Dinamica dos Corpos Rigidos

Dinamica dos Corpos Rigidos

(Parte 4 de 7)

J xydm yxdm J

J xzdm zxdm J J xydm yxdm J

Corpo Corpo yx

Corpo Corpo zx

Corpo Corpo yx

A matriz de inércia pode então ser definida,

zzyzx yzyyx xzxyx

J J (3.19)

7 O sinal positivo é, por vezes, preferido na definição.

Dinâmica dos corpos rígidos 26 3.2.2. Transformação de Base e Eixos Principais de Inércia

Considere,conforme a figura abaixo, e alterando um pouco a notação, dois sistemas de

x’2

x1 x2 x3 x’3 a23 a13

Figura 3 Mudança de base e transformação de coordenadas

¢ = = åx xi ij j

Ou, em forma mais compacta,

[][]B==cos;,,,aijij123 (3.2)

é a denominada matriz de mudança de base, formada pelos cossenos diretores ijacos. Explicitamente,

cos cos cos cos cos a a a a a a a a a

31 32 33cos cos cos cos

Considere agora dois vetores p e q relacionados entre si por uma matriz [A]. Em notação matricial,

Cabe aqui determinar a matriz [A’] correspondente à transformação de base. Prémultiplicando a expressão (3.24) pela matriz [B] e introduzindo a matriz identidade de ordem 3, [I], entre [A] e {q}, vem que

8 cosaij são os denominados cossenos diretores.

Quando diagonal, a matriz de inércia é dita relativa a eixos principais de inércia. Se, além disso, o pólo O coincidir com o centro de massa G do corpo, os eixos são ditos centrais de inércia.

Como será visto adiante, qualquer eventual eixo de simetria ocorrente na distribuição de massa do corpo será um eixo principal de inércia. Para corpos de forma geométrica simples, com distribuição homogênea de massa, é relativamente fácil identificar eixos principais de inércia. Para um caso mais geral, ou ao menos mais complexo, nem sempre é imediato identificar elementos de simetria. É assim interessante determinarmos eixos principais de inércia. Existe uma transformação particular que diagonaliza a matriz de inércia, transformando-a em uma matriz principal de inércia. Seja []P a matriz de mudança de base que diagonaliza []JO. Então,

Está fora do escopo do presente texto uma análise aprofundada do presente problema. Pede-se ao leitor mais interessado que consulte textos específicos, de álgebra-linear. Cabe

P p p =

Exemplo 2.1 - Dada a matriz de inércia I I

a12 a21

Como:

cos xxsenx xsenxx q q +-=¢

cos sen sen cos q q q q . Pode-se então escrever:

coscoscos cos2cos cos2cos

IsenIIsenIsenII senIIsenII senIsenIII q q q

Para que os eixos sejam principais:

, que fornece o ângulo que orienta os eixos principais.

3.2.3. Propriedades da Matriz de Inércia A matriz de inércia goza de diversas propriedades.

· Simetria

A matriz de inércia é simétrica. De fato, a própria definição dos produtos de inércia (3.18) e a propriedade comutativa da operação de multiplicação demonstram este fato.

• Invariância do traço

O traço da matriz de inércia é invariante com respeito à mudança de base. De fato, de (3.16) e (3.17) segue que,

• Positividade

A matriz de inércia é definida positiva. De fato, os momentos de inércia são formas quadráticas e portanto, excetuando-se o caso (idealizado) em que todos os pontos se distribuam sobre o mesmo eixo, são sempre positivos. Por outro lado a matriz de inércia pode ser diagonalizada e, como o traço da matriz é invariante, seu determinante será sempre maior ou igual a zero.

• Composição

Considere uma partição do corpo em N sub-conjuntos. Da definição dos momentos e produtos de inércia (3.16) e (3.18) e da propriedade associativa da operação de integração é possível decompor estas grandezas de forma correspondente à partição considerada. De fato,

J xydm xydm x Corpo Cjj xy Corpo Cjj onde Cj indica a j-ésima partição do corpo. A expressão acima obviamente vale, de forma análoga, para os demais momentos e produtos de inércia. Decorre, também, a propriedade subtrativa. Isto é, definindo o corpo de interesse CA a partir da decomposição de um corpo C tal que CCCAB= segue, por exemplo, que

J J JxC xC x C=- , (3.34) o mesmo valendo para os demais elementos da matriz de inércia.

• Translação de Eixos de posição relativa, expresso na base que orienta ambos os sistemas de coordenadas.

Tomando o momento de inércia do corpo em relação ao eixo ¢¢Ox, por exemplo, segue então, da definição que,

( )J y z dm y b z c dm

y z dm b c dm b ydm c zdm x CorpoCorpo

(Parte 4 de 7)

Comentários