Baixe Simplificação de expressões Booleanas e circuitos lógicos e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Aplicada, somente na Docsity! - Lll HorIe)I a(o Alo (dt (Be OJs ooleanas e Circuitos Lógicos Professores Tópicos • Revisão Álgebra Booleana • Revisão portas lógicas • Circuitos lógicos – soma de produtos – produto de somas • Simplificação por postulado da Álgebra • Simplificação por mapa de Karnaugh Princípios da Álgebra Booleana • Não contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa • Terceiro excluído: uma proposição só pode tomar um dos dois valores possíveis, ou é verdadeira ou falsa, não sendo possível terceira hipótese. Álgebra Booleana • Operações Básicas – OU (OR) - Adição Lógica F = X + Y X Y 0 0 0 1 1 0 1 1 F 0 1 1 1 Álgebra Booleana • Operações Básicas – E (AND) - Multiplicação Lógica F = X . Y X Y 0 0 0 1 1 0 1 1 F 0 0 0 1 Tabela Verdade S = A + B . C A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 S 0 0 1 0 1 1 1 1 Portas Lógicas Porta AD (Função Multiplicação Lógica (E)) F A B F = A . B Portas Lógicas • Portas lógicas são dispositivos ou circuitos lógicos que operam um ou mais sinais lógicos de entrada para produzir uma e somente uma saída, a qual é dependente da função implementada no circuito. Portas Lógicas Porta OR (Função Adição Lógica (OU)) F A B F = A + B Portas Lógicas Porta OT (Função egação Lógica (Complemento)) F = A A A Circuitos Lógicos • Representação – Produto de Somas • lista todas as combinações das variáveis de entrada para as quais a função de saída vale 0 – Soma de Produtos • lista todas as combinações das variáveis de entrada para as quais a função de saída vale 1 Definição de uma função booleana através de uma tabela-verdade Expressão algébrica da função Notações X Y Z 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 F 1 0 1 0 0 1 0 1 F = XYZ + XYZ + XYZ + XYZ = m0 + m2 + m5 + m7 = Σm (0,2,5,7) Soma de Produtos Produto de Somas F = (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) = M1 . M3 . M4 . M6 = Π M(1,3,4,6) Simplificação de Expressões Booleanas • Usada para economizar componentes, tornar o circuito mais rápido, mais simples de fabricar e de manutenção, além de diminuir seu tamanho. • Tipos: – Postulados da Álgebra Booleana – Mapas de Karnaugh Postulados da Álgebra Booleana • Identidades Booleanas A + 0 = A 1 A . 0 = 0 5 A = A 9 A + 1 = 1 2 A . 1 = A 6 A + A = 1 3 A . A = 0 7 A + A = A 4 A . A = A 8 • Propriedade Comutativa A + B = B + A 10 A . B = B . A 11 Simplificação pelos Postulados da Álgebra Booleana CABCBABCACBAF +++= CABCBAC)CB(AF +++= CABCBABAF ++= F= A B ⋅1+ AB C+ ABC Pela prop. (6), A B ⋅1= A B C+ C= 1Pela prop. (4), Pela prop. (14), A ⋅ (B+C) = A ⋅B+ A ⋅C Soma de Produtos simplificada Simplificação pelos Postulados da Álgebra Booleana O termo poderia ter sido simplificado com o termo CABCBABCACBAF +++= CAB ABC Utilizando a propriedade (3), que permite a seguinte manipulação: ABC = ABC+ABC Simplificação pelos Postulados da Álgebra Booleana Soma de Produtos simplificada (mínima, no caso) F= ABC+ABC+ABC+ ABC+ ABC Pela prop. (3), ABC = ABC+ ABC F= AB(C+C)+ABC+ (A +A)BC Pela prop. (14) Pela prop. (4) F= A B ⋅1+ AB C+ 1⋅BC Pela prop. (6) F= AB +ABC+ BC Simplificação por Mapa de Karnaugh • Cada célula corresponde a um mintermo • Representa a função como soma de produtos • Para 2 variáveis Y XY m0 XY m2 XY m3 XY m1 X 0 1 0 1 • Exemplo: F = Σm(1,2,3) = XY + XY + XY 0 Y X 0 1 0 1 1 11 Y Simplificação por Mapa de Karnaugh • Simplificação algébrica é de difícil automatização • Simplificação por mapa fornece uma maneira “visual” para a simplificação • Baseia-se na identificação de produtos vizinhos Simplificação por Mapa de Karnaugh m0 m2 m3 m1 Y X 0 1 0 1 região onde X = 1 região onde Y = 1 Junta-se 2n posições 20 = 1 23 = 8 21 = 2 22 = 4 Simplificação por Mapa de Karnaugh F = Σm(2,3,4,5) •Exemplo de simplificação 0 0 1 0 1 1 1 0 00 01 11 10 0 1 YZ X F = XY + XY 0 0 1 1 0 1 0 1 00 01 11 10 0 1 YZ X F = Σm(3,4,6,7) F = YZ + XZ Simplificação por Mapa de Karnaugh • Mapa com 4 variáveis m0 m1 m3 m2 m6 m11 m15 m7 m9 m13 m5 m8 m12 m4 m14 m10 00 01 11 10 00 01 11 10 YZ WX • otar adjacências através das bordas m0 m1 m9 m8 m4 m6 m2m0 Simplificação por Mapa de Karnaugh • Exemplo de simplificação 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 01 11 10 00 01 11 10 YZ WX 1 WZ XZ F = Y + WZ + XZ célula isolada região com 2 células região com 4 células região com 8 células termo com 4 literais termo com 3 literais termo com 2 literais termo com 1 literal Y Funções com Saídas não Especificadas A B C D F 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 X 1 0 1 1 X 1 1 0 0 X 1 1 0 1 X 1 1 1 0 X 1 1 1 1 X •Valor da saída não precisa ser especificado don’t care = X Simplificação com Don´t Cares 1 1 X X X X X X 1 1 1 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB • X pode ser 0 ou 1 => o que for mais conveniente para simplificar a função F = CD + CD