Dinamica dos Corpos Rigidos

Dinamica dos Corpos Rigidos

(Parte 5 de 7)

Por outro lado, da definição da posição do centro de massa, calculada em relação ao ponto O ,

Dinâmica dos corpos rígidos 3 mx xdm my ydm mz zdm

G Corpo

G Corpo

G Corpo ò (3.36) e, portanto,

J J m b c mby mcz J J m c a mcz max

J J m a b max mby x x G G y y G G z z G G

Note a permutação cíclica que, uma vez mais, comparece na expressão acima. Caso o ponto O seja o próprio centro de massa, ou seja, se OG”, a equação acima fica simplificada na forma

J J m b c J J m c a

J J m a b x Gx y Gy z Gz

A equação (3.38) também é conhecida como Teorema de Steiner. Permite enunciar a seguinte assertiva: “uma vez definidas as direções dos eixos, os respectivos momentos de inércia serão mínimos se a origem for o baricentro”.

( )J x y dm x a y b dm

xydm ab dm b xdm a ydm x y CorpoCorpo utilizando (3.36) e generalizando para os demais eixos,

GGzxxz GGyzzy

GGxyyx mcxmazmcaJJ mbzmcymbcJJ maymbxmabJJ

Novamente, caso OG”, as equações são simplificadas na forma,

J J mab

J J mbc J J mca x y xy

y z yz z x zx

Exemplo 2.2 - Uma chapa de aço possui quatro furos simetricamente distribuídos. Calcule a matriz de inércia para em relação aos eixos Gxyz indicados na figura.

d Gy x

A matriz de inércia da chapa pode ser calculada como a diferença entre a matriz de inércia de uma chapa inteiriça, de lados a e b, e a matriz de inércia de quatro discos de diâmetro d distantes u do eixo y e v do eixo x.

Como, devido à simetria, G é o baricentro tanto da chapa recortada como da inteiriça. Assim:

int ba a b ab][JG , sendo r a densidade superficial de massa

da chapa.

Para o disco 1, superior à direita, o cálculo de sua matriz de inérci, envolve a translação do sistema de eixos, do sistema que contém seu baricentro (G1) para o , em relação a Gxyz. Logo:

G Disco1

G Disco1 rp r p r p d d d d d v uv uv u d v uv uv d u

Analogamente para os discos 2,3 e 4 temos:

GDisco2 G Disco3

G Disco rp r p r p d v uv uv d u d v uv uv d u d v uv uv d u

Assim, pode-se cacular a matriz de inércia total. Notar que esta será diagonal, ou seja, os produtos de inércia serão nulos (lembrar da simetria).

3.2.4. Elipsóide de Inércia

Considere, novamente, um eixo Ou, orientado pelos cossenos diretores de u, i.e., uijk=++cosabgcoscos. Deseja-se expressar o momento de inércia do corpo em relação ao eixo Ou. Para tanto, calculando

P O x y z cos y z z x x y - Ù = + + Ù + + = = - + - + - u i j k i j k i j k a b g g b a g b a cos cos

cos cos cos cos cos cos (3.42) o quadrado da distância de um ponto genérico P a este eixo fica dado por,

que pode ser reescrito na forma, d y z z x x y

xy zx yz a b a g b g . (3.4)

Assim, substituindo (3.4) em (3.14),

xydm xzdm yzdm u Corpo Corpo Corpo corpo corpo corpo cos cos cos cos cos cos cos cos cos a b g a b a g b g

Ou seja,

J J J u x y z xy xz yz

= + + + + + + cos cos cos cos cos cos cos cos cos a b a g b g . (3.45)

Sejam então as variáveis, x a y b z g cos cos cos u u

A equação (3.45) pode ser escrita na forma,

3.3. TEOREMA DA VARIAÇÃO DA ENERGIA CINÉTICA

Considere um corpo material em movimento em relação a um referencial inercial. Conforme visto anteriormente, a energia cinética deste corpo, relativamente ao referencial considerado, pode ser expressa na forma da equação (3.2). Derivando-a em relação ao tempo, tem-se que, dTdt d dt v dm

dt dm

Assumindo a invariância da distribuição de massa, a taxa de variação da energia cinética em relação ao tempo pode ser expressa na forma, dTdt d dt dm d

dt dm dm

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