢NOVº´OCQ°¼TOC KÁ´OÐzJ)VzÉIVz´¦®¯C ∆x RCQ°ATOKVºJ¾Vz´¦®¾Vz°µ®¯VºJÉICQ°ATWCÅVzJ)J¾C/TWVzÐzJ)Vz°)ÐzVzÉCÎÅÉIVzTOKÁT:FÄØ¢NOVYFÅ°¾N:FÄCQJ¾TOVºÉ-FZNOÉIVz´¦®·F « Ü¥CZJ)®·FG´¢®¾CORåNW°¾N¦FZÀÁÉÄVº´¦®¯V2J¾Vº¹OJ¾Vº°¾Vº´¢®¯FZÉICQ°=C[VºJ¾J¾CIÐzCZÉÄC Ea = f ′ (xi, yi) 2 ∆x2CQN Ea = O ( ∆x2 ) CQ´WTOV Ea J)Vz¹OJ)Vz°¾Vº´¦®·FÄC[VºJ¾J¾CIÀMC—Ð FGÀåTOV2®¯J)NO´OÐzFZÉÄVº´¦®¯CÄFZ¹OJ¾C&3KMÉÄFZTOC «Þ²CQ´JCQJ)ÉÄVI¹ONOTWVzÉICQ°YDQVºJzR€FïV‚&W¹OFZ´O°>GCŠVzÉ °¾­zJ)KMVÄTOV/Õ¥F0'—ÀÁCQJY´OCZ°QCQJ¾´WVzÐzVÅNOÉÉIVzKÁC¹:FGJ¯FïØ¢N:FZ´¦®¾KÁÏ:ÐzFZJ¾ÉICQ°lCïVzJ)J¾Cg´WCïÉI­º®¯C—TOCTOV ¿•NOÀÁVzJ « ¿•´¦®¯J)Vº®·FG´¢®¾COR9V‚&WKÁ°)®¾VzÉFZÀÁPQNOÉÄFZ°ãÀÁKMÉIKÁ®·FGÙzڗVz°ãFG°¾°¾C—ÐzKMFZT:FZ°ÒFGCI°)VzNNO°¾CJ5 " ô‘bM’<“+÷4f|r¡õp”S•—–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a Ÿg¦ú.`˜ö¡\gh`ZbJa •  °¾­ºJ¾KMVATOVµÕ¥F0'—ÀÁCQJ²´OCZ°íCQJ¾´WVzÐzVA°¾CQÉIVz´¦®¯VANOÉÅF]Vz°)®¾KMÉÄFG®¯K¬DGFlTOCUVºJ¾J)C×TOVA®¾J¾NO´¦ÐzFZÉIVz´¦®¯CÀMC—Ð FZÀ « ¿•ÀàF<´|ZC´OCQ°CQJ¾´WVzÐzVICVzJ¾J)C¹WJ¾CQ¹:FGP¦FZTOCOR™CQN‡°¾V¹·¾FWRuCVºJ¾J¾CPZÀMCQL:FGÀåTOV2®¯J)NO´OÐzFZÉÄVº´¦®¯C ê • BAF2¹OJ¯Ã¨®¯KMÐzFWRQ¹C3TWVzÉICQ°d®¯J¾FZL:FZÀ9:FZJ¥ÐzCQÉōNO´OÙzڗVz°?Ø¢NOVÒ°>GC2ÉÅFZKÁ°9ÐzCZÉĹOÀÁV]&WFZ°9TWCØ¢NOVÅ°¾KMÉI¹OÀÁVz°¼¹ÛCZÀMKM´JQÉÄKÁCQ° « Þ²CQÉICïкCQ´O°¾VºØIïOßz´OкKàFWR•CÐ ÃZÀÁÐzNOÀÁCTOFZ°]TWVzJ¾K¬DGFZT:FZ°Ø¢NOV]FZ¹:FGJ¾VzкVzÉ´OFI°)­zJ¾KÁV2TOV¼ÕdF'—ÀMCZJ‹¹ÛC—TOVzÉ ´|ZC[°¾VºJ¶˜FZкKMÀÁÉÄVº´¢®¾VµCQLW®¾KMT:FG° «  ¹Vz°¾FZJãTOVº°¾°¯FG°‹ÀMKMÉIKÁ®¯FZÙzڗVz°•KÁÉŏVzTWKMJ¾VºÉ NOÉÄF×FZ´:ÃZÀÁKM°)V=V‚&OF¨®·F×TOCUVºJ¾J¾CWRW´:FYÉÄFZKÁCQJ¹:FGJ)®¯VïTOCQ°/¹OJ)CQLOÀÁVzÉÄFZ°ÄTWVgKM´¦®¯VºJ¾Vº°¾°¾VhF °¾­zJ)KMVTOVgÕ¥F0'—ÀÁCQJ/FZKÁ´OT:F ¹C—TOVï´OCZ°)CQJ¾´WV]кVzJ[KM´JCZJ¾ÉÄFZÙzڗVz°YDGFZÀÁKMCQ°¾FZ°Y°)CQLOJ)VChкCQÉŏCQJ+®·FZÉIVz´¦®¯CïTOChÉÄ­„®¯C—TOCŠTOV¿•NOÀMVºJ « ÿACTOVº°¾Vº´¢DZCQÀÁD—KÁÉÄVº´¢®¾CORãVºÉ °¾­ºJ¾KMVTOV<Õ¥F0'—ÀÁCQJzR“¹ONOTOVºÉÄCQ°UDZVzJ¾K¬Ï:Ð FGJIØ¢NOVC‡VzJ¾J)C ÀÁC3ÐzFZÀã­¹OJ)CQ¹CQJ¾ÐºKMCQ´:FGÀ!FZCUØ¢N:FZTWJ¯FZTOC[TOC[KÁ´OÐzJ)VzÉIVz´¦®¯CUTOV¼Vº°¾¹:FZÙºC[VÎ[TWVzJ¾K¬DGFZT:F×¹OJ)KMÉIVzKMJ¾F]T:FVºØ—NOFZÙZCÄTOKVºJ¾Vº´OÐzKMFZÀ «žð ¹CQ°)°[ÁDZVzÀ™ÉICQ°)®¾J¯FZJºRW®·FZÉYLÛ­ºÉROØ¢NOVlCIVzJ¾J)C[PQÀMCQLOFZÀ!TOV2®¯J)NO´¦ÐzFZÉÄVº´¦®¯Cl­=TOV O(∆x) ñ ª ò R—CQNÄ°)V¸·¾FWR¢VºÀMVÒ­=¹WJ¾CQ¹CQJ¾ÐºKMCQ´OFZÀ:FZClKM´OкJ¾VºÉÄVº´¢®¾C¼TOV=Vº°¾¹:FGÙzC «¿•°)®¯FZ°ÈCQLO°¾VºJ)DGFZÙºÚ3Vº°È´WCQ°ÒÀMVºDGFZÉ FÄFGÀMPQNOÉÄFZ°ãкCQ´OкÀMNO°)Ú3Vº°ÈKÁÉŏCQJ+®·FZ´¦®¯Vº°5 • ³VzJ)J¾C[¹ÛC—TOV2°)VzJÈJ¾VzTWN!$zKÁTOC[ÉÄVºTOKàFZ´¦®¾V2NOÉTOVºÐzJ¾­º°¾ÐºKMÉICÄTOC[KÁ´OÐzJ)VzÉIVz´¦®¯C ê • ³ ÉÄ­„®¯C—TOCCQJ¾´OVºÐzVºJ¯Ã]J)Vz°)NOÀÁ®¯FZTOCQ°€ÀMK¬D3J)Vz°?TOVÈVzJ)J¾CYÐzFZ°¾C]C]°)CQÀMNWÙZClT:F]VºØ¢N:FZÙGCTWKVzJ)Vz´OкKàFZÀ²CQJ¾TOKÁ´:ÃZJ)KàFï°)V¸·¾F ÀÁKM´OVzFZJzR•NWÉÅFgDQV¢$Ø¢NOVFZ°[TOVºJ¾KÁDGFZTOFZ°UTOVCQJ¾TOVºÉ°)NO¹VzJ¾KÁCQJ¾Vº°ÈF[NWÉ°¾VºJ>ZCI´¢NOÀàFZ° « Ü¥VºÀàFZ°2J¾F6$zڗVz°¼ÉIVz´OкKMCQ´:FGT:FZ°zR™FGÐzKMÉÄFWR!C<ÉI­º®¾C3TOC TWVÄ¿•NOÀÁVzJ2­[TOVº´OCQÉIKM´:FZTWC NOɌ)à„蹍Š\7Š—ä‹ëS‡ÓòeŒÅä„òe‡†4‡Š—ä]Œ « š|昚|悚|æÁü › „ƒE…O”¥‚–˜‚†™…:†™ˆï†RpBèD¦ƒ0†R†™ˆ › Žu–˜ˆ¢ ³5кCQ´OкVzKÁ®¾C ÉÅF¨®¯VzÉÄÃG®¾KMÐzCÄTOVä·ó„ès†Mîzò ðñò‰ŠM†MŠ—äÈTOC ÉI­º®¯C—TOC ´¢NOÉI­zJ)KMÐzCÅVz°)®¯Ã<FZ°¾°)C3кK
FZTWC¼FZCµÐzJ)Vz°)ÐzKMÉIVz´¦®¾C2KMÀMKÁÉÄK¬®·FZTWC‹T:Fµ°¾CQÀÁNOÙGCµ´¢NOÉÄ­ºJ¾KÁÐ FACQNåRQÐzCQ´¦CQJ¾ÉIV“DZVzJ¾VºÉÄCZ°•ÉÅFZKÁ°FZTWKàFZ´¦®¯VGRéTOCÄVºJ¾J)CÅKM´¦®¾J¾C—TON!$zKÁTOC[´OCQ°ÈT:FZTOCZ°ÈKÁ´OKMкKàFZKÁ°ãCQN´OCŹWJ¾C—ÐzVz°)°¾CÄTOV]TWKM°¾ÐºJ¾V„®¯K%$zF4ÙZC « BÈVz°)®¾V‹Ð FZ°)COR¢Fµ°¾CZÀMNOÙZCµ´¢NOÉI­zJ¾KÁÐ Fµ´|GCµKMJ¾Ã=®¯Vº´OTOVzJ•¹OFZJ¯F2Fµ°)CQÀMNOÙZCµT:F2VºØ—NOFZÙZCTOK
VzJ)Vz´OкKàFZÀ—Ø¢N:FZ´OTOC2CAKM´OкJ¾VzÉIVz´¦®¾C=®¯Vº´OTOVºJ?F×$zVºJ¾CµVãCAVz°¾Ø¢NOVºÉÅFµ´¢NOÉI­zJ)KMкCA°¾VºJ¯ÃµTOK¬®¯C°)VzJlò âWó„èóˆ6„Zä„ð ñ ª R \ ò‚«¿•°)®¯VAÐzCQ´OкVzK¬®¯CU¹C3TOV=°¾VºJ‹Vz´¦®¯Vº´OTOKMTWC×®¯CQÉÄFZ´OTOC]ÐzCQÉIC×V‚&WVºÉĹWÀMC×CU°)VzPQNOKÁ´¦®¯Vµ¹OJ)ChLOÀÁVzÉÄF×TOV¼DZFGÀMCQJãKÁ´OKMкKàFZÀZ5 dy dx = −α y FZ¹WJ¾Vz°)Vz´¦®·FG´OTOC ÐzCZÉÄCIÐzCQ´WTOKMÙZCÄKÁ´OKMкKàFZÀ y(0) = y0 « ÿAC ÞãÃGÀMÐzNWÀMCÄÿAKVºJ¾Vz´WÐzKàFGÀ°¯FZLV]ÉICQ°‹Ø¢NOVlVz°)®¯FIVºØ¢N:FZÙGCÄTOK
VzJ)Vz´OкKàFZÀ!CZJ¾TOKÁ´:ÃZJ¾KMFY¹CQ°¾°)NOK™FI°)VzPQNWKM´¦®¯V¼°¾CZÀMNOÙZC!5 y = y0e −α x ”•”•©¨«ªO÷ÓõúuõJa7¬TŸlö9ø6­.®9÷„ø0’n¯ #  °¾°¾KÁÉRZVz°)®¯F2°¾CQÀÁNOÙZCµ®¾VzÉÐzCQÉICADGFZÀMCZJdKM´WKMÐzKMFZÀ y0 V‹FZ¹WJ¾C&3KMÉÄFv¶—°¾VãFZ°¾°)KM´¦®¯CZ®¾KMÐzFZÉÄVº´¦®¯VTOV$ºVzJ¾C7Î[ÉÄVºTOKMT:F×Ø¢NOV¼C[DGFZÀMCQJ²TOV x FZNOÉIVz´¦®¯F «¿•ÉĹOJ)VzP¦FG´OTOC<CÉI­º®¾C3TWCTWVÄ¿•NOÀÁVzJ¼´:F<J¾Vº°¾CQÀÁNOÙZC<´¢NOÉI­zJ)KMÐ F TOVº°)®¾VŹOJ)CQLOÀMVºÉÅF3R®¾VzÉICQ°ÒؗNWV65 yi+1 = yi + dy dx ∣ ∣ ∣ i ∆x = yi + f(xi, yi)∆x = yi − αyi∆x CQNFZKÁ´OT:FWR yi+1 = (1 − α∆x) yiÿAVº°)®¾VJ)Vz°¾NWÀÁ®·FGTOCgDQVºÉÄCQ°[кÀàFZJ¾FZÉÄVº´¦®¯V/Ø¢NOV<FŠVz°+®·FZLWKMÀMKÁT:FZTOVÄTOChÉÄ­„®¯C—TOCŠ´¢NOÉI­zJ¾KÁÐzCTOVº¹ÛVº´OTOV[TOC KÁ´OÐzJ)VzÉIVz´¦®¯C ∆x RKM°+®¯C/­GRC/DGFZÀMCQJ=TOV |1 − α∆x| TOV„DQV[°¾VºJ2ÉÄVº´OCQJATWCØ¢NOV ªZ« ¿•°+®·FïJ)Vz°)®¾J¾KÁÙZCKMÉI¹OÀMKÁÐ F/´OCL˜FG®¯CTOVÅØ¢NOVÄCïKM´WÐzJ¾VºÉÄVº´¦®¯CgTOV„DQVÅDZVzJ)KÁÏ:ÐzFZJYFкCQ´OTOKÁÙZC ∆x < 2/α F/Ï:ÉTOV[Ø¢NOVÄF<°)CQÀMNWÙZC<´¢NOÉI­zJ¾KÁÐ F<FZкCQÉĹOFZ´!9OVIF °¾CQÀÁNOÙGCFZ´OFZÀ%¬®¯KMÐzF « BÈVz°+®¯V¼Ð FZ°)COR:TOK$zVzÉICQ°‹Ø¢NOVlC[ÉÄ­„®¯C—TOC[­£°:¨âSŠZòs°„òs¨âS†ZðôŒÅä„â:èêälä·ó„èóˆ6„Zä„ð «?=ÉÄF=ÉÄFZ´OVºKMJ¯FÒTOVãкCQ´¦®¯CQJ)´:FZJ)ÉÄCQ°uVz°+®·FµJ)Vz°)®¾J¾KÁÙZC=°¾VzJ)KàFµFÈTOVãVºÉĹOJ)VzP¦FGJ¾ÉICQ°¥NWÉÅFFZLCQJ)T:FZPQVºÉKMÉI¹OÀ%ÁÐzK¬®·FA¹:FGJ¯F¼C]ÉI­º®¾C3TOC¼TOV=¿•NOÀMVºJ « ¿•°+®·F]J)Vz¹OJ)Vz°)Vz´¦®·FZÙZC×­ÈÐ:9:FZÉÄFZT:FTOVAKMÉI¹OÀ%ÁÐzKÁ®¯FµTOVºD—KÁTOCUFZCQ˜F¨®¯CYTWVµØ¢NOV2F]DGFZJ)Kàà DQVºÀÛØ¢NOVµLWNO°¾ÐzFZÉÄCZ°ãTOVº®¾VzJ)ÉÄKÁ´:FZJzR yi+1 RFZ¹OFZJ¾VºÐzVlVzÉFZÉYLÛCQ°‹CZ°‹ÀàFZTOCZ°‹TOCÄ°)KM´:FGÀ!TOV¼KMPQNOFZÀMT:FGTOV yi+1 = yi + dy dx ∣ ∣ ∣ i+1 ∆x = yi + f(xi+1, yi+1)∆x = yi − αyi+1∆x CQNFZKÁ´OT:FWR yi+1 = 1 1 + α∆x yi °)Vz´OTOChØ¢NOV<FZPZCQJ¯FgFgкCQ´OTOKÁÙZCïTOV Vz°+®·FZLOKÁÀMKÁT:FZTOVGR ∣∣ ∣ ∣ 1 1 + α∆x ∣ ∣ ∣ ∣ < 1 R•­Å°¾VzÉI¹OJ)V/DQV] J)KÁÏ:ÐzFZT:F ¹:FGJ¯F α > 0 «q °¾°¾KÁÉR‹TWK%$zVºÉÄCZ°ÅØ¢NOVŠC ÉI­º®¾C3TOC TOVŠ¿•NOÀÁVzJ/KÁÉĹOÀMкKÁ®¯CŠ­ò ⺰:¨âSŠZòs°„òs¨âS†ZðôŒÅä„â:èêä]ä·ó„èsˆ6„Zä„ð «¿•°)®¯V=ÐzCQ´WÐzVzK¬®¯C×TWVAVz°+®·FZLWKMÀMKÁT:FZTOVÒ¹C3TWVA°¾VºJ²Vº°)®¯Vº´OTOKÁTOCUFYCQN3®¯J¾CZ°“ÉI­º®¾C3TOCZ°“´¢NOÉI­]J)KMÐzCZ°‹TOVz°+®¯KM´OFZTOCQ°¶Î[J¾Vz°)CQÀMNWÙZC[TOV¼NOɹWJ¾CQLOÀÁVzÉÄF×TOV2DGFZÀMCQJ²KM´OKÁÐzKàFGÀÛTOC[®¯KÁ¹ÛCJ5 dy dx = f(x, y), x > a ¹:FGJ¯F2NOÉÄFAÐzCQ´WTOKMÙZC2KM´OKÁÐzKMFZÀ y(a) = y0 « ³µ°•ÀÁVzKÁ®¾CQJ¾Vº°dKÁ´¢®¾VzJ)Vz°¾°¾FZTOCQ°?TOV„DQVºÉ°¾VÒJ¾Vº¹ÛCZJ®¯FZJ3ÎZ°¼J¾V¢VºJ¾ßº´OÐzKMFZ° ñ \ R ½ ò ¹:FZJ¾FÉÄFZKMCZJ¾Vz°ATOVº®¯FZÀ%9OVº° « ¿•°)®¾VÅFZ°)°¾NO´¦®¾Cï°¾VºJ¯Ã<J¾V„®¯CQÉÄFZTOCFZCUÏ:´OFZÀTOVz°+®¯VlÐ FZ¹JÁ®¯NWÀMC « ϞЁÏ/Ðsõ ÑÓÒºÔ¦Õ Ö×՞öçÖ×Ù÷ÑÓø/ù¸ö´úmÞóÔ¦øüûçß!ÖÚÙRý ?=ÉÄF ÉÅFZ´WVzKMJ¾F…˜ÃZÐzKÁÀ•TOVÄJ)VzTONJ$zKMJ)ÉÄCZ°lCVzJ)J¾CTOCïÉI­º®¾C3TOC<TOVÅ¿•NOÀMVºJl°)VzJ)KàFFTOVKÁ´OÐzÀÁNOKMJ)ÉÄCQ°l®¯VºJ¾ÉICQ°UTOV ÉÄFZKM°UFGÀÁ®·FgCZJ¾TOVºÉ T:FŠ°¾­ºJ¾KÁVTWV ÕdF'—ÀMCQJU´OFh°)CQÀMNWÙZC « Ü¥CQJ š  ô‘bM’<“+÷4f|r¡õp”S•—–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a Ÿg¦ú.`˜ö¡\gh`ZbJa CQ´WTOV¼Vz°)®¯FI­lFïäzîJ†±Tµ\…°:4‡‚‡·ä„蹍4‡† «Ü¥CQJ+®·FZ´¦®¾COR2C&ÉI­º®¾C3TWC&TOV Ì=VºNO´q­‡NOÉ ÉI­º®¯C—TOC TOC#®¯KM¹CëS‡·ä[ŠZò 蹍4‡]⦰:4‡‚‡·ä„蹍4‡ «BÈVz°)®¾V‹ÉÄ­„®¯C—TOCORGTOVºDZVzÉICQ°•CQLO°)VzJ)DGFZJ•Ø¢NOV yi+1 FZ¹OFZJ¾VºÐzVãVºÉFZÉ×LCQ°¥CQ°9ÀàFGTOCQ°dTWC2°¾KM´OFZÀTOV²KMPQN:FGÀMT:FZTWV“VGR¦¹ÛCQJ+®·FZ´¦®¾CORZVº°)®·FµVºØ¢N:FZÙGC2¹ÛC—TOVã°)VzJ9VºÉĹOJ)VzP¦FGT:FATOVãÉIC—TOCµKÁ®¾VzJ¾FG®¯K¬DQCF¼Ï:É5TOVAкCQJ¾J)KMPQKÁJ¾ÉICQ°9Vz°+®¯VADGFZÀÁCQJ « ê°)®¾CYØ¢NOVzJ“TOK%$ºVzJ“Ø—NWVµF]Vº°)®¾KMÉÄFG®¯K¬DZF¼FZ´¦®¾VzJ¾KÁCQJ y0i+1¹C3TWVã°¾VºJ9NO°¯FGT:FµJ¾Vº¹ÛV„®¯KMTOFZÉÄVº´¦®¯V‹F=ÏOÉTOV²¹OJ¾CEDQVºJ•NOÉÄFAÉÄVºÀ%9OCZJ¥Vº°)®¯KÁÉÅF¨®¯KÁDGFÒTOV yi+1 «BAF2KM´¦®¾J¾C—TONOÙGC]TOC¼ÉI­º®¾C3TOC¼TOV=Ì=VºNO´!R—ÐzCQ´W°¾KMTWVzJ¯FGÉÄCQ°•Ø¢NOV=F¼TOVzJ)KÁDGFZT:F2VzJ¾FlNWÉÅFNO´WÙZCg®¯FZ´¦®¯CgT:FDZFGJ¾Kàà DZVzÀ€TOVz¹Vz´OTWVz´¦®¯V<Ø¢N:FZ´¦®¯CŠTOFïKM´OTWVz¹Vz´OTOVº´¦®¯V « ¿•´¦®¯J)Vº®¯FZ´¦®¯COR¹:FGJ¯F#Ð FZ°)CQ°кCQÉIC CZ°TOCZ°¹CQÀÁKM´!QÉIKMCZ°zRÒCQ´OTOV‡F#VzØ¢N:FZÙZCTWKVzJ)Vz´OкKàFZÀACQJ¾TOKÁ´:ÃZJ)KàF­)NW´OÙZCïNO´OKMÐzFZÉIVz´¦®¯VIT:FDGFZJ)Kàà DQVºÀ“KÁ´OTOVz¹Vz´WTOVz´¦®¯VGR?´|ZCï´WVzÐzVº°¾°)KÁ®·FGÉÄCQ°YVzÉI¹OJ¾VºP¦FZJF VºØ¢N:FZÙGC¹OJ¾VºTOKÁ®¾CQJ¯F‡VgL:FZ°+®·F NW®¾KMÀÁK%$ FGJ¾ÉICQ°UNOÉÄFH§O´OKÁÐ F DZV$ŠF Ð FZT:F KÁ®¯VºJ¯FZÙZC FVºØ—NOFZÙZCIÐzCZJ¾J¾V„®¯CQJ¾F yi+1 = yi + f(xi) + f(xi+1) 2 ∆x CQ´WTOV¼¹ÛC—TOVzÉICQ°ã´WCZ®·FZJ‹NWÉÅF×°)KMÉIKMÀàFGJ¾KMTOFZTOVÒVz´¦®¯J)V¼CIÀMFZTOCUTOKÁJ¾VºKÁ®¯CYTOC[°¾KM´OFZÀåTOV¼KÁPQN:FZÀþT:FGTOV¼V]FUJ)VzPQJ¾F[TWCI®¾J¯FZ¹­$ºKMCU¹:FZJ¾F[F[KÁ´¦®¯VzPZJ¯FZÙZC « ÿAV˜FG®¾CORO¹:FZJ+®·FZÉICQ°ãTOFIVºØ—NOFZÙZCTOK
VzJ)Vz´OкKàFZÀ!CZJ¾TOKÁ´:ÃZJ¾KMF dy dx = f(x) ¿•°)®¯FIVºØ¢N:FZÙGCŏC3TWVl°)VzJÒJ¾Vº°¾CQÀ¬D—KMT:FU¹CQJ‹KM´¦®¯VºPQJ¯FGÙZC[´:F€CQJ)ÉÅFJ5 ∫ yi+1 yi dy = ∫ xi+1 xi f(x) dx Ø¢NOVlJ¾Vº°¾NOÀ¬®·FUVzÉ yi+1 = yi + ∫ xi+1 xi f(x) dx  PQCQJ¯F3RFZ¹OÀÁKMÐ FG´OTOC¨¶—°)V×F/J)VzPQJ¾FÅTOC/®¯J¾FZ¹­$zKÁC ´OC KM´¦®¾NOKÁ®¾CÅTOV[F DGFZÀMKMFZJ¾ÉICQ°ÈF/KM´¦®¾VzPQJ¾FZÀFZкKMÉÄF yi+1 = yi + f(xi) + f(xi+1) 2 ∆x− f ′′ (ξ) 12 ∆x3 CQ´WTOV ξ Vz´OкCQ´¦®¯J¾Fv¶—°¾V?´OCÒKÁ´¢®¾VzJ+DZFGÀMCãVº´¢®¾J¾V xi V xi+1 «u °)°¾KMÉR ®¯J¾FG®·FE¶—°¾V•TOV•NWÉ ÉI­º®¯C—TOCTOV[°)VzPQNO´WT:FCZJ¾TOVºÉRNOÉÄFÅDQV¢$[ؗNWVÄF TOVºJ¾K¬DZFGT:F/°¾VºPQNO´OT:F<T:F VzØ¢N:FGÙZCTOKVºJ¾Vº´OÐzKMFZÀCQJ)TOKM´OÃZJ¾KMF­£$zVºJ¾ChØ¢N:FZ´OTWC Fg°)CQÀMNWÙZCCZJ×Ø¢N:FZTOJ¾ÃG®¯KÁÐ F «‡Â ÀÁ­zÉ TOCŠÉÅFGKM°zRdCQ°UVzJ)J¾CQ°ÀÁC3ÐzFZÀ!V2PQÀÁCQL:FZÀ!°[ZC[TOV O (∆x3) V¼TOV O (∆x2) J)Vz°¾¹VzЄ®¯K¬DZFGÉÄVº´¢®¾V ñ ª ò « ϞЁÏ/Ð ÑÓÒºÔ¦Õ Ö×ÕØÖÚÙÜېÝ×Þ¸Ù.ßmÑÓÕ ÖÚù ºøžÖÚÕ ?=ÉÄF2CQNW®¯J¾FlÉIC—TOKÁÏ:ÐzFZÙGCl°)KMÉI¹OÀMVº°?TOC]ÉI­º®¾C3TWC]TOV=¿•NOÀMVºJ?J¾Vz°)NOÀÁ®¯F]´OC@Œ)à„蹍Š\ Š—äá“î—ðMä]‡…Œ)ŠZò n°[†MŠ\ « ¿•°)®¯Fﮯ­ºÐz´OKÁÐ FgNO°¾FgCgÉÄ­„®¯C—TOCgTOV/¿?NWÀMVzJY´:Fï¹OJ)VzTOKÁÙZCŠTOVÅNOÉ ”•”•©¨«ªO÷ÓõúuõJa7¬TŸlö9ø6­.®9÷„ø0’n¯ šéš DGFZÀÁCQJãTOV y ´OCI¹CQ´¦®¯C[ÉÄ­ºTOKMCUTWCÄKÁ´¦®¯VzJ+DGFZÀMC yi+1/2 = yi + f(xi, yi) ∆x 2¿•É°)VzPQNOKÁT:FWRVº°)®¯V[DGFZÀMCZJA­[VzÉI¹OJ¾VºP¦FZTOC<´:F Vº°)®¯KÁÉÅF¨®¯KÁDGFÅTWC<DGFZÀÁCQJµT:F KÁ´OÐzÀÁKM´:FZÙZC…ÎкNOJ)DGF[´OCŏCQ´¦®¯C[ÉI­zTOKÁC!5 y ′ i+1/2 = f(xi+1/2, yi+1/2)CQ´WTOVµFZ°)°¾NOÉIKMÉICQ°€Ø¢NOVAVº°)®¯V=DZFGÀMCQJ?­ANWÉÅF]FZ¹OJ¾C&3KMÉÄFZÙZC]TOFYKM´OкÀMKÁ´:FZÙGClÉI­zTWKàF]¹OFZJ¯F®¾C3TOC C KÁ´¢®¾VzJ+DZFGÀMC « ¿?°+®¯VDZFGÀMCQJ[T:F‡KM´OкÀMKM´OFZÙZCŠ­Vz´¦®:GC NO°¾FZTOC ´OF V]&—®¾J¯FZ¹CQÀàFGÙZCÀÁKM´OVzFZJãVz´¦®¾J¾V xi V xi+1 VzÉI¹OJ)VzP¦FZ´WTOC[CÄÉI­º®¾C3TOCUTWV]¿•NOÀÁVzJ yi+1 = yi + f(xi+1/2, yi+1/2)∆xÿAV„DQVºÉÄCQ°¼´OCG®·FZJ=ؗNWVUTOVºD—KMTWC<FZC…˜FG®¯CÅTOV yi+1 ´|ZC<FZ¹:FGJ¾VzкVzJ2VºÉ FZÉYLÛCQ°ACQ°µÀàFGTOCQ°TOVº°)®¯F=VzØ¢N:FGÙZCOR¨Vz°+®·FÈVzØ¢N:FZÙZC=кCQJ¾J)Vº®¾CQJ¯FÒ´|ZCÒ¹C3TOV?°)VzJuVzÉI¹OJ¾VºP¦FZT:F‹KÁ®¾VzJ¾FG®¯K¬DZFGÉÄVº´¢®¾VFUÏ:ÉTOV¼ÉIVzÀ9OCQJ¯FGJ¾ÉICQ°ãFU°¾CZÀMNOÙZC «³ÉÄ­„®¯C—TOC/TOVU¿•NOÀÁVzJ=ÉÄC—TOKÁÏOÐ FZTOCÄ­×°¾NW¹ÛVºJ¾KMCZJµFZC ÉI­º®¾C3TOCÄTOVU¿•NOÀÁVzJAD—KM°+®¯C/Ø¢NOVVºÀMV]FEDGFZÀÁKàFUFIKM´OкÀMKM´OFZÙZCÎIÐzNOJ+DGFÄ´OCI¹ÛCZ´¢®¾CÅÉI­zTOKÁC[TOCÅKÁ´¢®¾VzJ+DZFGÀMC[TOVl¹OJ¾VºTOKMÙZC « ÿµF®¾VzCQJ)KàF2°¾CQLWJ¾V=FZ°€®¾­zк´OKMÐzFZ°?TOV=TWKM°¾ÐºJ¾V„®¯K%$zFZÙGCOR¢°¯FZLVzÉICQ°?Ø¢NOVAF2®¯­ºÐz´OKÁÐ F¼TOVÈTOKVºJ¾Vz´WÙ FZ°Ï:´WKÁ®·FG°AÐzCZ´!9OVzкKMT:FÄÐzCQÉICÅTOK
VzJ)Vz´OÙzFZ°AкVz´¦®¯J¾FZT:FZ°2FG¹OJ¾C&3KMÉÄFIÉIVzÀ9OCQJ=FÄTOVºJ¾K¬DZFGT:FÄTOCØ¢NOV‹FG°d®¯­ºÐz´OKÁÐ FZ°¥TOV²TOK
VzJ)Vz´OÙzFZ°•F DGFZ´OÙ FGT:FZ°dCZN×J¾VºÐzN:FZTOFZ° « BÈCµÉIVz°¾ÉICA°)Vz´¦®¯KÁTOCORQNWÉÅFFZ¹WJ¾C&3KMÉÄFZÙZCYÐzVz´¦®¾J¯FZT:FUкCQÉÄC×F×NW®¯KÁÀMK%$zFZT:FlFZØ¢NOK!¹CQ°¾°)NOK!NOÉ VzJ)J¾CUTOVµ®¾J¾NO´WÐ FZÉIVz´¦®¯CTOV O (∆x2) VzÉ ÐzCZÉĹ:FGJ¯FZÙZC=кCQÉ FAFG¹OJ¾C&3KMÉÄFZÙGCAF DGFZ´OÙzFZT:F=TWCAÉI­º®¯C—TOC=TOV²¿•NOÀÁVzJØ¢NOV/¹CQ°)°¾NOK€NOÉVzJ)J¾CïTWV O (∆x) « Þ²CQ´O°)VzØIïOVz´¦®¾VzÉIVz´¦®¯VGR€Vº°)®¾V/ÉÄ­„®¯C—TOCFZ¹OJ¾Vº°¾Vº´¢®¯FNOÉûVzJ)J¾CUÀMC—Ð FGÀÛVµPZÀMCQL:FGÀÛØ¢NOV2°[ZCUTOV O (∆x3) VµTOV O (∆x2) J¾Vº°¾¹Vzк®¾KÁDGFZÉIVz´¦®¯V ñ ª ò‚« ϞЁÏ/Ð ÑÓÒºÔ¦Õ Ö×՞öçÖ×Ù ÝžÙ÷ݶÔIÔ¦ø ³µ°ÉI­º®¾C3TOCZ°TWC&®¯KÁ¹ÛC ÑÒNO´OPQV·¶3Ô2NW®¾®¯F&¹C3TWVzÉ FZÀÁÐ FZ´OÙzFZJF ÉIVz°)ÉÅF FZкNOJ¯ÃZкKàFTOCZ°AÉI­º®¯C—TOCQ°ÒTOVlÉÄFZKM°ÒFZÀ¬®·F[CQJ¾TWVzÉØ¢NOVYVºÉĹWJ¾VzPQFZÉCÅTWVz°¾Vº´¦DQCQÀ¬D3KÁÉÄVº´¦®¯C/VºÉ°¾­zJ)KMVTOVIÕ¥F0'—ÀÁCQJ¼°¾VzÉRd´WCVº´¢®¯FZ´¦®¯COR¥J¾VºØ—NWVzJ¾VºJ×F<TOVº®¾VzJ)ÉÄKÁ´:FZÙGCTOFZ°]TWVzJ¾K¬DGFZT:FZ°lTOVIÉÅFZKÁ°FZÀ¬®·F×CQJ)TOVzÉ « XNOK¬®·FZ°ãDGFZJ)KàFZÙºÚ3Vº°‹TOVz°+®¯Vº°=ÉI­º®¾C3TOCZ°‹V]&3KM°+®¯VzÉROÉÄFZ°ã®¯C—TOCQ°‹¹C—TOVzÉû°¾VzJVº°¾ÐzJ)KÁ®¾CQ°Ò´:FI°)VzPQNWKM´¦®¯VCQJ)ÉÅF×PQVº´OVzJ¾FZÀMK$ FZTOFJ5 yi+1 = yi + φ(xi, yi,∆x)∆xCQ´WTOV φ(xi, yi,∆x) ­AÐ:9:FGÉÅFZTOF]TOVÓî3â±Tµ\Yò ⺰]‡¯ä]ŒÅä„â:踍‹FYØ¢N:FZÀ¹ÛC—TOVÈ°¾VzJ“KM´¦®¯VºJ¾¹OJ)V]®¯FZT:F ÐzCQÉICF KM´OкÀMKM´OFZÙZC J)Vz¹OJ)Vz°)Vz´¦®·FG®¾KÁDGF<TOVU®¯C—TOC CKÁ´¦®¯VzJ+DGFZÀMC «Y NO´OÙGCKÁ´OÐzJ)V]ÉIVz´¦®¯CI¹C3TOV2°)VzJÒVz°)ÐzJ)KÁ®·F[´¢NOÉÄF CZJ¾ÉÄF×PQVzJ¾FZÀ!ÐzCZÉÄC φ = a1k1 + a2k2 + · · ·+ ankn š—ü ô‘bM’<“+÷4f|r¡õp”S•—–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a Ÿg¦ú.`˜ö¡\gh`ZbJa CQ´WTOV<CQ°UTOKVºJ¾Vº´¢®¾Vz°IÐzC—VºÏ:кKMVº´¢®¾Vz° ai, i = 1, 2, . . . °>ZC‡ÐzCQ´W°)®·FG´¢®¾Vz°[VFZ°€NO´OÙºÚ3Vº° ki, i = 1, 2, . . . °[ZC[T:FZT:FZ°Ò¹CQJ k1 = f(xi, yi) k2 = f(xi + p1∆x, yi + q11k1∆x) k3 = f(xi + p2∆x, yi + q21k1∆x + q22k2∆x)««« kn = f(xi + pn−1∆x, yi + qn−1,1k1∆x+ qn−1,2k2∆x + · · ·+ qn−1,n−1kn−1∆x)ÿAV„DQVºÉÄCQ°u´OCZ®¯FZJ!Ø¢NOV?´OVº°)®·FG°uV‚&3¹OJ¾Vº°¾°¾Ú—Vz°¥FZ°.NO´WÙzڗVz° ki °>ZCÒJ)VzÀàFGÙzڗVz°TOV•J)VzÐzCZJ¾J¾ßº´OÐzKMF «ê°+®¯C<Ø¢NOVzJµTWK%$zVºJµØ¢NOV k1 FZ¹:FZJ)VzкVU´:FÅVzØ¢N:FGÙZC<¹:FZJ¾F k2 RåØ¢NOV[FZ¹OFZJ¾VºÐzVU´:F/VºØ—NOFZÙZC¹:FGJ¯F k3 VhFG°¾°¾KÁÉ ¹CQJ/TOKMFZ´¦®¯V « Õ¥FZÀטFG®¾C ®¯CQJ)´:F CQ° ÉI­º®¯C—TOCQ°ÅTOV‡ÑÈNO´WPQVÓ¶3Ô2NW®)®·FV„Ï:ÐzKÁVz´¦®¯Vº°¶VºJ¾J¯FGÉÄVº´¢®¯FZ°ÒTOC[Ð ÃZÀÁÐzNOÀÁCU´¢NOÉÄ­ºJ¾KÁÐzC « 2ÃZJ)KMCQ°?®¯KÁ¹ÛCZ°²TOVµÉI­º®¾C3TWCQ°²TOVµÑÈNO´WPQVÓ¶3Ô2NW®)®·FY¹C—TOVzÉ °¾VºJãKMÉÄFZPQKÁ´:FZTOCQ°€FY¹OFZJ)®¾KMJTOCYVzÉI¹OJ¾VºPQC×TOVµTWKVzJ)Vz´¦®¯Vº°ã´I§OÉIVzJ¾CZ°ãTOV=®¾VzJ)ÉÄCQ°“T:F+NO´WÙZC×KÁ´OÐzJ)VzÉIVz´¦®¯C « ÿAVºDZVÓ¶—°)V´OCG®·FZJIØ¢NOVgC ÉI­º®¾C3TWC TOVïÑÈNW´OPQVÓ¶—Ô¼N3®¾®·F‡TOV¹OJ¾KÁÉÄVºKMJ¯FŠCQJ)TOVzÉ ÐºCQÉ n = 1 кCQJJ)Vz°¾¹CQ´OTWVZR9TOV˜FG®¾CORdFGCÉI­º®¾C3TOCTOVÄ¿•NOÀMVºJ « ?ÈÉÅF DQV¢$ÅVz°)ÐzCQÀ9OKMTWCC´\§WÉÄVºJ¾C n TOV®¾VzJ¾ÉICQ°ºR!CQ°ADGFZÀÁCQJ¾Vº°µTOV a R p V q °>ZC<F DGFZÀÁKàFZTOCZ°=KÁPQN:FZÀMFZ´OTOC¨¶¢°¾V×F/VºØ¢N:FZÙGC PQVz´OVºJ¯F4ÀÁK%$ FGT:F×TOC[ÉÄ­„®¯C—TOC[TOVlÑÈNW´OPQVÓ¶—Ô¼N3®¾®·F[FZCZ°Ò®¾VzJ)ÉÄCQ°‹TWVlNWÉÅF×V‚&W¹OFZ´O°>GCÅVzÉ °¾­zJ)KMV¼TOVÕ¥F'3ÀÁCQJ « ÿ=Vz°)®¾V2ÉÄC—TOCOR3FZC×ÉIVz´WCQ°ã¹:FZJ¾F×FZ°²DZVzJ)°¾Ú—Vz°‹TOVµLOFZK
&WFYCQJ)TOVzÉRWCY´\§WÉÄVºJ¾CUTOV®¾VzJ¾ÉICQ° n ´OCQJ)ÉÅFGÀMÉIVz´¦®¯VµJ)Vz¹OJ)Vz°)Vz´¦®·FICÄCQJ)TOVzÉ TOC[ÉÄ­„®¯C—TOC « š|昚|æ  昚 BèD¦ƒ0†RÄ†™ˆ Žu£uŒéˆ "! ƒE…‡†™ˆŽG列ŒŽu£¥†™… §UG†™ˆ\N  CQJ¾ÉÄF×PQVº´OVzJ¾FZÀMK$ FZT:F×¹OFZJ¯F[NOÉ ÉI­º®¾C3TWCITWVl°)VzPQNW´OT:F[CQJ¾TOVºÉ­¼T:FZT:F[¹CQJ yi+1 = yi + (a1k1 + a2k2)∆xCQ´WTOV k1 = f(xi, yi) k2 = f(xi + p1∆x, yi + q11k1∆x) Ï:ÉTOVÈTOV„®¯VzJ)ÉÄKÁ´:FZJ)ÉÄCQ°dCQ°•DZFGÀMCQJ)Vz°?TOV a1 R a2 R p1 V q11 ´!Z°€KÁJ¾VºÉÄCQ°•V‚&3¹:FZ´OTOKÁJ“VºÉ°)­zJ¾KÁV¼TOV¼ÕdF'—ÀMCQJ yi+1 V2VzÉI¹OJ¾VºP¦FZJ¾VºÉÄCZ° f(xi, yi) ÐzCQÉIC[°¾Vz´WTOC/FUTOVºJ¾KÁDGFZTOF dy/dx yi+1 = yi + f(xi, yi)∆x + f ′ (xi, yi) ∆x2 2 + O ( ∆x3 ) CQ´WTOV f ′ (xi, yi) TOV„DQVl°¾VºJÈTWVº®¯VºJ¾ÉIKM´:FGT:F[F[¹OFZJ)®¾KMJãTOCIVzÉI¹OJ)VzPQC[TOVh5 df(xi, yi) = ∂f ∂x ∣ ∣ ∣ i dx+ ∂f ∂y ∣ ∣ ∣ i dy ”•”•©¨«ªO÷ÓõúuõJa7¬TŸlö9ø6­.®9÷„ø0’n¯ š  BèD¦ƒ0†R †uˆ+/…:–˜ºƒ0£,% a2 = 2/3 ' æ Ñ=FZÀÁ°)®¾CQ´p} ª _ Ç \ ~ VYÑ=FGÀM°)®¾CQ´VYÑÈFZLOKÁ´OC0ƒÒKÁ®>$} ª _ ÊZÍM~ TOV„®¯VzJ)ÉÄKÁ´:FZJ¾FZÉ Ø¢NOVµ¹:FZJ¾F a2 = 2/3 CQLW®¾VzÉICQ°²ClDGFZÀMCQJ€É@M´OKÁÉÄC2¹:FGJ¯FYC]VzJ¾J)CTOV㮾J¾NO´WÐ FZÉIVz´¦®¯C2¹OFZJ¯FµCQ°9FZÀMPQCZJ¾KÁ®¾ÉÄCZ°uTWV‹ÑÈNW´OPQVÓ¶—Ô¼N3®¾®·FµTWVã°¾VºPQNO´OT:F2CQJ)TOVzÉ « Ü¥FZJ¯FVº°)®·FUDQVºJ¾°[ZCÄ®¾VzÉICQ°‹Ø¢NOV a1 = 1/3 V p1 = q11 = 3/4 yi+1 = yi + ( 1 3 k1 + 2 3 k2 ) ∆x CQ´WTOV k1 = f(xi, yi) k2 = f ( xi + 3 4 ∆x, yi + 3 4 k1∆x ) š|昚|æ  æÁü BèD¦ƒ0†RÄ†™ˆ Žu£uŒéˆ "! ƒE…‡†™ˆg’²ˆ¢¨¤Qˆ—˜v… §[¨†uˆ\N Ü¥C—TOVzÉICQ°UVºÉĹOJ)VzP¦FGJUC‡ÉIVz°)ÉÄChTOVº°¾Vº´¢DZCQÀÁD—KÁÉÄVº´¢®¾C FG¹OÀMKÁÐ FZTOCï´:F‡CZLW®¯Vº´OÙZChTOCÉI­º®¾C3TOCTOV/°)VzPQNO´WT:FïCQJ)TOVzÉbFZCïÐzFZ°¾CïTOV n = 3 « ³J¾Vº°¾NOÀ¬®·FZTWCïTOVº°)®·FgTWVzJ¾K¬DGFZÙZC¹OJ)C3TWN!$zKÁJ¯Ã×NOÉ°)KM°+®¯VzÉÄF×TOV¼°¾VºKM°‹VºØ—NOFZÙzڗVz°=F×CQKÁ®¾CUKM´OТQPQ´OK¬®·FZ° « Ü¥CZJ)®·FG´¢®¾COROTOV„DQVºÉÄCQ°CQJ)´OVzкVzJãDGFZÀÁCQJ¾Vº°ã¹:FZJ¾F×TON:FZ°‹TOVº°)®¯FZ°ÒKM´OТQPQ´OK¬®·FZ°²FYÏ:É TOV2Ø¢NOV2¹CQ°)°¯FZÉICQ°‹TOV„®¯VzJ)ÉÄKþ´:FGJ=CQ°È¹:FZJ[{ZÉIVº®¯J)CQ°ÒJ¾Vº°)®·FG´¢®¾Vz° «È ¹OJ¾Vº°¾Vº´¢®¯FZJ¾VºÉÄCZ°µFZPQCZJ¯F[NOÉÅFUDQVºJ¾°[ZC/ÐzCZÉ×NOÉIVz´¦®¯VVºÉĹOJ)VzP¦FGT:F yi+1 = yi + [ 1 6 (k1 + 4k2 + k3) ] ∆x CQ´WTOV k1 = f(xi, yi) k2 = f ( xi + 1 2 ∆x, yi + 1 2 ∆x k1 ) k3 = f (xi + ∆x, yi − ∆x k1 + 2∆x k2)Ü¥FZJ¯FNOÉÅF£NO´OÙZC f TOVz¹Vz´WTOVz´¦®¾V/NO´OKÁÐ FZÉIVz´¦®¯V[TOV x RdCÉÄ­„®¯C—TOCTOVI®¾VzJ)ÐzVzKÁJ¯FCQJTOVºÉ J¾VºTON!$]¡°¾VÄF J¾VzPZJ¯F TOVĸ3KMÉI¹O°)CQ´ë} ª.-Z½~ ؗNOFZ´OTOCVzÉI¹OJ¾VºP¦FZÉICQ°µNOÉ ¹ÛCQÀÁKM´!ZÉÄKÁCKÁ´¢®¾VzJ)¹ÛCQÀMFZTOCQJ²TOV32uFGPQJ¯FZ´WPQV2TOV¼°¾VºPQNO´OT:F[CQJ)TOVzÉ yi+1 = yi + ∫ b a f(x) dx CQ´WTOV I = ∫ b a f(x) dx ≈ ∆x 6 [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]CQ´WTOV x0 V x2 J)Vz¹OJ)Vz°)Vz´¦®·FZÉCZ°È¹CQ´¦®¯CZ°ÈKÁ´OKMкKàFZÀV2Ï:´:FZÀTWCIKÁ´¦®¯VzJ+DGFZÀMC ∆x «³µ°²ÉI­º®¯C—TOCQ°€TOVAÑÈNO´WPQV]êÔ¼N3®¾®·FlTOV=®¾VzJ)ÐzVzKÁJ¯FlCQJ¾TOVºÉ FZ¹OJ¾Vº°¾Vº´¢®¯FZÉ NOÉ5VzJ¾J)CYÀÁC3ÐzFZÀTOV O (∆x4) VŠNOÉ VzJ)J¾C#PQÀMCZL:FZÀÒTOV O (∆x3) VŠCQ°/°¾VºNO°<J¾Vº°¾NOÀ¬®·FZTOCZ°/°>ZCV‚&WFG®¯CQ°Ø¢N:FZ´WTOCÅF[°¾CZÀMNOÙZC CQJ‹Ð§OLWKMÐ F « š " ô‘bM’<“+÷4f|r¡õp”S•—–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a Ÿg¦ú.`˜ö¡\gh`ZbJa š|昚|æ  æ þ BèD¦ƒ0†RÄ†™ˆ Žu£uŒéˆ "! ƒE…‡†™ˆ0/IŽ™…OEƒE… §UG†™ˆ\N ³µ°ÅÉI­º®¯C—TOCQ°ÄTOVgÑÒNO´OPZVÓ¶3Ô2NW®)®·F ÉÄFZKM°I¹CQ¹ONOÀMFZJ¾Vº°Ä°[ZC CQ°/TWVïØ¢N:FZJ+®·F CQJ)TOVzÉ «Â °¾°¾KÁÉ ÐºCQÉÄC ´WC Ð FZ°)CTWCQ°2ÉÄ­„®¯C—TOCQ°µTWVU°¾VzPZNO´OT:F<CQJ¾TWVzÉR!V]&3KM°+®¯VUNOÉÄF/KM´3Ï:´OKMTOFZTOVTOV=DQVzJ)°¾Ú—Vz°ãTWVz°)®¾Vz°‹ÉI­º®¾C3TOCZ° «d ¹OJ¾Vº°¾Vº´¢®¯FZJ¾VºÉÄCZ°zR:FZØ¢NOK‚R3CYÉÄ­„®¯C—TOC]Ø¢NOVA­AÐzCZ´!9OVzкKMTOCкCQÉÄC[CŒ)à„蹍Š\…°„ð
ˆ¨ó·ó„òs°:7Š—ä1Òî—â\—ä¢â32lî—è‚ès†£Š—ä4zî!†6‡Óès†L4‡Š—ä]Œ 5 yi+1 = yi + [ 1 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) ] ∆x CQ´WTOV k1 = f(xi, yi) k2 = f ( xi + 1 2 ∆x, yi + 1 2 k1∆x ) k3 = f ( xi + 1 2 ∆x, yi + 1 2 k2∆x ) k4 = f (xi + ∆x, yi + k3∆x)ÿAV[ÉIC3TWC<FZ´:ÃZÀÁCQPQC FZC ÐzFZ°¾C<TOC<ÉI­º®¾C3TOC TWV×®¯VzJ)ÐzVºKMJ¯F CQJ)TOVzÉR!VºÉ°¾V×®¾J¯FG®¯FZ´OTOC<TOVNOÉÄF£NO´OÙGCïTOV x °¾CZÉÄVº´¢®¾Vì} k2 = k3 ~ R¥CÉÄ­„®¯C—TOCTOVÅÑÒNO´OPZVÓ¶3Ô2NW®)®·F<TOVÄØ¢N:FGJ)®·FCQJ)TOVzÉb­/VzØ¢NOK¬DGFZÀMVº´¢®¾V£ÎgJ¾VºPQJ¯FTOV¸3KMÉI¹O°)CQ´ } ª5-Z½M~ ¹OFZJ¯FgFgKÁ´¦®¯VzPZJ¯FZÙZCgÐzCZ´JCQJ¾ÉIVÉICQ°)®¾J¯FZTWCÄFG´¢®¾VzJ)KMCQJ)ÉÄVº´¢®¾V « š|昚|æ  æþ G!‚„ƒEˆ\N …h†uˆ ›2œ Ž™…:Qž!ˆ— XNOK¬®¯CQ°9¹WJ¾CQLOÀÁVzÉÄFZ°dTWV‹Vz´OPQVº´!9:FZJ)KàFµV‹T:FG°•ÐzKMߺ´OÐzKMFZ°9V‚&OF¨®·FZ°•´OVºÐzVº°¾°¾K¬®·FZÉ T:Fµ°¾CQÀÁN¦ÙZCµTOVãNWÉ°)KM°)®¾VzÉÄF=TOV²VzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°9TOKVºJ¾Vº´OÐzKMFZKM°u°¾KÁÉ×NOÀÁ®>{Z´OVzFZ°zRZFZCAKÁ´¢DZ­z°9TOFµJ¾Vz°)CQÀMNWÙZCTOVlNOÉÄF §O´OKMÐzFUVzØ¢N:FZÙZC « ÕdFZKÁ°Ò°¾KM°+®¯VºÉÅFZ°Ò¹C3TWVzÉ°)VzJÒJ¾Vº¹OJ¾Vº°¾Vz´¦®¯FZTOCQ°=ÐzCQÉICFZÀÁÀMC0ƒnTOKÁ°¾¹OÀMF'3LWJ¾V Fh¥—° dy1 dx = f1 (x, y1, y2, . . . , yn) dy2 dx = f2 (x, y1, y2, . . . , yn)««« ««« dyn dx = fn (x, y1, y2, . . . , yn)  Ï:É TOV=Ø¢NOVȹCQ°¾°¾FZÉÄCZ°€CZLW®¯VºJ“F¼°¾CZÀMNOÙZC]TWVÈ®¯FZÀ:°¾KÁ°)®¯VºÉÅF3R¦´OVzкVz°¾°)KÁ®¯FZÉÄCZ°/CQJ)´OVzкVzJ n ÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°ÒKM´OKÁÐzKàFGKM°€¹:FZJ¯F[CUDGFZÀMCQJ²KM´OKÁÐzKàFGÀÛTOV x «Õ¥C—TOCQ°²CQ°‹ÉÄ­„®¯C—TOCQ°ãVº°)®¾NOT:FZTOCZ°È´WVz°)®¾V¼Ð FZ¹!¬®¯NOÀÁC×¹C3TOVºÉû°)VzJÈFZ¹OÀÁKMÐzFZTOCQ°“´:F×J¾Vº°¾ChÀÁNOÙZC]TOVA°)KM°+®¯VzÉÄFZ°€TOVAVºØ¢N:FZÙzڗVz° «? ÀMPZNO´O°€°¾KM°+®¯VºÉÅFZ°€TOVAFZ¹OÀMKÁÐ FZÙºÚ3Vº°“VºÉ5Vz´OPQVº´!9:FZJ)KàF ”•76 •©¨«ªO÷ÓõúuõJa7¬[¨üf|r+÷>`‰aQ÷„ø0’n¯ š # ¹C3TWVzÉ °¾VzJdÐzCQÉI¹ÛCZ°)®¯CATOVãÐzVº´¦®¯Vz´OFZ°•TOVãVºØ—NOFZÙzڗVz° « ¿?É Ð FGT:FAÐ FG°¾COR¦Cµ¹WJ¾C—ÐzVzTWKMÉIVz´¦®¯CFZTWCZ®·FZTWCA´:FÈJ¾Vz°)CQÀMNWÙZCµTWVz°)®¾Vz°9°)KM°+®¯VzÉÄFZ°uÐzCQ´W°¾KM°+®¯V“´:FAFZ¹WÀMKMÐzFZÙGC=TOCZ°dÉI­º®¯C—TOCQ°!±ÝCZ´OVÓ¶°+®¯Vz¹—»]FU®¾C3TOFZ°ÈFZ°ÒVzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°µFUÐ FZTOFI¹:FG°¾°¾CÅFZ´¦®¯Vº°ÈTWV]¹OJ)CQ°¾°)VzPQNWKMJ¾ÉICQ°‹¹:FGJ¯F[CĹ:FG°¾°¾C¹CQ°)®¾VzJ)KMCQJ « ¼3½98 ¾ ¿nÀRÁ@£ÁQÃÅÄ ¾ :<;‚À>=¢Ã ÀRÉ Ì7Í ³µ°dÉI­º®¯C—TOCQ° ¨âåä¢âGó„èêäêë2D—KM°)®¾CQ°d´OF2¸3VzÙZC ªQ«¬ª NW®¾KMÀÁK%$ FGÉ °¾CZÉÄVº´¢®¾VãKM´¦CQJ¾ÉÄFZÙzڗVz°™TOC¹CQ´¦®¯C xi FÈÏ:É TOV“¹OJ¾VºTOK%$ºVzJ¥CADGFZÀMCQJ™T:FÒDGFZJ¾KMÃEDZVzÀ—TOVz¹Vz´WTOVz´¦®¯V yi+1 ´WCµ¹ÛCZ´¢®¾CڍNW®¾NOJ¾C xi+1 « ³µ°€ÉÄ­„®¯C—TOCQ°¶ŒUî3ðñè˜òMó„èêäêëR3Ø¢NOVÈDQVzJ)VzÉICQ°‹Fl°¾VzPZNOKMJºR3L:FG°¾VzKMFZÉ ê°¾VÒ´OC+˜FG®¯ClTOVAØ¢NOVNOÉÄF2DQV$ÈKM´WKMÐzKMFZTOC2Cl¹OJ¾C—ÐzVº°¾°)CY´¢NOÉI­zJ¾KÁÐzCl´!Q°?®¯VºÉÄCQ°€FZC¼´OCZ°¾°¾C]TOKM°)¹ÛCZJ€KÁ´JCQJ)ÉÅFZÙºÚ3Vº°KÁÉŏCQJ)®¯FZ´¦®¯Vº°=¹OJ)CEDQVz´WKMVz´¦®¾Vz°2TOCQ°A¹ÛCQ´¦®¾CQ°µFZ´¦®¾VzJ¾KÁCQJ¾Vº° «= ÐzNWJ)DGF/CQLW®¾KMT:FÄFĹ:FZJ+®¯KÁJ=T:FкCQ´OV]&JZCTOVz°+®¯Vº°YDGFZÀMCQJ)Vz°2¹OJ)­ºD—KMCZ°]´OCZ°3CQJ)´OVzкVÄKÁ´JCQJ)ÉÅFZÙºÚ3Vº°¼FJ)Vz°)¹ÛVºKÁ®¯CT:F ®¯J¾FT·)V]®[QJ¾KMFYT:F×°¾CZÀMNOÙZC « Õ¥FZÀ˜FG®¾C×­2V]&3¹OÀÁCQJ¯FGTOCU¹ÛVºÀMCQ°“ÉÄ­„®¯C—TOCQ°ãØ¢NOV2°)VzJ[ZCIFZ¹OJ¾Vº°¾Vº´¢®¯FZTOCQ°´OVº°)®¯FÄ°¾VºÙZC « ϞÐsõ ÐÏ ÑÓÒºÔ¦Õ Ö×՞öçÖ×Õ@?¤ù A+Õ@Bìß!Ù Ö×ùóÔ¦Õ<ß CŽÕ<ßJßJÙºÔJÕ<ß êJ¾VºÉÄCQ°2ÉICQ°+®¯J¯FGJzR™FZPQCZJ¯FWR!кCQÉICFG°‘QJ¾É×NWÀàFZ°µTWC<®¾KM¹C<ܕJ¾VzTWKÁ®¯CZJݶWÞ²CQJ)J¾V„®¯CQJ2¹ChTOVºÉ °¾VºJuTWVzJ¾K¬DGFZT:FZ°ÉÄFG®¯VºÉÅF¨®¯KMÐzFZÉIVz´¦®¯V « ¿?°+®·FÒTOVzJ)KÁDGFZÙZCÒ­€KÁ´¦®¯VzJ)Vz°)°¯FZ´¦®¯V€´OCÈ°¾Vº´¢®¾KMTOCTOVIØ¢NOVI°¾VzJ[ZCïVºÉĹWJ¾VzPQFZTOCQ°¼ÐzCZ´OÐzVºKÁ®¯CZ°]кCQÉÄCF<KM´¦®¯VºPQJ¯FGÙZC´¢NOÉÄ­ºJ¾KÁÐ F VÅF<J¾Vº°¾CQÀÁN¦ÙZChTOV<VzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°ÄTOK
VzJ)Vz´OкKàFZKÁ°×CQJ¾TWKM´:ÃZJ)KàFZ° «  ÀM­ºÉ TOChÉÄFZKM°ºR€Vº°)®¾V¹WJ¾C—ÐzVzTWKMÉIVz´¦®¯C¹C3TWVI°)VzJlVzÉI¹OJ¾VºP¦FZTOC´:F<CQLW®¾Vz´OÙZCïTOVIÉI­º®¯C—TOCQ° ŒUî—ðñè˜òMó„èÝäêëgTOVÅFGÀÁ®·F CQJ)TOVzÉ V[´:FVº°)®¯KÁÉÅF¨®¯KÁDGF×TOCZ°‹VzJ¾J)CQ°ÈFZ°¾°)C3кKàFZTWCQ°ÈF[Vº°)®¾Vz°ÈÉÄ­„®¯C—TOCQ° «³´WCQ°¾°)C ¹CQ´¦®¯C#TOVŠ¹OFZJ)®¾KMT:F LOFZ°¾VºKàFv¶—°)VŠ´:FJ¾Vº°¾CQÀÁNOÙZCTOF °¾VzPZNOKM´¦®¯VhVºØ—NOFZÙZCTOK
VzJ)Vz´OкKàFZÀ!CZJ¾TOKÁ´:ÃZJ¾KMF dy dx = f(x, y) ¸WFGLÛVºÉÄCQ°AؗNWV[F/°¾CQÀÁNOÙZCÅTOVz°+®·F VzØ¢N:FZÙZC ¹C3TOVY°¾VzJ2CZLW®¯KÁT:FÄÉIVzTOKMFZ´¦®¯VUFÄ°¾N:F KM´¦®¾V]PQJ¾FZÙGCIVº´¦®¯J¾VlCQ°‹¹CQ´¦®¯CQ° i V i+ 1 ∫ yi+1 yi dy = ∫ xi+1 xi f(x, y) dx CQ´WTOVlFI¹OJ)KMÉIVzKÁJ¯FYKÁ´¢®¾VzPQJ¾FZÀ!¹C3TWV2°¾VzJ ˜FZкKMÀÁÉÄVº´¢®¾V2F DGFZÀMKMFZT:FJ5 yi+1 = yi + ∫ xi+1 xi f(x, y) dx ¿•°)®¯FVºØ—NOFZÙZC´OCQ°CQJ)´OVzкVÄF<°¾CZÀMNOÙZC<T:FVºØ¢N:FZÙGCïTOK
VzJ¾Vº´OÐzKMFZÀ9CQJ)TOKM´OÃZJ¾KMFÅÐ FZ°)CïFKÁ´¢®¾VzPQJ¾FZÀ R™TOCÀàFGTOC<TOKMJ)VzKÁ®¾C<TOC°)KM´:FGÀ•TOVÄKÁPQN:FZÀÁT:FZTOVGR™¹ÛCQ°)°¯F<°¾VºJ×F DGFZÀMKMFZT:F/V[CDGFZÀÁCQJ ü` ô‘bM’<“+÷4f|r¡õp”S•—–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a Ÿg¦ú.`˜ö¡\gh`ZbJa ¸3NWLW®¯J¾FZKM´OTWC¨¶—°¾VlFU¹OJ)KMÉIVzKMJ¾FYVzØ¢N:FGÙZCIT:F[°¾VzPZNO´OT:F[´!Q°ÒCQLW®¾VzÉICQ°5 0 = ymi+1 − y0i+1 − 5 12 ∆x3y ′′′ (ξ) CQ´WTOV ξ Vz´OкCQ´¦®¯J¾F4ê°)V×FZPQCZJ¯F[´OC/KM´¦®¾VzJ)DGFZÀÁC[ÐzCQÉI¹OJ¾VºVz´OTWKMTOCÄVz´¦®¯J)V xi−1 V xi+1 « ¿•°)®·FVºØ—NOFZÙZCI¹C3TOVlFZKÁ´OT:F×°)VzJÈJ¾VzVº°¾ÐºJ¾KÁ®¯FU´:FCZJ¾ÉÄFJ5 y0i+1 − ymi+1 5 = − 1 12 ∆x3y ′′′ (ξ) ÿAVº°)®¾VŠJ¾Vz°)NOÀÁ®¯FZTOC¹C3TWVzÉICQ°Å´OCG®·FZJÄؗNWVgVzÀÁVï­gKÁTOßz´¦®¯KÁÐzCçÎ V]&3¹OJ¾Vº°¾°[ZC&TWC VzJ)J¾CTOV®¾J¾NO´OÐzFZÉIVz´¦®¯ChTOCŠÐºCQJ¾J)Vº®¯CZJzR Ec R€FgÉIVz´OCZ°×TOC‡FZJ¾PZNOÉÄVº´¦®¯CgT:FŠTOVºJ¾K¬DZFGT:F®¯VºJ¾ÐºVzKMJ¾F «Â °¾°¾NWÉÄKÁ´OTOCIؗNWV×F[TOVzJ)KÁDGFZT:FU®¯VºJ¾ÐzVºKMJ¾FITOV y ´!ZCIDGFZJ)KMV2TOVCQJ)ÉÅF[FZ¹OJ)VzкKàà DQVºÀ¥°)CQLOJ¾VCÈKM´¦®¯VºJ)DGFZÀÁC‹Vz´¦®¯J)V xi−1 V xi+1 Rv¹ÛC—TOVºÉÄCQ°™ÐºCQ´O°¾KÁTOVzJ¾FZJÐzCZÉÄCÒ°¾Vº´OTOCÈDZÃGÀMKMTOFãFÈ°)VzPQNWKM´¦®¯VKÁPQN:FZÀÁT:FZTOVh5 Ec ∼= − ymi+1 − y0i+1 5VÒFµ¹:FGJ)®¯KÁJdTOVº°)®¯FµJ¾VzÀMFZÙGCµ´!Q°•¹C3TWVzÉICQ°dVº°)®¯KÁÉÅFGJdC2VzJ)J¾C2TOV㮾J¾NO´WÐ FZÉIVz´¦®¯C2кCQÉ L:FZ°¾VVºÉ TON:FG°IØ¢N:FG´¢®¾KMT:FGTOVz°UØ¢NOVQ·¾Ãg°>GCŠÐ FZÀÁÐzNOÀMFZT:FZ°×¹VzÀÁCgÉI­º®¯C—TOCŠ´¢NOÉI­zJ)KMÐzC «  °¾°¾KÁÉ°)Vz´OTOCWR—Vº°)®¯FµVz°)®¾KMÉÄFG®¯K¬DGF=¹C3TOV“°¾VºJ•VzÉI¹OJ¾VºP¦FZT:FAкCQÉICµNOÉ ÐºJ¾K¬®¯­zJ)KMC=¹:FZJ¯FAFT·)NO°)®¯FZJ¾ÉICQ°CKM´OкJ¾VºÉÄVº´¢®¾C ∆x TWVIÉIC—TOC<ؗNWVÄCVzJ)J¾C<Ï:Ø¢NOVÄTWVz´¦®¯J)CïTOV[NOÉÄF…˜FZK
&WF TOV[DZFGÀMCQJ)Vz°FZкVzK¬®·Ã DQVºKM° «Â °ITOVzJ)KÁDGFZÙºÚ3Vº°ITWCQ°ÄVºJ¾J)CQ° Ep V Ec ¹C3TOVºÉ °¾VºJÄPQVº´OVzJ¾FZÀMK$ FZTOFZ°UNOÉÄFhDZV$ïкCh´!9WVzÐzKÁTOCQ°ãCZ°ãVzJ)J¾CQ°ãTWV=®¯J)NO´OÐzFZÉÄVº´¦®¯CUT:FZ°zQJ¾É×NWÀàFZ°€TOVAKÁ´¦®¯VzPZJ¯FZÙZC×VzÉI¹OJ)VzP¦FZTOFZ°²´:FF DGFZÀMKMFZÙGCUT:FZ°‹KM´¦®¾VzPQJ¾FZKM°‹TOC[¹:FG°¾°¾CI¹OJ)VzTOK¬®¯CQJ¢5 yex = y 0 i+1 + ηp δp ∆xn+1y(n+1)(ξp) V¼TOCI¹:FZ°)°¾CIÐzCQJ)J¾Vº®¾CQJ5 yex = y m i+1 − ηc δc ∆xn+1y(n+1)(ξc)  ¹:FZJ+®¯KÁJdTOC2кCQ´!9OVºÐzKMÉIVz´¦®¾C2TOVz°+®¯Vz°•DGFZÀÁCQJ¾Vº°dCQ°9VºJ¾J)CQ°•TOV²®¾J¾NO´OÐzFZÉIVz´¦®¯C¼TOC2¹:FG°¾°¾C¹OJ)VzTOK¬®¯CQJ‹¹C—TOV¼°¾VzJÒVº°)®¯KÁÉÅFGTOCUÐzCQÉIC[°¾Vº´OTOCIT:FZTOCI¹ÛCZJ ñ ª ò 5 Ep = ηpδc ηcδp + ηpδc ( ymi − y0i ) Vº´OØ¢N:FZ´¦®¯CÄؗNWVl´WCÄÐzFZ°¾CITOC[¹:FZ°)°¾CIÐzCQJ)J¾Vº®¾CQJ5 Ec ∼= − ηcδp ηcδp + ηpδc ( ymi+1 − y0i+1 ) ”•76 •©¨«ªO÷ÓõúuõJa7¬[¨üf|r+÷>`‰aQ÷„ø0’n¯ üš ϞÐsõ Ðsõ ÑÓÒºÔ¦Õ Ö×՞öçÖ×Ù÷ÑÓø/ù¸ö´úmÞóÔ¦øüûçß!ÖÚÙRý ÿACÅTWVz°¾Vº´¦DQCQÀ¬D3KÁÉÄVº´¦®¯CŹWJ¾VzкVzTOVº´¦®¯VYÏ:ÐzFÅÐzÀMFZJ¾C[Ø¢NOV]NOÉÅF[Vz°+®¯J¾FG®¯­ºPQKàFQL¦D—KàFĹOFZJ¯FØ¢NOV]¹ÛCQ°)°¯FZÉICQ°ÒTOVº°¾Vz´¦DZCQÀÁDZVzJ2ÉI­º®¯C—TOCQ°ŒUî—ðñè‚òMó„èêäêë TWV]ÉÄFZKM°ÈFZÀ¬®·FUCQJ)TOVzɹ:FG°¾°¯FI¹ÛVºÀMCVºÉĹOJ)VzPQCUTWV×QJ¾ÉYNOÀàFZ°“TOVµKÁ´¢®¾VzPQJ¾FZÙGC×TOV2ÉÄFZKM°“FZÀÁ®¯FYCQJ)TOVzÉ ¹:FZJ¾F×CQ°ã¹:FZ°)°¾CQ°‹¹WJ¾VzTWK
®¾CQJ“VÈÐzCZJ¾J¾V„®¯CQJ « ³µ°²ÉI­º®¾C3TOCZ°€TWVz°)®¾V=®¾KM¹C]°[ZCYкCQÉŏCQ°+®¯CQ°?TOV=NOÉ ÉÄ­„®¯C—TOClV]&3¹OÀ%ÁÐzK¬®¯C}¹OJ¾VºTOKÁ®¾CQJ ~ VïTOVCQNW®¾J¾C KMÉI¹OÀ%ÁÐzKÁ®¾C }˜ÐºCQJ¾J)Vº®¯CZJ ~„«  ´¦®¯Vz°ÅTOVï¹OJ)CQ°¾°)VzPQNWKMJ¾ÉICQ°IÐzCQÉ FFZ¹WJ¾Vz°)Vz´¦®·FGÙZCUTOVº°)®¾Vz°²ÉI­º®¾C3TWCQ°“TWVAÉÄFZKM°?FZÀ¬®·F¼CQJ¾TWVzÉR¢DGFZÉICQ°€J¾VºÀMVzÉYLOJ¯FZJ€FZ°žQJ)É×N¦ÀMFZ°ATOVYKM´¦®¯VºPQJ¯FZÙZC/TOV×B=V¢ƒ‹®¾CQ´—¶WÞ²CG®¯Vz°2VYTOV  T:FZÉI° «A °×QJ)É×NOÀMFZ°=TWV×KM´¦®¯VºPQJ¯FGÙZCTOVÅB=V]ƒ‹®¯CQ´—¶3Þ²CZ®¯Vº°zR9¹:FGJ¯F n ¹ÛCZ´¢®¾CQ°lKMPQN:FGÀMÉIVz´¦®¯V[Vz°)¹:FZÙzFZTOCQ°…} n + 1 °)VzPQÉIVz´¦®¯CZ° ~ R¹C3TWVzÉ°)VzJÒTOC[®¯KM¹C[FZLVzJ+®·FJ5 yi+1 = yi−n + ∫ xi+1 xi−n f(x, y) dx CQNVzÐ:9OFZT:FWR:¹:FGJ¯F n °¾VzPZÉÄVº´¢®¾CQ°ÒV n + 1 ¹ÛCZ´¢®¾CQ°zR yi+1 = yi−n+1 + ∫ xi+1 xi−n+1 f(x, y) dx CQ´WTOV¼Vz°)®¯FZ°ÈKM´¦®¯VºPQJ¯FZKÁ°ã°>GCÅFZ¹WJ¾C&3KMÉÄFZT:FZ°ã¹CQJ‹NOÉ TOVz°)Vz´¦DQCQÀ¬D—KMÉIVz´¦®¯CITOC[®¯KM¹C!5 In(f) = ∆x n−1∑ k=0 wkf(xi−k, yi−k) + O ( ∆xp+2 ) ¹:FGJ¯F[FCZJ¾ÉÄFUFZLÛVºJ)®¯F[V In(f) = ∆x n−1∑ k=−1 wkf(xi−k, yi−k) + O ( ∆xp+2 ) ¹:FGJ¯F F´CQJ)ÉÅFpVºÐ:9:FZT:FWR2°)Vz´OTWC n C&´I§OÉIVzJ)CTOV‡°¾VºPQÉÄVº´¦®¯CQ°VzÉI¹OJ¾VºP¦FZTOCZ°V‡CQ°DGFZÀÁCQJ¾Vº°=TOCZ°AÐzC—VºÏOÐzKMVº´¦®¯Vz° wk } k = −1, 0, 1, . . . , n ~ ¹ÛC—TOVºÉ°¾VzJ=Vz´OкCQ´¦®¯J¾FZTOCQ°ºR!¹ÛCZJV‚&WVºÉĹWÀMCOR—´:FYJ)V¢VzJ)ßz´OкKàF ñ ª ò‚« B=Vº°)®·FG°ãVzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°²®¯VºÉÄCZ°²Ø¢NOV p = n+1 °)V n CZJ“¹:FGJV p = n Ð FG°¾C n °)V¸·¾FMÉI¹:FZJ «³5CZNW®¯J)C/®¯KM¹C/TOV€ZJ¾É×NOÀMFÅTOVUKÁ´¢®¾VzPQJ¾FZÙGC/Ø¢NOV[­UÐzCQÉ»J¾VzØIïOߺ´OÐzKMF VzÉI¹OJ¾VºP¦FZTOC´:F<CQLW®¾Vz´OÙZC<TOVIFZÀMPZCQJ¾K¬®¯ÉICQ°+ŒUî—ðñè˜òMó„èÝäêëïDQCQÀ¬®·FZTOCZ°2¹:FZJ¯F<F J¾Vº°¾CQÀÁNOÙGCTWVIVºØ¢N:FZÙzڗVz°TOK
VzJ)Vz´OкKàFZKÁ°‹CQJ¾TOKÁ´:ÃZJ)KàFZ°‹­]FZJ¾É×NOÀMF[FZLÛVºJ)®¯FITOV  T:FZÉI°Ý¶\ ãFZ°[9¦CQJ)®[9 « ?ÈÉÅF CQJ¾ÉÄFTOV“TOVzJ)KÁDGFZJ)ÉÄCQ°Vº°)®¯FZ°‹QJ)É×NOÀMFZ°®¯VzÉ ÐºCQÉIC=¹CQ´¦®¯C=TOV“¹OFZJ)®¾KMT:FÒNOÉ TOVº°¾Vz´¦DZCQÀÁD—KMÉIVz´¦®¾CVºÉ°¾­ºJ¾KMV¼TOV¼Õ¥F'3ÀÁCQJ‹VzÉû®¯CQJ)´OCÄTWCI¹CQ´¦®¯C xi 5 yi+1 = yi+fi∆x+f ′ i ∆x2 2 +f ′′ i ∆x3 6 +. . . = yi+∆x ( fi + f ′ i ∆x 2 + f ′′ i ∆x2 6 + . . . ) üéü ô‘bM’<“+÷4f|r¡õp”S•—–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a Ÿg¦ú.`˜ö¡\gh`ZbJa ¿•ÉI¹OJ¾VºP¦FZ´OTOC]NOÉÄFlFG¹OJ¾C&3KMÉÄFZÙGClTWC]®¯KÁ¹ÛC¼TOK
VzJ)Vz´OÙzFlJ)VzÐzNOFZT:F]´OFYFZ¹OJ)C&WKÁÉÅFGÙZC¼TOV f ′ i ROVº°)®¯VlJ¾Vº°¾NOÀ¬®·FZTWCI¹C—TOV2°¾VºJ=J)VzVz°)ÐzJ)KÁ®¯C[кCQÉÄCJ5 yi+1 = yi + ∆x { fi + ∆x 2 [ fi − fi−1 ∆x + f ′′ i ∆x 2 + O ( ∆x2 ) ] + f ′′ i ∆x2 6 + . . . } CQNFZKÁ´OT:FWR yi+1 = yi + ∆x ( 3 2 fi − 1 2 fi−1 ) + 5 12 ∆x3f ′′ i + O ( ∆x4 ) ³µNW®¾J¯FZ°[V]&3¹OJ)Vz°)°¾Ú—Vz°ITOV<ÉÅFZKÁ°×FZÀ¬®·FgCQJ)TOVzÉ ¹ÛC—TOVzÉb°¾VºJICZLW®¯KÁT:FZ°×°)VVºÉĹWJ¾VzPQFZJ¾ÉICQ°FZ¹WJ¾C&3KMÉÄFZÙzڗVz°“TOVAÉÄFZKM°“FZÀ¬®·F]CZJ¾TOVºÉ ¹OFZJ¯F f ′ i «•Â QJ¾ÉYNOÀàF]FZLÛVºJ)®¯F]PQVºJ¯FZÀTOV  T:FGÉÄ°TOV¼CQJ)TOVzÉ n ¹C—TOV¼°¾VzJÒV‚&W¹WJ¾Vz°)°¯FIÐzCQÉIC yi+1 = yi + ∆x n−1∑ k=0 βkfi−k + O ( ∆xn+1 ) ³µ°?DZFGÀMCQJ)Vz°€TOCQ°€ÐzC—VºÏ:кKMVz´¦®¾Vz° βk ¹C3TWVzÉ °¾VºJ²Vº´OÐzCQ´¦®¾J¯FZTOCZ°zRW¹OFZJ¯F¼TOKVºJ¾Vº´¢®¾Vz°€DZFGÀMCQJ)Vz°TOV n R:´:FIJ)V¢VºJ¾ßz´WÐzKàF ñ ª ò‚«?=Éû¹OJ¾C—ÐzVºTOKMÉIVz´¦®¯C[°)KMÉIKMÀàFGJ“¹C3TWV2°¾VzJ VºKÁ®¯CU¹OFZJ¯FUCQLW®¾VzJ)ÉÄCQ°ÒFUV‚&W¹WJ¾Vz°)°>ZCÄPQVzJ¾FZÀ¹:FGJ¯FÈF=QJ)É×NOÀMF VºÐ:9:FZT:F3RGкCQ´!9OVºÐzKMTOF=ÐzCZÉÄCÈF QJ¾É×NWÀàF‹TOV  T:FZÉI°Ý¶WXCZNOÀÁ®¾CQ´ « B=Vº°)®¯VÐzFZ°¾COR—´OCQ°)°¾C]¹ÛCQ´¦®¾C]TOVȹ:FZJ+®¯KÁT:F2°¾VzJ¾Ã]NOÉ TWVz°¾Vº´¦DQCQÀ¬D3KÁÉÄVº´¦®¯CYVºÉ °¾­ºJ¾KMVÈTOVÈÕdF'—ÀMCZJ€VºÉ®¾CQJ¾´OC[TOCI¹CQ´¦®¯C xi+1 yi = yi+1 − fi+1∆x+ f ′ i+1 ∆x2 2 − f ′′i+1 ∆x3 6 + . . . CQ´WTOV“TWVºDQVºÉÄCZ°dFZ¹WJ¾C&3KMÉÄFZJ™FZPQCQJ¾F‹CÈDGFZÀÁCQJT:FÒTOVzJ)KÁDGFZT:F f ′ i+1 « ÿAVº°)®¯V“ÉÄC—TOC‹CQL3®¯VzÉICQ°F QJ¾ÉYNOÀàF+VºÐ:9:FZT:F[PQVºJ¯FZÀTOV  T:FGÉÄ°‹TOV¼CQJ)TOVzÉ n yi+1 = yi + ∆x n−1∑ k=0 βkfi+1−k + O ( ∆xn+1 ) кCQÉCQ°‹DGFZÀMCZJ¾Vz°‹TWV βk ®¯FZÉ×L­zÉȍCQJ¾´OVºÐzKÁTOCQ°ÒVzÉ ñ ª ò‚« ϞÐsõ Љÿ ÑÓÒºÔ¦Õ Ö×ÕØÖÚÙÜÑÓù¸Þe×Ù ?=É TOCZ°ÉÄFZKM° кCQÉ×NO´W°ïÉI­º®¯C—TOCQ°<TOC#®¯KÁ¹ÛC ŒUî—ðñè‚òMó„èêäêë7­‡ÐzCQ´!9WVzÐzKÁTOCкCQÉIC CÉI­º®¾C3TOC TOV XKMÀÁ´OVhØ¢NOV VºÉĹOJ)VzP¦FçQJ)É×NOÀàFG° TOV KÁ´¢®¾VzPQJ¾FZÙGC TWV B=V]ƒ‹®¯CQ´¢¶WÞ²CZ®¯Vº° «BÈVz°)®¾VAÉI­º®¾C3TOClNOÉÄFCZJ¾É×NOÀMFZÙGC]F2®¯J)ßz°€¹ÛCZ´¢®¾CQ°×} Æ °)VzPQÉIVz´¦®¾CQ° ~ TOC]®¾KM¹ClFZLÛVºJ)®¯F]TOVBÈV¢ƒ‹®¯CZ´—¶WÞ²CZ®¾Vz°zRé´l ½ R:­¼NO°¾FZT:F[¹:FZJ¾F[C[¹:FG°¾°¾CI¹OJ)VzTOK¬®¯CQJ¢5 y0i+1 = y m i−3 + 4 3 ( 2fmi − fmi−1 + 2fmi−2 ) ∆x ”•¢¡• ô¼õOöŠ£Oøhg0d{¤Zöž4`Zb¦¥Èô¼õWöFa`ZaZ÷O¤Zöž4`Zb ø–‘aQ÷>b.qS`‰r‰`Ýú.bú™ø ü  ¹:FGJ¯F¼NOÉÅF¼ÐzCZ´OTOKMÙZClKM´OKÁÐzKàFGÀWT:FZTOF]¹CQJ y(x0) = y0 VÒDZFGÉÄCQ°€FZ°)°¾NOÉIKMJ•Ø¢NOVAFNW´OÙZC f(x, y) °¾FG®¯KÁ°˜F6$AFL°:¨âSŠZò±Tµ\€Š—䧥òìë:ó0°:ä—ò è%é“VzÉ y « ?=ÉÄF+NO´OÙZC×­µTOK¬®·Fl°¯FG®¾KM°˜Fh$zVzJ²FкCQ´OTOKÁÙZC[TOV32KM¹O°)Ð:9OKÁ®[$¼´:F×DZFGJ¾Kàà DZVzÀ y VzÉNOÉûÐzCQ´4·)NW´¢®¾C D ⊂ R2 °)V |f(x, y) − f(x, z)| ≤ L |y − z| ¹:FGJ¯F[FZÀMPZNOÉÅF×кCQ´O°+®·FZ´¦®¯V L > 0 V x R y V z ∈ D ñ ½ ò‚« š|æ þ 悚|昚 *+£Û‘ˆ¢¨Œ,—£u¤¦˜… ?=ÉÉI­º®¾C3TWCU´—NWÉÄ­ºJ¾KMкC[­lTWKÁ®¯CUкCQ´¦DQVºJ¾PQKÁJÈ°)V ñ ½ ò lim i→∞ |y(x) − yi| = 0 ¹:FGJ¯F/®¯C—TOC x0 ≤ x ≤ X RCQ´OTOV x = x0 + i∆x V yi ­[F<FZ¹OJ¾C&3KMÉÄFZÙZC/´¢NOÉI­zJ¾KÁÐ FкCQJ¾J)Vz°¾¹CQ´OTWVz´¦®¯VQÎ[°)CQÀMNWÙZC[V]&WFG®¯F y(x) «¿•´¢®¾J¾V„®·FZ´¦®¯CWRãVz°+®·F TOV„Ï:´OKÁÙZC ´|ZC‡¹ÛC—TOV°¾VzJÅFZ¹OÀÁKMÐ FGT:FŠTOKMJ)Vº®·FGÉÄVº´¢®¾VïFŠÏ:É TOVVº°)®·FGLÛVºÀMVzкVzJ)ÉÄCQ°ÅF‡ÐºCQ´¦DQVºJ¾PQߺ´OÐzKMF TOVNWÉ ÉI­º®¾C3TWC ´¢NOÉI­zJ)KMÐzCWR²NOÉÄFhDZV$gØ¢NOV´!Q°´|GCÄкCQ´!9OVºÐzVzÉICQ°ºRÛVºÉPQVzJ¾FZÀ RéF[°¾CQÀÁNOÙGCÄV‚&OF¨®·F[TOCŹOJ)CQLOÀÁVzÉÄF y(x) «€Â кCQ´¦DQVzJ)PQßz´\кKàF °¾VºJ¯Ã<ÐzCQÉI¹OJ¾CEDGFZT:F KÁ´OTOKMJ)Vº®¯FZÉÄVº´¦®¯V×ÉIVzTOKMFZ´¦®¯V[F KM´¦®¾J¾C—TONOÙGCTWCQ°¼ÐzCQ´OкVzK¬®¯CQ°¼TOVкCQ´O°¾KÁ°)®¾ßz´OкKàF[VlTWVlVº°)®¯FZLOKMÀÁKMT:FGTOV « š|æ þ 悚|æÁü *+£¥z‚ºƒ,3£u¤¦… ?=ÉÉI­º®¾C3TWCU´—NWÉÄ­ºJ¾KMкC[­lTWKÁ®¯CU°)VzJÈÐzCQ´W°¾KM°+®¯Vº´¢®¾V¼°¾V lim ∆x→0 Et ∆x = 0 CQ´WTOV Et J¾Vz¹WJ¾Vz°)Vz´¦®·F]ClVºJ¾J)C]TOV‹®¾J¾NO´OÐzFZÉIVz´¦®¯ClÀMC—Ð FZÀWTOC]ÉI­º®¾C3TWC2TOCl®¾KM¹C¼TOKVºJ¾Vz´WÙ FZ°Ø¢NOVI´!Q°¼Ø¢NOVzJ)VzÉICQ°¼Vz°+®¯NOT:FGJ « ¿?°+®·F<ÐzCQ´WTOKMÙZC<KMÉI¹OÀMKÁÐ FÄ´WC˜F¨®¯C<TOV[Ø¢NOVÄC<VºJ¾J¾CTOV®¾J¾NO´OÐzFZÉIVz´¦®¯CÄÀMC—Ð FZÀTOV]NOÉÉI­º®¯C—TOCITOCÄ®¾KM¹CÄTWKVzJ)Vz´OÙzFZ°ÈTOVºDZV×°¾VºJA¹VzÀMCIÉIVz´OCQ°ÈTOV O (∆x2) ¹OFZJ¯FUØ¢NOV¼VzÀÁVl°)V¸·¾FUÐzCZ´O°¾KÁ°)®¯Vº´¦®¯V «Þ²CQ´JCQJ)ÉÄVl´!Q°8·¾ÃID—KÁÉÄCQ°ºR:®¯C—TOCQ°ACZ°=ÉI­º®¾C3TOCZ°¨âåä„æ ó„èêäêë<¹C3TOVºÉ°¾VºJµ¹ÛCZ°)®¯CZ°=´:FCQJ)ÉÅF×PZVzJ¯FGÀs5 yi+1 = yi + φ(xi, yi,∆x)∆xCQ´WTOV φ(x, y,∆x) ­UкCQ´!9OVºÐzKÁT:FкCQÉF…NO´WÙZC<KM´WÐzJ¾VºÉÄVº´¦®¯C «U ¹:FGJ)®¯KÁJµTOC<TOVº°¾Vz´\DZCQÀÁD—KMÉIVz´¦®¾CÄVºÉ°¾­zJ)KMV¼TOVlÕdF'—ÀMCZJzR:VzÉ®¾CQJ¾´WCÄTOCI¹CQ´¦®¯C (xi, yi) R:TOCÄÀMFZTOCIVz°)ؗNWVzJ¾TWCTOVº°)®¯FÄKMPZN:FZÀMTOFZTOVA´JQ°ÒCQLW®¯VºÉÄCZ° yi + f(xi, yi)∆x + f ′ (xi, yi) ∆x2 2 + . . . = yi + φ(xi, yi,∆x)∆x ü " ô‘bM’<“+÷4f|r¡õp”S•—–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a Ÿg¦ú.`˜ö¡\gh`ZbJa ¿•°)®¾V]J)Vz°)NOÀÁ®¯FZTOC[¹ÛC—TOV¼FZKÁ´OT:FU°¾VºJÒJ¾V FGJ¾J¾NWÉÅFZTWCITWVlÉIC—TOC[FUCQLW®¯VºJ¾ÉICQ° φ(xi, yi,∆x) = f(xi, yi) + O(∆x)V¼NOÉÉI­º®¾C3TWCITWC[®¾KM¹C¨âåä„æ ó„èÝäêëÅ°¾VºJ¯Ã[ÐzCQ´W°¾KM°+®¯Vº´¢®¾V]ÐzFZ°¾C lim ∆x→0 φ(x, y,∆x) = f(x, y) ?=ÉÄFÅCQNW®¾J¯FÅÉÄFZ´OVºKMJ¾FÄTOVYDZVzJ)ÉÄCQ°AVz°)®¾VUJ¾Vº°¾NOÀ¬®·FZTOCÅ°¾VzJ)KàF FÅTWV×J¾VºVz°¾ÐºJ¾V„DQVzJ)ÉÄCZ°lCTOVº°¾Vº´¢DZCQÀÁD—KÁÉÄVº´¢®¾CÅVºÉ°¾­ºJ¾KMV2TWVlÕ¥F'—ÀMCQJÒ´:F€CQJ)ÉÅFJ5 dy dx ∣ ∣ ∣ i ∆x = φ(x, y,∆x)∆x− d 2y dx2 ∣ ∣ ∣ i ∆x2 2 + . . . CQNFZKÁ´OT:FWR dy dx ∣ ∣ ∣ i = φ(x, y,∆x) − d 2y dx2 ∣ ∣ ∣ i ∆x 2 + . . .VCQLO°¾VºJ)DGFZJ)ÉÄCQ°ÄØ¢NOVï¹:FGJ¯F Ø¢NOVVz°)®¯F VzØ¢N:FGÙZC °)V¸·¾F кCQ´O°)KM°)®¾Vz´¦®¯VïÐzCQÉ F VºØ—NOFZÙZCTOK
VzJ)Vz´OкKàFZÀ9CZJ¾TOKÁ´:ÃZJ¾KMFìŒ)Š—ä„ð%¨RVzÉÐzFZT:F<¹ÛCZ´¢®¾CTOF<ÉÄFZÀ9:FWR™F °¾VºPQNOKM´¦®¾VÄкCQ´OTOKÁÙZCTOV„DQVl°¾VºJÈDZVzJ¾K¬Ï:Ð FGT:F7ÎUÉIVzTOKÁT:F×Ø¢NOVlCIKÁ´OÐzJ)VzÉIVz´¦®¯C ∆x ®¾Vz´OTWVYF $zVºJ¾C!5 lim ∆x→0 φ(x, y,∆x) = f(x, y) š|æ þ 悚|æ þ › „ƒE…O”¥‚–˜‚†™…:†™ˆ ?=É ÉI­º®¯C—TOC/´¢NOÉI­zJ)KMкCÅTOC/®¾KM¹CÅTOK
VzJ¾Vº´OÙ FG°µ­YTOK¬®¯C/°)VzJµVº°)®¯ÃEDZVzÀ9¹OFZJ¯FÅNWÉ ¹OJ)ChLOÀÁVzÉÄF=TOV“DZFGÀMCQJuKM´OKÁÐzKMFZÀ RETOC=®¯KM¹CµFG¹OJ¾Vº°¾Vz´¦®¯FZTOC¼´OCµKÁ´!MкKMCÈTOVz°+®·Fµ°¾VºÙZCWRQ°¾VãV‚&3KM°)®¾KMJ¥NOÉ ∆x0 > 0 ®·FZÀåؗNWVlNWÉÅFYDGFZJ)KàFZÙZCU´:FUÐzCQ´WTOKMÙZCUKM´OKÁÐzKMFZÀ R¢¹CQJãNOÉÄF×Ø¢N:FZ´¦®¯KÁT:FZTOV2ÏJ&WFWR¹OJ)C3TWN!$²NOÉÄFÈDGFZJ)KàFZÙZCÈÀMKMÉIKÁ®¯FZT:Fã´:F=°¾CQÀÁNOÙZC=´¢NOÉÄ­ºJ¾KÁÐ F=¹OFZJ¯FÒ®¯C—TOC 0 < ∆x ≤ ∆x0 «Â ´¦®¯Vº°²TOV=¹OJ¾CZ°¾°¾VºPQNOKÁJ¾ÉICQ°?ÐzCQÉ5Cl´OCQ°¾°)C×Vz°+®¯NOTWC×T:F]Vº°)®¯FZLOKMÀÁKMT:FGTOVZRQDGFZÉICQ°?Vz´¢NO´¦кKàFZJ×Ch°)VzPQNOKÁ´¦®¯V ®¯VºCQJ¾VºÉÅFgØ¢NOV<°¾VºJ¯Ã¤NO´OT:FGÉÄVº´¢®¯FZÀã¹:FGJ¯FŠØ¢NOV<¹ÛCQ°)°¯FZÉICQ°UP¦FGJ¯FZ´¦®¯KÁJØ¢NOV/NWÉ ÉI­º®¾C3TWCï´¢NOÉI­zJ¾KÁÐzCTOC®¾KM¹CTOK
VzJ)Vz´OÙzFZ°Y°)V¸·¾FïкCQ´¦DQVzJ)PQVz´¦®¾V65©¨FŒ Œ)à„踍Š\Š\ è‚òìë|pŠZò  ä]‡¯ä„â±T†¨ó¤°:¨âWó„òMó„èêä„â:èÝä àŽ°:¨â|„Zä]‡s—ä„â:èêä óEähäó04ŒÅä„â:èêä<óEähä„ðM䪍4‡Šä·ó„èsˆZæ„Zä„ð « ÜuCQJ)®¯FZ´¦®¯COR?FgкCQ´¦DQVzJ)PQßz´WÐzKàFŠVº°)®·FGJ¯ÃŠFZ°)°¾VzPZNOJ¯FZTOFg°¾V CŠÉI­º®¯C—TOC´—NWÉÄ­ºJ¾KMкCìCQJкCQ´O°¾KÁ°)®¾Vz´¦®¯VlV¼Vz°)®¯Ã DQVzÀ «?=ÉÄFUCQNW®¯J¾FUÉÅFZ´WVzKMJ¾F×TOV¼Vz´¢NO´OкKàFZJ)ÉÄCZ°=FUVº°)®·FGLOKMÀÁKMT:FZTWVµTOVlNOÉÉI­º®¯C—TOCU´¢NOÉI­]J)KMÐzCÄTOCÅ®¾KM¹C ¨âåä„æ ó„èêäêë ­3CQJ¾´OVºÐzKÁT:FÄ°)V×¹:FZJ¾FÄTON:FG°A°¾CZÀMNOÙºÚ3Vº°A´¢NOÉI­zJ¾KÁÐ FZ°ÈTOK
VzJ¾Vº´¦®¯Vz° yi V zi RWÐzCZJ¾J¾Vº°¾¹CQ´OTOVº´¦®¯Vz°=ÎYFZ¹OJ¾C&3KMÉÄFZÙZCY´¢NOÉI­zJ)KMÐ FlTOV y(xi) R3´!Q°“DZVzJ)KÁÏ:ÐzFZJ¾ÉICQ°ãF°)VzPQNOKÁ´¦®¯V¼TOVz°)KMPQNOFZÀMT:FGTOV |yi − zi| ≤ K |y0 − z0|¹:FGJ¯FŠNOÉÄFïÐzCQ´W°)®·FG´¢®¾V K > 0 V/¹OFZJ¯Fg®¯C—TOC ∆x ®·FZÀ“Ø—NWV 0 < ∆x ≤ ∆x0 ¹OFZJ¯FFZÀÁPQNOÉ ∆x0 > 0 R‹Vï¹:FGJ¯F‡®¾C3TWC x0 ≤ xi ≤ X « BÈVz°+®·F TOVº°¾KMPZN:FZÀMTOFZTOV y0 V z0кCQJ¾J)Vz°¾¹CQ´OTWVzÉ FZCQ°‹DGFZÀÁCQJ¾Vº°‹KM´OKÁÐzKàFGKM° « ”•¢¡• ô¼õOöŠ£Oøhg0d{¤Zöž4`Zb¦¥Èô¼õWöFa`ZaZ÷O¤Zöž4`Zb ø–‘aQ÷>b.qS`‰r‰`Ýú.bú™ø ü #  ´OC—ÙZC2TOV‹Vº°)®¯FZLOKMÀÁKMT:FGTOV“®¯FZÉ×L­zÉ ¹C—TOVã°¾VºJ?J¾VzÀMFZÐzKÁCQ´:FZTOFAÐzCQÉ F2J¾VzPZNOÀàFZJ)KMT:FGTOVT:FLNO´OÙGCgKM´OкJ¾VºÉÄVº´¢®¾C φ(x, y,∆x) ÉIVzTWKàFZ´¦®¯VIC®¾VzCQJ)VzÉÄF ñ ½ ò 5«¨RŒuŒ)à„踍Š\â:î—æŒ)à]‡Óòs°:7Š\[è˜òìë|lCQ´OV‚ê°+®¯Vz¹ àUä·ó„èóˆ6„Zä„ðÛóEäYä„ðMäu4‡‡·äsZî—ð
†6‡ « ¿•É°¾VºPQNOKMTOFUDZVzJ)VzÉICQ°=VºÉØ¢NOVlÐzCQ´WTOKMÙºÚ3Vº°ÈC[ÉI­º®¾C3TOCU´¢NOÉI­zJ)KMкCI¹C—TOV¼°¾VzJÒкCQ´O°¾KÁTOVzJ¾FZTOC[J¾VºPQNOÀMFZJ « ÿµF€CQJ¾ÉÄFUPQVzJ¾FZÀ!TOCZ°ÈÉI­º®¾C3TWCQ°Q¨âåä„æ ó„èÝäê묏C3TOVºÉÄCZ°‹TOK%$ºVzJ‹Ø¢NOVlVzÀMV2°)VzJ¾ÃIJ)VzPQNOÀMFZJ°)VgFŽNW´OÙZC KM´OкJ¾VºÉÄVº´¢®¾C °¾FG®¯KÁ°˜F6$F кCQ´OTOKÁÙZC‡TOV2™KÁ¹O°¾Ð:9WKÁ®>$VzÉ ' ´OC TOCQÉ@M´OKÁC D = {(x, w)| x0 ≤ x ≤ X,−∞ < w < ∞, 0 < ∆x < ∆x0} ¹OFZJ¯F‡FZÀMPZNOÉ ∆x0 > 0 TOV¼ÉÄC—TOCUØ¢NOV]F[TWVz°¾KÁPQN:FZÀÁT:FZTOV¼FGL:FZK
&3CU­2DQVºJ¾K¬Ï:Ð FZTOF |φ(x, y,∆x) − φ(x, z,∆x)| ≤ M|y − z| ¹:FGJ¯F y V z ∈ D V M ­<Ð:9:FZÉÄFZT:FgTOV кCQ´O°+®·FZ´¦®¯V<TOVL2KM¹W°¾Ð:9OK¬®>$/¹:FGJ¯FhFNO´OÙZCKÁ´OÐzJ)VzÉIVz´¦®¯C φ(x, y,∆x) «  ¹OJ)CvDGF TOVº°)®¯V×®¾VzCQJ)VzÉÄF/­UJ¾VºÀàFG®¾KÁDGFZÉIVz´¦®¯V]°¾KMÉI¹OÀÁVz°AVU¹C—TOVzÉICQ°µTOVºÉÄCZ´O°)®¾J¯Ã4¡ÀàF°)V ´!Q°UÐzCZ´O°¾KÁTOVzJ¾FZJ¾ÉICQ°zR•ÉÄFZKÁ°]NOÉÄFïDQV¢$ZR?TON:FG°[FZ¹OJ¾C&3KMÉÄFZÙºÚ3Vº°Y´¢NOÉI­zJ¾KÁÐ FZ° yi V ziPQVºJ¯FZTOFZ°ÈF[¹OFZJ)®¾KMJ‹T:F€CQJ)ÉÅF×PQVºJ¯FZÀ‚ROTOV¼ÉIC3TOCUØ¢NOV |yi+1 − zi+1| ≤ |yi − zi| + ∆x|φ(xi, yi,∆x) − φ(xi, zi,∆x)| Þ²CQÉIC[Vz°+®·FZÉICQ°ÒÐzCQ´W°¾KMTWVzJ¯FG´OTOC[Ø¢NOV]C[ÉI­º®¾C3TOC[´¢NOÉI­zJ)KMÐzCU­¼J)VzPQNOÀMFZJ |yi+1 − zi+1| ≤ |yi − zi| + ∆xM|yi − zi| CQNFZKÁ´OT:F |yi+1 − zi+1| ≤ (1 + ∆xM)|yi − zi| ÜuCQJÒKM´OTONWÙZC[¹C3TOVºÉÄCZ°‹J¾VzVº°¾ÐºJ¾VºDZVzJ=Vz°)®¾V]J)Vz°)NOÀÁ®¯FZTOC[ÐzCQÉIC |yi+1 − zi+1| ≤ (1 + ∆xM)i+1|y0 − z0| (1 + ∆xM)|yi − zi| ≤ (1 + ∆xM)i+1 |y0 − z0| |yi − zi| ≤ (1 + ∆xM)i |y0 − z0|  PQCQJ¯F3ROTOCITOVz°)Vz´¦DQCQÀ¬D—KMÉIVz´¦®¯CIVzÉ°)­zJ)KMV¼TOV¼ÕdF'—ÀMCZJ‹T:F€NO´OÙGCÄV‚&W¹CQ´OVº´OÐzKMFZÀ ex ex = 1 + x+ x2 2! + x3 3! + . . . þ  ô‘bM’<“+÷4f|r¡õp”S•—–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a Ÿg¦ú.`˜ö¡\gh`ZbJa š|æ þ æMü.æ þ › „ƒE…O”¥‚–˜‚†™…:†™ˆ HdKM´OFZÀMK$ FZ´OTWCŠVz°)®¯F °¾VºÙZC KMJ¾VºÉÄCZ°ÅFZLCQJ)T:FZJ[C ¹OJ)CQLOÀMVºÉÅFŠT:F Vz°)®¯FZLOKÁÀMKMTOFZTOV<TOCQ°ÉI­º®¾C3TOCZ°@ŒUî—ðñè˜òMó„èÝäêë «Ä °lÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°¼TOVIVz°+®·FZLWKMÀMKÁT:FZTOVUØ¢NOVITOV„DQVzÉ°)VzJ¼DQVzJ)KÁÏ:ÐzFZT:FZ°¹VzÀÁCQ°×ÉI­º®¯C—TOCQ°)ŒUî3ðñè˜òMó„èÝäêë °¾VºJ>ZChKÁ´¢®¾J¾C—TON!$ºKMT:FZ°YFŠ¹:FZJ)®¾KMJ]TOCŠÐzCQÉI¹CQJ)®¯FZÉÄVº´¦®¯CgT:F°)CQÀMNOÙZC[´¢NOÉÄ­ºJ¾KÁÐ FUTOCI°¾VzPZNOKM´¦®¯V¼¹OJ)CQLOÀÁVzÉÄF×TOV2DZFGÀMCQJãTWVlкCQ´¦®¯CQJ)´OC[®¯J¾K¬D—KàFZÀ dy dx = 0 ®¾Vz´OTOCh¹CQJUÐzCZ´OTOKMÙZCŠKM´WKMÐzKMFZÀ y(0) = c V ­ VºD—KMTWVz´¦®¯VGR“¹:FGJ¯FgVz°+®¯V<¹OJ)CQLOÀMVºÉÅF3R9Ø¢NOV f(x, y) = 0 « ÞãFZ°)ChFÐzCZ´OTOKMÙZCgKÁ´OKMкKàFZÀ•°)V¸·¾FïKÁ´¢®¾J¾C—TON!$ºKMT:F°¾VzÉ ´OVº´!9¢NOÉ VºJ¾J¾CïTOVFZJ)J¾VºTOCQ´OT:FGÉÄVº´¢®¾COR—Ø—NOFZÀMØ¢NOVºJ€ÉI­º®¾C3TWC7ŒUî—ðñè‚òMó„èêäê뀍CZJ¾´OVºÐzVzJ)KàFlFl°)CQÀMNWÙZClV]&WFG®¯F]TOVº°)®¯V¹OJ)CQLOÀÁVzÉÄF ¹:FZJ¾F ®¯C—TOC i ≥ k « ÜuCQJ CQNW®¾J¾CÀàFGTOCOR‹°¾VhFкCQ´OTOKÁÙZC KÁ´OKMкKàFZÀÒVº°)®¯K¬DQVºJкCQ´¦®·FZÉIKM´:FGT:F ¹VzÀMCZ°ÅVzJ)J¾CQ° TWVhFZJ¾J)VzTOCQ´WT:FZÉIVz´¦®¯CORÒ¹C3TWVzJ>GC C3кCQJ¾J)VzJ/TWVz°)D—KÁCQ° ´:FZ°°)CQÀMNOÙºÚ3Vº°Y´¢NOÉI­zJ)KMÐ FG° « ¸JZCgVº°)®¯Vº°×TOVº°)D—KMCQ°YؗNWV/´!Q°]ؗNWVzJ¾VºÉÄCZ°×Vz°+®¯NOT:FGJ×FZØ¢NOK « ÿµFVºØ—NOFZÙZC[PQVºJ¯FZÀÛTOCQ°‹ÉI­º®¾C3TOCZ°×ŒUî—ðñè‚òMó„èêäêëÅFZ¹OÀMKÁÐ FZTOFYF×Vz°+®¯V2¹OJ)CQLOÀÁVzÉÄFYVz°)¹ÛVºÐÁÏOÐzC[´!Q°CQL3®¯VzÉICQ°¢5 yi+1 = k∑ j=0 αjyi−j ¹:FZJ¯F i ≥ k CQNFZKÁ´OT:FWR3´—NWÉÅF CQJ¾ÉÄF×VzØ¢NOK¬DGFZÀMVº´¢®¾V@} i = r + k − 1 ~ R yr+k = k∑ j=0 αjyr+k−(j+1) ¹OFZJ¯F r ≥ 1 ?È°¯FZ´OTWCŠC ·ë:ä]‡[†MŠ\4‡)Š—ä·ó„ð%0°[†6ŒÅä„â:蹍 E ñ ½ ò FïVºØ¢N:FZÙGChFZÐzKÁÉÅF¹ÛC—TOV/°)VzJ×J)VzVz°)ÐzJ)KÁ®·FкCQÉÄCJ5 Ekyr − k∑ j=0 αjE k−(j+1)yr = p(E)yr = 0 CQ´WTOVAC]¹ÛCQÀÁKM´!ZÉÄKÁC2Ð FZJ¾FZк®¾VzJ[Á°)®¾KMÐzCWR p(λ) R3FZ°¾°)C3кKàFZTWC×F]Vº°)®¯FYVzØ¢N:FZÙZC×TOV=TOKVºJ¾Vº´OÙ FZ°­¼T:FZTWCŏCQJ5 p(λ)yr = [ λk − k∑ j=0 αjλ k−(j+1) ] yr = 0 VIÐzN4·¾FG°]J¾F6%$ºVz°7}˜Ø¢NOVĹÛC—TOVzÉ °¾VzJlÐzCZÉĹOÀÁV]&WFZ° ~ °[ZC λ1, λ2, . . . , λk «Å °]кCQ´OTOKÁÙzڗVz°TOVYVz°)®¯FZLOKÁÀMKMTOFZTOVlTOCQ°µÉI­º®¾C3TOCZ°QŒUî—ðñè‚òMó„èêäêë°¾VzJ[ZC Vz°+®·FZLVzÀÁVzкKMT:FZ°=VzɍNO´OÙZC TOVz°+®·FZ°J¾F6%$ºVz°‹TOC[¹CQÀMKÁ´!QÉIKMClÐ FZJ¾FZк®¾VzJ[Á°)®¾KMÐzCWROTOV2ÉIC3TOCUØ¢NOV¼CQ°‹VºJ¾J)CQ°ÒTOV¼FZJ¾J)VzTOCZ´OT:FZÉIVz´¦®¯C´|GCÄкJ¾Vz°)Ù FZÉV‚&3¹ÛCQ´WVz´OкKàFZÀÁÉÄVº´¢®¾V ñ ½ ò « ”•¢¡• ô¼õOöŠ£Oøhg0d{¤Zöž4`Zb¦¥Èô¼õWöFa`ZaZ÷O¤Zöž4`Zb ø–‘aQ÷>b.qS`‰r‰`Ýú.bú™ø þ š ÞãFZ°¾C/®¾C3TOFZ°2FZ°2J¾F6%$ºVz°×CQ°)°¾VºÉ TOKÁ°)®¯KÁ´¦®·FZ°µ´JQ°2¹ÛC—TOVºJ[àFGÉÄCQ°ÈVz°)ÐzJ)VºDQVºJYF/°)CQÀMNWÙZCTOCI¹OJ)CQLOÀMVºÉÅF×TWV¼DGFZÀÁCQJãKÁ´OKMкKàFZÀ‚R—¹OFZJ¯F λ1 ≈ c ROÐzCZÉÄC ñ ½ ò yi = c+ k∑ j=2 γjλ i j CQ´WTOVÒCl°)CQÉÄFG®>QJ)KMCµ¹C—TOV‹°¾VºJ?D—KÁ°)®¯C¼ÐºCQÉÄC2CZ°€VºJ¾J)CQ°?TOVÒFZJ¾J)VzTOCZ´OT:FZÉIVz´¦®¯ClFZ°)°¾C—ÐzKMFZTOCQ°ÎY°)CQÀMNWÙZCYFZ¹OJ¾C&3KMÉÄFZT:F « ÿAVº°)®¯V2J)Vz°)NOÀÁ®¯FZTOC]DZVzÉICQ°ãØ¢NOVµC]VzJ)J¾C×TOVAFZJ¾J)VzTOCZ´OT:FZÉIVz´¦®¯CKÁJ¯ÃUÐzJ)Vz°¾ÐºVzJÈV]&3¹CQ´OVz´WÐzKàFGÀMÉIVz´¦®¯V¼FUÉIVz´OCQ°ÒØ¢NOV |λj| ≤ 1 ¹:FZJ¯F j = 2, 3, . . . , k «³¹OJ[&3KMÉICﮯVºCQJ¾VºÉÅFPQVz´OVºJ¯FZÀÁK%$zFVz°+®¯V J)Vz°¾NWÀÁ®·FGTOCgV/KÁÉŏÚ3VÄFZ°×кCQ´OTOKÁÙzڗVz°×Ø¢NOVTOV„DQVºÉû°)VzJ?DQVzJ)KÁÏ:ÐzFZT:FZ°“¹:FZJ¾FlØ¢NOV=C]ÉI­º®¾C3TOCl´¢NOÉI­zJ¾KÁÐzCl°¾V¹·¾F]Vz°+®·Ã DQVºÀ ñ ½ ò 52á Œ)à„踍Š\â:î\Œ)à]‡Óòs°:×É×NWÀÁ®¯KÁ°)®¾Vz¹ëŠM†MŠ\]ë:ä„ð
†Åó„îJ†²4‡‚Œ@†@—ä]‡[†Zð<àÅä·ó„èsˆ6„Zä„ðóEäÄä]ó04ŒÅä„â:èÝä¼óEäÅä„ðMäó†Zè˜òMó ‹é¨ä]‡3†´³.µ·¶y¸l¹Gº—»"µs¸¦¼«½r¼`¾¿ À |λj| ≤ 1, j = 1, 2, . . . , k |λj| = 1 ⇒ dp(λj) dλ 6= 0  ¹OJ)KMÉIVzKMJ¾F/ÐzCQ´WTOKMÙZC<J¾VzØ¢NOVºJ]Ø¢NOVU®¾C3T:FG°]FG°lJ¾F6%$ºVz°¼TOC<¹CQÀMKÁ´!QÉIKMCÅÐzFZJ¯FGк®¯VºJ[Á°)®¯KÁÐzCVº°)®¯V¹·¾FZÉ ÐzCQ´¦®¾KMT:FZ°I´OC ÐMJ)ÐzNOÀÁC {λ | |λ| ≤ 1} ´OC‡¹OÀàFZ´WC кCQÉĹWÀMV]&3C «& °)VzPQNW´OT:FкCQ´OTOKÁÙZC Vz°)®¯FZLVzÀMVºÐzVgØ¢NOV®¯C—T:FZ°ÄFZ°ÅJ¾F6%$ºVz°IؗNWVg°¾VVz´OкCQ´¦®¯J¯FGÉ ´:FŽJ¾CQ´¦®¯VºKMJ¾F‡TOCТMJ¾ÐºNOÀMC[NO´WKÁ®·ÃGJ¾KMCYTOVºDZVzÉ°¾VºJ=°)KMÉI¹OÀMVº° «?=É ÉI­º®¯C—TOCëŒUî3ðñè˜òMó„èÝäêë­ïTOK¬®¯C °)VzJÂÁ µ·½ Ã}Ä ÅÆÄg¶ŠÃ}ÄÇÄ È ÃfÉ`ÊlÄ Ëã°¾VïVzÀMV<DQVºJ¾K¬Ï:Ð F FкCQ´OTOKÁÙZC[T:F[J¯F6$2V λ = 1 ­lF@§W´OKMÐzF[J¾F6%$2ÐzFZJ¯FGк®¯VºJ[Á°)®¯KÁÐ F×TOV¼É@3TWNOÀMCUKÁPQN:FZÀåFINOÉ «¿•ÀMVA­ATOK¬®¯C×°)VzJyÁ3½r¼K³r¼lÅÆÄg¶ŠÃ}Ä+Ä È ÃfÉ`ÊlÄ ËO°¾V2°¾FG®¯KÁ°˜F6$AFYÐzCZ´OTOKMÙZC×T:F]J¯F6$AVA®¾VzÉ ÉÅFZKÁ°TOV<NOÉÄFgJ¯Fh%$ Ð FGJ¯FZЄ®¯VzJM°+®¯KMÐzFgTOKM°+®¯KÁ´¢®¯FgÐzCQÉbÉÅFGPQ´OKÁ®¾NOTOV/KÁPQN:FZÀ²FŠNOÉ « Ü¥CQJ[CQNW®¾J¾CÀMFZTOCOROVºÀMV2°)VzJ¯Ã[TOK¬®¯C<¹ ¶ŠÈ3ÃÉ`Ê`ÄgËé°¾V¼VºÀMV2´|ZCI°¯F¨®¯KM°+Ï|$zVºJÈF[кCQ´OTOKÁÙZC[T:FUJ¾F6%$ «³ü§OÀÁ®¾KMÉIC ®¯VzCZJ¾VzÉÄFïF°¾VºJYVz´¢NO´WÐzKàFGTOCgVz°+®·FZLVzÀÁVzкV/FZ°]ÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°]¹:FZJ¾FØ¢NOVÄ®¾V]´!9OFZÉÄCZ°ANOÉ ÉI­º®¯C—TOC ŒUî3ðñè˜òMó„èÝäêë ÐzCQ´¦DQVºJ¾PQVº´¦®¯V ñ ½ ò 5<¨RŒ»Œ)à„踍Š\]É×NOÀ¬®¯KÁ°)®¯Vº¹ à7°:¨â:æ„Zä]‡Z—ä„â:èêä2óEä×ä2ó04ŒÅä„â:èÝäAóEä×ä„ðMäu4‡Q°:¨âWó„òMó„èÝä„â:èêä×ä2ó†Zè˜òMó ‹é¨ä]‡3†¨ó °:¨âSŠZò±Tµ\@ŠM†7‡† Ì
é « 32 Capítulo 1. Equações Diferenciais Ordinárias 6 •76 • ô×rsbJaa`xܞhbS™3Ýéõ þ Ê3«‹Â VºØ—NOFZÙZCITOVlÌ=VºÀMÉ@9OCQÀ¬®>$ ∂2ϕ ∂x2 + ∂2ϕ ∂y2 + k2ϕ = 0 Ø¢NOV[PQCEDZVzJ¾´OF<C<ÉICED3KÁÉÄVº´¦®¯C/TOVUCZ´OT:FZ°9:FGJ¾É@Q´OKMÐzFZ°zRå°¾Vz´WTOC k C ¹:FZJ>{GÉÄV„®¯J¾CTWVJ)VzØIïOߺ´OÐzKMF « Þ²CQÉÄC[V‚&WVºÉĹWÀMCU®¯VºÉÄCQ°ÒFU¹OJ)CQ¹:FZPQFZÙZC[TOV¼CQ´WT:FZ°ÈFZЧW°)®¯KÁÐ FZ° « ÍW«‹Â VºØ—NOFZÙZCILOK9:FZJ¾É@Q´OKÁÐ F ∂4ϕ ∂x4 + ∂4ϕ ∂y4 = 0 Ø¢NOVÈTOV„®¯VzJ)ÉÄKÁ´:F2FZ°?ÀMKÁ´!9:FZ°dTOVÒÐzCQJ)J¾Vz´¦®¾V=¹:FGJ¯F2Vz°)ÐzC¦FZÉIVz´¦®¾CQ°?ÐzCQÉÉYNOKÁ®¾C2L:FZK
&3C´I§OÉIVzJ)CÄTWV]ÑÒV¢'—´OCZÀMTO°ºR:PQCEDQVzJ)´:FZTOCI¹VzÀàF×VºØ¢N:FZÙGCÅTOV]¸—®¾C¥ZVº° « _ « ¿•Ø¢N:FZÙZCITOCI®¾VzÀÁ­zPQJ¾FhC ∂2ϕ ∂t2 + a ∂ϕ ∂t + b ϕ = c2 ∂2ϕ ∂x2Ø¢NOV‹PZCvDZVzJ)´:F2F=®¯J¾FZ´O°)ÉÄKÁ°¾°>GCATOVãKÁÉĹWNOÀM°)CQ°¥VºÀM­„®¯J¾KÁÐzCQ°¥´¢NOÉ ÏOCµÀMCQ´WPQCAкCQÉNWÉÅFкVzJ+®·F<TOKM°+®¯J¾KÁLONOKÁÙZC/TWVIÐzFZ¹:FZкKÁ®>{Z´OÐzKMFWRåKÁ´OTONW®>{Z´OкKàF/V[J¾Vº°¾KÁ®¾ßz´OкKàF «Y °¼FZ¹OÀÁKMÐzF4ÙºÚ3Vº°¼TOVz°+®·F<VzØ¢N:FZÙZC®¯FZÉ×L­zÉ KM´OкÀMNOVºÉ C<ÉÄCED—KMÉIVz´¦®¾C TOV[NOÉÅF кCQJ¾T:F кCQÉNWÉÅF CZJ¾Ù FTOV FZÉICQJ+®¯VzкKMÉIVz´¦®¯C¹OJ)CQ¹ÛCZJ¾ÐzKÁCQ´:FZÀ/ÎDZVzÀÁC3кKMT:FZTWVÄV FÐzCQ´OTWNOÙZCTWVlÐzFZÀMCZJ‹ÐzCQÉNWÉÅFYDZVzÀMC—ÐzKÁT:FZTOV2TWVl¹WJ¾CQ¹:FGP¦FZÙGC[®¾­zJ)ÉÄKÁÐ FYÏ:´OK¬®·F « 8½98 †Þ;[Ž+ÃRÃ{=tߛpŽªÕjàÁ ?=ÉÄFY°¾KÁÉĹWÀMVz°€ÐzÀMFZ°¾°)KÁÏ:ÐzFZÙGC×T:FZ°‹VºØ—NOFZÙzڗVz°‹TOK
VzJ)Vz´OкKàFZKÁ°“¹:FGJ¾ÐzKMFZKM°€­2¹CQ°¾°ÁDQVºÀå´OCÐzFZ°¾CIT:FZ°ÒVzØ¢N:FGÙzڗVz°ÈÀMKM´WV FZJ)Vz°‹TOV¼°¾VºPQNO´OTOFICQJ)TOVzÉR A ∂2u ∂x2 + B ∂2u ∂x∂y + C ∂2u ∂y2 +D ∂u ∂x + E ∂u ∂y + Fu+G = 0 CQ´WTOV A R B R . . . R G °>ZCIÐzCZ´O°)®¯FZ´¦®¯Vz° « ÕuJ¾ßº°ÒÐ FG®¾VzPQCQJ)KàFZ°‹¹C—TOVzÉ °¾VzJÒTOKÁ°)®¾KM´OPQNWKMT:FZ°¢5 K ~ VºÀ%Á¹W®¯KÁÐ FJ5 B2 − 4AC < 0 KMK ~ ¹OFZJ¯FZLSQÀÁKMÐ F¦5 B2 − 4AC = 0 KMKÁK ~ 9WKM¹VzJ¾LSQÀÁKMÐ F¦5 B2 − 4AC > 0 þ" ô‘bM’<“)÷Tf|r¡õ+6 •—–+˜f|bS™š!ø6a7›`‰œ+øhgQøQö<4`ZbJ`ZaÛڑb¦gM4`sbJ`‰a Þ²CQÉIC ¹C—TOVzÉICQ°ICQLO°¾VºJ)DGFZJºRÒF ÐzÀMFZ°¾°)KÁÏ:ÐzFZÙZC TOVz¹Vz´WTOVg°¾CZÉÄVº´¢®¾VïTOCZ°ÅÐzC—VºÏOÐzKMVº´¦®¯Vz°TOCZ°Ò®¾VzJ)ÉÄCQ°‹TWV]TOVºJ¾K¬DZFGT:FZ°‹TOV¼ÉÄFZKMCQJ“CQJ¾TWVzÉ´:FG°ÒDGFZJ)Kàà DQVºKM°‹KÁ´OTOVz¹Vz´WTOVz´¦®¯Vº° « ÞãFZ°¾C]CQ°€ÐzC—VºÏ:кKMVz´¦®¾Vz° A R B R . . . R G °¾V¹·¾FZÉ NO´OÙºÚ3Vº°“TOV x R y R ∂u/∂x CQN ∂u/∂y RF[ÐzÀMFZ°¾°)KÁÏ:ÐzFZÙZCU¹C—TOV¼°¾VzJÈFZ¹WÀMKMÐzFZT:FWR3ÐzCQ´¦®¯FZ´¦®¯CIؗNWV A R B V C ®¯Vz´J9:FZÉNOÉÄFUKM´¦®¯VºJ¹OJ)Vº®¯FZÙZCUÀÁC3ÐzFZÀ « ê°)®¾CIKÁÉĹWÀMKMÐzFl´WC€˜FG®¯C×TWV2ؗNWV¼F×ÐzÀàFG°¾°¾K¬Ï:Ð FGÙZC×TOFZ°‹VzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°‹¹ÛC—TOVÉ×NWT:FZJ‹VzÉTWKVzJ)Vz´¦®¯Vº°Ò¹:FZJ)®¾Vz°ÒTOCITOCQÉ@M´OKÁCYTOV¼J)Vz°¾CZÀMNOÙZC «  °/TWKVzJ)Vz´¦®¯Vº°/Ð F¨®¯VzPZCQJ¾KMFZ°ÅTOVg¿€ÿAÜ?°H}˜¿?Ø¢N:FGÙzڗVz°<ÿAK
VzJ¾Vº´OÐzKMFZKM°ÄÜdFGJ¾ÐzKMFZKM° ~ ¹ChTOVºÉ5°¾VzJºR3PZJ¾CQ°)°¾VzKÁJ¯FZÉIVz´¦®¾VZR—FZ°¾°)C3кKàFZTOFZ°²FGCQ°?TOKVºJ¾Vz´¦®¾Vz°“®¾KM¹CQ°•TOVÈVz°)ÐzC¦FZÉIVz´¦®¾CQ° « ¿•ÉPQVºJ¯FZÀ‚R¢¹OJ¾CQLWÀMVzÉÄFZ°?TOVº¹ÛVº´OTOVz´¦®¾Vz°‹TOCl®¯VzÉI¹C]Vº°)®:GCUFZ°¾°)C3кKàFZTWCQ°€FY¿?ÿµÜ•°ãTOCl®¯KM¹Cl¹:F4J¾FZLZÀMKMкCÄCZN9OKÁ¹ÛVºJ¾LSQÀMKÁÐzC « ¿?ÿµÜ•°µ¹OFZJ¯FZLSQÀÁKMÐ FG°ÈPZCvDZVzJ)´:FZÉ-Vz°¾ÐºC¦FZÉIVz´¦®¯CZ°AÐzCZ´¢®¾Vz´OTWCÉIVzÐzFZ´OKM°)ÉÄCZ°ÈTWV]TOKÁ°¾°)KM¹:FZÙZCOR:кCQÉÄCÄFÄTWKM°¾°)KM¹:FGÙZCUD—KM°)ÐzCQ°¾FÄV¼®¯­zJ)ÉÄKÁÐ F « B=Vº°)®¯V]Ð FZ°)CORCQ°2PZJ¯FZTOKÁVz´¦®¯Vº°µTOVºÐzJ¾Vº°¾ÐºVzJ>GCï¹:FZJ¾FÄDGFZÀMCZJ¾Vz°AÐzJ¾Vº°¾ÐºVz´¦®¯Vº°YTOC/®¾VzÉI¹ÛCORÛ°¾V[FZ°2кCQ´OTOKÁÙzڗVz°TOV¼ÐºCQ´¦®¯CQJ)´OCÄ´!ZC CQJ¾VºÉ TOVº¹ÛVº´OTOVz´¦®¾Vz°ATWCI®¾VzÉI¹ÛC « B×ZC9:F DQVº´OTOCÄÉÄVºÐ FZ´OKÁ°¾ÉICQ°‹TOVTOKÁ°¾°)KM¹:FZÙZCOR€FŠ°¾CQÀÁNOÙGCh®¾VzJ¾ÃhNWÉÅFhFZÉI¹OÀMK¬®¯NOTWVÅÐzCZ´O°)®¯FZ´¦®¯V´OChÐ FZ°)C TOV NWÉÅFh¿?ÿµÜÀÁKM´OVzFZJ‹V¼¹ÛC—TOVzJ¾ÃÄFGNOÉÄVº´¦®·FZJÒÐ FG°¾CIVzÀàF[°¾V¹·¾FI´!ZChêÀÁKM´OVzFZJ « ¿•°+®·F[°¾CQÀÁNOÙZCI­¼PQCEDQVºJ¾´:FZTOF¹CQJ?¿?ÿµÜ•°?TOCµ®¯KÁ¹ÛC9OKÁ¹ÛVºJ¾LSQÀMKÁÐ FZ° «™Â °?¿?ÿµÜ•°?VzÀ%Á¹W®¯KÁÐ FZ°¥Vz°+®:ZC¼´OCQJ)ÉÅFGÀMÉIVz´¦®¯V²FZ°¾°)C3кK
FZTOFZ°ÈF[¹WJ¾CQLOÀÁVzÉÄFZ°ãVºÉJ¾VºPQKMÉIVµ¹VzJ¾ÉÄFZ´OVº´¦®¯V¼V2TOV¼VzØ¢NOKÁÀ%MLWJ¾KMC « ¿•´¦®¯J)Vº®·FG´¢®¾CORFZÀMPZNO´O°¹OJ)CQLOÀÁVzÉÄFZ°²VºÉ J¾VºPQKMÉIVA¹VzJ)ÉÅFG´OVz´¦®¯V2°[ZCUTOVº°¾ÐzJ)KÁ®¾CQ°ã¹CQJ‹¿?ÿµÜ•°Ò¹:FZJ¯FGLQÀÁKMÐzFZ°‘}Vz°)ÐzChFZÉIVz´¦®¾C2TOCA®¯KÁ¹ÛCAÐ FZÉÄFZT:FAÀÁKMÉIKÁ®¾V ~ V‹¿?ÿµÜ•°ž9OKM¹VzJ)LZÀMKMÐzFZ°í}˜Vz°)ÐzC¦FGÉÄVº´¢®¾C2°¾NO¹VzJ)°[Q´WKMÐzC´|GCh¡D—KM°)ÐzCQ°)C ~„« ¿•É °)V×®¯J¯F¨®·FZ´OTWC/TOV×°)KM°)®¾VzÉÄFZ°ATWVUVzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°2TOKVºJ¾Vz´WÐzKàFGKM°zRÛFÅкÀàFZ°)°¾KÁÏOÐ FZÙZC/´|ZC¹C3TWVI°)VzJVzK¬®·F ÉIVzTOKMFZ´¦®¯VUNOÉÄF °¾KMÉI¹OÀÁVz°µKÁ´O°¾¹VzÙZCTOFZ°¼VzØ¢N:FZÙºÚ3Vº° « ?=°¾NOFZÀMÉIVz´¦®¯V[­´OVºÐzVº°¾°¯ÃGJ¾KMCïV]&WFZÉIKM´:FZJ)ÉÄCZ°]FG°]ÐzFZJ¯FZЄ®¯VºJ[M°+®¯KÁÐ FZ°]FZ°¾°)C3кKàFZTOFZ°QÎG°YVzØ¢N:FGÙzڗVz°zR9FÏ:ÉTOVTOV„®¯VºJ¾ÉIKM´:FZJ)ÉÄCZ°ãTOV¼ÉÅFG´OVzKÁJ¯F×ÐzCZJ¾J¾V„®·FIFUÐzÀàFG°¾°¾K¬Ï:Ð FGÙZC « õnÐsõ ÐÏ CŽÞ¸ø/ö\ö\ùe ºøuáKâžÕ™A+Ù Þ¸ø/öãCŽø<ß!øuÔJÙ.ßåä¸öIÔ¦ùeºøžö  J)Vz°)CQÀMNOÙZCÈ´—NWÉÄ­ºJ¾KMÐzFÈTWV“NOÉÄFÒVzØ¢N:FZÙZCµTOK
VzJ¾Vº´OÐzKMFZÀ¦¹:FZJ)ÐzKMFZÀ¦J¾VºØ—NWVzJdØ¢NOV“°¾V¹·¾FZɍCQJ)´OVzкKMT:FG°AÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°2FZN¦&3KÁÀMKàFGJ¾Vz°+}KM´OKÁÐzKàFGÀV×TOV×кCQ´¦®¯CQJ)´OC ~ FGTOVzØ¢N:FZTOFZ° «2 Vz°¾¹VzкK
Ï:ÐzFZÙGCïTOVº°)®·FG°]кCQ´OTOKÁÙzڗVz°]FZN¦&3KMÀÁKàFZJ)Vz°µ¹C3TWVI°)VzJ˜FZÐzKÁÀMK¬®·FZT:FÄÐzCQÉF<KM´¦®¯J)C3TWNOÙZC<TOCкCQ´OÐzVºKÁ®¾C‡TOFZ°ì°[†6‡[†\°„èêä]‡tÌMó„è‚òs°[†¨ó « ¿•É °¾V ®¾J¯FG®¯FZ´OTOCŠTOV<NOÉb¹OJ¾CZLOÀMVºÉÅFgLOKÁTOKMÉIVz´W°¾KMC4´:FGÀ R?Ð FZ°)ChV]&3KM°+®·FZÉbÐ FZJ¾FZк®¾VzJ[Á°)®¾KMÐ FG°UJ¾V FGKM°zR?VºÀàFZ°U°)VzJ>GC‡J)Vz¹OJ)Vz°)Vz´¦®·FZTOFZ°Ä¹CQJ×кNOJ)DGFZ°´OC<KÁ´¢®¾VzJ)KMCQJ=TOC TOCQÉ@M´OKÁCÅTOVUJ)Vz°)CQÀMNOÙZC «] CÀÁCQ´OPQCÅTOVz°+®·FZ°2кNOJ)DGFZ°¼Ð FGJ¯FZЄ®¯VzJM°+®¯KMÐzFZ°°[ZCU¹OJ¾CZ¹:FZP¦FZTOFZ°zRO¹OFZJ¯FYCUKÁ´¦®¯VzJ)KMCQJ“TOCUTOCQÉ@M´WKMCOR—FZ°ãKÁ´JCQJ)ÉÅFZÙºÚ3Vº°²¹OJ)CEDQVz´WKMVz´¦®¾Vz°ÒT:FZ°ÐºCQ´OTOKÁÙzڗVz°€FZN¦&3KMÀÁKàFZJ)Vz° « BÈClÐzFZ°¾C¼TOVÒ¹OJ)CQLOÀÁVzÉÄFZ°<9OKM¹VzJ)LZÀMKMкCQ°dV‹¹OFZJ¯F2ÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°€FZN¦&3KMÀÁKàFZJ)Vz°=ÐzCQ´¦®¯Vº´OTOC<TOVº°¾ÐzCZ´¢®¾KM´¢NOKÁT:FZTOVº°zRVz°+®·FZ°2кCQ´OTOKÁÙzڗVz°¼FZÐzFZJ¾J)Vº®¯FZÉ ´OF/V]&3KM°+®¯ßz´WÐzKàFTOV¼°)CQÀMNOÙºÚ3Vº°ÒؗNWV]°)VzJ>GCIKÁPQN:FZÀÁÉÄVº´¦®¯VµTOVº°¾ÐºCQ´¦®>M´¢N:FG° « Õ¥CZÉÄVºÉÄCQ°[кCQÉÄC V]&3VzÉI¹OÀÁC C ÐzFZ°¾C TWVïNOÉÄF VºØ—NOFZÙZC TOKVºJ¾Vz´WÐzKàFGÀȹOFZJ¾ÐºKàFZÀÒTOV¹OJ)KMÉIVzKÁJ¯FYCQJ)TOVzÉ ´:FCZJ¾ÉÄFJ5 6 •76 • ô×rsbJaa`xܞhbS™3Ýéõ þ# x t C L p p px t HdKÁPQNOJ¯F[\ «Áª 5€Þ²NWJ)DGFIÐzFZJ¯FGк®¯VºJ[Á°)®¯KÁÐ FZ°‹´WCI¹WÀàFZ´OCU®s& « A ∂u ∂t +B ∂u ∂x = C ´:F×Ø¢N:FGÀ A R B V C ¹C3TOVºÉû°)VzJíNW´OÙzڗVz°ãTWV t R x V u R3ÉÅFZ°“´|ZC×¹C—TOVzÉ5°¾VºJíNO´OÙºÚ3Vº°T:FG°ÄTOVºJ¾K¬DZFGT:FZ°UT:FŠDGFZJ¾KMÃEDZVzÀ‹TOVº¹ÛVº´OTOVº´¢®¾V u R€¹ÛCQKÁ°UVzÀMFZ°[¹ÛC—TOVzÉ °¾VzJITOVº°¾ÐzCZ´¢®[M´¢N:FZ°´:FG°=ÐzFZJ¯FZЄ®¯VºJ[M°+®¯KÁÐ FZ° « ¸3NO¹CQ´!9:FGÉÄCQ°ºRFZPQCQJ¾FWR:Ø¢NOV u °)V¸·¾FIVz°¾¹VzкKÁÏ:ÐzFZTOCÅFZCÄÀÁCQ´OPQCITOVNOÉÄF<ÐzNOJ+DZF L ´OC¹OÀàFG´OC t − x RdH¥KMPQNOJ¾F \ «Áª « €FZÉICQ°2®·FZÉYLÛ­ºÉKM´¦®¯J)C3TWN!$zKÁJzR´OVº°)®¯V¹OÀMFZ´OCORuNOÉÄFкNOJ)DGFïÐzFZJ¯FGк®¯VºJ[Á°)®¯KÁÐ F C ؗNWVÅKM´¦®¾VzJ¾ÐºVz¹W®¯FïFÐzNOJ+DZF L ´OC﹏CQ´¦®¯C p TOVкC3CQJ)TOVz´OFZT:FZ°=} xp R tp ~ RQÐzCZ´JCQJ¾ÉIV²J)Vz¹OJ)Vz°)Vz´¦®·FZTWCl´OF2HdKMPQNWJ¯F \ «Áª «9 CµÀMCZ´OPQCATOFµÐzNOJ+DZFÐzFZJ¯FZЄ®¯VºJ[M°+®¯KÁÐ F C ®¯VºÉÄCZ°ÈØ¢NOV ñ S ò du = ∂u ∂t dt+ ∂u ∂x dx ¹:FGJ¯F dt V dx KÁ´WÏ:´OK¬®¯Vº°¾KMÉÄFZKÁ° «Þ²CQÉ×LOKÁ´:FZ´OTWC¨¶—°¾V‡Vz°+®·FZ°ïTON:FZ°gVºØ¢N:FZÙzڗVz°ïTOV ÉIC3TOC&FVºÀMKMÉIKM´OFZJ¾ÉICQ°/C®¾VzJ)ÉÄC ∂u/∂t ( dx dt − B A ) ∂u ∂x = du dt − C AÜ¥FZJ¯F¼Ø¢NOV ∂u/∂x ¹ÛCZ°¾°¯F¼°¾VºJ?KM´OTOV„®¯VºJ¾ÉIKM´:FZTWC2FZC¼ÀMCQ´WPQC2T:F2ÐzNOJ+DGF C R¢TOVºDZVzÉICQ°<˜F6$zVºJ dx dt = B A  ô‘bM’<“)÷Tf|r¡õ+6 •—–+˜f|bS™š!ø6a7›`‰œ+øhgQøQö<4`ZbJ`ZaÛڑb¦gM4`sbJ`‰a Vº°¾ÐzCZÀ%9OVº´OTOCh¡°¾V2FZPZCQJ¯F dy/dx TOV=ÉÅFZ´WVzKMJ¾FlØ¢NOV S °¾V¸·¾F]KM´OTOV„®¯VºJ¾ÉIKM´:FZTWC]FGCYÀMCZ´OPQClT:FкNOJ)DGF[Ð FZJ¾FZк®¾VzJ[Á°)®¾KMÐ F¦5 A ( dy dx )2 −B ( dy dx ) + C = 0  °=кNOJ)DGFZ° y(x) Ø¢NOVl°¯FG®¾KM°˜Fh$zVzÉVº°)®¯FIVºØ—NOFZÙZCÄ°>ZCIÐ:9:FZÉÄFZT:FG°ÈTWV]ÐzFZJ¯FZЄ®¯VºJ[M°+®¯KÁÐ FZ°T:F]VzØ¢N:FZÙZCUTOKVºJ¾Vº´OÐzKMFZÀé¹:FZJ¾ÐºKàFZÀ «d CUÀÁCQ´OPQClTOVz°+®·FZ°‹ÐºNOJ)DGFZ°ºROFZ°“TOVzJ)KÁDGFZT:FG°²°¾VºPQNO´OTOF´|GCÅ°>GC/NO´OKÁÐ FZÉIVz´¦®¯VlTOV„®¯VzJ)ÉÄKÁ´:FZT:FG°È¹VzÀÁCQ°ÒDZFGÀMCQJ)Vz°ÈVz°¾¹VzкKÁÏ:ÐzFZTOCQ°=TOV u V]TOVl°¾N:FZ°TOVºJ¾K¬DZFGT:FZ°‹¹OJ)KMÉIVzKMJ¾FYV¼TOVz°)ÐzCQ´¦®¾KM´¢NOKMTOFZTOVz°Ò´:FG°ÈTWVzJ¾K¬DGFZT:FZ°‹TOV¼ÉÄFZKM°ãFZÀÁ®¯FYCQJ¾TWVzɹChTOVºÉ V‚&WKÁ°)®¾KMJ « B=Vº°)®¯VUÐzFZ°¾CWRFÅVzØ¢N:FGÙZC TOK
VzJ)Vz´OкKàFZÀu¹:FZJ)ÐzKàFGÀdFZ´¦®¾VzJ¾KÁCQJÒÏ:Ð F/J)VzTON!$ºKMT:FÎ[°¾VºPQNOKM´¦®¾VCZJ¾ÉÄFJ5 [ A ( dP dx ) +H ] dy dx + C dQ dx = 0  °)°¾KMÉû°¾Vº´OTOCORéFZ°‹TWN:FZ°ÒJ¯F6$zVº°‹T:FUVzØ¢N:FZÙZCÄØ¢N:FGTOJ¯ÃG®¾KMÐzF×VzÉ dy/dx TOV„Ï:´OVzÉ FG°TOKÁJ¾VºÙzڗVz°ÒÐ FZJ¾FZк®¾VzJM°)®¾KMÐzFZ°‹¹:FZJ¾FIFG°ÈØ¢N:FGKM°ÒF[VzØ¢N:FZÙZCÅFGÐzKMÉÄF×­µDGÃZÀMKÁT:F «ÿACQ°UJ)Vz°¾NWÀÁ®·FGTOCQ°×TOCŠ¹WJ¾KMÉIVzKÁJ¯F°¾VzÙZCOR•DQVºÉÄCZ°UؗNWV<FZ°U¿?ÿµÜ•°U®·FZÉ×L­zÉ ¹C3TOVºÉ°)VzJÈÐzÀàFG°¾°¾K¬Ï:Ð FGT:FZ°‹TOVlFZкCQJ¾TOC[кCQÉFZ°ÒÐ FGJ¯FZЄ®¯VzJM°+®¯KMÐzFZ°5 K ~ VºÀ%Á¹W®¯KÁÐ FWR3Ð FZ°)CÄFG°ÈÐzFZJ¯FGк®¯VºJ[Á°)®¯KÁÐ FZ°‹°)V¸·¾FZÉ ÐzCQÉI¹OÀMV‚&WFZ° êKMK ~ ¹OFZJ¯FZLSQÀÁKMÐ F3R3ÐzFZ°¾CIV]&3KM°+®·F[NOÉÄF[ÐzFZJ¯FGк®¯VºJ[Á°)®¯KÁÐ F×J)V FZÀ êKMKÁK ~ 9WKM¹VzJ¾LSQÀÁKMÐ F3R3ÐzFZ°¾CÄFZ°ÒTON:FZ°ÒÐzFZJ¯FZЄ®¯VºJ[M°+®¯KÁÐ FZ°‹°)V¸·¾FZÉJ)V FZKÁ° « Ü¥CQJ+®·FZ´¦®¾COR:FUTOVº®¾VzJ)ÉÄKÁ´:FZÙGCUTOC[TOKM°)ÐzJ¾KÁÉÄKÁ´:FZ´¦®¯VGR B2 − 4AC ROTWVº®¯VºJ¾ÉIKM´:FUCU®¯KÁ¹ÛCT:FI¿?ÿµÜVlF[´:FG®¯NWJ¾V$zFITOFZ°‹Ð FZJ¾FZк®¾VzJM°)®¾KMÐzFZ° « õnÐsõ Ðsõ Û<ænÝ×øuáKç Ù ö´ø™è éìø<ßJùGê>ëžÙ ù¸ö©ì ×Ö×Ù"A+Ù{×ÖÚÙ{zÔ¦Ù ö ¿•É °)V²®¯J¾FG®·FG´OTOCµTOV²ÉÅFZKÁ°¥TWV²TON:FG°dDGFZJ¾KMÃEDZVzKÁ°dKM´WTOVz¹Vz´OTWVz´¦®¯Vº°zR¦°¾VºJ¯ÃµÐºCQ´¦DQVz´WKMVz´¦®¾V®¾J¯FZL:FGÀ%9:FZJ)ÉÄCZ°ãÐzCQÉF[VºØ¢N:FZÙGCÄTOK
VzJ)Vz´OкKàFZÀ!´OF CZJ¾ÉÄFJ5 N∑ j=1 N∑ k=1 ajk ∂2u ∂xj∂xk +H = 0 CQ´WTOV N ­/Cï´I§OÉIVzJ)CgTOVÅDGFZJ)Kàà DQVºKM°lKM´OTOVº¹ÛVº´OTOVº´¢®¾Vz°UVÄCQ° ajk °>ZCgCZ°YÐzC—VºÏOÐzKMVº´¦®¯Vz°T:F ÉÄFG®¯J)K%$ A «Y ÐzÀàFG°¾°¾K¬Ï:Ð FGÙZC T:FG°¼¿€ÿAÜ?°¼°)VzJ¯Ã<CQLW®¾KMT:F3Rå´OVº°)®·F ÐzFZ°¾COR™F ¹:FGJ)®¯KÁJAT:FFZ´OÃZÀMKÁ°¾V2TOCQ°ÒFGNW®¯CEDGFZÀMCZJ¾Vz°‹TOFIÉÄFG®¯J)K%$ A 5 K ~ VºÀ%Á¹W®¯KÁÐ FWRé°¾Vl®¯C—TOCQ°=CQ°µFZN3®¯CEDGFZÀMCQJ)Vz°È°>ZCÅTOKVºJ¾Vz´¦®¾Vz°µTOV+$zVºJ¾C V]®¾ßzÉ C/ÉIVz°)ÉÄC°)KM´:FGÀ êKMK ~ ¹OFZJ¯FZLSQÀÁKMÐ F3R3°)VYFZÀÁPQNOÉ TOCQ°ÈFZNW®¾CEDZFGÀMCQJ)Vz°nCQJ‹´¢NOÀÁC êKMKÁK ~ 9WKM¹VzJ¾LSQÀÁKMÐ F3R—°)V2®¯C—TOCQ°ãCQ°ãFZNW®¯CEDGFZÀÁCQJ¾Vº°ã°>ZC[TOK
VzJ)Vz´¦®¯Vº°‹TOV$zVºJ¾C[Vµ®¯C—TOCQ°ºRWÉIV]´WCQ°ÒNOÉR3®¯KÁDZVzJ)VzÉCIÉÄVº°¾ÉICU°¾KÁ´:FZÀ « 6 •76 • ô×rsbJaa`xܞhbS™3Ýéõ uš õnÐsõ Љÿ ?Qß!øu×ö—í:Õ<ß|ýØøuáKâžÕ ÖÚكCŽÕ Õ<ß!ÖÚÙ{×øžÖ×øžö €FZÉICQ°µ´OCQ°2¹WJ¾VzC—ÐzNW¹:FZJ¼FZPQCZJ¯F/ÐzCZÉ C Ø¢NOVIFZÐzCZ´¢®¾VzкVIкCQÉF кÀàFZ°)°¾KÁÏOÐ FZÙZC T:FZ°¿?ÿµÜ•°zRuØ¢N:FZ´OTWCKÁ´¢®¾J¾C—TON!$ºKMÉICQ°ANOÉÄF/®¯J¾FZ´O°CZJ¾ÉÄFZÙZC TWVUÐzC—CQJ¾TOVº´:FZT:FG° «U °¼´OCEDGFZ°DGFZJ)Kàà DQVºKM°²KÁ´OTOVº¹ÛVº´OTOVz´¦®¾Vz° (ξ, η) °)VzJ[ZCUKM´¦®¯J)C3TWN!$zKÁT:FZ°€´OCUÀMNOPQFZJ“TWV (x, y) VµFZ°)°¾NOÉIK
J)VzÉICQ°]Ø¢NOVÅFZ°¼®¯J¯FG´O°CQJ)ÉÅFGÙzڗVz° ξ = ξ(x, y) V η = η(x, y) °>ZCÐzCQ´J9OVzкKMT:FZ° « B=CÐzFZ°¾CIPQVzJ¾FZÀ RW°¯FZLVzÉICQ°‹Ø¢NOVl¹:FZJ¯F u(ξ, η) ∂u ∂x = ∂ξ ∂x ∂u ∂ξ + ∂η ∂x ∂u ∂η ∂u ∂y = ∂ξ ∂y ∂u ∂ξ + ∂η ∂y ∂u ∂η ∂2u ∂x2 = ( ∂ξ ∂x ∂ ∂ξ + ∂η ∂x ∂ ∂η )( ∂ξ ∂x ∂ ∂ξ + ∂η ∂x ∂ ∂η ) u ∂2u ∂y2 = ( ∂ξ ∂y ∂ ∂ξ + ∂η ∂y ∂ ∂η )( ∂ξ ∂y ∂ ∂ξ + ∂η ∂y ∂ ∂η ) u ∂2u ∂x∂y = ( ∂ξ ∂x ∂ ∂ξ + ∂η ∂x ∂ ∂η )( ∂ξ ∂y ∂ ∂ξ + ∂η ∂y ∂ ∂η ) u  °¾°¾KÁÉRW¹ÛC—TOVzÉICQ°‹J)VzVz°)ÐzJ)VºDQVºJµFI¿?ÿµÜ´:F CQJ¾ÉÄFWR A′ ∂2u ∂ξ2 +B′ ∂2u ∂ξ∂η + C ′ ∂2u ∂η2 +H ′ = 0 CQ´WTOVZR A′ = A ( ∂ξ ∂x )2 +B ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y + C ( ∂ξ ∂y )2 B′ = 2A ∂ξ ∂x ∂η ∂x +B ( ∂ξ ∂x ∂η ∂y + ∂ξ ∂y ∂η ∂x ) + 2C ∂ξ ∂y ∂η ∂y C ′ = A ( ∂η ∂x )2 +B ∂η ∂x ∂η ∂y + C ( ∂η ∂y )2 ÿAVz°+®¯Vº°ãJ¾Vº°¾NOÀ¬®·FZTOCZ°€DZVzÉICQ°²Ø¢NOVµC]TOKM°)ÐzJ)KMÉIKM´:FZ´¦®¾V B′2 − 4A′C ′ ¹ÛC—TOVÈ°¾VzJ“CQLW®¾KMTOCF[¹:FZJ+®¯KMJ²T:FUJ¾VzÀMFZÙGC!5 B′ 2 − 4A′C ′ = J2 ( B2 − 4AC ) CQ´WTOV J ­<C‘îQFZÐzCZLOKàFZ´WC‡TOFh®¾J¯FZ´O°CQJ¾ÉÄFZÙZCŠTOVÐzC—CQJ¾TOVº´:FZT:FG° J = ξxηy − ξyηx «¿•°)®¾VÅKÁÉŏCQJ)®¯FZ´¦®¯VUJ)Vz°¾NWÀÁ®·FGTOCPQFZJ¯FZ´¦®¾VÄØ¢NOVÄFкÀàFZ°)°¾K¬Ï:Ð FZÙZCT:FZ°]¿€ÿAÜ?°]KM´OTWVz¹Vz´OTOVTOCI°¾KÁ°)®¾VzÉÄF[TWVlкC3CZJ¾TOVº´:FZT:FZ° « Ûü ô‘bM’<“)÷Tf|r¡õ+6 •—–+˜f|bS™š!ø6a7›`‰œ+øhgQøQö<4`ZbJ`ZaÛڑb¦gM4`sbJ`‰a õnÐsõ Ð ï ù¸öMÔJÙRýØø ÖÚÙÜÛ<ænÝÚøá¦ç Ù ö BAFg¹OJ¾ÃG®¯KÁÐ FWR?кCQÉÄCgDZVzJ)VzÉICQ°U´OC ÞãFZ¹!¬®¯NOÀÁC ½ R€FZ°UVzØ¢N:FGÙzڗVz°IؗNWVPZCvDZVzJ)´:FZÉ CVº°¾ÐzCQFZÉÄVº´¦®¯CïTWV Ï NOKMTOCZ°CZJ¾ÉÄFZÉ NOÉ °¾KM°+®¯VºÉÅFFZC<KM´¦DQ­º°]TWVÄNOÉÄF£§O´OKÁÐ F VzØ¢N:FZÙZC «¿•É °¾V<®¯J¾FG®·FZ´WTOC TOVNOÉ °)KM°)®¾VzÉÄF‡TWVïTON:FG°Å¿?ÿµÜ•°/кCQÉ TOVzJ)KÁDGFZT:FG°ITWVï¹OJ)KMÉIVzKMJ¾FCQJ)TOVzÉ ´:FZ°ÒTON:FZ°‹DGFZJ)Kàà DQVºKM°‹KM´WTOVz¹Vz´OTWVz´¦®¯Vº°zR¹ÛC—TOVzÉICQ°‹J)Vz¹OJ)Vz°¾Vº´¦®·Ã4¡ÀMC[ÐzCQÉIC!5 A ∂~q ∂x +B ∂~q ∂y = [ A11 A12 A21 A22 ]      ∂u ∂x ∂v ∂x      + [ B11 B12 B21 B22 ]      ∂u ∂y ∂v ∂y      = [ D1 D2 ] = ~D CQ´WTOV¼CIDZVº®¯CZJ ~q ®¯VºÉÐzCQÉIC[ÐzCQÉI¹CQ´OVz´¦®¾Vz° u(x, y) V v(x, y) « €FZÉICQ°¥TWVº®¯VºJ¾ÉIKM´:FGJzRZVºÉ°)VzPQNWKMT:FWRZؗNOFZKM°¥°>ZC¼FZ°¥ÐzCQ´WTOKMÙºÚ3Vº°9¹:FZJ¾FAØ¢NOV²®¯Vº´!9:FZÉICQ°°)CQÉÄVº´¦®¯VlFZ°ÒTOKVºJ¾Vº´OÐzKMFZKM°²®¾CZ®·FGKM°5 [ du dv ] =      ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y      [ dx dy ] FZC=ÀMCQ´WPQCÒT:FZ°uTOKMJ)VzÙzڗVz°uÐ FGJ¯FZЄ®¯VzJM°+®¯KMÐzFZ° dy/dx « Ü¥FZJ¯FÈCA°)KM°)®¾VzÉÄFÈTWV“VºØ—NOFZÙzڗVz°¥T:FZTOCORKÁ°)®¯C[­¼VzØ¢NOK¬DGFZÀMVº´¢®¾VlF[¹WJ¾C—ÐzNOJ¾FZJ¾ÉICQ°‹É×NOÀ¬®¯KÁ¹OÀMKÁÐ FZTOCZJ¾Vz° L1 V L2 ®¯FZKM°²Ø—NWV65 L1 ( A11 ∂u ∂x +B11 ∂u ∂y + A12 ∂v ∂x +B12 ∂v ∂y ) +L2 ( A21 ∂u ∂x +B21 ∂u ∂y + A22 ∂v ∂x +B22 ∂v ∂y ) = m1du+m2dv = L1D1 + L2D2CQNFZKÁ´OT:FWR (L1A11 + L2A21) ∂u ∂x + (L1B11 + L2B21) ∂u ∂y + + (L1A12 + L2A22) ∂v ∂x + (L1B12 + L2B22) ∂v ∂y = m1du+m2dv ÿµFG°=J)VzÀàFGÙzڗVz°‹T:FZ°ÒTOK
VzJ)Vz´OкKàFZKÁ°²®¯CZ®¯FZKM°²VzÉ du V dv R    L1A11 + L2A21 = m1dx L1B11 + L2B21 = m1dy L1A12 + L2A22 = m2dx L1B12 + L2B22 = m2dy 6 •76 • ô×rsbJaa`xܞhbS™3Ýéõ   ÞãFZ°¾C f : R → C CQJ‹NOÉÄF€NO´OÙZC[TOV¼TOVzкJ¾Vz°)ÐzKÁÉÄVº´¢®¾CÅJ¾ÃZ¹OKMTWCORWVº´¢®>ZCOR F (Dnf) = (iσ)nF(f)¹:FGJ¯F×®¯C—TOC[KM´¦®¯VºKMJ)C n ≥ 1 « XïFZKM°‹PZVzJ¯FGÀMÉIVz´¦®¯VGRO°¾V P (x) ­¼NOɹCQÀÁKM´!QÉIKMCWR F [P (D)f ] = P (iσ)F(f)CQ´WTOV Dn KM´WTOKMÐzFIFUTOVºJ¾K¬DZFGT:FUTOV¼CQJ¾TOVºÉ n «ÿAV˜FG®¯CWROT:FU¹OJ¾CZ¹OJ¾KÁVzT:FZTWVlTWVlÀÁKM´OVzFZJ¾KÁT:FZTOV=¹ÛC—TOVºÉÄCQ°‹Vº°¾ÐºJ¾VºDZVzJ¢5 F [( αD + βD2 + δD3 + . . . ) f ] = αF(Df) + βF(D2f) + δF(D3f) + . . . ¹OÀMKÁÐ FZ´OTWChê°)V¼FU®¾J¯FZ´W°CQJ)ÉÅFZTOF×TOVlHéCZNOJ¾KÁVzJÒFZC[¹OJ)KMÉIVzKMJ)CY®¯VºJ¾ÉICOR F(f) = 1√ 2π ∫ +∞ −∞ e−iσxf ′(x) dx Ø¢NOV]FZ¹SQ°‹KM´¦®¯VºPQJ¯FGÙZC[¹CQJ‹¹:FZJ+®¯Vz°¢5 F(Df) = 1√ 2π     e−iσxf(x) ∣ ∣ ∣ +∞ −∞ ︸ ︷︷ ︸ =0 +iσ ∫ +∞ −∞ e−iσxf(x) dx     = iσF(f) ÿµF[ÉIVz°¾ÉÄF€CQJ¾ÉÄF×CQLW®¾VzÉICQ°5 F(D2f) = 1√ 2π     e−iσxf ′(x) ∣ ∣ ∣ +∞ −∞ ︸ ︷︷ ︸ =0 +iσ ∫ +∞ −∞ e−iσxf ′(x) dx     = (iσ)2F(f)  °¾°¾KÁÉRW¹ÛCQJ‹KÁ´OTONOÙZC[¹ÛC—TOVºÉÄCQ°‹TWVzÉICQ°)®¾J¯FZJ‹Ø¢NOV F [P (D)f ] = P (iσ)F «Â ¹OÀÁKMÐzFZ´OTOCh¡°¾VGRWVzÉ °¾VzPZNOKMT:F3RéFU®¾J¯FZ´W°CQJ)ÉÅFZTOF×TOVlHéCZNOJ¾KÁVzJ=ÎUVzØ¢N:FZÙZCOR A ∂2u ∂x2 +B ∂2u ∂x∂y + C ∂2u ∂y2 = 0 CQL3®¯VzÉICQ°ÒÐzCZÉÄCUJ)Vz°¾NWÀÁ®·FGTOC!5 [ A (iσx) 2 +B(iσxiσy) + C (iσy) 2] û = 0CQNFZKÁ´OT:FWR [ −A ( σx σy ) −B ( σx σy ) − C ] û = 0 CQ´WTOV û = F(u) ­ F®¾J¯FZ´O°CQJ¾ÉÄFZT:FTOV H:CQNOJ)KMVzJlTOV u(x, y) V Fg´OFG®¯NOJ)V$zFgTOVz°+®·FVºØ—NOFZÙZC[TOVº¹ÛVº´OTOV¼T:FZ°²J¯F6$zVz°²TOVz°+®¯V2¹CQÀMKÁ´!QÉIKMCOR¦CQN °)V¸·¾FWR3TOCQ°‹ÐºC3V„Ï:ÐzKÁVz´¦®¯Vº° A R B V C кCQ´JCQJ)ÉÄV2TOVº°¾ÐºJ¾KÁ®¾C[´:FŸ—VzÙGC \ « \ «¿•°)®¯VÅÉÄ­„®¯C—TOCïTOVÅCQLW®¯Vº´OÙGCŠTOCg¹CQÀMKÁ´!QÉIKMC<Ð FZJ¾FZк®¾VzJM°)®¾KMкCï°¾V/FZ¹OÀMKÁÐ F¹:FZJ¯F A R B V C NO´OÙzڗVz°IT:FZ°UDGFZJ)Kàà DQVºKM°[KM´OTWVz¹Vz´OTOVº´¦®¯Vz° « ÞãFZ°)C Vz°+®¯Vº°ÄкC3V„Ï:ÐzKÁVz´¦®¯Vº°Å°¾V¹·¾FZɍNO´WÙzڗVz°²TOFZ°€DGFZJ)Kàà DQVºKM°?TOVº¹ÛVº´OTOVz´¦®¾Vz°zRW­=´OVºÐzVº°¾°¯ÃGJ¾KMC2±ÝкCQ´OPQVºÀàFZJ)ÉÄCQ°Ý»ãCZ°“°)VzNO°€DZFGÀMCQJ)Vz°ÀÁC3ÐzFZKM°‹FG´¢®¾Vz°ÈTOVlFZ¹OÀÁKMÐ FGJ¾ÉICQ°ãF×®¯J¾FZ´O°CQJ¾ÉÄFZT:F×TOVlH:CQNOJ)KMVºJ ñ Ê ò «  " ô‘bM’<“)÷Tf|r¡õ+6 •—–+˜f|bS™š!ø6a7›`‰œ+øhgQøQö<4`ZbJ`ZaÛڑb¦gM4`sbJ`‰a 8½f… ñLj‹ÁŒ•´;]ÉÒ Ž òØÉÒ ó·ñ Á+Ã.ÀRÁ  ´¦®¯Vº°ãTOV=¹OJ¾CQ°)°¾VºPQNOKMJ)ÉÄCZ°²ÐzCZÉûF]KM´¦®¯VºJ¾¹OJ)Vº®·FGÙZCQÁ°¾KÁÐ F¼TOCQ°ãTOK
VzJ)Vz´¦®¯Vº°²®¯KÁ¹ÛCQ°€TOV¿?ÿµÜ•°zRDGFZÉICQ°ADZVzJ2C Ø¢NOV[°¾KÁPQ´OKÁÏOÐ FÅNOÉ ¹OJ¾CZLOÀMVºÉÅFILÛVºÉ¡¹ÛCQ°+®¯C/VºÉ ®¾VzJ¾ÉICQ°µÉÄFG®¾V]ÉÄÃG®¯KÁÐzCQ° « ÿAK$zVzÉICQ°×Ø¢NOV/FZ°×VzØ¢N:FGÙzڗVz°UØ¢NOV PQCEDQVºJ¾´:FGÉ NOÉuVz´!ZÉÄVº´OCìM°)KMÐzCV FZ°°)N:FZ°ÈÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°‹KÁ´OKMкKàFZÀÛV2TOV¼ÐzCQ´¦®¾CQJ¾´OCCQJ)ÉÅFZÉ NOɹWJ¾CQLOÀÁVzÉÄF×LÛVºÉ¡¹ÛCZ°)®¯C[°)V65 K ~ NWÉÅFU°¾CZÀMNOÙZC[V]&3KM°+®¯V ê KMK ~ FU°)CQÀMNOÙZC[­§O´OKMÐzF ê KMKÁK ~ FU°)CQÀMNOÙZC[TOVz¹Vz´WTOV]кCQ´¦®¯KÁ´—NOFZÉÄVº´¦®¯V¼TOCQ°ÒT:FZTWCQ°ÒKM´OKÁÐzKàFGKM° « B=CQJ)ÉÅFGÀMÉIVz´¦®¯VGRãF Ø¢NOVº°)®>ZCT:F V‚&3KM°)®¾ßz´OкKàF TOF °¾CQÀÁNOÙGC ´|ZC ÐzJ)KàFZJ¾Ã ´OVº´!9¢NOÉÅFTOK¬Ï:ÐzNWÀMT:FZTWVZR™F/´|ZC<°)VzJ¼´OC Ð FG°¾C<T:F J¾Vº°¾CQÀÁNOÙZC<T:F/VºØ¢N:FZÙGCTOV2™FZ¹WÀàFZкVUÐzCQÉ NOÉ®¾VzJ¾ÉIC CQ´¦®¯V¼´OC[KM´¦®¾VzJ¾KÁCQJãTOCITOCQÉ@M´WKMC×TOV¼J)Vz°¾CZÀMNOÙZC ñ Ê ò‚«Þ²CQ´OTOKÁÙzڗVz°ÒTOVl´|ZCh¡NO´OKÁÐzKMTOFZTOVµ°)V]TOV„DQVºÉ-NW°¾N:FZÀÁÉÄVº´¦®¯VlFZC˜FG®¯C[TOVlØ¢NOVYFG°ÈкCQ´¦TOKÁÙzڗVz°•TOV²ÐzCQ´¦®¯CZJ¾´OC¼´|ZC2°[ZC2KMÉI¹CQ°)®¯FZ°9FZTWVzØ¢N:FZT:FGÉÄVº´¢®¾V‹TOVÒFZкCQJ¾TOC2кCQÉ Cµ®¾KM¹CµTOV¿?ÿµÜ « ¿•É PQVzJ¾FZÀ RF@˜FGÀÁ®·F[TOV]ÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°ÈTOV]ÐzCQ´¦®¯CZJ¾´OC FGÐ FZJ)J¾Vº®¯FÄ´:FÄ´|ZCh¡NO´OKMкKMT:FGTOVTOVÈ°¾CZÀMNOÙZC]VÒClV]&3ÐzVº°¾°)CUTOVÒÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°€ÀMV„DGFlF¼°¾CZÀMNOÙºÚ3Vº°zR—¹OJ[&3KMÉÄFZ°•T:FJ¾CQ´¦®¾VzKMJ¾FlVºÉØ¢NOVº°)®:GCOR™Ø—NWVI´!ZC °>ZC£Á°¾KMÐzFZ° « ¿&3KM°)®¾VzÉ FGÀMPQNO´W°µ¹OJ¾CZLOÀMVºÉÅFZ°ATOVUVz°)ÐzC¦FZÉIVz´¦®¾CØ¢NOV¹C3TWVzÉFGTOÉÄK¬®¯KÁJ“É€§WÀÁ®¯KÁ¹OÀàFG°“°)CQÀMNOÙºÚ3Vº°nM°)KMÐ FG° « ¿•°)®¯FZ°Ò°¾K¬®¯N:FZÙºÚ3Vº°‹´OCQJ)ÉÅFZÀÁÉÄVº´¦®¯VµFG¹:F4J)VzÐzVºÉ´OC ÐzFZ°¾C TOVUVº°¾ÐºC¦FZÉIVz´¦®¯CQ°2°)C6J¾Vº´OTOC ®¯J¾FZ´O°)KMÙzڗVz°AVz´¦®¯J)VUCQ°2J¾VºPQKMÉIVz°=ÀàFZÉIKM´:FGJV2®¯NWJ¾LONOÀÁVz´¦®¯C «³ §OÀÁ®¾KMÉIC‡ÐºJ¾K¬®¯­zJ)KMC J¾VzØ¢NOVºJ Ø¢NOVg¹VzØ¢NOVz´OFZ° É×NOT:FG´OÙ FZ°Ä´:FZ°/кCQ´OTOKÁÙzڗVz°/KÁ´OKMкKàFZÀVTOVкCQ´¦®¯CQJ)´OCOR‹FGÐ FZJ)J¾Vº®¾VzÉ °¾CZÉÄVº´¢®¾V¹VzØ¢NOVº´:FZ°/ÉYNOT:FZ´OÙzFZ°I´:F °)CQÀMNOÙZC « Þ²CZÉÄC´:F J¾Vº°¾CQÀÁNOÙZC#´¢NOÉI­zJ)KMÐ F FZ°ÐzCQ´WTOKMÙºÚ3Vº°FGN¦&3KMÀMKMFZJ¾Vº°Ž}˜KÁ´OKMкKàFZÀÈV TWV кCQ´¦®¯CQJ)´OC ~ °>ZCKÁ´¢®¾J¾C—TON!$ºKMT:FZ°UкCQÉ FZ¹OJ)C&WKÁÉÅFGÙzڗVz°zR€Fh´|ZChCQLO°)VzJ+D6{G´OÐzKMF‡TOVº°)®¾VкJ¾KÁ®¾­zJ)KMC¤˜FZJ¯ÃŠÐºCQÉØ¢NOV“CQ°¥VºJ¾J)CQ°™°¾V²¹WJ¾CQ¹:FGPQNOVzÉ ´WC=TOCZÉ7Á´OKMC‹TOV€J¾Vº°¾CQÀÁNOÙGCORGÐzFZNO°¾FZ´OTOC=NOÉ ÐzJ)Vz°¾ÐºKMÉIVz´¦®¯CJ¾ÃZ¹OKMTWC]T:Fl°¾CQÀÁNOÙGC]´¢NOÉI­zJ)KMÐ F3R—¹OFZJ)®¾KMÐzNWÀàFZJ)ÉÄVº´¢®¾V‹´OCYÐzFZ°¾C]T:FZ°“¿?ÿµÜ•°í9OKÁ¹ÛVºJ¾LSQÀMKÁÐ FZ° «¿•°)®¯Vº°¼ÐzJ¾K¬®¯­ºJ¾KMCZ°2°>ZC<NO°)N:FZÀMÉIVz´¦®¾V[FG®¯J)KMLON!ÁTOCQ°2F<Ì=FZT:FZÉÄFZJ¾T ñ Ê ò‚« Þ²CQÉI¹OÀMVºÉÄVº´¦®¯FZ´OTOC C Ø¢NOV€CQK¥TOKÁ®¾COR¹ÛC—TOVzÉICQ°×˜Fh$zVzJANOÉ ¹:FGJ¯FZÀÁVzÀMCIVUTOV„Ï:´OKMJ)ÉÄCZ°ANOÉ ¹OJ¾CQLWÀMVzÉÄFкCQÉĹWNW®·FZкKMCQ´OFZÀ!LVzÉ 깏CQ°)®¾CUÐzCQÉIC[°¾Vz´WTOCÅFGؗNWVzÀMV¼CQ´WTOV65 K ~ NWÉÅFU°¾CZÀMNOÙZC[ÐzCQÉI¹ONW®¯FZÐzKÁCQ´:FZÀÛV]&3KM°+®¯V ê KMK ~ FU°)CQÀMNOÙZC[ÐzCQÉI¹ONW®¯FZÐzKÁCQ´:FZÀå­§O´OKMÐzF ê KMKÁK ~ Fg°)CQÀMNWÙZCgкCQÉI¹ONW®·FGÐzKMCZ´:FZÀ?TOVz¹Vz´WTOV<ÐzCQ´¦®¯KÁ´¢N:FZÉIVz´¦®¯V/TWCQ°×T:FZTWCQ°×KM´WKMÐzKMFZKM°¼VTOFZ°ÒÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°ÒTOV¼ÐºCQ´¦®¯CQJ)´OCÄ´¢NOÉI­zJ)KMÐzFZ° « ³ ¹OJ)C3кVz°¾°)CYTOVÈCQLW®¾Vz´OÙZCYTWV=NOÉÄF¼°¾CQÀÁNOÙZC¼ÐºCQÉĹWNW®·FZкKMCQ´OFZÀ:¹:FZ°)°¯F]¹VzÀMF2Vz°¾¹VzкK
Ï:ÐzFZÙGCFG¹OJ¾C&3KMÉÄFZT:FIT:FZ°2ÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°2FZN¦&3KÁÀMKàFGJ¾Vz°ºR幏VzÀMFÅTOKM°)ÐzJ)Vº®¯K$ FZÙZC/T:FG°¼¿€ÿAÜ?°¼V¹VzÀMFÈKÁÉĹOÀÁVzÉIVz´¦®·FGÙZC‹TOC=FZÀÁPQCQJ¾K¬®¯ÉICã´¢NOÉI­zJ¾KÁÐzC « Ü¥CZJ)®·FG´¢®¾COR¨¹:FZJ¯FÒØ¢NOV²NWÉ ¹OJ¾CQLWÀMVzÉÄF 6 •¢¡•ôÚ3gQõ.qrêø õçböÄø õø÷GÚlõJaQ÷„õ  # R ~n ~s ∂R HdKÁPQNOJ¾F[\ « \ 5?ÿACQÉ@M´OKÁC×ÐzCQÉI¹ONW®¯FZÐzKÁCQ´:FZÀ R « кCQÉĹWNW®·FZкKMCQ´OFZÀé°¾V¸·¾F]LÛVºÉ¡¹ÛCQ°+®¯COR¢­=´OVzкVz°¾°¾ÃZJ¾KÁCUØ¢NOVµCY¹WJ¾CQLOÀÁVzÉÄF]ÉÄFG®¯VºÉÅ讯KMкC¼°¾V¸·¾FLVzÉ 깏CQ°)®¾CVÄØ¢NOVÅCïFZÀMPQCZJ¾KÁ®¾ÉÄC °)V¸·¾FïVº°)®¯ÃEDZVzÀ « H¥KMÐ F<Vz´¦®¾Vz´OTOKÁTOCŠFZØ¢NOK€Ø¢NOV/F°¾CQÀÁN¦ÙZC‡FZ¹OJ¾C&3KMÉÄFZT:F3R€¹WJ¾C—TON!$zKÁT:Fg¹VzÀMCŠ¹WJ¾CQLOÀÁVzÉÄFgÐzCQÉI¹ONW®¯FZÐzKÁCQ´:FZÀ“LÛVºÉU¶¢¹ÛCQ°+®¯COR?°)VzJ¯Ã¹OJ&WKÁÉÅFUT:FU°)CQÀMNOÙZC[V]&WFG®¯FITOC[¹OJ)CQLOÀÁVzÉÄF×ÉÅFG®¾VzÉÄÃG®¯KÁÐzC×LVzÉ׶—¹CQ°)®¾C « õnЉÿ¶ÐÏ CŽÕu×Ö×ùeá¦ç Ù ö ÖÚكCŽÕuzÔ¦Õ<ß·ÚÕ Ù
ìgÚùGù¸ø/ù¸ö ÿµFÄTWKM°¾ÐºNO°¾°[ZC<FZ´¦®¯VºJ¾KÁCQJ=°)CQLOJ)VYCQ°=¹OJ¾CQLWÀMVzÉÄFZ°ÒLVzÉ 깏CQ°)®¾CQ°zRéÏ:ÐzCZNgÐzÀMFZJ¾CIØ¢NOVUFZ°ÐºCQ´OTOKÁÙzڗVz°¥FZN¦&3KMÀÁKàFZJ)Vz°°>GCACA¹CQ´¦®¯CÈTOV“¹:FZJ)®¾KMT:F‹´:FÈCQLW®¾Vz´OÙZCAT:FÈ°¾CQÀÁNOÙGC=´OC=KM´¦®¯VºJ¾KÁCQJTOC2TWCQÉ7Á´OKMCÈTOVãJ)Vz°)CQÀMNOÙZC «¥Â °9кCQ´OTOKÁÙzڗVz°dKÁ´OKMкKàFZKÁ°™°>ZC‘CQJ)´OVzкKMT:FG°dKM´WKMÐzKMFZÀMÉIVz´¦®¾V€VºÉ®¾C3TOCÅC TOCQÉ@M´OKÁC R TOV×J)Vz°)CQÀMNOÙZCORÛVz´OØ¢N:FZ´¦®¾CØ¢NOV[FG°µÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°µTOV×кCQ´¦®¯CQJ)´OC °>GCVº°¾¹VzÐzK¬Ï:Ð FGT:FZ°È´:F€J¾CQ´¦®¯VºKMJ¾F ∂R TOVz°+®¯V¼TOCQÉ@M´OKÁCOR—´:FZ°Ò°¾VºPQNOKM´¦®¾Vz°Ò®¯J¾ßº° CQJ¾ÉÄFZ°5 K ~ кCQ´OTOKÁÙZC[TOVlÿAKÁJ¾KÁÐ:9OÀMV„® R u = f VzÉ ∂R ê KMK ~ кCQ´OTOKÁÙZC[TOVlBÈVzNOÉÄFZ´O´!R ∂u/∂~n = f CQN ∂u/∂~s = g VºÉ ∂R ê KMKÁK ~ кCQ´OTOKÁÙZC[ÉIKM°+®·F×CQNTOVlÑÈCZLOKM´!R ∂u/∂~n + ku = f R k > 0 R:VzÉ ∂R « B=FZ°×ÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°×FZN\&WKÁÀMKMFZJ¾Vº°lKÁK ~ VÅKÁKMK ~ R ∂ /∂~n TOVz´OCG®·FgFïTWVzJ¾K¬DGFZT:F´WCQJ¾ÉÄFZÀ?TOKMJ)VzкKMCh´:FGT:FÄTOV]TOVz´¦®¾J¾CŹOFZJ¯FCQJ¯F[TOCÅTWCQÉ7Á´OKMCUTWVYJ¾Vº°¾CQÀÁNOÙGCÄV ∂ /∂~s KÁ´OTOKÁÐ F[FÄTOVºJ¾K¬DZFGT:F®¯FZ´OPQVº´OÐzKMFZÀ RWHdKMPQNWJ¯F \ « \ «¿&WKÁ°)®¾VzÉ ®¾J¾ßº°Å®¯KÁ¹ÛCQ°ÄTOVŠ¹OJ)CQLOÀMVºÉÅFG°/FZ°)°¾C—ÐzKàFGTOCQ°£ÎZ°ÅÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°/FZN¦&3KMÀÁKàFZJ)Vz°5ŠC¹OJ)CQLOÀÁVzÉÄFïTOVÅDGFZÀÁCQJ]TWV ÐzCQ´¦®¯CZJ¾´OC }˜Ü< =Þ ~ R9CQ´OTWV FZ°×кCQ´OTOKÁÙzڗVz°×°[ZCŠKMÉI¹ÛCZ°)®·FG°]´:FJ)CQ´¦®¯VzKÁJ¯FÈTOCATOCZÉ7Á´OKMC ê C=¹OJ¾CQLWÀMVzÉÄFÒTOV€DGFZÀÁCQJ™KM´OKÁÐzKMFZÀ}‚Ü8 × ~ R¨CQ´OTOV“FZ°dкCQ´OTOKÁÙzڗVz°u°>ZCCQJ)´OVzкKMT:FG°‹¹:FZJ¯F×NWÉû®¯VºÉŏCUKM´WKMÐzKMFZÀ:ÏJ&WFZTOC ê V2CU¹WJ¾CQLOÀÁVzÉÄFYÉIKM°)®¾CORWCZ´OTOV2KMÉI¹CQÉÄCZ°NOÉÄF ÐzCQ´WTOKMÙZCKÁ´OKMкKàFZÀuVIÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°¼TOV[кCQ´¦®¯CQJ)´OC « B=CQJ)ÉÅFZÀÁÉÄVº´¦®¯VZRCZ°l¹WJ¾CQLOÀÁVzÉÄFZ°TOV<кCQ´¦®¯CQJ)´OCŠVz°+®:ZC‡FZ°)°¾C—ÐzKàFGTOCQ°[FZCQ°U¹WJ¾CQLOÀÁVzÉÄFZ°YVºÀ%Á¹W®¯KÁÐzCQ°ºR•CŠ¹OJ¾CQLWÀMVzÉÄFïTOV DGFZÀÁCQJKÁ´OKMкKàFZÀÎZ°ÒVzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°=9OKM¹VzJ)LQÀÁKMÐzFZ°²V¼C[¹OJ¾CZLOÀMVºÉÅFYÉIKM°+®¯CÎZ°‹VºØ¢N:FZÙzڗVz°È¹:FZJ¾FZLSQÀMKÁÐ FZ° «¿•´¦®¯J)Vº®·FG´¢®¾COR?FZ°]VzØ¢N:FZÙºÚ3Vº° 9OKM¹VzJ)LQÀÁKMÐzFZ°2®·FZÉ×L­zɹC3TWVzÉ FZTOÉIKÁ®¾KMJ2ÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°YTOC   ô‘bM’<“)÷Tf|r¡õ+6 •—–+˜f|bS™š!ø6a7›`‰œ+øhgQøQö<4`ZbJ`ZaÛڑb¦gM4`sbJ`‰a °)Vz´OTOC f V g NO´OÙºÚ3Vº°“TOV=ÐzÀMFZ°¾°)V C2 FZJ¾LWKÁ®¯J¾ÃZJ¾KMFZ° « ¿•´¦®:ZCOR3F]°)CQÀMNWÙZClTOVAT  ÀMVzÉYLÛVºJ)®Vº°¾ÐzJ)VºDZV]ê°)V×ÐzCZÉÄC!5 u(x, t) = f(x+ ct) + g(x− ct) €FZÉICQ°ÒFZPZCQJ¯FUNW®¾KMÀMK$ FZJ²FZ°‹ÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°ÒKM´OKÁÐzKàFGKM°5 u(x, 0) = s(x) ∂ ∂t u(x, 0) = r(x) ¹:FGJ¯F]TWVº®¯VºJ¾ÉIKM´:FGJ¾ÉICQ°?FZ°žNO´OÙzڗVz° f V g R¢°¾NO¹CQ´OTWCYØ¢NOV s(x) ­ÈTOV=ÐzÀàFG°¾°¾V C2 V r(x)TOV¼ÐºÀàFZ°)°¾V C1 VzÉ −∞ < x < +∞ «•Â ¹WÀMKMÐzFZ´OTOC4ê°¾V2Vº°)®¯FZ°ÒÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°ºR:CQLW®¾VzÉICQ°5    u(x, 0) = f(x) + g(x) = s(x) ∂ ∂t u(x, 0) = cf ′(x) − cg′(x) = r(x) NOÉÄF×DQV¢$]Ø¢NOV ∂u ∂t ∣ ∣ ∣ t=0 = ∂f ∂ξ ∂ξ ∂t ∣ ∣ ∣ t=0 + ∂f ∂η ∂η ∂t ∣ ∣ ∣ t=0 = c ∂f ∂x − c∂g ∂x R:CQNFZKM´OTOFWR    u(x, 0) = f(x) + g(x) = s(x) f(x) − g(x) = 1 c ∫ x 0 r(s)ds+K ÑÒVz°)CQÀÁDZVz´OTOC4ê°¾VlVz°+®¯V¼°¾KÁ°)®¾VzÉÄF[´JQ°ÒVz´OкCQ´¦®¯J¯FGÉÄCQ°¢5 f(x) = 1 2 [ s(x) + 1 c ∫ x 0 r(s)ds+K ] g(x) = 1 2 [ s(x) − 1 c ∫ x 0 r(s)ds−K ] ÜuCQJ)®¯FZ´¦®¯COR f(x + ct) = 1 2 [ s(x+ ct) + 1 c ∫ x+ct 0 r(s)ds+K ] g(x− ct) = 1 2 [ s(x− ct) + 1 c ∫ 0 x−ct r(s)ds−K ] ¸3NOLO°+®¯K¬®¯NOKÁ´OTOCh¡°¾V2Vz°+®¯Vº°=J)Vz°¾NWÀÁ®·FGTOCQ°Ò´:FU°¾CQÀÁNOÙGCITWVlT  ÀMVzÉYLÛVºJ)® R u(x, t) = 1 2 [ s(x + ct) + s(x− ct) + 1 c ∫ x+ct x−ct r(s)ds ] 6 •
º•©–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a`%’ÒøhgJqJr‰`¸hb¦a  š Ø¢NOV‹­“ÐzCQ´!9WVzÐzKÁT:FµÐzCZÉÄCAFÚQJ¾ÉYNOÀàFÈTOVãT   ÀÁVzÉ×LVzJ+® « Ü¥CQJ+®·FZ´¦®¯CWR¦FA°¾CZÀMNOÙZCµ´OCµ¹CQ´¦®¯C P ­¼TOV„®¯VºJ¾ÉIKM´:FZTOF[NW´OKÁDZC3ÐzFZÉÄVº´¦®¯V2¹VzÀàFG°‹ÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°ÒKÁ´¢®¾J¾C—TON!$ºKMT:FZ°‹VºÉ AB «ÜdFZJ¾F&FG°VºØ¢N:FZÙzڗVz°L9OKÁ¹ÛVºJ¾LSQÀMKÁÐ FZ°ºR=´|GC&V‚&WKÁ°)®¾VzÉ ÉIVzÐ FG´OKM°)ÉÄCQ° TWV‡TWKM°¾°)KM¹:FGÙZC¹OJ)Vz°)Vz´¦®¯Vº° « ê°+®¯CÄKMÉI¹OÀMKÁÐ F×´OC@˜FG®¯CÄTOV]Ø¢NOVYÐ FZ°)C/FZ°ÈÐzCQ´WTOKMÙºÚ3Vº°AKM´WKMÐzKMFZKM°}˜CQNTOV]кCQ´¦®¾CQJ¾´OC ~ кCQ´¦®¯Vz´J9:FZÉ5TOVz°)ÐzCQ´¦®¾KM´¢NOKMTOFZTOVz°ºRWVºÀàFZ°?DhZCY°)VzJ“®¾J¯FZ´W°¾ÉIKÁ®¯KÁT:FZ°•¹:FGJ¯F]C]KM´¦®¯VºJ¾KÁCQJTOC[TOCZÉ7Á´OKMC]FZCUÀMCZ´OPQC×T:FG°‹TOKMJ)VzÙzڗVz°²Ð FZJ¾FZк®¾VzJ[Á°)®¾KMÐ FG°zRO°)VzÉF¨®¯Vz´¢N:FGÙZC[T:FZ°²TOVz°)ÐzCQ´¦®¾KM´¢NOKMTOFZTOVz°²´OC×Ð FG°¾CUT:FZ°²VzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°‹ÀMKM´WV FZJ)Vz° « ¿?°+®¯V2J)Vz°¾NWÀÁ®·FGTOC×­µÐºCQ´O°¾KÁ°)®¾Vz´¦®¯V2кCQÉûC˜FG®¾C TOV×Ø¢NOV[TOVº°¾ÐzCZ´¢®¾KM´¢NOKÁT:FZTOVº°2´:F/TOVzJ)KÁDGFZT:F/´WCQJ¾ÉÄFZÀu¹ÛC—TOVzÉ-C—ÐzCQJ)J¾VzJAؗNOFZ´OTOCFZ°ÐzFZJ¯FZЄ®¯VºJ[M°+®¯KÁÐ FZ°‹°)V]кJ¾N!$zFZÉ «Â ®[Á®¾NOÀMCUTOV]V]&3VzÉI¹OÀÁCOR:DZFGÉÄCQ°ÒCQL3®¯VzJ=F[°¾CQÀÁNOÙZCÄT:F[VzØ¢N:FZÙZC/T:FICQ´OT:F[¹:FZJ¾FÅFZ°°)VzPQNOKÁ´¦®¯Vz°ÈÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°ÒKM´OKÁÐzKàFGKM°5 u(x, 0) = °¾Vº´ (πx) ∂ ∂t u(x, 0) = 0¿•ÉĹOJ)VzP¦FG´OTOCh¡°¾V¼F€QJ¾ÉYNOÀàF×TOV¼T   ÀÁVzÉ×LVzJ+® R u(x, t) = 1 2 [ °)Vz´ π(x+ ct) + °¾Vz´ π(x− ct)] CQNlFZKÁ´OT:FWREVºÉĹWJ¾VzPQFZ´OTOCh¡°¾V?FãJ)VzÀàFGÙZC㮾J¾KMPZCQ´OCQÉI­º®¾J¾KMÐzF€°)Vz´ (a±b) = °¾Vº´ (a) cos(b)± cos(a) °¾Vº´ (b) R u(x, t) = °¾Vº´ (πx) cos(πct)Ø¢NOV=J¾Vz¹WJ¾Vz°)Vz´¦®·FUF¼¹OJ)CQ¹:FZP¦FGÙZClTOVANWÉÅF¼CQ´OT:F¼°¾Vº´OCQKÁT:FZÀé°¾VºÉûF¨®¯Vz´¢N:FGÙZCOR—ÐzCZ´JCQJ¾ÉIV¹C3TWVzÉICQ°ÒFG®¯Vº°)®¯FZJÒ´:F[HdKMPQNWJ¯F \ «ÎÆ « õnÐ ÚÐsõ CŽÕu×Ö×ùeá¦ç Ù ö ÖÚكCŽÕuzÔ¦Õ<ß·ÚÕ Ù
ìgÚùGù¸ø/Þ@ú~AÚß!Õ¬A×ßJùøžÖÚø/ö €FZÉICQ°ãÐzCZ´O°¾KÁTOVzJ¾FZJÈFZØ¢NOKC[°¾KM°+®¯VºÉÅFUTOV¼¹OJ)KMÉIVzKMJ¾FYCQJ)TOVzÉVºÉ u V v A11 ∂u ∂x +B11 ∂u ∂y + A12 ∂v ∂x +B12 ∂v ∂y = D1 A21 ∂u ∂x +B21 ∂u ∂y + A22 ∂v ∂x +B22 ∂v ∂y = D2 ¿•°)®¯F×Vz°)ÐzCQÀ9:FY°¾V2TWVºDQV¼FGC+˜FG®¾C×TOVµØ¢NOVµ¹OFZJ¯F]DGFZÀÁCQJ¾Vº°²¹:FGJ)®¯KÁÐzNOÀMFZJ¾Vº°“TWCQ°ãÐzC—VºÏOÐzKMVº´¦®¯Vz°T:FG°9ÉÅF¨®¯J¾K$zVº° A V B RQVz°+®¯V‹°)KM°)®¾VzÉÄFA°¾VãFZ¹OÀMKÁÐ FÈTOKMJ)Vº®·FGÉÄVº´¢®¾VãFZCAÐ FZ°)C2TOC2Vz°)ÐzC¦FZÉIVz´¦®¾C°)NO¹ÛVºJ¾°Q´OKMкC ´|GCh¡D—KM°)ÐzCQ°)C « ¿•°+®¯V°¾KM°+®¯VºÉÅFh¹ÛCZ°¾°¾NWKÈTWN:FZ°ITOKMJ)VzÙzڗVz°IÐ FGJ¯FZЄ®¯VzJM°+®¯KMÐzFZ°Ø¢NOVlTOVz´WCQÉÄKÁ´:FZJ)VzÉICQ° α V β «Þ²CQ´JCQJ)ÉÄV8·¾Ã3CZKD—KM°+®¯COR—CQ°“°¾KM°+®¯VºÉÅFZ°€TOV2¿?ÿµÜ•°n9WKM¹VzJ¾LSQÀÁKMÐ FG°€°UFZTOÉIKÁ®¾VzÉкCQ´¦TOKÁÙzڗVz°2KÁ´OKMкKàFZKÁ°ÈCZN‡ÉIKM°+®·FZ°€}˜KÁ´OKMкKàFZÀ™VUTOVUкCQ´¦®¯CQJ)´OC ~„« B=C ÐzFZ°¾C<TOC J)VzPQKÁÉÄV]¹ÛVºJ¾ÉÄF4´OVº´¦®¯VZRÛ¹ÛC—TOVºÉÄCQ°ÈTOKÁ°)®¯KÁ´OPQNOKÁJ㮯J)ßz°ÈÐ FZ°)CQ°zRåHdKMPQNWJ¯F \ « S « B=CĹOJ¾KÁÉÄVºKMJ¾CWROCQ°ATOFZTOCQ°È°>ZC  ü ô‘bM’<“)÷Tf|r¡õ+6 •—–+˜f|bS™š!ø6a7›`‰œ+øhgQøQö<4`ZbJ`ZaÛڑb¦gM4`sbJ`‰a 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Equação da Onda x u( x, t) t HdKMPQNWJ¯F[\ «ÎÆ 5?ܕJ¾CQ¹OFZP¦FZÙZC[TOV¼NOÉÅFUCQ´WT:FU°¾Vz´WCQKMT:FGÀ « CQJ)´OVzкKMTOCZ°²¹:FZJ¾F u V v ´¢NOÉÄFYÐzNOJ+DGFYØ¢NOV2´|ZC×­=Ð FZJ¾FZк®¾VzJM°)®¾KMÐzF AB VATOVº®¾VzJ¾ÉIKM´OFZÉNO´WKÁDQC—Ð FGÉÄVº´¢®¾V¼FU°¾CQÀÁNOÙZCU´WCU¹ÛCQ´¦®¾C P « BÈCI°)VzPQNW´OTOCOR:CQ°²T:FZTOCQ°‹°[ZC[KM´¦®¯J)C3TWN!$zKÁTOCQ°VºÉ NOÉÅF<ÐzNWJ)DGFØ¢NOVI´|ZC­ÄÐzFZJ¯FGк®¯VºJ[Á°)®¯KÁÐ F VIVzÉ NOÉÄF ÐzNOJ+DZFÐ FZJ¾FZк®¾VzJM°)®¾KMÐzF AD «Â °¾°¾KÁÉR u V v TWVºDQVºÉ°¾VºJÈVº°¾¹VzкKÁÏ:ÐzFZTOCQ°ÒVzÉFZÉ×L:FZ°ÒFG°ÈкNOJ)DGFZ°ºR:TOV¼ÉÅFG´OVzKÁJ¯FYØ¢NOV uV v °)VzJ>GC×ÐzCQ´J9OVzкKMTOCQ°²´OC×¹CQ´¦®¯C A « ³ §OÀÁ®¾KMÉIClÐzFZ°¾CU­=°¾KÁÉÄKÁÀàFZJ?FZC×FZ´¦®¯VzJ)KMCQJºR3V‚&3ÐzVº®¾C¹VzÀÁC˜F¨®¯C[TOV¼´OVz°+®¯VlÐ FZ°)C AB V AD °>ZCIÐzNWJ)DGFZ°ÒÐ FZJ¾FZк®¾VzJM°)®¾KMÐzFZ° « ¿•É °)V×®¯J¯F¨®·FZ´OTWC TOC J¾VºPQKMÉIV]®¾J¯FZ´O°)KMVº´¢®¾V×VU¹:FZJ¾F/NOÉ-TOCQÉ@M´OKÁCÅÐzCZÉĹON3®·FZкKMCQ´:FGÀTOV„Ï:´OKÁTOC ¹CQJ x ≥ 0 V t ≥ 0 R²DZVzÉICQ°/Ø¢NOVïNWÉ ¹CQ´¦®¯C ܹOJ[&3KMÉICpÎ J¾CQ´¦®¯VºKMJ¾F x = 0 ­¹:FGJ¾ÐzKMFZÀMÉIVz´¦®¾V TOVº®¾VzJ¾ÉIKM´OFZTOC‡¹ÛVºÀàFZ°IÐzCQ´WTOKMÙºÚ3Vº°ÄTOVÐzCZ´¢®¾CQJ¾´WC VzÉ AC V¹:FGJ¾ÐzKMFZÀMÉIVz´¦®¾VI¹VzÀMFZ°lÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°lKM´WKMÐzKMFZKM°AVzÉ AB « B=Vz°+®¯VÄÐ FZ°)COR u V v TOVºDZVzÉ °¾VºJVº°¾¹VzÐzK¬Ï:Ð FGTOCQ°ÈVzÉ AB V2VzÉ AC TOVºDZVzÉICQ° CQJ¾´WVzÐzVºJ u CQN v R:ÐzCZ´JCQJ¾ÉIVµÉICQ°)®¾J¯FZTWC´:FIHdKÁPQNOJ¯F \ «ìÇ « 8½ ’ÓÔ:<ŽªÕpÖÉ=Ãú×&=[Ø4Éjˆ‹É=Ç´v=\Žû=Ã*ñ$ŽûˆŠŽû•ÿþª;O=\pŽ+à  °¼¿?ÿµÜ•°¼¹:FZJ¾FZLZÀMKMÐzFZ°=FZ¹:FZJ)VzÐzVºÉ Ø¢N:FZ´WTOC<CQ°2¹OJ¾CZLOÀMVºÉÅFZ°=TOVU¹OJ)CQ¹:FZP¦FGÙZC/KÁ´¦кÀMNOVºÉ ÉIVzÐ FG´OKM°)ÉÄCQ°dTOV‹TOKM°)°¾KÁ¹:FZÙGCORZ®·FGKM°9кCQÉÄCµF¼TWKM°¾°)KM¹:FGÙZCAD—KÁ°¾ÐzCZ°¯F2VÒF2ÐzCQ´OTWNOÙZCTOVAÐ FZÀÁCQJ « ³qV‚&WVºÉĹWÀMC×кÀàÃZ°)°¾KMкC×TOVµNWÉÅF]¿€ÿAÜ&¹:FZJ¾FZLSQÀMKÁÐ F¼­2FYVzØ¢N:FGÙZCUNO´WKMTOKÁÉÄVº´¦ 6 • •©–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰aÂÚb¦ghb.qJr‰`¸hbJa  0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t Equação de Difusão x u( x, t) HdKÁPQNOJ¾F[\ «ìÍ 5?ÿAVzÐzFZKMÉIVz´¦®¯CIV]&3¹CQ´OVº´OÐzKMFZÀTOV¼NOÉÄF×°¾Vz´JQKMTOV « õnÐ ÐÏ ìgzÔ¦Ù.ßkA×ß!ÙºÔ¦øuáKâžÕ ÙRý Žøžö¦Ù ö«ð ä¸ö\ùeºøžö ܕJ¾CQLOÀÁVzÉÄFZ°l¹:FZJ¯FGLQÀÁKMкCQ°¼°>ZCï®[M¹OKÁÐzCQ°lTOVÄ°¾CQÀÁNOÙzڗVz°]ؗNWV/VºDZCQÀMNOVºÉb´WCﮯVºÉŏCïVØ¢NOV °[ZChTOKNO°)KÁDGFZ°]´OCŠVz°)¹:FZÙzC «  °¾°¾KÁÉR•NWÉÅF﹏VzJ+®¯NOJ)L:FZÙZCŠT:Fg°¾CZÀMNOÙZCgKM´¦®¾J¾C—TON¦$ºKMT:F[´OCI¹ÛCQ´¦®¾C P T:FIHdKÁPQNOJ¯F \ «ìÊ R:¹C3TWVlKÁ´ Ï NOVº´OÐzKMFZJÒØ¢N:FZÀMØ¢NOVºJ=¹CQ´¦®¯CITOCITOCQÉ@M´OKÁCкCQÉĹWNW®·FZкKMCQ´OFZÀ?¹:FZJ¯F t ≥ ti « Þ²CQ´¦®¾NOTOCOR?FïÉÄFZPQ´WKÁ®¯NWTOVÄTWVz°)®¯Fg¹ÛVºJ)®¾NOJ¾L:FGÙZCŠ°)VzJ¯ÃJ¾FZ¹OKMTOFZÉÄVº´¦®¯V¼FG®¾Vz´¢N:FZT:F@ÎUÉÄVºTOKMTOF[VºÉØ¢NOV¼VzÀMF[°)VlFh˜FZ°)®¯FUTOCŏCQ´¦®¯C P «Â KÁ´OÐzCZJ¾¹CQJ¯FZÙZC TOV ÉIVzÐzFZ´OKM°)ÉÄCZ°TWV TOKÁ°¾°¾KÁ¹:FZÙZCKÁÉĹOÀÁKMÐzF ´OCë˜FG®¾CTOV Ø¢NOVZRÉIVz°)ÉÄC °)VŠFZ°ÄÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°ÅKM´OKÁÐzKàFGKM°UÐzCZ´¢®¾Vz´!9OFZÉ TOVº°¾ÐºCQ´¦®¯KM´¢NOKÁT:FZTOVº°zR=F °¾CZÀMNOÙZC ´OCKÁ´¢®¾VzJ)KMCQJ]TOCgTOCQÉ@M´WKMC°¾VzJ¾ÃŠ°¾VzÉI¹OJ)V/ÐzCQ´¦®[M´¢N:F «ŠÂ °[¿€ÿAÜ?°UØ¢NOV VºÉbÉÄFZKÁ°YTOV/NWÉÅFDGFZJ)Kàà DQVºÀÈVº°¾¹:FGÐzKàFGÀ‹°>ZC‡¹:FZJ¾FZLZÀMKMÐzFZ°×´OCh®¯VºÉŏCOR?®¯CQJ)´:FZÉ ê°)V VzÀ%Á¹W®¯KÁÐ FZ°UVºÉ J¾VºPQKMÉIV¹VzJ)ÉÅFZ´WVz´¦®¯VGR:Ð FZ°)CÄV‚&WKÁ°)®¯FÄFU°¾CZÀMNOÙZC[¹:FZJ¯FUC[J¾VºPQKMÉIV2¹VzJ¾ÉÄFZ´OVº´¦®¯V « õnÐ Ðsõ CŽÕu×Ö×ùeá¦ç Ù ö ÖÚكCŽÕuzÔ¦Õ<ß·ÚÕ Ù
ìgÚùGù¸ø/Þ@ú~AÚß!Õ¬A×ßJùøžÖÚø/ö BAFJ¾CQ´¦®¾VzKMJ¾F CE R—TOFYHdKÁPQNOJ¯F \ «ìÊ R¢­=´WVzÐzVº°¾°¾ÃZJ¾KÁC×Vz°)¹ÛVºÐzKÁÏOÐ FZJ€ÐzCQ´WTOKMÙºÚ3Vº°“KÁ´OKMкKàFZKÁ°TOC¼®¯KÁ¹ÛClÿAKÁJ¾KÁÐ:9OÀMV„® « Ü¥FZJ¯FlFZ°žJ¾CQ´¦®¾VzKMJ¾FZ° CD V EF R¢Ø¢N:FZÀMØ¢NOVºJ“кCQÉ×LOKÁ´:FZÙZC¼TOVÒÐzCQ´¦TOKÁÙzڗVz°2TOC ®¾KM¹C ÿAKMJ)KMÐ:9OÀÁVº®zRB=VºNOÉÅFG´O´ŠCQNhTOV[ÑÒCQLOKM´Š°[ZCFZÐzVºKÁ®¯ÃEDZVzKÁ° « ¿•´¦®¯J)Vº®¯FZ´¦®¯CORÐzFZ°¾CÄ°¾V¸·¾FGÉVz°¾¹VzкKÁÏ:ÐzFZT:FZ°ÈÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°=TWCI®¾KM¹CITWVYÿAKÁJ¾KÁÐ:9OÀMV„® RO­l´OVzкVz°)°¯ÃZJ)KMC/FG°¾°¾VºPQN¦J¾FZJ¾ÉICQ°ÈFÄкCQ´¦®¯KM´¢NOKÁT:FZTOVlTOVº°)®·FG°AÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°=кCQÉ FZ°ÈÐzCQ´WTOKMÙºÚ3Vº°=KÁ´OKMкKàFZKÁ°íCQJ¾´WVzÐzKÁT:FZ°VºÉ C V E « ÞãFZ°¾C×кCQ´¦®¯J¾ÃZJ¾KÁCOR¦®¯VzJ)VzÉICQ°€°¾CQÀÁNOÙzڗVz°€Ø¢NOVµFZ¹WJ¾Vz°)Vz´¦®·FGJ>ZC]PQJ¯FZ´WTOVz°“PQJ¯FZTWK
 " ô‘bM’<“)÷Tf|r¡õ+6 •—–+˜f|bS™š!ø6a7›`‰œ+øhgQøQö<4`ZbJ`ZaÛڑb¦gM4`sbJ`‰a Vº´¢®¾Vz°€¹OJ[&3KMÉICQ°žÎ C V E R¦C¼Ø¢NOVȹÛC—TOV‹ÐºJ¾KàFGJ•TOKÁÏ:кNOÀMTOFZTOVz°•´OFlJ)Vz°¾CZÀMNOÙZC¼´—NWÉÄ­ºJ¾KMÐzF «¿•É°¾V2®¾J¯FG®¯FZ´OTOCITOV¼°¾KÁ°)®¯VºÉÅFG°ÈTWV]¿?ÿµÜ•°=¹:FZJ¯FGLQÀÁKMÐzFZ°zR3ÐzCQ´OTWKMÙzڗVz°ÒKÁ´OKMкKàFZKÁ°²VzÉ CEVÈÐzCQ´WTOKMÙºÚ3Vº°“TOVÈÐzCZ´¢®¾CQJ¾´WC]VºÉ CD V EF °>GC]´OVºÐzVº°¾°¯ÃGJ¾KàFG°²¹:FZJ¾F¼®¾C3TOFZ°€FZ°€DGFZJ)Kàà DQVºKM°TOVº¹ÛVº´OTOVº´¢®¾Vz° « 8½ ’ÓÔ:<ŽªÕpÖÉ=Ãú×&=[Ø4Éjˆ‹É=Ç´v=\Žû=Ã*’ ;]Ì£À>=\pŽ+à  °¼¿?ÿµÜ•°lVzÀ%Á¹W®¯KÁÐ FZ°=Vz°+®:ZCORVºÉPQVºJ¯FZÀ‚RFZ°¾°)C3кKàFZTOFZ°2FZCQ°2¹WJ¾CQLOÀÁVzÉÄFZ°µVºÉ J¾VºPQKMÉIV¹VzJ)ÉÅFZ´WVz´¦®¯VlCQNTOV]VºØ¢NOKMÀMLOJ)KMC « ?ÈÉV]&3VzÉI¹OÀÁCI°)KMÉI¹OÀMVº°ÒTOV¼NOÉÅFI¿?ÿµÜ}VzÀM¹W®¾KMÐzF×­]FVºØ—NOFZÙZCITOV+2™FZ¹OÀàFGÐzV ∂2φ ∂x2 + ∂2φ ∂y2 = 0 Ø¢NOV?PQCEDQVºJ¾´:F‹CÒVz°)ÐzC¦FGÉÄVº´¢®¾CÒ¹ÛCZ®¾Vz´OкKàFZÀGKM´OкCQÉI¹OJ¾Vº°¾°[¬DQVºÀ « ÜdFZJ¾FÒFZ°°¾VºPQNOKM´¦®¾Vz°™ÐzCQ´WTOKMÙºÚhVº°=TOV¼ÐºCQ´¦®¯CQJ)´OC φ(x, 0) = °¾Vº´ (πx) φ(x, 1) = °¾Vz´ (πx) exp(−π) φ(0, y) = φ(1, y) = 0Vº°)®·F[VzØ¢N:FGÙZCI¹ÛCZ°¾°¾NWK¥FU°)CQÀMNOÙZC[V]&WFG®¯FJ5 φ(x, y) = °)Vz´ (πx) exp(−πy) ´OCITOCQÉ@M´WKMC 0 ≤ x ≤ 1 R 0 ≤ y ≤ 1 «ÜdFZJ¾F[¿€ÿAÜ?°ÈVzÀM¹W®¾KMÐzFZ°ãTOV¼°¾VºPQNO´OTOFÄCQJ)TOVzÉTWC[®¾KM¹C A ∂2φ ∂x2 +B ∂2φ ∂x∂y + C ∂2φ ∂y2 +D ∂φ ∂x + E ∂φ ∂y + Fu+G = 0 CQ´WTOV 4AC < B2 RÈNOÉ KMÉI¹ÛCQJ+®·FZ´¦®¾Vï¹OJ)KM´OТM¹OKÁC TOVŠÉÄÃ4&3KMÉIC V]&3KÁ°)®¯Vh5÷Eó„4†Zð%4‡·ä·óŒ@ˆ³QòeŒ)Eó]äŒÛÌ â:òeŒ)Eó3Š—ä φ Š—ä]„Zä]Œ 0°:4‡‚‡¯ä]‡2âS† ‚‡>¨â:èÝä„òe‡† ∂R Š\@Š\4ŒÛÌ â:òs²ä³¦°·ä„蹍⺍£°[†¨ó0[艇Óòe„Eò‰†Zð¨âSŠ—ä φ à °:¨âWó„èó†Zâ:èêä «¸WFZLVzÉICQ°ÈؗNWVUFZ°µ¿?ÿµÜ•°µVºÀ%Á¹W®¯KÁÐ FZ°ÈFZ¹OJ)Vz°)Vz´¦®·FZÉ-Ð FGJ¯FZЄ®¯VzJM°+®¯KMÐzFZ°ÈؗNWV×°>ZCÄÐzCQÉ ¹OÀÁV]&WFZ°ÒV¼´|ZC[¹C3TOVºÉ °)VzJÒJ¾Vº¹OJ¾Vº°¾Vz´¦®¯FZT:FZ°=´OC[TOCQÉ@M´OKÁC×ÐzCQÉI¹ONW®¯FZÐzKÁCQ´:FZÀÛØ¢NOV¼­lJ)V FZÀ «ÜuCQJ)®¯FZ´¦®¯COR¢´:F2TOKÁ´|{ZÉIKMÐ FµTWCQ° Ï NOKÁTOCQ°€F2KMTOVº´¢®¾KÁÏ:ÐzFZÙGClTWVz°)®¯FZ°?TOKMJ)VzÙºÚ3Vº°€ÐzFZJ¯FGк®¯VºJ[Á°)®¯KþÐzFZ°Ò´|ZCÄFZ¹OJ¾Vº°¾Vº´¢®¯FI´WVz´!9¢NOÉÄFIN3®¯KMÀÁKMT:FGTOVµ¹OJ¾ÃG®¯KÁÐ F « õnÐ ¶ÐÏ ìgzÔ¦Ù.ßkA×ß!ÙºÔ¦øuáKâžÕ ÙRý Žøžö¦Ù ö«ð ä¸ö\ùeºøžö  ÉÄFZKM°“KMÉI¹ÛCQJ+®·FZ´¦®¾V=¹OJ)CQ¹OJ)KMVzTOFZTOVµTOV2NWÉÅF׿?ÿµÜ VzÀM¹W®¾KMÐ Fl­2Ø¢NOV2NOÉ TOKM°+®>§OJ)LOKMCKÁ´¢®¾J¾C—TON!$ºKMTOCÄ´—NWÉ ¹CQ´¦®¯C P TOC KÁ´¢®¾VzJ)KMCQJÒTOC TOCZÉ7Á´OKMC[TOV×J)Vz°)CQÀMNOÙZC }˜HdKMPQNWJ¯F \ « _ ~ RKÁ´ Ï NOVº´OÐzKMF ®¾C3TWCQ°¼CQ°¼CQNW®¯J)CQ°2¹CQ´¦®¯CQ°¼´OCTOCQÉ@M´OKÁC/ÐzCZÉĹON3®·FZкKMCQ´:FGÀ RåVºÉ×LCQJ¯F ÀMCZ´OPQV 6 •"!•©–+˜f|bS™š!ø6a@›L`‰œ+øhgQøZöž4`ZbJ`‰a€–‘r‰“ ’‹÷>`¹hbJa # #### #### #### #### #### #### #### #### #### ## $ $$ $ $ $$ $ $ $$ $ $ $$ $ $ $$ $ $ $$ $ $ $$ $ $ $$ $ $ $$ $ $ $ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%& & & & & & & & & & & & & & & & & & && & & & & & & & & & & & & & & & & & & '''''' '''''' '''''' '''''' '''''' '''''' '''''' '''''' '''''' ''' ( ( (( ( ( ( ( (( ( ( ( ( (( ( ( ( ( (( ( ( ( ( (( ( ( ( ( (( ( ( ( ( (( ( ( ( ( (( ( ( ( ( (( ( ( ( ( ( )))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ))))))))))))))))))) * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ++ ++ ,, ,, A D C B y x P H¥KMPQNOJ¾F[\ « _J5?ÿACQÉ@M´OKÁC×ÐzCZÉĹON3®·FZкKMCQ´:FGÀå¹:FZJ¾FINWÉÅFU¿?ÿµÜ}VºÀ%M¹3®¯KMÐzF « TOC ¹CQ´¦®¯C P FÅKÁ´ Ï NOߺ´OÐzKMFÅ°¾V¹·¾F/¹ÛVºØ—NWVz´:F « ê°)®¾C Ø¢NOVzJµTWK%$zVºJµØ¢NOVU´:FÅTWVº®¯VºJ¾ÉIKM´:FGÙZC´¢NOÉI­zJ)KMÐ FIT:F[°¾CQÀÁNOÙZCÄTOVl¹OJ¾CQLWÀMVzÉÄFZ°ÒVzÀM¹W®¾KMкCQ°zRO­l´OVºÐzVz°)°¯ÃZJ)KMC/ÀÁVºDGFZJ)ÉÄCQ°‹VºÉ ÐzCQ´¦®·FC TWCQÉ7Á´OKMC‡PQÀÁCQL:FZÀ « ¿•É ÐzCQ´¦®¯J¾FZ¹:FZJ+®¯KÁT:FWRÒFZ°Å¿€ÿAÜ?° ¹OFZJ¯FZLSQÀÁKMÐ FG°ÄV 9OKM¹VzJ)LQÀÁKMÐzFZ°¹C3TWVzÉ °)VzJµJ)Vz°)CQÀÁD—KMTOFZ°2F DGFZ´OÙ FG´OTOCh¡°¾VU¹OJ)CQPQJ¾Vº°¾°)KÁDGFZÉIVz´¦®¯V×´WC/®¯VzÉI¹C F/¹:FZJ+®¯KMJ=T:FZ°ÐºCQ´OTOKÁÙzڗVz°•KM´WKMÐzKMFZKM° «™Â °?ÐzCQ´WTOKMÙºÚ3Vº°•TOV‹ÐzCQ´¦®¾CQJ¾´OC¼TOVº°¾ÐºCQ´¦®>M´¢N:FG°“T:FG°?¿€ÿAÜ?°€VzÀM¹W®¾KMÐzFZ°°[ZCÅF¨®¯Vz´¢N:FGT:FZ°Ò´OCIKM´¦®¯VºJ¾KMCZJãTOC[TOCQÉ@M´OKÁC×TOV¼J¾Vº°¾CQÀÁNOÙGC « õnÐ ¶Ðsõ CŽÕu×Ö×ùeá¦ç Ù ö ÖÚكCŽÕuzÔ¦Õ<ß·ÚÕ ú~A×ßJÕuAÚß!ù¸øžÖ×øžö  ÐzFZ¹:FZкKMT:FGTOV=TWVAKM´ Ï NOVz´WÐzKàFGJ?®¾C3TWCQ°“CZ°²¹CQ´¦®¯CQ°€TOCYTWCQÉ7Á´OKMCWR¢F]¹:FZJ+®¯KÁJ€TWCYKM´¦®¾V]J)KMCQJºR3V‚&WKÁPQVAØ¢NOV¼FG°²ÐzCZ´OTOKMÙºÚ3Vº°ãTOVµÐºCQ´¦®¯CQJ)´OC×°)V¸·¾FZÉ KMÉI¹ÛCZ°)®·FG°²VzÉ5®¯C—T:FZ°²FZ°zJ)CQ´¦®¯VºK
J¾FZ°?TOC¼TOCQÉ@M´OKÁCORZкCQ´JCQJ)ÉÄV‹Vº°)®·Ã¼Vz°)Ø¢NOVzÉÄFG®¯K$ FZTWCl´OFlH¥KMPQNOJ¾F \ « _ «9 °€ÐºCQ´OTOKÁÙzڗVz°?TOVкCQ´¦®¯CQJ)´OC2¹ÛC—TOVºÉ°)VzJ•Ø¢N:FZÀÁؗNWVzJ9кCQÉ×LOKÁ´:FZÙGCµTOCµ®¯KÁ¹ÛCAÿAKMJ)KMÐ:9OÀÁVº®zRQB=VºNOÉÄFZ´O´UCQN[ÑÒChLOKÁ´ « Þ²CZ´¢®¾NOTOCORå°¾VYкCQ´OTOKÁÙzڗVz°µTWCÅ®¯KÁ¹ÛCÅB=VzNWÉÅFZ´W´!R ∂φ/∂~n = f(s) R°>ZC<FG¹OÀMKÁÐ FZT:FG°VºÉ5®¾C3TOFZ°ãFZ°žJ¾CZ´¢®¾VzKÁJ¯FZ°ºR3TOV„DQV‚ê°¾Vµ®¾CQÉÄFZJ?ÐzNOKÁT:FZTOCYFlÏ:É5TOV=ؗNWVµCQ°?DZFGÀMCQJ)Vz°€Vz°¾¹VzкK
Ï:ÐzFZTOCQ°€°¾V¹·¾FZÉ ÐzCZ´O°¾KÁ°)®¯Vº´¦®¯Vz°€ÐzCZÉ5F¼VºØ¢N:FZÙGCYTOK
VzJ¾Vº´OÐzKMFZÀOØ¢NOVÈPQCEDQVºJ¾´:FlC3Vº´!QÉIVz´OCÁ°¾KMкCUVzÉØ¢NOVº°)®:GC «ÿACU®¯VºCQJ¾VºÉÅFUTOV+(2J¾VzVº´°¾FZLVzÉICQ°ÒؗNWV − ∫ R ∇2φ dR = ∮ ∂R ∇φ · ~n ds = ∮ ∂R f ds CÈØ¢NOV“KÁÉĹWÀMKMÐzF“´¢NOÉÄF‹J¾Vz°+®¯J)KMÙGC=¹:FGJ¯FÒFZ°™ÐzCQ´WTOKMÙºÚ3Vº°uTWV€ÐºCQ´¦®¯CQJ)´OCÈTOCÈ®¾KM¹CÒB=VºNOÉÅFG´O´!RÐzFZ°¾CÄFZ°ÒVzØ¢N:FZÙºÚ3Vº°=°)V¸·¾FZÉFZ°ÒTOV32uFG¹OÀàFZкV2CQN<TOVlÜ¥CQKÁ°¾°)CQ´ « ¾Z¿ À¯ÁMƒÃtÄ®ÅUÆ°ÇÉȳÊÌË]ͪÅZÁ1ÎMÏ ÐWсÒÐKÓ{ÁOÆÔÁ}ՃÎMÇ JMROXUP Dρ/Dt gQPŠUgQP[QPSR|N HkHuXUPSgn„e\HWXZHufbH\N PgQnHWcԋ©ªHWgQHuPS[QrJ|HWfoPSR|N JW[”n„RUrSJMfoŠUgPS[Q[´„eWPSn[h€"XUPSRO[QnXUHWXUPyrSJMRO[NvH\RiNQP‚Öd×NQPSfoJM[’^i_UP ∇ · ~v = 0P3PS[NQPØgQP[Q_UcNvHWXOJ µ e\¬Wc„nXUJÙNvH\RiNQJڊZHWgQHÉJÚP[QrJ|HWfoPSR|N JÚPf gQPSmWnfoP3Š1PSgfkHWROPSR|N PrJMfbJ{ŠZH\g HuJ{PS[QrJ|HWfoPSR|N JoPSfsgPSmMn„fbP”N g H\RU[Qn„PSR|N P\‹ –b— Û ™›šoœK]ž‡Ü{¨Ý•¡K  Þ  ]ß ¨¤{¥œKß ¼ [QPmM_URUXUHlc„PSnªXOP{àƒ_OcPSgIXUn²u^i_UP{H¶NvHxwUH¶XOPeWH\gQn H\TzVWJ¶XOJlfoJMfoPSR|N _Of«c„nRUPSHWgXUP»eMP][QPSgn„mM_ZHWcDH\Jo[JMfbH\N …MgnJXUHW[’†"JMgQTSHW[HWmMnROXUJ{[QJMLUgPyJorJMgQŠ1JU‹áG”JorzH\[QJoXUPy_UfŠ1PS^i_UPRUJkPcPSfoPSR|NQJoXOPy±U_UnXUJOdON gQH\NvHWXOJorJMfoJo_Of=[Qn„[N PfkHuH\L³PgN JOd d dt ∫ V ρ~v dV = ∫ S ~t dS + ∫ V ρ~f dV JMROXUP ~t µ JØeMP»N JMgNQPSRU[QVWJØNvHWc^i_UP ~tdS †"JMgQRUPrSPKHY†"JMgTzH d~F PÖw}PSgQrnXZHØ[JMLUgP_UfPcPSfoPSR|NQJâXOP3¬\gQPzH dS P ~f µ JÙeMP»N JMgu†"JMgTzHØPÖw}NQPSgRZHO‹ ¼ ŠUgnfoPSngQH3n„RiNQPSmMgQHWcÔdãXOJcHWXUJjXOngQPn„NQJjXUJ[nRZH\c1XOP‰nmM_UHWcXZH\XUPWdigQPŠUgQP[QPRiN H{HjrSJMR|NQgQnLO_UnTSVWJjXUP»e`nXZH¸\[†"JMgTzHW[XUPu[_UŠ1PSg†"´„rSn„PP{H¶[QPmM_URUXZHK¸¶rJMR|N gQn„LU_Un„TzVWJ¶XUHW[‰†"JMgQTSHW[¯P»w`NQPSgQRUHW[yHWmMn„RUXUJ¶[JMLUgQPuJrJMgQŠ1JU‹©·J`XUP»~ä[QP{foJM[NQg HWguå ½ æƒ^i_UP{JeMP»N JMg¯N PRU[ V\J3Š1J}XOPu[QPSgyPÖwOŠOgQPS[[QJ3PSfçNQPSgQfoJM[¯XUJ NQPSRU[JMgIXUPhN PRU[Qa`PS[ T RUHo†"JMgfkH ~t = T~n d³rJMfèHW[IrJMfoŠ³JMROPSR|N P[IXUJoN PSRO[QJMg”[QPSROXUJgPSŠUgPS[QPR|NvHWXZH\[IŠ1PSc HufbH\N gn²h5 [Tij] =   σxx τxy τxz τyx σyy τyz τzx τzy σzz   JMROXUP σ gPSŠUgPS[QPR|NvHkH\[NQPSRU[a}P[”ROJMgQfbHWn[P τ H\[NQPSRU[a}P[”XOPhrn[QHWcéZH\fbPRiNQJU‹ê _ULU[tN nN _Un„RUXUJ\~ä[QP¯JueMP»N JMg’N PRU[ V\J ~t RZHoP^i_ZHWTzV\Jbn„RiNQPSmMgQHWcÔd d dt ∫ V ρ~v dV = ∫ S T~n dS + ∫ V ρ~f dV PhHWŠUc„nrSHWRUXUJ®ëi[QP¯RUJe\HWfoPSR|N PyJuN PJMgQPfkHuXZHuXUneMPSgmMìSROrSn H}d d dt ∫ V ρ~v dV = ∫ V ( ∇ · T + ρ~f ) dV ©·J`XUPSfoJM[HWn„RUXZHN gJ}rSHWgHoJMgXUPSfsXUHW[”JWŠ³Pg HWTa}P[”XUPyXUn†"PSgPSRUrn HWTSVWJbPyn„RiNQPSmMgQH®~TSVWJUdZ[QPyJuN PJMgQPfkHuXUP¯NQg HWRU[Š³JWgN Poå ½ æ d dt ∫ V φ dV = ∫ V [ ∂φ ∂t + ∇ · (φ~v ) ] dV ȳʍíDÊ=Ë]ͪÅZÁ1ÎMÏ ÐWсÒÇÙîïÇOðñÐWÕòÄxÅZð ¾Dó †"JMg’_}N nc„n²SHWXUJRUJoc H\XUJuXUngPSnN JuXUP[NvH{PS^i_ZH\TzVWJU‹á©JMgN HWR|N JUd ∫ V [ ∂(ρ~v) ∂t + ∇ · (ρ~v ⊗ ~v ) −∇ · T − ρ ~f ] dV = 0 JM_3HWn„RUXZHOd ∫ V    ρ [ ∂~v ∂t + (∇~v )~v ] ︸ ︷︷ ︸ =D~v/Dt +~v [ ∂ρ ∂t + ∇ · (ρ~v ) ] ︸ ︷︷ ︸ =0 −∇ · T − ρ~f    dV = 0 ¼ [Q[Qn„f3d}e}n„[NQJo^i_UPhHn„RiNQPSmMgQHWTzV\J µ e\¬Wc„nXZH]ŠZHWg H^i_ZH\c^i_UPSg’N HWfkH\RUéUJXUJueWJMc_UfoP¯XUPrJMR|N gQJWcP65 ρ D~v Dt = ∇ · T + ρ~f ô‰HjN PJMgQnHjXZHW[‡PS^i_ZHWTa}P[rJMRU[tN n„NQ_ON ne\HW[Sd`[ HWL1PSfoJM[’^i_UPyH]†"JWgQfbHjfkH\n[‡mWPSg H\cXUPgPSŠUgPS[QPR|NvHWTSVWJkXUJ{N PRU[QJWgXOPyNQPSRU[a}P[”ŠUHWg Hu_Uf̱U_UnXUJ{[tN JMõ\PS[QnHWRUJ µ å ‘ö æs5 T = −PI + f ( D ) = −PI + f0I + f1D + f2D 2 JMROXUP P µ H¶ŠUgQP[Q[QVWJlNQPSgfbJ`XUnRU÷Wfbn„rzHOd D = 1 2 ( ∇~v + ∇~vT ) µ JKNQPSRU[JMg¯NvH®wOHXUPXUP»†"JMgQfbHWTSVWJ¶P fi(i = 0, 1, 2) [QVWJ¶†"_URUTa}P[¯XUJM[‰n„R|eWH\gQn H\RiNQPS[”ŠUgQn„RUrSn„ŠZHWn[XUJ¶NQPSRU[JMgN H®wOHoXUPyXUP»†"JMgQfbHWTSVWJU‹¹”fø±Z_UnXOJ µ XUnN Ju[PSg[NQJMõWP[Qn H\RUJb[PyPScP¯[QH\N n„[† HW²yH\[’[QPSmW_UnR|N P[”éOnŠ1…WN P[QPS[yå ‘M‘ æZ5 ‘M‹ù=N PRU[QJWguXUP¶N PRU[Qa`PS[ T µ _UfbH3†"_URUTSVWJúrSJMR|NQnRi_ZHØXUJØNQPSRU[JMgjNvHxwUHÙXUPkXUP»~†"JWgQfbHWTzVWJ D PyXUJ{PS[tNvHWXUJ{N PgQfoJ}XOnRZ÷WfonrJcJ`rzH\cÔd`fkHW[ µ nROXUPSŠ1PSRUXOPSR|N PhXZHW[JW_ON gQHW[^`_UHWR|N nXUHWXUPS[rnRUPfk¬\NQnrSHW[Sû ü ‹ùý±Z_UnXOJ µ éUJWfbJMmWìSRUPJUdZn[tN J µ dZJ{N PRU[QJMgXUP¯NQPSRU[a}P[”RZV\JbXUPŠ³PRUXUPhP»w}ŠUc„nrSn~N HWfoPSR|N PyXZHuŠ1JM[Qn„TzVWJUû “ ‹ùý±Z_UnXOJ µ n„[QJWNQgQ…MŠOnrSJOdOn[tN J µ dZRUVWJ{P»w}n[tN PSfsXOngQPTSa`PS[’ŠUgP†"PgQPSROrSn H\n[Sû þ ‹ÿ‰_ZH\RUXUJ¶RZV\JkP»w}n„[N n„gXUP†"JMgfkH\TzVWJUd D = 0 d1HbNQPSRU[QVWJ µ éUnXUgJM[N ¬\N n„rzH{P T = −pI ‹ G”JhrzHW[J]XOP”_Ufï±U_UnXUJhRUP
’N JMRUnHWRUJ f ( D ) µ c„nRUPSHWgãP”HhP^`_UHWTzVWJhrSJWRU[NQn„N _}N n„e\HXUJ{N PRU[QJWgNQPSRU[QVWJ µ XUHWXZHuŠ³JWgyå ‘M‘ æs5 T = −PI + (λ∇ · ~v) I + 2µD ¾ À¯ÁMƒÃtÄ®ÅUÆ°ÇÉȳÊÌË]ͪÅZÁ1ÎMÏ ÐWсÒÐKÓ{ÁOÆÔÁ}ՃÎMÇ JMROXUP µ µ HKrJMRU[tNvHWR|N P{XUPuŠOgQJMŠ1JMgQrnJMRUHWcn„XZHWXUPhgQPc HWrnJMRZH\RUXUJKHW[‰NQPSRU[a}P[hXOPurSn[QH®~c„éZHWfoPSR|N JKP{J3mWg HWXUn„PSR|N PuXOPoeWPScJ`rSn„XZHWXUP[Sd§JM_â[QP°pQHOdHKe`n[rSJM[nXZH\XUP{XUnRZ÷\fbn„rzHkP λP[Nv¬bgQPScHWrSn„JMRZHWXUH{rJMfèHoe`n„[QrSJW[QnXUHWXUPhXUnRZ÷\fbn„rzHŠ1PSc H{gQPc HWTSVWJ κ = λ + 2 3 µ d×JMRUXUP κ µ Hâe`n[rSJM[nXZH\XUP3XOPleWJMc_UfoPlJM_ [PSmM_ORUXUJÚrJ}P»­ZrSPRiNQPØXUPKe`n[QrJM[Qn„XZHWXUP\‹ G”P[NvHPÖwOŠOgQPS[[ VWJOdZHjŠUgPS[Q[QVWJjNQPSgQfoJ`XUnRZ÷\fbn„rzH P PS[N ¬jgQPc HWrnJMRUHWXZHyrSJMføH]ŠOgQPS[[ VWJuf µ XOn H p foPSXUnHWR|N PyHu[QPmM_UnR|NQPhgPScHWTzVWJ 5 P = p+ κ∇ · ~v ê _ULU[tN nN _Un„RUXUJ\~ä[QPhHoPÖw}ŠUgQP[Q[ V\J¶XUJbNQPSRU[JMgXUPhNQPSRU[a}P[Sd1ŠZHWgQHo_Uf=±U_UnXUJoRUP
’N J\~RUnHWRUJUdORZHuPS^i_ZHWTSVWJkXUPyLZH\c HWRUTJuXZH{^`_UHWR|N nXUHWXUP¯XUPhfbJe`nfoPSR|NQJUd ρ D~v Dt = −∇P + ∇ (λ∇ · ~v) + ∇ · [ µ ( ∇~v + ∇~v T )] + ρ~f GJbrSHW[QJoXUJM[’rJ}P»­ZrSn„PSR|N P[ λ P µ RZVWJ{XUPŠ³PRUXUPSgPSfèXZHuŠ1JM[Qn„TzVWJUd µ∇ · ( ∇~v + ∇~v T ) = µ∇ · (∇~v) + µ∇ (∇ · ~v) PhHuPS^i_ZHWTSVWJkXOPhLUHWc HWROTSJuŠ1J}XUPy[PSggQPPS[QrgQnNvH{RZH†"JMgQfbHJ5 ρ D~v Dt = −∇P + (λ+ µ)∇ (∇ · ~v) + µ∇ · ∇~v + ρ ~f àãf [PN g H®NvHWRUXOJÙXUP_Uf ±U_UnXUJYnRUrJMfbŠOgQPS[[Q´eMPSc d ∇ · ~v = 0 dƒP[NvHÙP^`_UHWTzVWJÙ­ZrSHgPSXU_U²nXZHo¸†"JMgQfbHJ5 ρ D~v Dt = −∇P + µ∇ · ∇~v + ρ~f^i_UP µ rJMRUéUPrSnXUH‰rSJMfoJ¯H‰PS^i_ZH\TzVWJyXUPG”He`n„PSgt~ ê N JWõWPS[ãŠUHWg HI_Of/±Z_Un„XUJ¯RUP
’N JMRUnHWRUJn„RUrSJMfoŠUgPS[Q[´„eWPScԋ –b—– ™›šoœK]žˆŸy  ¡¨ ™›¤¨]¦ ¼ ŠUgQn„fbPng H¶c„PSnãXZHKN PgQfoJ}XUn„RZ÷WfonrSHkXUn²{^i_UPbHKN H®wOH3XUP{e\HWgQnHWTzV\JXZH3PRUPSgmMn Hn„RiNQPSgRZHñfbHWn„[KHñPRUPSgmMn H;rSn„R µ NQnrSH XOPÉ_Uf rSJMgŠ³JUd µ n„mM_ZHWc‰H N H®wOHñXUPúN gQHWLZHWc„éUJgPzHWc„n²zH\XUJu[QJMLOgQPyJbrJMgQŠ1J{fkH\n[’HNvHxwUH{XUPyPSROPSgQmWn H†"JMgQROPSrSn„XZHuHWJ{rSJWgQŠ1J!5 d dt (E +K) = • W + • Q ©·HWg H{_UfÌeWJMc_UfoPyHWgLUn„NQg ¬WgnJ V dZPS[N Hoc„PSn Š1J`XUP¯[QPg”P[QrSgn„N H{rJMfoJ d dt ∫ V ρ ( e + 1 2 ~v · ~v ) dV = ∫ V ρ ( ~v · ~f ) dV + ∫ S ~v · ( T~n ) dS È³Ê È³Ê=Ë]ͪÅZÁ1Î ×Ç;Ò§ÐlˉÕòÐ  Á ¾ àãRiNQgQP»NvHWR|N JOdRUHWXZHKHWnROXZHk†"JMnòXUnN J[JMLUgQP{JKrSJWfbŠ1JMgN HWfoPSR|N J¶fbH\NQPSgQnHWcXUJleWP»~NQJMgh±U_}w}JYXUPoPSRUPgQmMnHO‹GPS[NQPkrSHW[QJUdªHlc„PSnãXUPZJM_UgQn„PSg¯RUJW[]ŠUgJMŠ1a}Po_UfbHlP^`_UHWTzVWJrJMRU[NQn„NQ_ON neWHu[nfoŠUcP[ˆŠZHWgQH{JueWPN JWg ~q å ½ æ ~q = −k∇T JMROXUP k µ HurSJWRUXU_ONQn„e`nXZH\XUP‰N µ gQfonrzHXOJbfbH\N PgQnHWcԋù‰LON PfbJM[dZHW[[QnfldZH†"JMgfkHj­ZRUHWcDXZH{PS^i_ZHWTSVWJbXOPhPRUPSgmMn HuPfÌN PgQfoJM[XZHN PSfu~Š1PSgQH\N _UgQHJ5 ρcv DT Dt = ∇ · (k∇T ) − T ( ∂P ∂T ) V ∇ · ~v + N g (S∇~v ) + ρQ JM_3HWn„RUXZHOd}RUJbrSHW[QJoXUPy_Uf̱U_UnXUJ{n„RUrSJMfoŠUgPS[Q[´„eWPScs5 ρcv DT Dt = ∇ · (k∇T ) + NQg (S∇~v )+ ρQ G”P[NvH\[oP^i_ZHWTSa`PS[dJÙNQPSgQfoJØN g ( S∇~v ) µ rvéZHWfbHWXUJúXUPŠ1JWN ìRUrSnHØXUPN PRU[ VWJŠ1JMgI_ORUnXZH\XUPXUPjeWJMc_OfbP]PgQPŠUgQP[QPSR|N HlH¶PRUPSgmMn HoXUn[[Qn„ŠZHWXZHkXOPe`nXUJK¸bP»w}n[tN ìSROrSn HXUJbH\NQgQn„NQJe`n[QrJM[QJO‹ 66 Capítulo 3. Equações de Balanço  ! FC#" $ % & >('*)l<+ &#, /8.-/" ùèŠOgQJ`rSPS[[QJúXUP¶[PJMLONQPSg_UfbHØ[QJWc_UTSVWJØrSJWfbŠU_}NvHWrnJMRZH\cÔdªXUHW[uàƒô‰©ã[{^`_OPmMJ\~eWPSgQRUHWf«JW[†"PR0MfoPSRUJM[†"´[nrJM[SdZrJMRU[Qn„[NQPjXUPhXU_ZHW[”PN HWŠZHW[‹GIHbŠOgQnfoPSn„g HXUP»eMPfbJM[rJMR|eMPSgtN Pg¶HW[oPS^i_ZHWTa}P[bXOn„†"PSgPSRUrn HWn„[uŠZHWgrSn H\n[uPlHW[{rSJMROXUnTa}P[bn„RUnrn HWcáP3XOPlrJMR}~NQJMgQRUJÙRi_Uf [Qn„[NQPSfbHYXUn[rSgPN JÙXOP¶PS^i_ZHWTa}P[oHWcm µ LUgQn„rzHW[‹Ùàã[N H؊UgQn„fbPng HKPN HWŠZH µrJMRUéUPrSnXUHKrJMfoJHkXUn„[QrSgPNQn²zH\TzVWJXZH\[‰PS^i_ZHWTa}P[yXUn„†"PgQPSROrSn H\n[S‹ ¼ [QPmM_URUXZHP»NvHWŠZH[PgPS[_UfbP’ROJhŠOgQJ`rSPS[[QJhXUP’JMLONQPSRUTSVWJyXUP’_UfbH‰[QJMc„_UTzV\JhrJMfoŠU_ONvH\rSnJWRZHWc`XUJy[Qn[tN PfkHXUPP^`_UHWTSa`PS[‡HWcm µ LUgQn„rzHW[dWe`n H¯JyPSfoŠUgQPmMJhXUP_UfkH‰N µ rSROnrzH¯XUPgPS[QJWc_UTSVWJ]Ri_Uf µ gnrSHO‹¼ XUn„[QrSgPNQn²zH\TzVWJ¶XOJM[‰N PgQfoJM[IXZH¶P^i_ZHWTzV\JlXOn„†"PSgPSRUrn HWc·HWrSHWgQgPNvH¶RUH¶[Q_ZH¶[_ULU[t~NQn„N _OnTzV\JŠ³JWgˆP»w}ŠUgPS[Q[a}P[IH\cm µ LUgQn„rzHW[^`_OPhrJMgQgPScHWrSn„JMRZHWf JM[ˆe\HWc„JMgQP[ˆRUJ`XZHWn[Ri_UfkHfbHWcéUHl­ZRUnNvHO‹âàã[N HØPN HWŠZHØnR|NQgQJ`XU_U²¶_Uf PSggQJÙXUPkNQgQ_UROrzHWfoPSR|N JO‹ G”HØgQPS[JMc_OTzVWJXUJ{[n[NQPSfbHuHWcm µ LUgnrSJjXUPyPS^i_ZHWTa}P[XOn[QrgQP»N n²SHWXZHW[dONvH\fL µ f•Š1J`XUPSfoJM[’nR|NQgQJ`XU_U²Sn„g_Uf•PSggQJ{Ri_Uf µ gQn„rSJu^i_UP µ dZPfÌmMPg HWc dOXUP[QŠUgPS²´„eMPcDPSf•rSJMfoŠZHWgQHWTzVWJ{H\JuPSgQgJunR|N gJ\~XU_O²SnXOJ؊³Pc HKXUn[rSgPN n„²zHWTSVWJU‹làãR|N gQP»NvHWR|NQJUdòPS[tN P¶PgQgJYŠ1J}XUPb[QPgjrSJWRU[Qn„XUPSgQ¬eWPSc[QPkJf µ NQJ}XUJ{PfbŠUgPSm|H\XUJ{RZHugQPS[JMc_OTzVWJ{XUJo[Qn„[N PfkH{HWc„m µ LOgQnrJuRZVWJu†"JMg’P[Nv¬zeWPScԋ¼ ­Zf XOPá[PƒrSJMR|eMPgNQPSg§_UfbHZ€ [ ‚ àáôI©”€"[v‚DPSf›_Uf [Qn„[NQPSfbH’HWcm µ LUgQn„rSJˆXOPáP^i_ZHWTSa`PS[€"JM_]_Of [Qn„[N PfkH’XUPƒP^`_UHWTSa`PS[·XUn„†"PgQPSROrSn H\n[ JMgXUnRU¬WgQnHW[v‚ÖdŠ³J`XUPSfoJM[DXUn„[QŠ1JMgDXUPãe\¬WgQnHW[Š1JM[Q[nLUn„cn„XZHWXUP[jXUPP[QrSJWcéZHO‹ ¼ [ufbHWn„[jrSJWRUéUPSrnXZH\[u[ VWJÙJÙf µ NQJ}XUJÙXOPXUn„†"PgQPSROTzHW[­ZROn„NvH\[SdZXUPyPSc„PSfoPSR|N JW[ˆ­ZRUn„NQJM[SdOXUP¯eMJMc„_UfbP[’­ZRUn„NQJM[’PyJ{f µ N J`XUJuPS[Š³PrN gQHWcԋGIH¶ŠUgQ¬\N n„rzHOd§H\[¯XUPSgn„e\HWXZHW[¯rJMfçgPS[Š³Pn„N JlHWJ¶NQPSfoŠ³J[QVWJKXUn[rSgPN n„²zHWXUHW[¯^i_ZHW[QP^i_UP{P»w}rc_U[n„e\HWfoPSR|N PuŠ1PSc„J¶f µ N J`XUJXUPuXUn†"PSgPSRUTSHW[‰­ZRUnNvHW[‹jG”H¶XUn[rSgQP»N n„²zHWTSVWJXZHW[XUPgQneWH\XZHW[PS[ŠZHWrSnHWn[dON J`XUJM[’JW[f µ NQJ}XOJM[’rSnNvHWXUJW[HWrSn„fkH[QVWJ{PSfoŠUgQPm|HWXUJM[‹ù ŠUgJ}rPS[Q[J?XUPâXUn„[QrSgPNQn²zH\gQfoJM[_UfbHñàƒô‰©s^i_UPâmMJeMPgQRZHOd¯Š1JMgKP»w}PfbŠUc„JUdIJP[QrSJMHWfbPR|N JjXOP”_Ufï±U_UnXUJOd`[nmMROn„­ZrSHy^i_UP[Q_OLU[NQn„N _O´foJM[ƒJ]ŠUgJMLUc„PSfbHyXOP”H\rvéZHWgQfoJM[_UfbHy[QJMc„_UTzVWJyPÖwUH®NvHyPrJMR|N ´„R`_UHOdiŠ³PcJyXUPŠUgQJ`rS_UgQHWgQfoJM[ã_UfbH¯[QJMc„_UTzV\JjHWŠOgQJzw}nfbHWXZHXUn„[QrgQPN HOd‡JW_ñ[PqpQHOdXUPNQPSgfbn„RZHWfoJM[JM[ue\HWcJWgQPS[oHWŠOgQJzw}nfbHWXUJM[ROJM[{RU…M[{XZHúfkHWc„éZH€1ªnmM_Og H þ ‹„‘ ‚JMROXUP ∆x gQPŠUgQP[QPRiN HJknROrSgQPfbPR|N JkXOPjPS[ŠZHWTJ¶P ∆t J¶n„RUrSgPSfoPSR|N JXUP¯NQPSfoŠ³JU‹ 243 ^ ¿ À¯ÁMƒÃtÄ®ÅUÆ°Ç65Ê879 Ñ;:< |ÐOÄ= ?>`Á1Î ×Ç ¹[ HWRUXOJkH{gQPŠUgQP[QPSR|N HWTzVWJbŠ³JWg’XUn„†"PgQPSROTzHW[’­ZRUnNvHW[dON PfbJW[’^`_OP65 ( ∂ϕ ∂x )n j ≈ φnj+1 − φnj ∆x PlPS[tNvHúgQPSŠOgQPS[PSR|NvH\TzVWJ;H\ŠUgQP[QPSR|N HÉ_Uf PgQgQJâXUPKN g_URUrzH\fbPRiNQJÉXUHâJMgXUPSf XOP ∆x ‹àã[N H HWŠOgQJzw}nfbHWTzVWJ µ rSJWRUéUPSrnXZHúrSJWfbJ(_\`;acbAdeagfhfei jlk
a=k
mnokJM_ñXUn†"PSgQPRUTzHâHze\HWR}~TSHWXZHO‹’àªw}ŠZHWROXUnRUXOJ\~°[P ϕnj−1 Pfs[ µ gQnPhXUPJªH\[`cJWgPf=N JMgRUJoXUJkŠ1JMR|N JY€ j d n ‚’PhgP»~HWmWgQ_UŠZH\RUXUJ{JM[ˆN PgQfoJM[SdORU…M[’JMLONQPSfoJM[H{HWŠUgJw}n„fkHWTSVWJrJMRUéUPrSnXUH{rJMfoJqpodrnos;bAdeatffei jlk
a=k
mnokJM_lXUn„†"PgQPSROTzHugQPrS_ZHWXUHJ5 ( ∂ϕ ∂x )n j ≈ φnj − φnj−1 ∆x ù£foPS[fbJ{Š1J}XUP¯[PSg’†"PSnN J{rSJWf=gQPc HWTSVWJ{¸W[XUPSgn„e\HWXZH\[’RUJoNQPSfoŠ³J ( ∂ϕ ∂t )n j ≈ φn+1j − φnj ∆t ^i_UPonR|N gJ}XO_U²u_UfFPSggQJKXZHKJMgQXOPSfAXUP ∆t d·HW[Q[_Ufbn„RUXUJ\~ä[QP{^i_UP ∆t  1 P{^`_OPkHW[XUPgQneWH\XZHW[XUPyfkH\nJMgJMgQXUPf=[ V\Joc„nfon„N HWXZHW[‹ B—uB RvVZDˆ¤¦wDˆ x ¨òLK GIHk[PSTSVWJŠUgQPrSPXUPSR|N P\d e`nfoJM[IrJMfbJkHW[‰PÖwOŠOgQPS[[Qa`PS[yPSfèXUn†"PSgPSRUTSHW[I­ZRUnNvHW[†"J\~gQHWfèJMLON n„XZHW[”HkŠZHWgtN n„gXOP_UfbHyURUn„rzHo[ µ gnP]XUPz·H\[}c„JMgS‹”¹”fbHoN µ rRUnrSHkfkH\n[mMPSgQHWcŠZH\g HKrSJMRU[tN g_UngfbJM[‰HWŠUgQJzw}nfbHWTa}P[¯XZHW[yXUPSgn„e\HWXZH\[Sd§Š³JWg¯XUn„†"PgQPSROTzHW[¯­ZRUnNvHW[dDŠ³J`XUP[PSgJMLON n„XZHŠ1PSc HuPÖwOŠOgQPS[[ VWJbmMPSgQHWcs5 ( ∂ϕ ∂x )n j = aϕnj−1 + bϕ n j + cϕ n j+1 + O (∆xm) JMROXUP a d b P c [QVWJke\HWc„JMgQP[IHo[QPSgPSf XUPNQPSgfbn„RZHWXUJM[PjJbN PSgfbJ O (∆xm) n„RUXUnrSHoJPgQgQJonR|NQgQJ`XU_U²Sn„XUJuŠ1PSc H{HWŠOgQJzw}nfbHWTzVWJO‹àªwOŠUHWRUXUn„RUXUJ ϕnj−1 P ϕnj+1 Pf=[ µ gQnP¯XOPJ·H\[`cJMgPSf•N JMgRUJ{XUJ{Š³JMR|NQJ؀ j d n ‚ ϕnj+1 = ϕ n j + ∆x ( ∂ϕ ∂x )n j + ∆x2 2 ( ∂2ϕ ∂x2 )n j + O ( ∆x3 ) ϕnj−1 = ϕ n j − ∆x ( ∂ϕ ∂x )n j + ∆x2 2 ( ∂2ϕ ∂x2 )n j + O ( ∆x3 ) 5Ê{5Ê|O~}r:®Õ €:\Á‚kÐ \ÁOÆ ^ ó Py[Q_OLU[NQn„N _OnRUXUJ{P[NvH\[”PÖwOŠOgQPS[[Qa`PS[”RZHuPS^i_ZHWTSVWJbmWPSg H\cÔdUJML}N PSfoJM[¢5 aϕnj−1 + bϕ n j + cϕ n j+1 = (a + b+ c)ϕ n j + (−a + c)∆x ( ∂ϕ ∂x )n j +(a + c) ∆x2 2 ( ∂2ϕ ∂x2 )n j + (−a + c)∆x 3 6 ( ∂3ϕ ∂x3 )n j + . . . ×HW²PSRUXUJ a + b + c = 0 P (−a + c)∆x = 1 dãgPS[_Uc„N HYPSf a = c − 1 ∆x P b = −2c + 1 ∆x ŠUHWg H;^i_ZHWc„^`_OPSgKeWH\cJMg¶XOP c ‹•àƒ[rSJMc„éUPSROXUJ\~°[P c XUPúfkH\RUPSn„g H;^i_UPúJ NQPSgQfoJKPSf ∆x2 XOPS[ H\ŠZHWgQPTzHɀ c = −a ‚»dJMLONQPSfoJM[yH3H\ŠUgQJzw}nfbHWTzV\JrSJMfAJlfoPSRUJMgPgQgQJúXUP¶NQgQ_UROrzHWfoPSR|N Jي1JM[[Q´„eWPSc’ŠZH\g HØ_UfbH3†"JMgf_Uc H\TzVWJÙHYNQgQì[uŠ³JMR|NQJM[SdƒJM_ [QP°pQHOd c = −a = 1 2∆x P b = 0 ‹ ê _ULU[tN n„NQ_UnROXUJ\~°[P¯PS[tN PS[e\HWcJWgQPS[’RUHoPÖwOŠOgQPS[[ VWJbmMPSgQHWcs5 ( ∂ϕ ∂x )n j = ϕnj+1 − ϕnj−1 2∆x − ∆x 2 6 ( ∂3ϕ ∂x3 )n j + . . . ©JMgN HWR|N JUd×HugQPŠUgQP[QPRiN HWTzV\JkŠ1JMgXUn„†"PgQPSROTzHW[’­ZRUnNvHW[ µ XZH\XZHuŠ³JMg¢5 ( ∂ϕ ∂x )n j ≈ φnj+1 − φnj−1 2∆x P⊳JW[Q[Q_On¯_Uf PSggQJ XUPúN gQ_ORUrzHWfoPSR|NQJ XZH JMgXUPSf XOP ∆x2 P µ rSJWRUéUPSrnXZH rSJWfbJXUn†"PSgPSRUTSHorPSR|N gQHWXZHO‹àã[NvH]fbP[QfbHhN µ rSRUn„rzHjŠ1J`XUPI[PSgˆ_U[QHWXZHjROJXUPS[PSR|eMJWc„e`nfoPSR|N JuXOP‰HWŠUgJzwOn„fkH\TSa`PS[f_Oc„N n„XUnfoPSRO[QnJWRZHWn[áJM_KPSfÌfkHWc„éZHW[ˆRUVWJ\~°_ORUn„†"JMgfbP[S‹àãfbŠUgPSmM_OPSfoJM[ˆPS[tNvHjN µ rSROnrzHmWPSg H\cRZHJML}N PSROTzVWJuXUP¯_OfkHjgPSŠUgPS[PSR|NvHWTSVWJbHWcm µ ~LUgnrSH{XOP (∂ϕ/∂x)nj _ONQncn„²zHWROXUJu_UfbHj†"JMgQf_Oc HWTSVWJ{HN gQì[Š³JMR|NQJM[5 ( ∂ϕ ∂x )n j = aϕnj + bϕ n j+1 + cϕ n j+2 + O (∆xm) àªw}ŠZHWRUXOnRUXUJoPSfÌ[ µ gnPyXUPL·H [`c„JMg ϕnj+1 P ϕnj+2 PfÌN JWgQRUJ{XUJoŠ³JWRiNQJ3€ j d n ‚ ϕnj+1 = ϕ n j + ∆x ( ∂ϕ ∂x )n j + ∆x2 2 ( ∂2ϕ ∂x2 )n j + ∆x3 6 ( ∂3ϕ ∂x3 )n j + O ( ∆x4 ) ϕnj+2 = ϕ n j + 2∆x ( ∂ϕ ∂x )n j + (2∆x)2 2 ( ∂2ϕ ∂x2 )n j + (2∆x)3 6 ( ∂3ϕ ∂x3 )n j + O ( ∆x4 ) ^  À¯ÁMƒÃtÄ®ÅUÆ°Ç65Ê879 Ñ;:< |ÐOÄ= ?>`Á1Î ×Ç ^i_UP]HWŠ1…M[’[Q_ULO[N nN _Un„TzVWJ{RZH{P»w}ŠUgPS[[ VWJbmMPSgQHWc gQP[Q_UcNvHuPSfL5 aϕnj + bϕ n j+1 + cϕ n j+2 = (a+ b + c)ϕ n j + (b∆x + 2c∆x) ( ∂ϕ ∂x )n j + [ b∆x2 2 + c (2∆x)2 2 ]( ∂2ϕ ∂x2 )n j + (b+ 8c) ∆x3 6 ( ∂3ϕ ∂x3 )n j + . . . Œ JMfoŠZHWg H\RUXUJuJM[’XUJWn[ˆcHWXUJM[ˆXUH{P^i_ZHWTzV\JUdUeMPfbJM[’^i_UPhHW[’[PSmM_OnR|N P[rJMRUXUn„TSa`PS[XUP»eMPf [PSgnfoŠ1JM[N HW[ˆŠZHWgQHu^`_OPhNQPSRUéZH\fbJM[’J{foPSRUJWg’PSgQgJ!5 a+ b + c = 0 b∆x + 2c∆x = 1 b∆x2 2 + c (2∆x)2 2 = 0 ôIP[NQP][n[NQPSfbHuJMLON PfbJW[’JM[[QPSmW_UnR|N P[e\HWc„JMgQP[’ŠZHWgQH a d b P c 5 a = −1, 5 ∆x ; b = 2 ∆x ; c = −0, 5 ∆xP\dU­ZRZHWc„fbPRiNQPWd ( ∂ϕ ∂x )n j = −1, 5ϕnj + 2ϕnj+1 − 0, 5ϕnj+2 ∆x + ∆x2 3 ( ∂3ϕ ∂x3 )n j + . . . àã[N H3†"…Mgf_Uc H¶NQPSfF_Uf PSggQJ3XUPoNQgQ_UROrzHWfoPSR|N J3XUPkJWgQXUPfFnmM_ZH\cƒHWJ3XUH3XUn†"PSgQPRUTzHrPSR|N gQHWXZHO‹Œ HW[QJh^i_UPSn„g HWfoJM[ãn„RUrSc„_Ung·fkHWn„[ªN PgQfoJM[ƒRZH¯gQPŠUgQP[QPSR|N HWTzVWJOdOrSJWfbJ¯Š1JMgƒP»w}PSfoŠUc„JUd ( ∂ϕ ∂x )n j ≈ aφnj + bφnj+1 + cφnj+2 + dφnj+3 XUP»eMPfbJM[IJMLON PgIrJMRUXUn„TSa`PS[IPÖw`N g H\[‰ŠZHWgQHkHkXUP»N PgQfonRZHWTSVWJoXUP a d b d c P d P»w}n„mMnRUXOJ^i_UPØJW[¶rSJ`P­ZrnPRiNQPS[¶fj_Uc„NQnŠUc„nrzH\RUXUJúJM[bNQPSgfbJM[bXUPYXOPSgQne\HWXZHW[bXUPØfbHWn[oHWcNvHÉJWgt~XUPf [QP°pQHWf Ri_Uc„JM[S‹ Œ JWRiNQ_UXUJUdJM[uPS[^i_UPSfbHW[oLZHW[QPSHWXUJM[{RZHÙXUn„[QrgQPNQn²SHWTzVWJÙXOPlJWgt~XUPRU[{fkH\n[H\c„NvH\[HWŠUgPS[PSR|NvHWf rSJMRUXOnTSa`PS[jXUPPS[tNvHWLUn„cn„XZHWXUPbfkHWn„[j[PeMPg HW[{XUJÙ^i_UPJM[IPS[Q^i_UPfkH\[hLUHW[QPSHWXUJM[¯Pf«XUn„[QrgQPNQn²SHWTSa`PS[‰XOPLZHWnwUH¶JWgQXUPf3d³rSJMRO†"JWgQfoP]eMPgQPfbJM[Š1JM[NQPSgnJMgfbPRiNQPW‹ Œ JMRU[PS^]ƒUPSR|NQPSfoPSR|N P\d _UfbH{P[NQg H\N µ mMnHoH\c„N PgQRZH®N n„e\H[PSgQnHbH{XUPy[QPP[QrSJWcéUPg¯HWcmW_URU[IXOJM[‰rSJ`P­UrSnPR|N PS[IXUPj†"JMgfkHbHkgQPXU_U²Sn„gIJ¶PgQgJXUP]NQgQ_URUrSHWfoPSR|N JPJM_}N gQJW[XOPhfbHWRUPngQHuH{foPSc„éUJMgQHWg’HuPS[tNvHWLUn„cn„XZHWXUP\‹ 5ʅ„³ÊN†9:UŇ ˆ:; ÁÉÒÇ6‰L MÇI:MÐWÑzÑ®Ç ÒÐq79 Ñ :< MÐOÄ= 1>`Á×Î ×Ç ^  ·HWL1PScH þ ‹„‘eš Œ JMfbŠUHWg HWTSVWJ{XZH{HWrS_Og ¬Wrn HuXUJM[XUn†"PSgQPR|N PS[P[Q^i_UPSfbHW[‹ Œ HW[J ôIPSgn„e\HWXZH | àãggQJ | | àãgQgQJoXUP¯N g_URUrSHWfbPR|N J | œ PÖwOH\NvH ü d 3 ‘  “ ë ë Hze\HWRUTSHWXZH ü džMŽeŸ 0, 1406 × 100 0, 1359 × 100 gPSr_ZHWXZH ü d Ž  2  0, 1315 × 100 0, 1359 × 100 “ Š1JMR|N JM[[nf µ N gnrSH ü d 3WüMü  0, 4533× 10−2 0, 4531× 10−2 “ Š1JMR|N JM[HW[[Qnf µ NQgQn„rzH ü d 3 öŸ|Ž 0, 9773× 10−2 0, 9061× 10−2 ŽŠ1JMR|N JM[[nf µ N gnrSH ü d 3 ‘  “ 0, 9072× 10−5 0, 9061× 10−5 Ri_Uf µ gnrzHŠUHWg H_Uf k = 4 € ŽjŠ³JMR|NQJM[v‚‡n„g ¬jXUPrzHWn„gˆf_UnN JfbHWn„[‡g H\ŠUnXZH\fbPRiNQPWd}rSJMfJ¯gP­ZRZH\fbPRiNQJ¯XZH‰fbHWcéZH}d\XUJ¯^i_UP’JIPSgQgJ¯rSJMggQP[QŠ1JMRUXUPRiNQPHI_Uf k = 2 € “ Š1JMR|N JW[v‚»‹ ôIJM[gQPS[_Uc„N HWXUJM[HWŠUgPS[PSR|NvHWXOJM[SdUŠ1J`XUP”ŠUHWgQPrSPSg^i_UP‰H]†"JWgQf_UcHWTzV\JhXOPIfbHWn[áHWcNvHJMgXUPSf XUPeWPSgn HÙ[QPgu[QPSfoŠUgP¶PSfoŠUgQPm|HWXZHØPf fbHWcéUHW[jgP­ZRZH\XZHW[S‹ÉG”JÙPR|NvHWR|N JOdHgPzHWc„nXZHWXOP µ JW_ON gQHO‹òù PSfoŠUgPSmMJ”XUP‡†"…Mgf_Uc H\[·XUPˆHWc„N HJMgXUPSf£PSR|eWJMc„eWP’fkHWn„[·Š1JMR|N JW[Sd[PSRUXUJي1JMgtNvHWR|N JlfoPSRUJM[hPSrJMR0MfonrSH3^i_UPkHl†"JMgf_Uc H\TzVWJKXUPbLZHWnwOHKJMgQXOPSfl‹ ¼ c µ fXUP[NQPl† H\NQJUdHâH\rS_UgQ¬WrSnHúXUHن"JWgQf_UcHWTzV\JÙXUPKLZHWnwOHÙJMgXUPSf Š1J`XUP[QPgkHW_OfbPRiN HWXZHrJMf=J{gQP»­ZRZHWfoPSR|N JoXZH{fkH\céZHO‹ GIHŠUg ¬®N nrSHOdŠ1J}XUPáHWrJMR|N PrSPSgNvHWfjL µ f ^i_UPáJ”RU´eMPc|XUP‡H\rS_UgQ¬WrSnHPÖw}nmMn„XUJUdxŠZHWgQHH[JMc_UTSVWJXUJŠUgQJMLOcPSfbHˆrSJWRU[Qn„XUPSgQHWXUJUdx[QP°pQH[QH\N n„[† H\NQ…MgQn„J’rSJMf›J”PfbŠOgQPSmWJXOPá_OfkH’fbH®~c„éZH]mMgJM[Q[PSn„g HOd`JM_¶^i_UP‰XOPe`nXUJHjcn„fbnNvHWTa}P[òXUP‰foPSfo…MgQnH¯P  \JM_bN PSfoŠ1JjXUP‰rS¬Wcr_UcJOd[PqpQHWfoJM[¯JMLUgnm|H\XUJM[¯HPSfoŠUgPSm|HWgI_UfkHfbHWcéUHkmMgQJW[Q[QPngQHO‹¡In[NQJ^i_UPoHK[_UŠ1PSgQn„JMgQn~ ¢€£¤¦¥¨§©ª¥ž¤¦«F¬¦©ª¤¦§«­;®F©ª¯ °;®c±;²¦³c«­ «©ª¤¦¤¦«–­ ©´¬¦¤›µ;±;¶ª®
§–©g±™¬›«;· ^ ¾ À¯ÁMƒÃtÄ®ÅUÆ°Ç65Ê879 Ñ;:< |ÐOÄ= ?>`Á1Î ×Ç XZH\XUPXZHk†"JMgf_UcHWTzVWJoXUPuH\c„NvHoJMgQXOPSf µ [Qn„mMRUn­ZrzH\NQn„e\H{^`_UHWRUXUJ_ONQnc„n²zH\fbJM[fbHWcéUHW[gP­ZRZH\XZHW[SdOJu[QPS_KPfbŠUgPSmMJjŠ³J`XUP‰RZV\J[QPgp_U[NQn„­ZrSHWXUJuRZH\[ˆ[QnN _ZHWTa}P[ˆfoPSRUrnJMRZH\XZHW[HWR|NQPSgQn„JMgQfoPSR|NQPW‹ù‰_ON gJ؊UgQJWLUcPfkHYPRUrSJWRiNQg HWXOJÙRZH؊Ug ¬®N nrSHY[ V\JúHW[u[QJMc„_UTSa`PS[j^`_OPKHWŠUgQP[QPRiN HWfXUP[QrJMR|N nRi_Un„XZHWXUP[SdrSJMfoJÙHW[uXUJúP[QrSJMHWfbPR|N Jú[Q_UŠ1PSg[t0MROnrSJúRZV\J\~äe`n[rSJM[JU‹ÚGPS[tN PS[rSHW[QJM[d”RUVWJÚéZ¬ mMHWg HWR|NQn HW[bXUPY^i_UPÙJM[oN PgQfoJM[¶[Q_OrSPS[[QneMJM[XZHÚPÖw}ŠZHWRU[QVWJ;XUJÚPgQgQJXUPNQgQ_UROrzHWfoPSR|N JlHWŠOgQPS[PSR|N PfA_UfbH¶gQPXU_UTzV\JXUPufkH\mMRUn„NQ_UXUP\‹]©·HWg H¶P[QrJ|HWfoPSR|N JM[e`n[rSJM[JM[krJMf R]UfbPgQJM[oXUP¸MP
[}ROJMcXU[oPSc„Pe\HWXUJW[SdˆXUP[QrJMR|N nRi_Un„XZHWXUP[kRZV\J Š1J}XUPfJ`rSJMggQPgSdƒfkH\[uŠ³J`XUPSf P»w}n[tN n„gmMg H\XUnPRiNQPS[{PSc„Pe\HWXUJW[S‹Ú©·HWg HúmMgQHWXUnPR|N PS[u[PeWPSgQJW[bPfbHWcéUHW[j[_O­ZrSn„PSR|N PfbPR|N PmMgJM[Q[PSngQHW[SdãP[Q^i_UPfkHW[{XUP¶HWc„N H3JMgXUPSf Š³J`XUPSf RZVWJY[QPSge\HWR|NvHpJM[QJM[‹ÿ‰_ZHWRUXUJIP»w}n[tN ngPSfýmMgQHWXUnPR|N PS[·PSc„Pe\HWXUJM[d|HIfbHWmMRUnN _UXOPXZH\[ªXUPgQn„e\HWXUHW[ªXUP‡fkHWn„[HWcNvHlJMgQXUPf [ VWJØfj_Un„NQJ3fbHWnJWgQPS[h^i_UP¶H\[jXUP¶LUHWnwOH3JWgQXUPf3‹ Œ JMRU[PS^]ƒUPSR|NQPSfoPSR|N P\dŠZH\g H_UfkHXZHWXUH”fbHWcéZH}dJM[NQPSgfbJM[§XUPáfbHWn[§HWcNvH’JMgXUPSf RZV\J”XUn„fbn„Ri_UPSf XUHfoPS[fkHfbHWRUPng HK^i_UPk^i_ZH\RUXUJØHl[QJMc„_UTzV\J µ [Q_ZHzeMP\‹Y©PScH3foPS[QfbHKg HW²SVWJUd·H3foPSRUJM[h^i_UP¶HfbHWcéUH[QPqpQH{f_UnN JugP­ZRZH\XZHOd×HufkH\mMRUn„NQ_UXUP‰XUH{XOPSgQne\HWXZHuXUPyfkH\n[’HWcNvHJMgXUPSfldUXUJPgQgQJoXUP¯N g_URUrSHWfbPR|N JUdZŠ1J}XOPh[PSg’NvV\JbH\c„NvH^i_UPhJ{PSggQJomMcJMLUHWc[PqpQH{rSJMfoŠZHWgQ¬eWPScHWJPgQgQJoXUPy_Uf=P[Q^i_UPfkH{XUPyXUn[rSgPN n„²zHWTSVWJ{XUPyLZHWnwUHuJMgXUPSfl‹ B—g¹ º=¨»H9·¨ÝD¨¤{¥hžˆŸy  ¡  Rý¦
HÙ  ¼ø¤l¡K @3_UnN JM[hŠUgQJWLUcPfkHW[hXUPbXUnRZ÷\fbn„rzHXUJM[h±Z_UnXOJM[HWŠOgQPS[PSR|NvH\f [JMc_UTa}P[jXUJ3N nŠ1JJMROXZHO‹ò©JMgN HWR|N JUdWrSJMRUrPSnN _ZHWc„fbPR|N PኳJ`XUPSfoJM[gQPŠUgQP[QPSR|N ¬®~°cHW[ªPf£[ µ gnP‡XOPZJM_UgnPSg‹¼ ^i_UPS[tNvVWJ]^i_UPXUPeWPSfoJM[gPS[Š³JMROXUPSg µ Hh[PSmM_OnR|N P šl½’‡demfr`¾`»¿ao` noko—o— `Jfrk~fei{— n
aok
ÀÁ iàdŸÄ<˜r`aoku¿a=ko— k
m Á ddrn
’“agd4f4deÅk
m Á kJ`;mf4d;—lfrkÆ¿Çktș’Çk
m` —JkÉeagdemfrko—Lno`;Å~¿aciÊÅk
m Á ` —frk¾`;mf4d#Ë¡áHWfoJM[’HWXUfon„NQng^`_OPjHu[QJWc_UTSVWJ{P»wOH\NvH{Š1JM[Q[QH{[PSggQPŠUgQP[QPSR|N HWXZHbRUHu†"JWgQfbH ϕ(x, t) = ∞∑ m=−∞ ϕme −αmteim(x−umt) JMROXUP i = √ −1 P m µ JØR]UfoPSgJØXUP¶JMROXZHØ^i_UP¶PS[tNv¬ØgPSc H\rSnJWRZHWXUJ3rSJMf JØrSJWf{~ŠUgnfoPSR|N JYXUP¶JMRUXUH λ RZH3†"JWgQfbH λ = 2π/m ‹úG”PS[tNvHØP^`_UHWTzVWJ αm XUP»N PSgfbn„RZH3J^i_ZVWJjg HWŠUn„XZHWfoPSR|N P”HjH\fbŠUc„n„NQ_UXUP’XUP”JMRUXZHhng ¬h[QPIH\N PR`_UHWg‡P um µ HheWPScJ`rSn„XZHWXUPXUPŠUgJMŠZHWmMHWTzVWJ{XZH{JMRUXUHO‹Œ HW[QJYJØfbJe`nfoPSR|NQJYXUPb_UfkH3JMRUXZHYŠOc HWRZH}dªgQPŠUgQP[QPRiN HWXZH؊1JMgjP[N HYPS^i_ZHWTSVWJUdRZV\JHWŠUgPS[QPR|N PuXUn„[Q[Qn„ŠZHWTSVWJkPuHbJMRUXZHk[PŠUgJMŠZHWmM_OPjrSJWf eWPScJ`rSn„XZHWXUPhrSJWRU[N HWR|N P u dRU…W[NQPSgPSfoJM[HWJ{nR|e µ [XUHo[JMc_UTSVWJ{ŠUgQPrSPXUPSR|N P š ϕ(x, t) = ∞∑ m=−∞ ϕme im(x−ut) 5Ê?Ì×ÊNÍlÐÂÎ MÐWÑ®ÐWÕòÄvÁ×Î ×Ç;Ò§ÇÏOZ ÇÏÐyÕƒÒ Á ^^ ¼ HWrS_Og ¬Wrn HXZHW[XUn†"PSgPSR|N P[”H\ŠUgQJzw}nfbHWTSa`PS[‡Š³JMg’XOn„†"PSgPSRUTSHW[’­ZRUnNvHW[’XZH\[’XUPSgn„e\H®~XZH\[XUP ϕ Š³J`XUP[QPgXUP»N PgQfonRZHWXUHOd|Š³JWgãP»w}PSfoŠUcJOd`[P”rJMRU[nXUPg HWgfbJM[ƒ^i_UP”Hh[JMc_OTzVWJ µ XZHWXUHoŠ1JMg ϕ(x, t) = eim(x−ut)JM_k[QPqpQH}dUH][JMc_OTzVWJgPSŠUgPS[PSR|NvH_UfbH]JWRUXZHj^i_UP‰[PIŠUgJMŠZHWmMH]rSJWføeWPScJ`rSn„XZHWXUPrSJWRU[t~N HWR|N P u RZH3XUn„gQPTzVWJ x PbŠUHWg HK_UfFe\HWcJMg‰­}wOJYXUP x JYfoJxe`n„fbPRiNQJ µ Š1PSgQn„…}XOnrSJKPJ¶Š1PSg´J`XUJ µ XZHWXOJkŠ1JMg P = 2π/um ‹ôIP»eMPSfoJM[‰gPS[[ HWcNvHWg^i_UPjrJMfbŠOgQnfoPSR|NQJM[”XOPJMROXZHYfoPSRUJMgPS[XOJØ^i_UP λ = 2∆x RUVWJ؊1J}XUPf [QPSgjgQPSŠOgQPS[PSR|NvH\XUJM[uRi_UfbHYfkH\céZHXUn„[QrgQPN H3å 3 æ ‹©ªHWgQHÚ_Uf XUHWXUJ;Š1JMR|N J € j d n ‚kXZHÚfbHWc„éZHOd’JM[¶e\HWc„JMgQP[kP»wOH\NQJM[KXZHڊUgnfoPSngQHÉP[PSmM_UROXZHbXUPgQneWH\XZHW[’XZHu[QJWc_UTSVWJ ϕ [QVWJ{XZHWXUJM[Š1JMg™š ∂ϕ ∂x ∣ ∣ ∣ n,j = im eim(xj−utn) P ∂2ϕ ∂x2 ∣ ∣ ∣ n,j = (im)2 eim(xj−utn) ê _ULU[tN nN _Un„RUXUJ\~ä[QPhHo[JMc_OTzVWJ ϕ RZH\[”gPSŠUgPS[QPR|NvHWTa}P[‰Š³JWgXOn„†"PSgPSRUTSHW[­ZRUn„N HW[H “Š1JMR|N JM[XZH\[XOPSgQne\HWXZHW[’ŠUgnfoPSn„g HjPy[QPmM_URUXUH ( ∂ϕ ∂x )n j ≈ ϕnj+1 − ϕnj−1 2∆x ( ∂2ϕ ∂x2 )n j ≈ ϕnj−1 − 2ϕnj + ϕnj+1 ∆x2JML}N PSfoJM[gQP[QŠ1PSr»N n„e\HWfoPSR|NQPeš ( ∂ϕ ∂x )n j = eim(xj−utn) ( eim∆x − e−im∆x ) 2∆x ( ∂2ϕ ∂x2 )n j = eim(xj−utn) ( eim∆x − 2 + e−im∆x ) ∆x2¼ [[QnfldiHW[ágQPc HWTa}P[áXOPIHWfoŠUc„n„N _OXUPˆPSR|NQgQP”HW[gPSŠUgPS[PSR|NvHWTa}P[ˆP»wOH\N HhPRi_Uf µ gQn„rzH[QVWJbXUHWXZHW[Š1JMg™š ( ∂ϕ ∂x )n j ∂ϕ ∂x ∣ ∣ ∣ n,j = eim(xj−utn) ( eim∆x − e−im∆x ) 2im∆x eim(xj−utn) = [QPR (m∆x) m∆x Ñ ¿ À¯ÁMƒÃtÄ®ÅUÆ°Ç65Ê879 Ñ;:< |ÐOÄ= ?>`Á1Î ×Ç  ! FC#" Ò  "ïEÔÓ <Ï)qÕ×Ö EØ' & ÚÙ  "ïEF> & >W9Ö EØ' &  < Û >W!Ü & C & @Ø/@A< ¹”fbH”n„fbŠ1JMgN HWR|N Pƒ^i_UPS[tNvVWJOdM^i_UPˆXUn„²‡gQP[QŠ1PSnN J‰¸\[ò[QJMc„_UTSa`PS[·rSJMfoŠU_ON HWrSn„JMRZHWn„[Sd µ HXUP”[ HWL1PSgfbJW[^i_UP”m|HWg H\RiNQn HyRU…M[ƒN PfbJM[áXUP”^`_OP‰H][JMc_OTzVWJhRi_Uf µ gQn„rzH][PSgQ¬]ŠUg…w}n„fkHXZH¯[JMc_UTSVWJ‰PÖwUH®NvH¯XZHZ€"[v‚òàƒô‰©€ [ ‚ãP‡PSfï^i_UP’rJMRUXUn„TSa`PS[ãPScHIrSJWnRUrnXUPˆrJMfïH‰[JMc_OTzVWJPÖwUH®NvHO‹ ¼ [PSmM_UROXZHuŠZHWgNQP‰XUP[NvHu^i_UP[NvV\JoŠ1J`XUP‰[QPg’gQP[QŠ1JMRUXUn„XZH[Q_UŠ1PSgt­ZrSnHWcfoPSR|NQPWdPÖwOn„mMnROXUJ¶^i_UPoH¶[QJMc„_UTzV\J¶Ri_Uf µ gQn„rzHHWŠUgJzwOn„fkH\XZHkXUP»eWH¶rJMR|eMPgQmMn„g¯ŠZHWg HH¶[JMc_OTzVWJPÖwUH®NvHÙ¸3foPSXOnXZHl^`_OP¶JM[n„RUrSgPSfoPSR|N JM[]XZHYfbHWcéUHKNQPSRUXZH\f H3²SPSgJU‹ÙGJYPSR|N HWR|N JUd µ f_Un„NQJYXUn†"´rncòP[NvH\L³PcPSrPSg]XUngPNvH\fbPRiNQP¶HlrSJMR|eMPgQmMìRUrSnHO‹ ¼ fkH\RUPSn„g HKnRUXUn„gQP»NvHXUPh[QP]m|HWgQHWR|N ngH{rSJWRieWPSgmMìSRUrn H µ H{XUPhgQPS^i_UPgQPgQfoJM[I^i_UPhJb[n[tN PSfbHoHWcm µ LUgQn„rSJ{XUPP^`_UHWTSa`PS[d JMLONQnXUJkHbŠZHWgtN n„g”XUJkŠUgQJ`rSP[Q[QJkXUPXUn„[QrSgPNQn²zH\TzVWJUd1[QP°pQHkrSJWRU[Qn„[N PR|N PrJMfHW[·PS^i_ZHWTa}P[òXUn†"PSgQPRUrSnHWn[§^i_UPmMJeMPSgRZHWf£JM[·†"PR0MfoPSRUJW[·^i_UPˆP[N HWfbJW[·n„RiNQPSgPS[Q[QHWXUJM[Pf«gPS[QJWc„eMPgS‹ ¼ rJMRU[Qn„[NQìSRUrn Hkn„fbŠUc„nrSHRUJk† H\NQJkXUP]^`_OPŠ³J`XUPfbJM[gQP»eMPgN Pg‰J¶ŠUgJ\~rPS[Q[JÙXUP¶XUn„[QrgQPNQn²SHWTzVWJ3PkJML}N PSgfbJW[]P^`_UHWTSa`PS[XOn„†"PSgPSRUrn HWn„[yŠZHWgQrn HWn„[]^i_UPbXUPeWPSfgPSŠUgPS[QPR|NvHWg¯H\[”P^`_UHWTSa`PS[”^`_OPjmMJeMPgQRZH\f JW[”ŠUgJMLUc„PSfbHW[PS[NQ_UXZHWXOJM[S‹ ¼ c µ fsXOn[Q[JUdŠZH\g H]^i_UPIéZHxpQH]rJMR|eMPgQmMìRUrSnHOdUJH\cmMJMgn„NQfbJ¯_ONQnc„n²zH\XUJyRZH]JML}N PSROTzVWJXUH][QJWc_UTSVWJjXUJ[n[NQPSfbHØHWc„m µ LUgnrJ3XUPbPS^i_ZHWTa}P[uXUPeWP¶[QPgPS[tNv¬zeMPcԋ٩J}XOPSfoJM[jXUn„²SPgSdòPRiN VWJUdò^i_UPHKrSJMRO[Qn[tN ìRUrSnHlfbHWn[yHKPS[tNvHWLOncn„XZHWXUPHW[Q[PSmM_UgQHWf HKrSJMR|eMPgQmMìRUrSnHO‹ ¼ []rJMRUXUn„TSa`PS[ŠZH\g Hu^i_UP]P[NQP]PR`_ORUrSnHWXUJ{[QPyeMPgQn„­U^`_OP][QVWJ{XZHWXZHW[Š1PSc„J{NQPSJMgPSfbHXUPJݧH®w³‹ GIHoŠUg ¬\NQnrSHOd µ f_UnN JoXUn„†"´„rSn„cDJMLON PgQfoJM[gQPS[_Uc„N HWXUJM[IHWRZHWc„´„NQnrSJW[’^`_OPjXUP[QrSgPe\HWfJÙrJMfbŠ1JMgtNvHWfoPSR|N JlN P…MgQn„rSJÙXZHY[JMc_OTzVWJÙRi_UfbHYfbHWcéZHlXUPXUn„fbPRU[Qa`PS[j­URUn„N HW[S‹ ¼fbHWnJWgQn HâXUJM[¶gPS[_Uc„N HWXUJM[¶NQPS…MgnrSJW[ŒON Pn[[QVWJ;PS[tN gQnNvHWfoPSR|NQPúHWŠUcn„rzHWXOJM[kRUJ;c„nfon„NQP^i_ZHWROXUJbJW[n„RUrSgPSfoPSR|N JW[j€"XUP¯N PfbŠ1JuPyPS[QŠUHWTSJi‚’XZHufbHWcéZHjNQPSRUXOPSfsH{²SPgQJU‹ O‘ Ñ  À‰Á|ÂãÃtÄ®ÅZÆäÇބÊFÀyÇUՎßUÐ IàWÕÆ:; Áâá”ÀyÇOշљ ÑMÄcàMÕÎ:; ÁâÐlˉÑMÄvÁã ƛ °Ò Á1ÒÐ Š{—S˜ ¢/ ]¤äj¨ŽJ吤9D‡¦ ¼ [QJMc„_UTzV\JbH\ŠUgQJzw}nfbHWXZHOd}ŠUgQJeWPSRUn„PSR|N PhXZHugQP[QJMc„_UTzVWJ{XUJ{[n[NQPSfbH{HWcm µ LUgQn„rSJgP»~[_Uc„N HWR|N PhXUJbŠOgQJ`rSPS[[QJbXUP]XOn[QrgQP»N n²SHWTzV\JUd µ XUn„N H{rJMR|eMPgQmMn„g”rSHW[QJbPSc HNQPSRUXZHoŠZHWgQHoH[JMc_UTSVWJkPÖwOH\NvHoXZHkPS^i_ZH\TzVWJbXUn„†"PgQPSROrSn H\cŠUHWgQrn HWc§¸ofbPXUnXZH{^i_UP ∆t P ∆x NQPSRUXUHWfH{²SPgQJU‹ ¼ XUn†"PSgQPRUTzHPRiNQgQP{H¶[JMc_UTSVWJP»wOH\N HXZHàƒô‰© P{H¶[QJWc_UTSVWJP»wOH\N H¶XUJK[Qn[tN PfkHXUPyP^`_UHWTSa`PS[”HWcm µ LUgnrzH\[ µ rvéZHWfbHWXZHuXUPyPSggQJoXUPygQPS[JMc_OTzVWJš enj = ϕ(xj, tn) − φnj ©·JMg[QJWc_UTSVWJbPÖwOH\NvHoXUJb[n[tN PSfbHoHWcm µ LUgQn„rSJUdZ^i_UPgQPfbJM[XUn„²SPSg^i_UP µ HW^i_UPc HoJML}~NQnXZH [PSf ^i_UPÙROPSRUéi_Uf PSgQgJ;Ri_Uf µ gQn„rSJ;[QP°pQHÚnR|N gJ}XO_U²Sn„XUJUd’NvHWn„[krJMfbJ PSgQgJM[XUPHWggQPXUJMRUXZH\fbPRiNQJU‹ ¼ fbHWmMRUnN _UXUPyXUJkPSgQgJ¶XZHo[QJMc„_UTzVWJbXUPSŠ1PSROXUPjN n„ŠUnrSHWfoPSR|N PhXUJM[n„RUrSgPSfoPSR|N JM[ ∆t P ∆x PuXUJe\HWcJMgIXZHW[¯XUPgQn„e\HWXUHW[¯XUPufbHWn[¯H\c„NvHbJMgQXUPf3dDJWLON n„XZHW[RUJoŠUgJ}rPS[Q[JbXOP]H\ŠUgQJzw}nfbHWTzV\JuŠ³JMg’XOn„†"PSgPSRUTSHW[’­ZRUnNvHW[‹ ©ãgQJe\HWgˆ^i_UPhH[QJMc„_UTzV\JuXUP¯_UfÌ[n[tN PSfbHuHWc„m µ LUgnrJjXUP¯P^`_UHWTSa`PS[rSJWRieWPSgmMP]ŠUHWg HHy[QJMc„_UTzV\JhXOP_OfkH‰P^`_UHWTzVWJ]XUn„†"PgQPRUrSnHWcOŠZH\gQrSnHWc µ d`PfïmMPg HWc d|f_Un„NQJ¯XUn„†"´„rSn„c}foPS[fbJŠZH\g HuJM[rzHW[JM[fkHWn„[‡† ¬WrPSn[yå 3 æ ‹ ænЁÏ/ÐÏ çéèIêÎëèEìîíîïðè‘ñéí´ò ©ªHWgQHl_OfkHKrScHW[Q[PbgPS[NQgQnNvHKXUPbŠOgQJMLUc„PSfbHW[SdHKrSJMR|eWPSgQmWìSRUrn H3Š1J`XUPb[PSghPS[tNvHWL1P»~c„PSrSn„XZHue}nHoJoN PJMgQPfkH{XUPÝHxwšÎó;ôd4fr`W’“Åî¿a=`ep™õ{k
ÅWdŒfrkö;deõ{`;aLiÊmÇi¦n
i1deõp
k
žÀ{¿Ç` — Á `kLõ÷iÊmktdeaJkL’“ÅWdd
¿ao`wøŸiÊÅWdŸÄ<˜r`ù¿Ç`;aJfei _\k
a=k
mÄ<d;—´úÆmÇi Á d;—Jș’Çkl—™d Á i{—?_wdŸÄ<dd;—éno`;mfei?Ä û ko—frküno`;m‡—
i{— Áuý mn
i1d®éd+ko— Á d4p™iÊõ÷i1f4d4frk¸þ!d.no`;mfei?Ä<˜r`ÿmkonoko—o—™”eaci1d*k(—
’cún
i¦k
m Á kz¿‡deatd dno`;mÇöek
a›É ý mn
i1d
‹ @3_UnN JjPfL1JMg HhJjN PJMgQPfkHyN PSROéZHj[Qn„XUJPR`_ORUrSnHWXUJPf NQPSgfbJM[XUJŠUgJ}rPS[[QJuXUPXUn†"PSgPSRUTSHW[‰­ZRUnNvHW[d PSc„P[QP{HWŠOcnrSHkH¶^i_ZHWc„^i_UPSg¯f µ NQJ}XUJkXUPuXUn[rSgPN n„²zHWTSVWJ¶^i_UP{cP»eMPHke\HWgn ¬zeMPn[IROJ}XZH\n[S‹Iàã[N PNQPSJMgPSfbH µ XUPjmMg HWROXUPnfoŠ1JMgN ÷WRUrSnHOdUe`n[tN J¶^i_UP µ gPScH®~NQn„e\HWfoPSR|N Py† ¬WrSn„c§fbJM[tN gQHWgIHbPS[N HWLUn„cnXUHWXUPyXUPj_Of«H\cmMJMgn„NQfbJuPjHk[Q_ZHbrSJMRU[n[tN ìSROrSn HrJMfsHuPS^i_ZHWTSVWJkXOn„†"PSgPSRUrn HWc³ŠZHWgrSn H\c JMgQn„mMnRUHWcԋ GIH¯gQPSHWcn„XZHWXUP\dMH¯fbHWnJMgn HXUJM[ãŠUgJMLUcPfkH\[òXUPPS[rSJ|HWfoPSR|NQJM[ƒXUPˆ±Z_Un„XUJM[ã[ V\JhRUVWJ\~c„nRUPSHWgQP[P”XUJ]NQnŠ1J]XUPe\HWcJMgƒXUP”rSJMR|NQJMgQRUJ]JM_¶fon[tN Jb€"e\HWc„JMgƒnRUn„rSn H\cUPIXUP”rSJMR|NQJMgQRUJ|‚»dXUPÙfbHWRUPngQH ^i_UPÙJÚN PJMgQPfkH XUHÚPS^i_Un„e\HWc„ìSRUrn H XOPÿÝHxw RZV\J;Š³J`XUPØ[PSgKHWŠUc„nrSHWXUJgnmMJMgJM[ H\fbPRiNQPW‹ª©·JMgtNvHWR|N JOd}RUP[NQPS[‡rSHW[QJW[Sd`JhNQPSJMgPSfbHyXOPeMP”[QPgn„RiNQPSgŠUgQP»NvHWXUJhrSJWfbJ†"JMgRUPSrPSRUXOJÙHW[jrJMRUXUn„TSa`PS[hRUPSrPS[[ ¬Wgn HW[dòfkH\[]RUPf [QPSfoŠUgPk[Q_}­ZrSn„PSR|N P[SdòŠZH\g H3^i_UPNQPSRUéZH\fbJM[HurSJWRieWPSgmMìSRUrn H3å 3 æԋ „³ÊíDÊ ÀyÇUÕÑ\ ÑMÄ
àWÕÎ:; ÔÁ Ñ  ænÐ Ð  ðèEìîíÔçéê‡íªìîè“èŸì  !#"$“ê ©ªHWgQHIPS[^i_UPSfbHW[òn„fbŠUc„´rn„N JW[ RUJINQPSfoŠ³JUd\JIN PgQfoJIP[QŠZHWrn HWc ∂2ϕ/∂x2 RZHIP^`_UHWTzVWJXUPlXUn†"_U[ VWJ µ HzeWH\cn H\XUJUdãŠZHWgrSnHWcfoPSR|N PJW_ rJMfbŠOcPN HWfoPSR|N P\dRUJâRU´eMPSc’XOPlNQPSfoŠ³J€ n+ 1 ‚Ö‹ƒGIHŠUgQ¬\N n„rzHOd}n[NQJRUJM[’c„Pe\HuH_UfÌHWrSJMŠOc HWfoPSR|N JjXZHW[ˆP^`_UHWTSa`PS[ŠZHWgQHrzHWXUHRU… j ROJkN PfbŠ1J n + 1 P]XUPeWPSfoJM[‰gQP[QJMceMPg‰_Ufè[Qn„[N PfkHbXUPjP^`_UHWTSa`PS[¯H\cm µ LUgQn„rzHW[¸{fbPXUnXUH^`_OP]Hze\HWRUTSHWfoJM[RUJuN PSfoŠ1JU‹¼ e\HWc„n HWROXUJ ∂2ϕ/∂x2 rJMfbŠOcPN HWfoPSR|N P‰ROJoNQPSfoŠ³Jl€ n + 1 ‚ ( ∂2ϕ ∂x2 )n+1 j ≈ φn+1j−1 − 2φn+1j + φn+1j+1 ∆x2 ©JMgN HWR|N JUd×HWŠ1…M[XUn„[QrSgPNQn²zH\TzVWJuXZH{PS^i_ZH\TzVWJoXUPyXUn„†"_O[ VWJ −sφn+1j−1 + (1 + 2s)φn+1j − sφn+1j+1 = φnj©ªHWgQH;^`_OPɊ1JM[Q[QHWfoJM[KfbJM[tN gQHWgH rSJMRU[n[tN ìSROrSn H;XUP[N Hñ†"JMgf_Uc H\TzVWJUdXUP»eMPfbJM[[_ULU[NQn„NQ_Ung’Hu[JMc_UTSVWJuP»wOH\N HuRUPS[tNvHuPS^i_ZHWTSVWJ{P¯P»w}ŠZHWROXUngfbJM[‡JM[’XUn„†"PgQPRiNQPS[ˆNQPSgQfoJM[Pf=[ µ gQnPyXUPL·H\[}c„JMg’PSf•N JMgRUJbXOJoŠ1JMR|N J3€ j d n ‚ ϕn+1j = ϕ n j + ∆t ( ∂ϕ ∂t )n j + ∆t2 2 ( ∂2ϕ ∂t2 )n j + ∆t3 6 ( ∂3ϕ ∂x3 )n j + · · · ϕn+1j−1 = ϕ n j + ( ∆t ∂ ∂t − ∆x ∂ ∂x )n j ϕ+ 1 2! [( ∆t ∂ ∂t − ∆x ∂ ∂x )n j ]2 ϕ + 1 3! [( ∆t ∂ ∂t − ∆x ∂ ∂x )n j ]3 ϕ+ · · · ϕn+1j+1 = ϕ n j + ( ∆t ∂ ∂t + ∆x ∂ ∂x )n j ϕ+ 1 2! [( ∆t ∂ ∂t + ∆x ∂ ∂x )n j ]2 ϕ + 1 3! [( ∆t ∂ ∂t + ∆x ∂ ∂x )n j ]3 ϕ+ · · · ¼ Š1…M[’[Q_OLU[NQn„N _OnTzV\JoXOPS[NQPS[”gQPS[_Uc„N HWXUJM[ −sϕn+1j−1 + (1 + 2s)ϕn+1j − sϕn+1j+1 − ϕnj = ( ∂ϕ ∂t )n j − α ( ∂2ϕ ∂x2 )n j + ∆t 2 ( ∂2ϕ ∂t2 )n j + ∆t2 6 ( ∂3ϕ ∂t3 )n j −α∆t [ ∂ ∂t ( ∂2ϕ ∂x2 )]n j −α∆x 2 12 ( ∂4ϕ ∂x4 )n j −α∆t 2 2 [ ∂2 ∂t2 ( ∂2ϕ ∂x2 )]n j Ñ ¾ À‰Á|ÂãÃtÄ®ÅZÆäÇބÊFÀyÇUՎßUÐ IàWÕÆ:; Áâá”ÀyÇOշљ ÑMÄcàMÕÎ:; ÁâÐlˉÑMÄvÁã ƛ °Ò Á1ÒÐ −α∆t 3 6 [ ∂3 ∂t3 ( ∂2ϕ ∂x2 )]n j − α∆t∆x 2 12 [ ∂ ∂t ( ∂4ϕ ∂x4 )]n j − α∆x 4 360 ( ∂6ϕ ∂x6 )n j −α∆t∆x 2 24 [ ∂4 ∂t4 ( ∂2ϕ ∂x2 )]n j − α∆t 2∆x2 48 [ ∂2 ∂t2 ( ∂4ϕ ∂x4 )]n j + · · · = 0 Œ JMfoJ{Ho[JMc_UTSVWJ ϕ XUPeWP][QH\N n„[† HW²PSg¸uPS^i_ZHWTSVWJbXOPhXOn„†"_U[QVWJUd ∂ϕ ∂t = α ∂2ϕ ∂x2 ; ∂2ϕ ∂t2 = α2 ∂4ϕ ∂x4 ; ∂3ϕ ∂t3 = α3 ∂6ϕ ∂x6Š1J}XOPSfoJM[¯PS[rSgQP»eMPgjJlPSgQgJ3XOP{NQgQ_UROrzHWfoPSR|N JK[JMfbPR|N PoPSfçNQPSgQfoJM[¯XZH\[hXOPSgQne\HWXZHW[rJMf=gQPc HWTSVWJoHWJuN PfbŠ1J ( ∂ϕ ∂t )n j − α ( ∂2ϕ ∂x2 )n j + Enj = 0 JMROXUPWd Enj = − ∆t 2 ( 1 + 1 6s )( ∂2ϕ ∂t2 )n j − ∆t 2 3 ( 1 + 1 4s + 1 120s2 )( ∂3ϕ ∂t3 )n j + · · · ô‰HKP»w}ŠUgPS[[ VWJlXUJKPSggQJlXUPN g_URUrzH\fbPRiNQJUdDeMPfbJM[¯rc HWgQHWfoPSR|N Pu^i_UP Enj N PSROXUPSgQ¬lH²PSgQJorSJWRO†"JMgQfoP ∆t→ 0 P]HuP^`_UHWTzVWJorSJWnRUrnXUn„g ¬jrJMfsH{PS^i_ZHWTSVWJbXOPhXOn„†"_U[QVWJU‹ Š{—– ™›Ý ¥&%l¦
K»¦S¡Kh¡K¨ ùýrJMRUrPSn„NQJ{XUP¯PS[tNvHWLUn„cn„XZHWXUP‰P[N ¬{gPScHWrSn„JMRZHWXUJjrSJMf•JorgQP[QrSn„fbPR|N JUdUJW_lXOPSrzH\n~foPSR|N JOdXUJW[uPSgQgJM[{nR|N gJ}XO_U²Sn„XUJM[Pf ^i_ZHWc^i_UPg{PS[N ¬WmMn„JÙXZHÙrSJMfoŠU_ON HWTzVWJO‹;G”P[N PrJMR|N P»w`NQJUd‡JM[{PgQgQJW[{HW^i_Un’gQP»†"PSgQn„XUJM[uRZV\Jâ[QVWJâHW^i_UPSc„PS[{XUP»e}n„XUJM[oHÙ_UfbHØc…MmMn„rzHYn„R}~rJMgQgPNvH}d fkH\[I[Qn„fçH\^`_OPScP[‰XUP»e}n„XUJM[¯H\J¶† H\N J¶XOJ¶rSJMfoŠU_ON HWXUJMgN gQHWLZHWc„éZHWgIrJMf _UfR]UfoPSgJY­ZRUnN JlXUPkrSHW[ HW[]XUPSrnfbHWn[‹GIHlŠUg ¬®N nrSHOdrzHWXZH3JMŠ³Pg HWTSVWJYgPzHWc„n²SHWXZHŠ³PcJrJMfbŠO_ONvHWXOJMgugQP[Q_UcNvHúR`_Of e\HWcJMgjrSJMf _Of RrOfbPgQJÙ­ZRUnN JúXUPlHWcmMHWgQn„[QfoJM[j[nmMRUn~­ZrSH\N neMJM[dãJY^i_UP¶n„R|N gQJ`XU_U²b_Uf PSggQJØXUPkHWgQgPSXUJWRUXZHWfoPSR|N JO‹Ø©·JWgNvH\RiNQJUdãHY[JMc_OTzVWJRi_Uf µ gnrzHRUVWJ µ RZHgPzHWc„nXZH\XUP φnj dOfkHW[[Qn„f (φ∗)nj d}^`_OP µ H[QJMc„_UTzV\JRi_Uf µ gQn„rzHjXUJ[n[NQPSfbH{HWcm µ LUgQn„rSJU‹¹”fAXOPN PgQfonRZH\XUJ3f µ NQJ}XOJ µ XUnN JK[QPg]P[Nv¬zeWPScá[QPoJ3P»†"PSn„NQJYH\rS_Uf_Oc H\NQn„eMJKŠUgJ\~XU_O²SnXOJ؊³JWg]N J`XUJM[]JM[PgQgQJW[XUPHWggQPXUJMRUXZH\fbPRiNQJUdòXUP»e`nXUJÙ¸3nfoŠUcPfbPRiN HWTzV\J3XUJHWc„mMJMgn„N foJUd µ XUPS[ŠUgQP²S´eMPSc ‹©·J`XUPSfoJM[fbJW[N gQHWg^i_UPjŠZH\g H{PS^i_ZHWTa}P[¯HWcm µ LUgnrzH\[c„nRUPSHWgQP[SdZŠUgJeMPSROnPSR|NQPS[‰XUJŠUgJ}rPS[[QJjXOP”XUn„[QrgQPNQn²SHWTzVWJOd|J]PgQgQJhrSJWgQgQP[QŠ1JMRUXUPR|N P[ H\NQn[† H\²”¸\[áfoPS[fkH\[áP^i_ZHWTSa`PS[HWc„m µ LOgQnrSHW[{éUJMfoJMmMìRUPzHW[‹ Œ JMfoJÉPÖw}PSfoŠUcJUd‡rSJMRU[nXUPg HWgPSfoJM[{J P[Q^i_UPSfbH  Œ’êHWŠOcnrSHWXUJ{¸uPS^i_ZH\TzVWJoXUPyXUn„†"_O[ VWJš φn+1j = sφ n j−1 + (1 − 2s)φnj + sφnj+1 „³Ê ȳÊ=ˉÑMÄvÁã ƛ °Ò Á1ÒÐ Ñâ^ G”HogPzHWc„nXZHWXOPWdO[QHWL1PSfoJM[’^i_UPjHu[JMc_UTSVWJ{Ri_Uf µ gQn„rzHu[ H\NQn[t† HW²y¸u[QPSmW_UnR|N PhPS^i_ZH\TzVWJš (φ∗)n+1j = s(φ ∗)nj−1 + (1 − 2s)(φ∗)nj + s(φ∗)nj+1©JMgN HWR|N JUdZ[_ULON gQHWnROXUJoHo[PSmM_UROXZHoP^i_ZHWTzV\JbXZH{ŠUgnfoPSngQH ξn+1j = sξ n j−1 + (1 − 2s)ξnj + sξnj+1JMROXUP ξ µ J¶PSggQJ¶n„RiNQgQJ`XU_U²nXUJbPSfçrSHWXZHkŠ1JMR|N JkXZH¶fkH\céZH ξnj = φnj − φ∗nj ‹ ¼ [[Q_}~fonRUXOJk^i_UPn„RUnrn HWc„fbPRiNQP¯[QP°pQHWfs†"JMgQRUPrSn„XUJM[IJW[”e\HWcJWgQPS[”XUPjrJMR|N JMgRUJ¶Pn„RUnrn HWc dUJM[PgQgQJW[ˆnRUn„rSnHWn[ ξ0j € j = 2, 3, . . . , J − 1 ‚áPIJM[‡PgQgQJW[ˆnR|N gJ}XO_U²Sn„XUJM[‡ROJM[ˆrSJWRiNQJMgQROJM[ ξn1P ξnJ € n = 0, 1, 2 . . . ‚IXUP[NvHlPS^i_ZHWTSVWJl[ VWJKRi_UcJW[S‹o©·JMgtNvHWR|NQJUdHlfoPSRUJW[¯^`_OPbPgQgQJW[XUP‰HWgQgPSXUJMROXZHWfoPSR|N J[PqpQHWfønR|NQgQJ`XU_U²Sn„XUJM[dOHjŠUHWgNQngáXUJrz¬\crS_OcJjXOJM[e\HWc„JMgQP[‡XUP φnjRUJW[RO…M[nR|N PgQnJWgQPS[dUJM[PSggQJM[gPS[Q_Oc„NvH\RiNQPS[RZH{gQP[QJMc„_UTzVWJ{Š1PSgfkHWROPSrSPg VWJ{Ri_Uc„JM[S‹ù‰[’XUJMn[’f µ NQJ}XOJM[’fkH\n[ˆrJMf_URU[_ONQnc„n²zH\XUJM[‡RUHoH\RZ¬Wcn„[QP‰XOPhP[N HWLUnc„nXZH\XUP‰[ V\JoJÅþ Á `™fr`zf4dzÅWd Á aciÃÂãPJWÅþ Á `™fr`zfrk('`;m*)Jk
’“ÅWdemÇmZ‹ ¼ fL1JM[ãJM[ƒf µ N J`XUJM[ãLUHW[QPn HWfu~[PâRUH ŠOgQPSXOnTzV\JñXOPÙ^`_UHWRUXUJ éZHzeMPg ¬ _Uf rgQPS[rSn„fbPRiNQJ XUJ PSgQgJ P»w}n[tN PSR|NQPâPR|N gQPH;eMPgQXZHWXOPSngQH [JMc_UTSVWJ XUJ H\cmMJMgn„NQfbJÉR`_Of µ gQnrJ PâH [QJMc„_UTzV\J ^i_UP µ gPzHWc„fbPR|N PrSHWcr_Uc HWXUHOdOn„[N J µ dZnRUrc_Un„RUXUJuJM[PSggQJM[’XOP]H\gQgQPXUJMRUXUHWfbPR|N JU‹¹”fbHofbHWRUPngQHbHWcN PgQRZH\NQn„e\H{XUPjn„RiNQPSgŠUgQP»NvHWTSVWJkXZHkHWRZ¬Wc„n[QPyXUP]PS[tNvHWLUn„cn„XZHWXUP µ HXUP[_UŠ³JWgQfoJM[ã^i_UPHW[ƒrSJMRUXOnTSa`PS[ãn„RUnrn HWn„[·Š1J`XUPSfï[PSgƒgQPŠUgQP[QPRiN HWXZHW[áŠ1JMgã_UfbH‰[ µ gnPXUPZZJM_OgQnPgS‹·G”P[NvH‰[ µ gnPWd|rSHWXZH‰éZH\gQfW0MRUnrJUd®JM_ufbJ`XUJUd\ngQ¬IrSgPS[QrPSgƒJM_uXUPrSgPS[QrPSgƒXUPHWrJMgQXOJkrSJWfèHoP^`_UHWTzVWJkXUn[rSgQP»N n„²zHWXZH}‹ Œ HW[Jk_UfsfoJ}XOJbŠZH\gN n„rS_UcHWgˆŠ1JM[Q[QHbrgQPS[rSPgn„cnfon„N HWXZHWfoPSR|NQPWdˆHÚ[JMc_OTzVWJ;XUn„[QrgQPNQn²SHWXZH Š1JM[Q[_Un¯_UfbH [QJWc_UTSVWJ;nRU[tNv¬zeMPcԋ/àã[NvHn„RiNQPSgŠUgQP»NvHWTSVWJYXZHKPS[tNvHWLOncn„XZHWXUP µ P»w}ŠUc„JMg H\XZHlXOngQP»NvHWfoPSR|NQPoŠ1PSc„J3f µ NQJ}XOJlXOPW¡ƒJMRGPS_UfbHWRUR ‹ æ +-,.+0/ 132#“ê»ï~ê×ïðí41Xí“ë5" 6789 ~èEìîí;:Pè#ëí¾í4< ê=" >? @Æè"  ï~è çéèEìê ù f µ N J`XUJjXZHfbH\NQgQn²[QPg ¬uHWŠOcnrSHWXUJ]HWJrSHW[QJuXUJjPS[Q^i_UPfkHumMPg HWc³HjXUJWn[‡RO´„eMPn[XUP¯NQPSfoŠ³JUdUHWŠUcn„rzHWXOJ{¸{P^i_ZHWTzV\JbXUPyXUn†"_U[ V\JoXOPhrSHWcJWg φn+1j − φnj ∆t − αβLxxφn+1j − α(1 − β)Lxxφnj = 0 JMROXUP Lxxφj = (φj−1 − 2φj + φj+1) /∆x2 d α µ HhXUn„†"_U[n„e`nXUHWXUP’N µ gQfonrzHhP β µ _UfŠZH\g ÷WfoPNQgQJo^`_OPrSJMR|NQgQJMcHoJoN nŠ1JoXUPjP[Q^i_UPSfbHkXUPhXUn„[QrSgPNQn²zH\TzVWJbRUJbNQPSfoŠ³JU‹©·HWg H β = 0 JWLON PfbJM[]JYP[Q^i_UPSfbHØP»w}ŠUc„´rn„N JlPkŠUHWg H β = 1 _Uf PS[Q^i_UPfkHlN JWN HWcfoPSR|N Pn„fbŠUc„´rn„N JO‹©ªHWgQHlP[NQPbP[Q^i_UPSfbH3mWPSg H\còXUPoXUn[rSgQP»N n„²zHWTSVWJlHlXUJWn[¯RU´eMPSn„[yXUPoNQPSfoŠ³JOdDJ3PgQgQJRi_Uf µ gnrSJ{XUP»eMPh[ H\NQn[t† HW²SPg”Hu_UfbHuPS^i_ZHWTSVWJoPS^i_Un„e\HWc„PSR|N Ph¸uPS^i_ZH\TzVWJoXUn[rSgPN n„²zHWXUH‡š −sβξn+1j−1 + (1 + 2sβ)ξn+1j − sβξn+1j+1 = s(1 − β)ξnj−1