Dinamica dos Corpos Rigidos

Dinamica dos Corpos Rigidos

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Esta é a equação que efetivamente deve ser integrada, quando a posição é medida relativamente ao referencial Terra.

e Grel e reldm dm mÙ = Ù = Ù = Ùò òv v v Q

3. ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO

3.1. ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO E A MATRIZ DE INÉRCIA

sistemas cartesianos que os orientam, respectivamente.

O x y’ O’

P r’

Figura 2 C.R. e sistemas de referência.

A energia cinética de um elemento diferencial de massa que compõe o corpo rígido é, por definição

A energia cinética do corpo, como um todo, fica então escrita,

ponto O’, pertencente ao corpo (ou que executa um 'movimento rígido' solidário ao corpo). Da fórmula fundamental da cinemática de um C.R., equação (1.2), vem

T dm dm dm dm

dm dm dm

OCorpo OCorpo O Corpo Corpo

O Corpo O Corpo Corpo

2 2 v r v v r r v v r r

A integral no primeiro termo é facilmente identificável como a massa do corpo. Da definição de centro de massa, equação (2.1), por sua vez, a integral do segundo termo pode ser escrita,

dm y z dm z x dm x y dm y z dm z x dm x y dm

Corpo x Corpo y Corpo z Corpo y z Corpo z x Corpo x y Corpo w w w w w w w w w

tOJ (3.7)6

onde a matriz quadrada de ordem três,

O Corpo Corpo Corpo

Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo y z dm x y dm x z dm y x dm z x dm y z dm z x dm z y dm x y dm constituída por ‘momentos de massa de segunda ordem’, é denominada ‘matriz de inércia’ do corpo em relação ao sistema considerado. Os termos da diagonal principal são

6 O super-escrito t indica a operação de transposição.

A matriz de inércia é uma entidade física de extrema importância, pois ‘mede’ a distribuição de massa de um corpo em relação a um dado sistema de coordenadas. Goza de diversas propriedades e é fundamental ao equacionamento do movimento de um corpo rígido. Estas propriedades serão apresentadas e estudadas mais adiante.

Voltando a atenção à energia cinética e substituindo as expressões (3.5) e (3.7), a equação (3.4) fica escrita na forma,

O primeiro termo está associado à translação do corpo; o segundo termo à translação e à rotação; o terceiro termo, apenas à rotação. Se a escolha for tal que¢”OG, a expressão da energia cinética ficará simplificada na forma,

2vWWJ . (3.10)

Ou seja, ‘a energia cinética de um corpo em movimento rígido, medida em relação a um dado referencial, pode ser decomposta em duas parcelas: a primeira associada apenas ao movimento do centro de massa e a segunda associada à rotação’.

Outro caso particular merece especial atenção dada sua importância conceitual e prática.

• Se O’ for um ponto fixo

Neste caso tem-se, a expressão da energia cinética reduzida apenas à parcela associada à rotação,

WWJ; um ponto fixo (3.1)

Genericamente, por outro lado, da identidade envolvendo o produto misto de três vetores abcbcacab×Ù=×Ù=×Ù , a expressão (3.9) pode ser alternativamente escrita na forma

O segundo termo da expressão acima pode então ser identificado como o produto escalar entre o vetor de rotação do corpo e o momento angular, calculado em relação ao centro de massa do corpo, que seria obtido se toda a massa do corpo fosse concentrada no ponto O’.

3.2. MATRIZ DE INÉRCIA

A matriz de inércia de um corpo material constitui-se, na realidade, em um conceito mais amplo, e pode ser definida mesmo para corpos não rígidos, como por exemplo para um corpo elástico. Neste caso, no entanto, a matriz de inércia depende do instante considerado e o cálculo da energia cinética não pode ser feito através da aplicação do vínculo cinemático de corpo rígido.

Do ponto de vista puramente matemático a matriz de inércia enquadra-se dentro de uma classe mais ampla de grandezas, denominadas tensores. É comum, em textos algo mais avançados, a referência tensor de inércia. Em particular a matriz de inércia é um tensor de segunda-ordem, gozando, portanto, de todas as propriedades inerentes a esta classe especial. Estas observações visam tão somente situar o leitor, motivando-o a um estudo mais aprofundado do assunto, tarefa que obviamente foge ao objetivo do presente texto.

As definições, conceitos e propriedades tratadas a seguir atém-se tão somente ao desenvolvimento necessário à mecânica geral, ao nível de graduação em engenharia.

Dinâmica dos corpos rígidos 24 3.2.1. Momentos e Produtos de Inércia

Define-se o momento polar de inércia de um corpo material em relação a um pólo O, à entidade escalar,

O momento polar de inércia ‘mede’, portanto, a distribuição de massa de um dado corpo material em torno de um ponto.

De forma análoga, o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo Ou , onde u é um versor, ‘mede’ a distribuição de massa de um corpo em relação a este eixo. Lembrando que o quadrado da distância de um ponto P à reta Ou é dado por

momento de inércia de um corpo em relação a um eixo Ou é então definido como,

( )J d dm P O dmu u

d y z d z x

d x y x y de tal sorte que os momentos de inércia em relação aos eixos (x,y,z), passantes por O, ficam

J y z dm

J z x dm J x y dm x Corpo y Corpo z Corpo

O momento polar de inércia em relação ao pólo O fica escrito na forma,

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