Baixe Apostila de matemática 4 - ensino fundamental - ceesvo e outras Notas de estudo em PDF para Química, somente na Docsity! www.ceesvo.com.br 1 Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim www.ceesvo.com.br 2 MÓDULO 11 OBJETIVOS: Ao final desta U.E. você deverá saber: • Reconhecer expressões numéricas e expressões algébricas; • Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica; • Identificar o coeficiente e a parte literal de um monômio; • Escrever sentenças matemáticas; • Equacionar problemas do primeiro grau; • Resolver e interpretar problemas do primeiro grau; • Relacionar equações com o dia-a-dia; • Resolver algebricamente um sistema de equações do 1º grau pelo método da adição; • Interpretar problemas com duas incógnitas relacionando-os com o cotidiano montando um sistema de equações; • Resolver os sistemas e interpretar as respostas; • Conhecer o método geométrico no plano cartesiano para resolver sistemas de equações do 1º grau. Roteiro: - Leia atentamente o módulo observando e acompanhando a resolução dos exemplos; - Faça os exercícios no seu caderno e confira as respostas no gabarito; - Anote as dúvidas no caderno e pergunte ao professor. FAÇA OS EXERCÍCIOS NO SEU CADERNO. NÃO ESCREVA NA APOSTILA. www.ceesvo.com.br 5 c ) x + y para x = -1 y = 2 d) 2x − y para x = 3 y = 4 e) x + y − z para x = 8 y = 3 z = 5 TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO O termo algébrico é formado por duas partes: a literal (parte das letras) e o coeficiente numérico (número que está multiplicando a parte literal). Quando a expressão algébrica é formada por dois ou mais termos é denominada POLINÔMIO. Quando têm um só termo é chamada particularmente de MONÔMIO. Dessa maneira convenciona-se: Ex.: 4x é um monômio na variável x e o coeficiente é o 4. 2xy3 é um monômio com variáveis x e y e com coeficiente 2. X³Y² é um monômio com coeficiente 1 (não é necessário escrever o nº 1 antes das variáveis). 4 x² Coeficiente numérico Parte literal NÃO SE ESQUEÇA: 4 X é 4 • X (multiplicação) Obs. O sinal de multiplicação não é usado entre o número e a letra ou entre duas ou mais letras Ex.: 4ab = 4 . a . b www.ceesvo.com.br 6 MONÔMIOS OU TERMOS SEMELHANTES Dois ou mais monômios são semelhantes quando as partes literais (as letras) são idênticas (mesmas letras com mesmos expoentes). Assim 15 x²b³ é semelhante a 6x²b³ pois têm a mesma parte literal (X²b³). Os monômios 10c²b e –2cb² não são semelhantes pois as partes literais ( c²b e cb²) não são idênticas ( os expoentes das letras são diferentes). REDUÇÃO DE TERMOS SEMELHANTES Se em uma expressão algébrica houver dois ou mais termos semelhantes, eles podem ser reduzidos a um só, bastando para isso efetuar a operação indicada nos coeficientes (números), mantendo a parte literal (letras). Exemplos: 1) 5x² + 7x² - x² = 11x² 5 + 7 - 1 = 11 Para efetuar a operação com números positivos e negativos é necessário lembrar que: 1) quando os números têm o mesmo sinal, soma e conserva o sinal, 2) quando os números têm sinais diferentes, subtrai (tira) e resulta o sinal do nº maior. 2) – 4 a b³ + 9 a b³ + 7 a - 10 a = 5 a b³ - 3a - 4 + 9 = 5 7 – 10 = - 3 Obs.: quando os monômios não são semelhantes não há redução de termos. Ex.: 9x – 3y ( não existe redução pois as partes literais não são iguais). OBSERVE: quando a parte literal (letras) não tem coeficiente escrito vale 1. Ex.: X² é igual a 1X² www.ceesvo.com.br 7 OPERAÇÕES COM MONÔMIOS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MONÔMIOS: só podem ser efetuadas se os monômios são semelhantes. Para determinar o resultado você deve: 1º eliminar os parênteses aplicando a regra de sinais conforme mostra os exemplos abaixo, 2º reduzir (juntar) os termos semelhantes observando os sinais dos coeficientes (números). 1º Ex.: (3X²) + ( -5X²) adição de dois monômios Sinais diferentes resultam sinal negativo. 3X² - 5X² = -2X² (tem 3 e deve 5 = -2) 2º Ex.: (-8 a²x³) - (- 4a² x³) subtração de monômios Sinais iguais resultam sinal positivo. -8 a²x³ + 4 a² x³ = -4a²x³ (deve 8 e tem 4 = -4 ) 3º Ex.: ( 4ax²) - ( -9ab²) não são semelhantes portanto não pode ser reduzido.Você deve apenas eliminar os parênteses: 4ax² + 9ab² Copie e resolva em seu caderno: 2) Efetue as operações indicadas e reduza os termos semelhantes: a) –5x²y + 7X²Y – 20X²Y + 3X²Y = b) ( -12b) + ( - 8b) = c) 9x – 3x + 2Y –5y d) (7s ) - ( - 4s) = 3) Observe o jardim abaixo. A letra X representa a largura e x + 3 o comprimento. Represente o perímetro do jardim (soma dos quatro lados). www.ceesvo.com.br 10 Confira suas respostas no final deste módulo. Se você acertou todos os exercícios, prossiga os seus estudos. Caso contrário refaça-os, analisando seus erros. Observe atentamente: A soma do triplo de um número com 15 é igual a 27. A representação dessa sentença é: 3. X + 15 = 27 o triplo de somado com 15 é igual a 27 um número Represente: A diferença entre o dobro de um número e 15 é igual a 8. Escreva a resposta no seu caderno. Com certeza você escreveu: 2. X – 15 = 8. Diferença é subtração. Copie e resolva em seu caderno: 5) Em seu caderno, passe para a linguagem matemática as afirmações a seguir: a) A soma do dobro de um número com 18 é igual a 23. b) A soma do triplo de um número com 28 é igual a 32. c) A diferença entre a terça parte de um número e 8 é 14. d) A diferença entre a quarta parte de um número e 14 é 70. SUCESSOR ou CONSECUTIVO E ANTECESSOR O sucessor de 9 é 10, porquê? Porque 9 + 1 = 10 Para achar o sucessor você acrescenta uma unidade ao número. Para representar o sucessor de um número desconhecido você usa o X portanto X + 1 representa o sucessor ou consecutivo, dessa forma estamos acrescentando uma unidade ao número (X) desconhecido. Lembre-se que sucessor e consecutivo são sinônimos (significa a mesma coisa). E o antecessor? O antecessor de um número é aquele que tem uma unidade a menos. Exemplo: o antecessor de 9 é 8, porque 9 – 1 = 8 www.ceesvo.com.br 11 Como se representa simbolicamente o antecessor de um número? Isso mesmo! Se X é o número então, X – 1 representa o antecessor de um número. Em seu caderno, represente simbolicamente as expressões, utilizando Y para representar um número desconhecido. a) O sucessor de um número................................. b) O antecessor de um número.............................. Com certeza você escreveu: a) Y + 1 b) Y - 1 Veja como é representado na linguagem matemática a sentença: A soma de um número e seu antecessor é 81. A representação dessa sentença é X + (X – 1) = 81. Agora é com você: Como se representa: a soma de um número com o seu sucessor é 57? Se você escreveu X + (X + 1) = 57, acertou!!! Ou X + X+1 = 57 Obs.: Os números X e X + 1 também são chamados números inteiros consecutivos. Observe atentamente: A soma de dois números inteiros consecutivos é 15. A representação dessa sentença é: X + (X + 1) = 15. Pois o número desconhecido é o X. www.ceesvo.com.br 12 Copie e resolva em seu caderno: 6) Em seu caderno, passe para a linguagem matemática. Utilize uma letra do alfabeto latino para representar o número desconhecido. a) A soma de um número inteiros com o seu consecutivo é 29. b) A soma de um número com o antecessor é 61. c) A soma de um número com seu sucessor é 29. EQUAÇÃO Equação é uma igualdade ( = ) envolvendo uma ou mais letras que estão representando números. Obs.: Saiba que pode ser usada qualquer letra como incógnita para representar um número. Esses números são chamados de raiz ou solução da equação. As equações são classificadas em grau de acordo com o maior expoente da incógnita ( letra ). EQUAÇÃO GRAU JUSTIFICATIVA 2X - 3 = 0 1º O exp. do X é 1 5X² + 6 = 36 2º O exp. do X é 2 -8a³ + 6a – 7= -9 3º O maior exp. de a é 3 www.ceesvo.com.br 15 4º ) 8x + 3 = 15 + 5x 8x – 5x = 15 – 3 3x = 12 3x = 12 x = 12 x = 4 V = 4 3 5º ) 3•( x + 2 ) + 3 = 2 x Primeiro elimine os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: (multiplica o nº de fora com os termos que estão dentro do parênteses). 3x + 6 + 3 = 2x 3x – 2x = – 6 – 3 x = -9 X = -9 V= -9 6º) Exemplo: 4x + 2 = 5x - 3 3 1 2 2 Reduza as frações ao mesmo denominador calculando o m.m.c. de 3,2 , divida pelo debaixo e multiplique pelo de cima. 8x + 12 = 15x - 9 6 6 6 6 8x + 12 = 15x - 9 (separando X com X) 8x - 15x = - 9 - 12 - 7x = - 21 . ( -1) 7x = 21 x = 21 7 X = 3 Lembre-se: o denominador do 2 é 1 Cancele os denominadores (nº 6) e copie os numeradores e resolva a equação. V = 3 3 , 2 2 3 , 1 3 (multiplica) 1 6 m.m.c www.ceesvo.com.br 16 7º) 5x – 10 = x – 2 5x – x = -2 + 10 4x = 8 Copie e resolva em seu caderno: 7) Resolva em seu caderno as equações abaixo: a) x + 3 = 4 b) 2x + 5 = 10 c) 2x + 6 = - 3x - 4 d) 4x + 9 = 2x – 8 e) 2 (X + 3) = 10 f) X + 1 = 3 3 2 2 i) X + 2X = 3x - 4 5 3 3 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Para resolver um problema, você deve: 1º) Ler atentamente o problema; 2º) Identificar os dados desconhecidos do problema que será representado por uma letra; 3º) Identificar o dado conhecido do problema; 4º) Formar a equação, envolvendo os dados conhecidos e desconhecidos; usando os símbolos da matemática; 5º) Resolver a equação (achar o valor da letra); 6º) Escrever a resposta do problema. X = 8 X = 2 4 Lembre-se: X = 1 X www.ceesvo.com.br 17 Agora, leia atentamente os problemas resolvidos abaixo para que você aprenda; Exemplo 1: A soma da minha idade com 6 é igual a 28. Qual é a minha idade? Dado desconhecido é “minha idade” representada pelo X Equação correspondente: X + 6 = 28 Resolução da equação: X + 6 = 28 X = 28 – 6 X = 22 Resposta do problema: A minha idade é 22 anos. Exemplo 2: O dobro de um número somado com 13 é igual a 23. Qual é esse número? Dado desconhecido é “o número”, representado pelo X, então a equação correspondente ao problema é: 2X + 13 = 23 Resolução da equação: 2 . X + 13 = 23 2 . X = 23 – 13 2 . X = 10 X = 2 10 X = 5 Copie e resolva em seu caderno: 8) Copie no seu caderno os problemas abaixo, passando para a linguagem da matemática e resolva a equação : a) Qual é o número que, somado com 7, é igual a 15? b) De um número subtraímos 9 e encontramos 4. Determine o nº. c) O dobro de um número somado com 20 é igual a 50. Calcule esse número e ache o seu triplo. d) O triplo de um número menos dez é igual ao dobro desse número menos quatro. Qual é esse número? www.ceesvo.com.br 20 Substituindo X= 5 na primeira equação, você obtém o valor de Y. X + Y = 8 5 + Y = 8 Y = 8 – 5 Y = 3 O conjunto verdade é representado assim: V = ( 5 , 3) ( X , Y ) 3º) Resolva em seu caderno o seguinte sistema de equações: 3X + 2Y = 18 -3X + 4Y = 0 Você acertou se tiver feito assim: 3X + 2Y = 18 -3X + 4Y = 0 0X + 6Y = 18 6Y = 18 Y = 18 6 Substituindo o valor 3 do Y temos: 3X + 2Y= 18 ( 1ª equação) 3X + 2•3 = 18 3X + 6 = 18 3X = 18 - 6 X = 12 3 V = ( 4,3 ) Y = 3 Como 2Y é 2 • Y e você sabe que Y = 3 observe a substituição no exercício. X = 4 www.ceesvo.com.br 21 Copie e resolva em seu caderno: 9) A diferença de dois números é 4 e a soma desses números é 26. Quais são esses números? 10) A soma de dois números inteiros é 34 e a diferença é 4.Quais são esses números? 11) X + 3Y = 17 -X – 2Y = - 12 INICIAÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA Você acha possível que um mesmo problema possa ser resolvido tanto algebricamente como geometricamente? Você aprendeu a solução algébrica do sistema de equações do 1º grau fazendo os cálculos com números e as variáveis. Como será a solução geométrica do mesmo sistema? Usando o plano cartesiano, ou seja, o gráfico. Observe: Você aprendeu o que é e para que serve o plano cartesiano no módulo 6 , vamos relembrar: Usando duas retas numeradas ( ou eixos ), que se cruzam num ponto ( a origem ) e considerando : 1º Os eixos perpendiculares entre si ( formando ângulos de 90º ); 2º A mesma unidade de medida nos eixos. -6 –5 –4 –3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 . P ( 3,2) eixo X eixo Y www.ceesvo.com.br 22 O eixo horizontal é chamado eixo X. O eixo vertical é chamado eixo Y. Para localizar um ponto P ( na figura ), traçam-se por esse ponto paralelas aos eixos X e Y, respectivamente. Portanto, ao ponto P da figura corresponde um par ordenado de números reais ( 3,2), dessa maneira fica determinado o ponto, como intersecção das retas paralelas aos eixos X e Y. P ( 3,2) : O primeiro número do par ordenado é chamado abscissa (eixo X) e o segundo nº é a ordenada (eixo Y). Ambos são denominados coordenadas cartesianas. Voltando ao exemplo da página 2 : X + Y = 15 X – Y = 3 para encontrar a solução geométrica faremos assim: X + Y = 15 ( 1ª equação) X – Y = 3 ( 2ª equação ) Damos valores para X e Y de modo a tornarem verdadeiras as equações. Existem várias opções. Precisamos no mínimo de 2 valores para cada equação. Observe: X Y X Y 7 8 P (7,8) 3 0 P (3,0) 8 7 P (8,7) 4 1 P (4,1) Você marca os pontos encontrados da 1ª tabela no plano cartesiano e traça a respectiva reta. Em seguida marca os pontos da 2ª tabela e traça a segunda reta. O ponto ( X , Y ) onde elas se cruzam é a resposta do sistema. Observe o gráfico na página seguinte: Pense em dois nºs que somando dá 15 para fazer a 1ª tabela Pense em dois nºs que subtraindo dá 3para fazer a 2ª tabela. www.ceesvo.com.br 25 8-) a) X = 8 b) X = 13 c) X = 15 d) X = 6 9-) (15,11 ) 10-) ( 19,15) 11-) ( 2, 5 ) 12-) Logo, a solução é X = 4 e Y = 2 P ( 4 , 2 ) 1 2 3 4 5 4 3 2 1 www.ceesvo.com.br 26 MÓDULO 12 OBJETIVOS: Proporcionar ao aluno: - A vivência das idéias abordadas, envolvendo chances e possibilidades que levem a observação, organização e raciocínio lógico dos acontecimentos ao seu redor e no mundo; - A possibilidade de interpretar gráficos de barras, colunas e setores circulares, pois as informações trazidas pelos meios de comunicação (rádio, jornais, televisão, revistas etc.) constantemente exigem estes conhecimentos, assim o aluno poderá fazer uma leitura do mundo a contento; - A oportunidade de analisar criticamente uma informação apresentada estatisticamente. www.ceesvo.com.br 27 CERCADO DE ESTATÍSTICAS POR TODOS OS LADOS Você pode não saber definir estatística, mas ao ouvir essa palavra logo pensa em números, tabelas e gráficos, não é? A estatística é um ramo da Matemática especializado em coletar, organizar, representar e interpretar dados, com o objetivo de estudar fatos, fenômenos, comportamentos. Nos mais variados campos ela está presente para ajudar a solucionar problemas e determinar rumos de ação. Veja o exemplo: - Se o estudo estatístico da população de um determinado país revela taxas de analfabetismo crescentes, é conveniente que se adotem políticas educacionais para corrigir esse problema. - A indústria utiliza estatística para avaliar a aceitação de seus produtos no mercado e a partir daí troca estratégias de produção e venda desses produtos. - A eficácia de um remédio, tratamento de uma doença ou os efeitos colaterais que ele pode provocar são determinados estatisticamente, etc. E você? A estatística está presente em seu cotidiano: nos jornais, revistas, TV, na entrevista que você responde sobre seu sabonete preferido, no folheto com perguntas sobre o serviço de lanchonete que você freqüenta, nas profissões que você pode vir a exercer. Que tal aprender um pouco sobre ela? Esse é o objetivo deste módulo: ensinar noções básicas de estatística para quem já vive cercado por ela. Existem empresas especializadas em pesquisas estatísticas (IBOPE, DATA FOLHA, VOX POPULI, etc.). POPULAÇÃO E AMOSTRA Observe este exemplo: Em épocas de eleições, é comum vermos pesquisas de intenção de voto divulgadas pela mídia. Será que eles entrevistam todos os eleitores para obter os dados da pesquisa? Não, isso seria impossível. Aí entra o conceito de amostra e população. www.ceesvo.com.br 30 GRÁFICOS: A COMUNICAÇÃO DA ATUALIDADE Atualmente, quando lemos um jornal, uma revista ou assistimos a um noticiário de televisão, é muito comum encontrarmos informações sobre diversas situações representadas por meio de gráficos. Neste módulo vamos analisar alguns tipos de gráficos e entender melhor as informações nele contida. São eles: -gráficos de segmento; -gráficos de setores; -gráficos de barras ou colunas. 1) Os gráficos de linhas ou segmentos: servem para mostrar a progressão de um fenômeno num certo período de tempo. Veja o exemplo na outra página: www.ceesvo.com.br 31 Analisando o gráfico percebemos que o candidato B sempre se manteve em alta (linha crescente) o que evidencia a probabilidade de ser o vencedor. 2-) Gráficos de setores: utilizam-se círculos fatiados muito semelhante a uma pizza cortada em vários pedaços e servem para situações em que se precisa ter uma visão comparativa entre toda as suas partes e o inteiro. Nesse gráfico a unidade mais usada é a porcentagem. Sabendo que o ângulo da circunferência é 360º fazemos a correspondência com o total da porcentagem (100%) para calcular o ângulo correspondente a cada porcentagem. Observe o exemplo do gráfico seguinte e como determinar o ângulo relativo ao valor de cada porcentagem. Para representar os 30% dos congressistas np círculo, escrevemos a seguinte regra de três simples: 100% correspondem a 360º 30 100 = X 360 multiplicando 30% correspondem a X 100 • X = 30 • 360 100 • X = 10800 X = 100 10800 X = 108% www.ceesvo.com.br 32 3-) Gráfico de barras ou colunas: apresentam os resultados em forma de barras horizontais ou verticais (colunas), partindo do plano cartesiano formado por dois eixos: horizontal e vertical. www.ceesvo.com.br 35 OBSERVE O PRÓXIMO GRÁFICO E RESPONDA EM SEU CADERNO: Suponha a seguinte situação: 144 candidatos fazem uma prova para um concurso em que as notas variam de 0 a 10, de meio em meio ponto. O resultado da avaliação é o que está expresso no gráfico que segue: Dizemos, por exemplo, que: 12 é a freqüência (quantidade) da nota 3; 8 é a freqüência da nota 6; o eixo Y representa a freqüência (quantidade de alunos de cada nota). Copie e resolva em seu caderno: 1) Observe o gráfico anterior e responda em seu caderno a) Qual foi o assunto tratado nessa pesquisa? b) Qual a graduação (de quanto em quanto foi dividida as unidades de medida) do eixo vertical? c) O que representa a coluna de quadradinhos? d) Qual foi o total de amostra pesquisada? ( total de pessoas) e) Quantos não fumantes morrem de doenças pulmonares? f) As 60 mil pessoas que morreram fumavam quantos cigarros / dia? g) Para você, qual a relação que existe entre a quantidade de cigarros/dia fumados e a quantidade de mortes por doença pulmonar? h) Dê a sua opinião sobre a relação do uso do cigarro e mortes por doenças pulmonares. www.ceesvo.com.br 36 2) Copie e complete em seu caderno a tabela abaixo de acordo com os dados no gráfico acima: NO TA S 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 FRE Q. 0 11 5 www.ceesvo.com.br 37 3) Copie e responda em seu caderno completando os espaços em branco. A legenda refere-se ao intervalo de anos de nascimento dos alunos do CEESVO. Analise o gráfico e complete as afirmações abaixo: a) A faixa etária correspondente a 25% dos alunos é de ___________. b) Os alunos mais novos correspondem a porcentagem de ________. c) Se os mais velhos correspondem a 14% dos alunos , a idade mínima em relação a 2003 é de __________. d) Os nascidos entre 1975 a 1985 correspondem a um total de _____% dos alunos. e) Um aluno que em 2003 tem 30 anos está dentro da faixa etária que corresponde a ______% FAIXA ETÁRIA DOS ALUNOS DO CEESVO - 2000 10% 12% 21% 18% 25% 14% 1980 - 1985 1980 - 1976 1975 - 1971 1970 - 1966 1965 - 1960 Antes - 1960