Dinamica dos Corpos Rigidos

Dinamica dos Corpos Rigidos

(Parte 6 de 7)

Corpo Corpo Corpo

Pela segunda Lei de Newton, aplicada a cada elemento de massa dm , tem-se, por outro lado que ddmFa= . (3.51) Particionando, ainda, o sistema de forças em externas e internas,

As duas parcelas da equação acima podem ser identificadas com a potência das forças elementares externas e internas, dWdWextint e , respectivamente. Assim, substituindo a expressão acima em (3.50) tem-se, dt d d dW dWextCorpo intCorpo extCorpo intCorpo que integrada no tempo, entre um instante inicial t0, arbitrariamente escolhido e um instante genérico t fornece, ou seja, a variação de energia cinética é igual ao trabalho realizado pelas forças externas e internas entre os instantes considerados. Este enunciado é conhecido como Teorema da Variação da Energia Cinética.

Particularmente para um corpo rígido, no entanto, e dentro da validade do princípio de ação e reação da mecânica, o trabalho das forças internas se anula. A demonstração deste fato, é relativamente simples. Considere, para tanto, dois elementos pontuais

distintos, constituintes do mesmo C.R., identificados respectivamente pelos pontos PPij e

ij ij i j i j ij ijij f P P

P P f r =

ffijji=-

implicitamente admitido válido o Princípio de Ação e Reação da Mecânica, isto é, Assim, t d

d d d int int Corpo t int

Corpo

N ij i j iNi

N ij i j j iNi

N ij i j i j i j j iNi

N ij i j i j j iNi t t d dt dP d P

P P f P P lim lim lim v F F f f, onde o processo limite Nfi¥ deve ser entendido simultaneamente a dVfi0, onde dV é o volume do elemento de massa considerado. Da propriedade fundamental de um C.R., pela qual a distância relativa entre dois pontos quaisquer deste corpo é invariante, ou seja,

Exemplo 2.3 - Um disco homogêneo de massa m e raio R rola sem escorregar em um plano inclinado. No instante inicial ele possuia velocidade angular w0 e estava na posição x0. Calcule a velocidade angular w em função da posição x, a aceleração angular &w e as forças externas que agem sobre o disco.

j x vG w

Cinemática W=-wk

iv v jvv R R G

OG w W =

Cálculo da Energia Cinética T

[JG] é o tensor de inércia do disco em relação a eixos que passam por G e paralelos a i,j k. Como tais eixos são principais (simetria) tem-se:

J J G x y z

Utilizando as equações acima obtém-se:

Para um disco homogêneo JmR z =

Cálculo do trabalho das forças externas

A única força que realiza trabalho é o peso. A força de atrito atua sobre um ponto com velocidade nula e a força normal é perpendicular ao deslocamento. Assim:

Teorema da Variação da Energia Cinética

R x()sen

R x

Cálculo das reações

Utilizando o teorema do baricentro:

mGextaF=å como aiGR=&w:

N mg fat mg== cossena a

Exemplo 2.4 - Um disco de massa m e raio R rola sem escorregar unido por uma barra a um anel de mesma massa e raio num plano inclinado. Calcular a aceleração do conjunto.

j x vG w

Cinemática:

v v iGAnel G Disco

Anel Disco v

v R

Cálculo da Energia Cinética:

T mv J mv J

T mv zDisco z Anel zDisco z Anel

Como JmR J mRzDisco zAnel= =2

Cálculo do trabalho das forças externas:

Como no exemplo anterior, as únicas forças que realizam trabalho são as forças pesos. Assim:

Teorema da Variação da Energia Cinética:

m v v mg x x

v v g x x v g x&&sen=a

que é a expressão procurada.

Exemplo 2.5 - O pêndulo composto abaixo possui massa m e momento de inércia JG e parte do repouso da posição q0. Calcule:

(Parte 6 de 7)

Comentários