Dinamica dos Corpos Rigidos

Dinamica dos Corpos Rigidos

(Parte 7 de 7)

a) w em função de q b) comprimento efetivo do pêndulo (lef) x G q C mg w a) Sendo rG GJm

t t q q b b q q

w r

-ga

l (coscos). Por analogia, o comprimento efetivo de um pêndulo composto é o comprimento que um pêndulo simples deveria ter para se comportar da mesma maneira. Assim:

l a a a aef

Pela equação acima pode-se verificar que tanto faz o pêndulo ser suspenso por um ponto O que dista a de G quanto por um ponto C que dista rG a

2 ; o comprimento efetivo seria o mesmo, logo, teriam o mesmo comportamento.

Exemplo 2.6 - Calcule a energia cinética de uma engrenagem cônica de um diferencial girando com velocidade angular w em torno de seu eixo. A engrenagem possui massa m e suas dimensões estão indicadas na figura.

r2 r1 w i j k

Cinemática W=wj

Energia Cinética

Tomando como pólo para cálculo da energia cinética qualquer ponto do eixo de rotação da engranagem, tem-se:

na qual [Jo] é a matriz de inércia com relação à (O,i,j,k) indicados na figura. A fórmula acima é válida pois o ponto O tem velocidade nula. Observando que (O,i,j,k) são eixo principais de inércia (simetria) (3.12) se reduz a:

r(z)

Para o cálculo de Jz, deve-se observar que a engrenagem é composta por uma infinidade de discos de espessura diferencial dx e raio dado por:

r z r z

O momento de inércia de um disco em torno do eixo Oz é dado por dI dm r z

2 Pela propriedade de composição da matriz de inércia, Jz da engrenagem é dado por:

J dI r z

dmz z Corpo

Realizando a mudança de variável:

dz l

obtém-se:

r r r rz = -

-rp

Observando que a massa m da engrenagem é dada por:

r r r rCormpo obtém-se:

m r r

Assim, a energia cinética é dada por:

m r r

Exemplo 2.7 - Um carretel de massa M, momento de inércia Jz em relação ao eixo Ak, raio maior R e raio menor r rola sem escorregar num plano horizontal. A ele liga-se um contrapeso de massa m. Considerando a polia e o fio ideais, calcule:

a) aceleração do contrapeso b) aceleração angular do carretel c) tração no fio

Jz, M j i A hv Cinemática r R A

Observando a figura acima:

v R r

v R r vRAii=w

Cálculo da Energia Cinética

Utilizando as equações acima:

R r

Cálculo do trabalho das forças externas A única força que realiza trabaho é o peso da massa m.

Teorema da Variação da Energia Cinética

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