Dinamica dos Corpos Rigidos

Dinamica dos Corpos Rigidos

(Parte 2 de 7)

Um caso particular é o de movimento plano. Neste caso o campo de velocidades é perpendicular ao vetor de rotação e o "eixo helicoidal instantâneo" é sempre perpendicular ao plano do movimento. O traço deste eixo com o plano de movimento considerado é denominado, então, de Centro Instantâneo deRotação (CIR).

AOyByBOyAy z

AOxBxBOxAx y

AOzBzBOzAz x xyxy zvvzvv zxzx yvvyvv yzyz xvvxvv onde

kjiv kjiv kjiv

BzByBxB AzAyAxA OzOyOxO v v v zyxOB zyxOA

2. MOVIMENTO DO BARICENTRO

2.1. BARICENTRO

O centro de gravidade de um corpo material é um caso particular do conceito de centro de um sistema de forças paralelas, quando o sistema é constituído por forças-peso. É um ponto especial do eixo de momento mínimo3, (nulo, quando o sistema de forças é paralelo). Pode ser definido como a intersecção dos eixos de momento nulo correspondentes a duas orientações arbitrárias do corpo, relativamente ao campo gravitacional. Sendo o sistema considerado constituído por forças-peso, estas são linearmente proporcionais às massas dos elementos que constituem o corpo material. Posto ainda que o campo é constante e paralelo, o centro de gravidade coincide, portanto, com o centro de massa do corpo material.

Considere um corpo material contínuo. A posição de um elemento de massa dm é dada pelo vetor de posição ()PO-, relativamente a um ponto O de referência, arbitrariamente escolhido. Seja ()GO- o vetor de posição do centro de massa ou baricentro. Segue então que

P O dm

onde m é a massa do corpo. O símbolo de integral é aqui empregado com propriedade e por facilidade de notação, visto que o corpo em consideração é suposto contínuo. O domínio de integração é definido como o espaço ocupado pelo corpo considerado em um dado instante.

Em casos particulares, idealizados, onde o corpo é formado por um conjunto de N corpos, a notação ainda assim é consistente, posto que, da propriedade associativa do operador linear de integração e da definição do centro de massa de um sistema de pontos materiais,

G O m P O dmm

P O dm m

Corpo C i i i i i

N Ci i i

N Corpo iN i

Em particular se O for o próprio centro de massa G segue de (2.2) que

2.2. TEOREMA DO MOVIMENTO DO BARICENTRO

Considere um corpo material contínuo, de massa m e um referencial inercial em relação ao qual se estuda o movimento do corpo. Seja O um ponto de referência deste referencial. Da conhecida lei de Newton aplicada a um elemento de massa dm do corpo considerado, supondo invariância da massa no tempo, segue que ddmfa= , (2.4) onde df é a resultante das forças agentes sobre o elemento de massa. A expressão acima se integrada em todo o domínio ocupado pelo corpo, considerando o sistema de forças internas equivalente a zero, consequência do usual princípio de ação e reação da mecânica, conduz a

R a= ò dmCorpo , (2.5) onde R é a resultante do sistema de forças externas agentes sobre o corpo. Segue então que,

P Odm d

P O dm m d

dt G O

Corpo Corpo e, portanto,

Ra=mG (2.7)

A expressão acima constitui-se no Teorema do Movimento do Baricentro, válida para um corpo material genérico, sob a hipótese de invariância de massa. Em palavras: o movimento do baricentro corresponde ao movimento de um ponto material de mesma massa do corpo considerado, caso sobre ele agisse a resultante do sistema de forças externas que propulsiona este corpo.

Note que nada foi assumido até o presente momento, no que concerne à hipótese de indeformabilidade. O campo cinemático que caracteriza um C.R. será agora suposto válido.

4 Estamos tratando de um domínio de integração que contém, sempre, a mesma quantidade de matéria. Daí a possibilidade de inverter a ordem de aplicação dos operadores linerares de diferenciação e integração. Não devemos aqui confundir o domínio de integração com o usual conceito de volume de controle, por sua vez presente na dedução das equações de movimento de massas fluidas, e através do qual pode existir fluxo de massa (ver, p.ex., Meirovitch, página 483).

Sejam então P um ponto genérico deste corpo que posiciona o elemento de massa dm e Q, um ponto específico que executa um 'movimento rígido' solidário ao corpo (em particular, um ponto do próprio corpo). Do vínculo cinemático de C.R., a aceleração a de P será dada por a a v v

v v

W com , (2.8) onde W é o vetor de rotação do corpo. Se substituída em (2.5), a expressão acima conduz a,

R a v v a v v

Q Q Corpo

Corpo Corpo Q Corpo

Q Corpo Corpo

P Q dm dm P Q dm dm m P Q dm P Q dm

W W W . (2.9)

Segue, então, de (2.1) que,

Caso o ponto Q escolhido seja o próprio centro de massa G, a expressão acima fica simplificada na forma geral (2.7). Note que, alternativamente, e partindo desta expressão geral, a equação (2.10) seria prontamente recuperada, aplicando-se o vínculo cinemático de corpo rígido entre os pontos G e Q.

Dinâmica dos corpos rígidos 17 2.3. ADOÇÃO DE UM REFERENCIAL FIXO NA TERRA

O referencial terrestre é em geral a escolha mais natural. Este referencial é, estritamente, não-inercial, posto que apresenta rotação. A segunda lei de Newton é válida para referenciais Newtonianos ou inerciais, no entanto. Assim, a equação (2.7) deve ser reinterpretada, se o refencial adotado é fixo na Terra.

Note, em primeiro lugar, que qualquer tentativa de medição da ação gravitacional, espelhará não apenas a própria atração gravitacional, mas também a 'força de inércia' conhecida como “força centrífuga”. Ou seja, se denominarmos F, a força de gravitação e C a "força centrífuga" decorrente da rotação da Terra, a força peso P que efetivamente estará sendo medida é , na realidade a resultante de F e C,

onde We é o vetor de rotação do referencial terrestre, G o centro de massa do corpo considerado e O’ a origem deste referencial, assumida em algum ponto de seu eixo de rotação.

Assim, sendo R a resultante das forças externas agentes sobre o corpo, cujo movimento é objeto de estudo, designando ¢F, as forças externas outras que não de origem gravitacional, sobre ele agentes, pode-se então escrever,

onde os dois primeiros termos correspondem à aceleração de arrastamento, o terceiro é a aceleração de Coriolis do centro de massa e o último a aceleração do centro de massa em relação ao referencial fixo na Terra. Desta forma, sendo as forças de inércia, centrífuga e de Coriolis, dadas respectivamente por,

= - Ù m G Om e e

C e Grel W W vem, utilizando-se de (2.13) e do Princípio de D‘Alembert,

FaIGm=- (2.17) é o conjunto das forças de inércia, e desconsiderando a¢O, que

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