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(Parte 1 de 5)

Universidade de Sao Paulo

Departamento de Fısica Matematica 2006

Curso de Fısica-Matematica Joao Carlos Alves Barata

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Prefacio16
Notacao e Advertencias18

Indice

I Capıtulos Introdutorios 21

1.1 Conjuntos, Relacoes e Funcoes23
1.1.1 Relacoes e Funcoes24
1.1.2 Relacoes de Ordem31
1.1.3 Cardinalidade38
1.1.4 Infimos e Supremos de Famılias de Conjuntos4
1.2 Estruturas Algebricas Basicas47
1.2.1 Semi-grupos, Monoides e Grupos49
1.2.2 Corpos5
1.2.3 Espacos Vetoriais58
1.2.4 Aneis, Algebras e Modulos60
1.2.5 Mais sobre Aneis65
1.2.6 Acoes e Representacoes68
domorfismos e Automorfismos71
1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo73
1.3.1 Cosets73
1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente75
1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores7
1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos78
1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais82
1.5.1 Discussao Informal Preliminar82
1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relacoes84
1.5.3 Somas Diretas86
1.5.4 Produtos Tensoriais87
1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitrarios8
1.5.6 Modulos e Derivacoes89

1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En- 2

1.6 Topicos especiais90
1.6.1 O Grupo de Grothendieck90
1.6.2 Grupoides92
1.6.3 Quaternions94
2.1 Espacos Vetoriais100
2.1.1 Sub-Espacos e Espacos Quocientes100
2.1.2 Bases Algebricas de um Espaco Vetorial102
2.1.3 O Dual Algebrico de um Espaco Vetorial107
2.2 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espacos Vetoriais114
2.2.1 Formas Multilineares114
2.2.2 Formas Sesquilineares e as Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Minkowski119
2.2.3 Produtos Escalares123
2.2.4 Exemplos126
2.3 Normas em Espacos Vetoriais128
2.4 Formas Bilineares e Sesquilineares em Espacos de Dimensao Finita135
2.5 Estruturas Complexas sobre Espacos Vetoriais Reais140
Apendices149
2.A Prova do Teorema de Frechet, von Neumann e Jordan149

2 Espacos Vetoriais 100

I Topicos de Algebra Linear 153

3.1 Propriedades Basicas de Determinantes e Inversas de Matrizes155
3.2 Nocoes Basicas sobre o Espectro de uma Matriz163
3.2.1 O Traco de uma Matriz169
3.3 Polinomios de Matrizes171
3.3.1 O Teorema de Hamilton-Cayley173
3.4 Matrizes Diagonalizaveis e o Teorema Espectral178
3.4.1 Diagonalizacao Simultanea de Matrizes192
3.5 Matrizes Auto-adjuntas, Normais e Unitarias196
3.5.1 Matrizes Positivas203
3.7 O Teorema de Decomposicao de Jordan e a Forma Canonica de Matrizes207
3.7.1 Resultados Preparatorios208
3.7.2 O Teorema da Decomposicao de Jordan214
3.7.3 Matrizes Nilpotentes e sua Representacao Canonica217
3.7.4 A Forma Canonica de Matrizes221
3.8 Algumas Representacoes Especiais de Matrizes223
3.8.1 A Decomposicao Polar de Matrizes223
3.8.2 O Teorema da Triangularizacao de Schur226
3.8.3 A Decomposicao QR e a Decomposicao de Iwasawa (“KAN”)228
3.9 Propriedades Especiais de Determinantes231
3.9.1 Expansao do Polinomio Caracterıstico231
3.9.2 A Desigualdade de Hadamard232
3.10 Exercıcios Adicionais235
4.1 Uma Topologia Metrica em Mat (C, n)239
4.2 Exponenciais, Logaritmos e Funcoes Analıticas de Matrizes244
4.2.1 A Exponenciacao de Matrizes e os Grupos GL(C, n) e GL(R, n)252
4.3 A Formula de Lie-Trotter e a Formula do Comutador255
4.4 Aplicacoes Lineares em Mat (C, n)258
4.5 A Formula de Baker, Campbell e Hausdorff264
4.6 A Formula de Duhamel e Algumas de suas Consequencias270

4 Topicos de Algebra Linear. I 238

I Equacoes Diferenciais 275

5.1 Definicao e Alguns Exemplos277
5.1.1 Equacoes Diferenciais Ordinarias Lineares279
5.1.2 Equacoes Ordinarias de Segunda Ordem. Exemplos de Interesse283
5.2 Sistemas de Equacoes Diferenciais Ordinarias285
5.3 Discussao sobre Problemas de Valor Inicial290
5.3.1 Problemas de Valor Inicial. Patologias e Exemplos a se Ter em Mente293
5.3.2 Teoremas de Existencia e Unicidade de Solucoes296
5.3.4 Dependencia Contınua de Condicoes Iniciais e de Parametros300
6.1 Solucao de Equacoes Ordinarias Lineares de Primeira Ordem302
6.2 As Equacoes de Bernoulli e de Riccati303
6.3 Integracao de Equacoes Separaveis306
6.4 O Metodo de Variacao de Constantes307
6.5 O Metodo de Substituicao de Prufer309
6.6 O Metodo de Inversao311
6.7 Solucao de Equacoes Exatas e o Metodo dos Fatores Integrantes312
6.8 Solucoes das Equacoes de D’Alembert-Lagrange e Clairaut317

6 Alguns Metodos de Resolucao de Equacoes Diferenciais Ordinarias 302

7.1 Introducao323
7.2 Unicidade e Existencia de Solucoes324
7.2.1 Unicidade324
7.2.2 Existencia. A Serie de Dyson327
7.2.3 Propriedades de D(s, t)332
7.3 Equacoes com Coeficientes Constantes336
7.3.1 Alguns Exemplos e Aplicacoes338
7.4 Teoria de Perturbacoes de Sistemas Lineares343
7.5 Mais sobre a Serie de Dyson. Produtos de Tempo Ordenado346
7.6 Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares no Plano Complexo349
7.6.1 O Caso Analıtico350
7.6.2 Resolucao por Series de Potencias356
7.6.3 Sistemas com Pontos Singulares. Monodromia358
7.6.4 Sistemas com Pontos Singulares Simples368
7.7 Sistemas Provenientes de EDOs de Ordem m373
7.7.1 Pontos Singulares Simples em EDO’s de Ordem m374
7.7.2 Singularidades no Infinito378
7.7.3 Alguns Exemplos de Interesse380
7.8 Equacoes Fuchsianas. Sımbolos de Riemann386
7.8.1 Equacoes Fuchsianas de Primeira Ordem386
7.8.3 Sımbolos de Riemann. Simetrias de Equacoes Fuchsianas de Segunda Ordem398
7.9 Exercıcios Adicionais405
8.1 Solucoes em Series de Potencias para Equacoes Regulares412
8.1.1 A Equacao do Oscilador Harmonico Simples412
8.1.2 A Equacao de Legendre414
8.1.3 A Equacao de Hermite417
8.1.4 A Equacao de Airy420
8.1.5 A Equacao de Chebyshev423
8.1.6 O Caso de Equacoes Regulares Gerais426
8.2 Solucao de Equacoes Singulares Regulares. O Metodo de Frobenius428
8.2.1 Equacoes Singulares Regulares. O Caso Geral432
8.2.2 A Equacao de Euler Revisitada441
8.2.3 A Equacao de Bessel4
8.2.4 Equacoes Relacionadas a de Bessel. A Equacao de Bessel Esferica456
8.2.5 Equacoes Relacionadas a de Bessel. A Equacao de Bessel Modificada459
8.2.6 A Equacao de Laguerre460
8.2.7 A Equacao Hipergeometrica462
8.2.8 A Equacao Hipergeometrica Confluente466
8.3 Algumas Equacoes Associadas469
8.3.1 A Equacao de Legendre Associada470
8.3.2 A Equacao de Laguerre Associada472
8.4 A Funcao Gama. Definicao e Propriedades473
8.5 Exercıcios Adicionais490
Apendices493
8.A Prova da Proposicao 8.1. Justificando os Polinomios de Legendre493
8.B Provando (8.14)495
8.C Justificando os Polinomios de Hermite497
8.D Provando (8.20)499
8.E Porque λ deve ser um Inteiro Positivo na Equacao de Laguerre500

8 Solucoes de Equacoes Diferenciais Ordinarias Lineares no Plano Complexo 410

9.1.1 Definicoes e Consideracoes Preliminares504
9.1.2 Relacoes de Ortogonalidade507
9.1.3 Formulas de Rodrigues509
9.1.4 Funcoes Geratrizes511
9.2 Propriedades de Algumas Funcoes Especiais521
9.2.1 Propriedades dos Polinomios de Legendre521
9.2.2 Propriedades dos Polinomios de Legendre Associados. Harmonicas Esfericas527
9.2.3 Propriedades dos Polinomios de Hermite537
9.2.4 Propriedades dos Polinomios de Laguerre540
9.2.5 Propriedades dos Polinomios de Laguerre Associados544
9.2.6 Propriedades das Funcoes de Bessel548
9.2.7 Propriedades das Funcoes de Bessel Esfericas566
9.3 Completeza de Algumas Famılias de Funcoes569
9.3.1 Completeza de Polinomios Ortogonais em Intervalos Compactos570
9.3.2 Completeza de Polinomios de Hermite572
9.3.3 Completeza dos Polinomios Trigonometricos574
9.4 Exercıcios Adicionais577
Apendices581
9.A Provando (9.57) a Forca Bruta581
10.1 As Equacoes de Helmholtz e de Laplace583
10.1.1 Problemas em Duas Dimensoes em Coordenadas Polares585
10.1.2 Problemas em Tres Dimensoes em Coordenadas Esfericas588
10.2 O Problema da Corda Vibrante593
10.2.1 Corda Vibrante Homogenea593
10.2.2 O Problema da Corda Homogenea Pendurada596
10.2.3 Corda Vibrante Nao-Homogenea599
10.2.4 O Problema da Membrana Retangular Homogenea603
10.3 O Problema da Membrana Circular Homogenea605
10.4 O Oscilador Harmonico na Mecanica Quantica e a Equacao de Hermite608
10.5 O Atomo de Hidrogenio e a Equacao de Laguerre Associada610
10.6 Propagacao de Ondas em Tanques Cilındricos613
1.1 Definicoes, Notacoes e Alguns Exemplos633
1.1.1 Alguma Classificacao640
1.2 O Metodo de Separacao de Variaveis641
1.2.1 O Metodo de Separacao de Variaveis. Caso de Equacoes Lineares642
1.2.2 O Metodo de Separacao de Variaveis. Caso de Equacoes Nao-Lineares646
1.3 O Metodo das Caracterısticas648
1.3.1 Exemplos de Aplicacao do Metodo das Caracterısticas654
1.3.2 Caracterısticas. Comentarios Adicionais669
1.4 Unicidade de Solucoes de Equacoes Diferenciais Parciais671
1.4.1 Casos Simples. Discussao Preliminar671
1.4.2 Unicidade de Solucoes. Generalizacoes678
1.5 Exercıcios Adicionais686

1 Rudimentos da Teoria das Equacoes Diferenciais Parciais 632

12.1 Comentarios Iniciais689
12.2 O Problema de Sturm694
12.2.1 Resolvendo o Problema de Sturm. A Funcao de Green695
12.2.2 O Teorema de Green697
12.3 O Problema de Sturm-Liouville700
12.4.1 Realidade dos Auto-Valores. Ortogonalidade de Auto-funcoes702
12.4.2 A Simplicidade dos Auto-Valores705
12.4.3 Condicoes Suficientes para a Positividade dos Auto-Valores707
12.5 A Equacao Integral de Fredholm710
12.6 Uma Aplicacao do Problema de Sturm-Liouville714
12.7 Comentarios Finais718
12.7.1 O Problema de Sturm-Liouville Singular718
12.8 Exercıcios Adicionais720
Apendices725
12.A Prova do Teorema 12.1. Existencia e Unicidade725
12.B Prova da Proposicao 12.1726
12.C Comentario Sobre o Determinante Wronskiano730

12 Introducao ao Problema de Sturm-Liouville 688 12.4 Propriedades Basicas dos Auto-Valores e Auto-funcoes de Problemas de Sturm-Liouville 702 12.D Ausencia de Auto-Valores em um Problema Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731

12.E Demonstracao do Teorema 12.3732
12.F Prova da Desigualdade (12.E.2)736
13.1 Descricao739
13.2 O Metodo dos Determinantes de Fredholm741
13.2.1 A Equacao Integral de Fredholm Linear Nao-Homogenea741
13.2.2 A Equacao Integral de Fredholm Linear Homogenea746
13.3 Exercıcios Adicionais748
Apendices750
13.A Obtendo os Determinantes de Fredholm750

13 Alguns Resultados sobre Equacoes Integrais 738

IV Grupos 757

14.1 O Grupo de Permutacoes759
14.1.1 Ciclos, Transposicoes e Transposicoes Elementares760
14.2 Alguns Grupos Matriciais766
14.2.1 Os Grupos GL(n) e SL(n)766
14.2.2 O Grupo de Borel e o Grupo de Heisenberg769
14.2.3 Grupos Associados a Formas Bilineares e Sesquilineares7
14.2.4 Os Grupos Ortogonais779
14.2.5 Os Grupos Unitarios780
14.3 Os Grupos SO(2), SO(3), SU(2) e SL(C, 2)782
14.3.1 Os Grupos SO(2), O(2), SO(1, 1) e O(1, 1)782
14.3.2 O Grupo SO(3)786
14.3.3 O Grupo SU(2)795
14.3.4 A Relacao entre SO(3) e SU(2)798
14.3.5 O Grupo SL(C, 2)801
14.4 Generalidades sobre os grupos SU(n) e SO(n)803
14.4.1 Os Grupos SU(n)803
14.4.2 O Grupo SU(3)806
14.4.3 Os Grupos SO(n)807
14.6 O Grupo de Lorentz819
14.6.1 O Espaco-Tempo, a Nocao de Intervalo e a Estrutura Causal819
14.6.2 A Invariancia do Intervalo826
14.6.3 O Grupo de Lorentz828
14.6.4 Alguns Sub-Grupos do Grupo de Lorentz830
14.6.5 A Estrutura do Grupo de Lorentz834
14.6.6 Os Geradores do Grupo de Lorentz839
14.7 O Grupo de Poincare844
14.8 SL(C, 2) e o Grupo de Lorentz849
Apendices858
14.A Prova do Teorema 14.8858
14.B Um Isomorfismo entre SL(C, 2)/{ , − } e L↑+871
15.1 Variedades e Grupos de Lie881
15.2 Breves Consideracoes sobre Grupos Topologicos883
15.3 Grupos de Lie Matriciais886
15.3.1 Uma Topologia Metrica em GL(C, n)886
15.3.2 O Grupo de Lie GL(C, n)887
15.3.3 Sub-Grupos Uniparametricos e seus Geradores890
15.3.4 Sub-Grupos Uniparametricos e Algebras de Lie894
15.3.5 Subgrupos Fechados de GL(C, n)899
15.4 A Relacao entre Grupos de Lie Matriciais e suas Algebras de Lie903
15.4.1 Algebras de Lie Nilpotentes, Soluveis, Simples e Semi-Simples904
15.4.2 Questoes sobre a Exponenciacao de Algebras de Lie907
15.4.3 Alguns Exemplos Especiais910

15 Grupos de Lie e Algebras de Lie. Uma Breve Introducao 880

16.1 Representacoes de Grupos917
16.2 Representacoes Irredutıveis de SO(3)924
16.3 A Medida de Haar928
16.4 Representacoes de Grupos Compactos930

V Topologia Geral, Teoria da Medida e Integracao 938

17.1 Metricas e Espacos Metricos941
17.2 Topologia de Espacos Metricos956
17.3 Pseudo-Metricas960
17.4 Espacos de Banach e de Hilbert962
17.4.1 Espacos de Sequencias964
Apendices978
17.A Algumas Desigualdades Basicas978
17.B Numeros reais e p-adicos980
17.C Aproximacoes para π987
18.1 O Teorema de Ponto Fixo de Banach995
18.1.1 Generalizacoes do Teorema de Ponto Fixo de Banach997
18.2 Aplicacao a Equacoes Numericas. O Metodo de Newton1001
18.3 Aplicacao as Equacoes Integrais de Fredholm e de Volterra1005
18.4 Aplicacoes a Teoria das Equacoes Diferenciais Ordinarias1014
18.4.1 O Teorema de Picard-Lindelof1014
18.4.2 Generalizando o Teorema de Picard-Lindelof. Solucoes Globais1019
18.4.3 Um Teorema de Comparacao de Solucoes de EDO’s1020
18.5 O Teorema da Funcao Implıcita e o Teorema da Funcao Inversa1024
18.5.1 O Teorema da Funcao Implıcita1024
18.5.2 O Teorema da Funcao Inversa1029
Apendices1030
18.A O Lema de Gronwall1030

18 O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Algumas de Suas Consequencias 994

19.1 Definicoes, Propriedades Elementares e Exemplos1032
19.2 Algumas Construcoes Especiais e Exemplos1038
19.2.1 Topologias e σ-algebras Geradas1038
19.2.2 Bases de Espacos Topologicos1042
19.2.4 Topologias e σ-algebras Produto1047
19.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espacos Topologicos1047
19.3.1 Fecho de Conjuntos em Espacos Metricos1053
19.4 Espacos Topologicos Separaveis e Segundo-Contaveis1054
20.1 O Problema da Teoria da Medida1058
20.2 Medidas de Conjuntos. Definicao, Exemplos e Propriedades Basicas1061
20.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Caratheodory1065
21.1 A Construcao da Medida de Lebesgue1074
21.1.1 A σ-algebra de Borel em R e a Medida de Borel-Lebesgue1077
21.1.2 A Medida Produto e a Medida de Lebesgue em Rn1080
21.2 Conjuntos de Cantor1081
21.3 Bases de Hamel e a Medida de Lebesgue1093

21 A Medida de Lebesgue 1074

2.1 Primeiras Definicoes1098
2.2 Espacos Hausdorff10
2.3 Reticulados e o Caso de Espacos Topologicos Gerais1102
2.3.1 Reticulados em Espacos Metricos1105
2.4 O Limite do Infimo e o Limite do Supremo1106
2.5 Continuidade de Funcoes em Espacos Topologicos1
2.5.2 Continuidade e Convergencia1116

2 Continuidade e Convergencia em Espacos Topologicos 1098 2.5.1 Outras Caracterizacoes do Conceito de Continuidade em Espacos Topologicos . 1114

23.1 Comentarios Preliminares1120
23.2 A Integracao no Sentido de Riemann12
23.2.1 A Integral de Riemann Impropria1131
23.2.2 Diferenciacao e Integracao em Espacos de Banach13
23.3 A Integracao no Sentido de Lebesgue1139
23.3.1 Funcoes Mensuraveis e Funcoes Simples1139
23.3.3 A Integral de Lebesgue e sua Relacao com a de Riemann15
23.3.4 Teoremas Basicos sobre Integracao e Convergencia1158
23.3.5 Alguns Resultados de Interesse1162
23.4 Os Espacos Lp e Lp1164
23.4.1 As Desigualdades de Holder e de Minkowski1167
23.4.2 O Teorema de Riesz-Fischer. Completeza1171
Apendices1172
23.A Demonstracao da Proposicao 23.31172
23.B Caracterizacoes e Propriedades de Funcoes Mensuraveis1173
23.C Prova do Lema 23.31179
23.D Demonstracao de (23.2)1180
23.E A Equivalencia das Definicoes (23.23) e (23.24)1181
23.F Prova do Teorema da Convergencia Monotona1183
23.G Prova do Lema de Fatou1184
23.H Prova do Teorema da Convergencia Dominada1185
23.I Prova dos Teoremas 23.2 e 23.31186
23.J Prova das Desigualdades de Holder e Minkowski1189
23.K Prova do Teorema de Riesz-Fischer1191
24.1 Uma Coletanea de Definicoes1194
24.2 Compacidade1200
24.2.1 Compacidade. Definicoes e Propriedades em Espacos Topologicos Gerais1200
24.2.2 Compacidade em Espacos Hausdorff1205
24.2.3 Compacidade em Espacos Metricos1206
24.2.4 Compacidade em Rn1215
24.3 A Nocao de Topologia Fraca1217
24.4 A Topologia Produto de Espacos Topologicos1219
24.5 O Teorema da Categoria de Baire1220

24 Alguns Topicos Especiais em Topologia e Analise 1194

VI Analise Funcional 1222

25.2 Aspectos Geometricos Basicos de Espacos de Hilbert1225
25.2.1 Bases Ortonormais Completas em Espacos de Hilbert1230
25.3 Funcionais Lineares e o Dual Topologico de um Espaco de Hilbert1244
25.3.1 O Teorema da Representacao de Riesz1245
26.1 Operadores Lineares em Espacos Vetoriais Normados1250
26.1.1 Espacos de Banach de Operadores1254
26.1.2 O Dual Topologico de um Espaco de Banach1258
26.1.3 O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequencias do Mesmo1263
26.1.4 O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princıpio de Limitacao Uniforme1270
26.1.5 O Teorema da Aplicacao Aberta e o Teorema do Grafico Fechado1271
26.2 Operadores Limitados em Espacos de Hilbert1279
26.2.1 O Adjunto de um Operador em um Espaco de Hilbert1281
26.3 Algebras de Banach e Algebras C∗1289
26.3.1 Algebras de Banach1289
26.3.2 A Inversa de Operadores Limitados1292
26.3.3 O Espectro de Operadores em Algebras de Banach1298
26.3.4 O Homomorfismo de Gelfand em Algebras C∗1308
26.3.5 Raızes Quadradas de Operadores em Algebras de Banach1310
26.3.6 Elementos Positivos de Algebras C∗1312
26.3.7 O Lema da Raiz Quadrada em espacos de Hilbert. A Decomposicao Polar1315
26.4 Um Pouco sobre Estados e Representacoes de Algebras C∗1320
26.5 O Espectro de Operadores em Espacos de Banach1329
26.6 Operadores Compactos em Espacos de Banach e de Hilbert1339
26.6.1 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-adjuntos1352
26.7.1 O Calculo Funcional Contınuo e o Homomorfismo de Gelfand1360
26.7.2 Generalizando o Calculo Funcional Contınuo. As Medidas Espectrais1362
26.7.3 Medidas com Valores em Projecoes Ortogonais1372
26.7.4 Os Projetores Espectrais e o Teorema Espectral1377

26 Operadores Lineares Limitados em Espacos de Banach e de Hilbert 1248 26.7 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Auto-adjuntos em Espacos de Hilbert 1360

finalmente)1381
27.1 Aproximacao de Funcoes Contınuas por Polinomios1394
27.2 Aproximacao por Polinomios Trigonometricos1400
27.2.1 Preliminares1401
27.2.2 Polinomios Trigonometricos e Funcoes Contınuas e Periodicas1407
27.2.3 Convergencia de Series de Fourier1410

27 Alguns Metodos de Aproximacao de Funcoes 1394

gonometricos1416

27.2.4 Revisitando a Aproximacao Uniforme de Funcoes Contınuas por Polinomios Tri-

28.1 Algebras Universais1421
28.2 Acao de Uma Algebra Universal sobre uma Outra Algebra Universal (*)1428

28 Nocoes de Estruturas Algebricas 1420

29 O Limite Indutivo de Algebras 1433

Bibliografia 1442 Indice Remissivo 1451

intencao basica destas Notas e fornecer a estudantes de Fısica nocoes matematicas importantes para uma melhor compreensao de desenvolvimentos modernos da Fısica Teorica e da Matematica.

De modo geral o texto e de leitura auto-suficiente, mas vez por outra algum estudo complementar e sugerido. Estas Notas, porem, nao sao substituto a leitura dos bons livros sobre os assuntos aqui tratados. Entretanto, procuramos apresentar (muitas vezes em exercıcios!) o maior numero possıvel de exemplos e contra-exemplos para as varias situacoes tratadas de modo a motivar melhor definicoes e resultados, o que e menos comum em textos com tratamentos mais sistematicos. Parte do material pode ser encontrada em diversas fontes, citadas na bibliografia, mas a apresentacao e sua ordem sao proprias. Ha tambem nestas Notas demonstracoes do proprio autor de resultados conhecidos que sao, por alguma razao, dificilmente encontradas na literatura.

Fazemos notar que estas notas estao ainda sendo trabalhadas e alguns capıtulos e secoes podem vir a ser alterados, corrigidos ou acrescidos de material. Alem disso, novos capıtulos serao escritos. O material ja presente e, porem, util a todos aqueles que queiram iniciar-se nos assuntos aqui expostos. Versoes atualizadas serao colocadas na “rede” (no endereco acima indicado) sempre que possıvel.

O autor agradece a todos os que apresentarem sugestoes. Fabulosas somas em dinheiro sao oferecidas a todos aqueles que encontrarem erros no texto. Entre os ja aquinhoados encontram-se os Srs. Matheus Grasselli, Alexandre T. Baraviera, Marcos V. Travaglia, Daniel Augusto Cortez, Djogo F. C. Patrao, Cleber de Mico Muramoto, Katiuscia Nadyne Cassemiro, Urbano Lopes Franca Junior, Gustavo Barbagallo de Oliveira, Priscila Vieira Franco Gondeck, Darielder Jesus Ribeiro, Daniel Augusto Turolla Vanzella, Leonardo Fernandes Dias da Motta, Krishnamurti Jose de Andrade, Pedro Tavares Paes Lopes, Diego Cortegoso Assencio, Fleury Jose de Oliveira Filho, Paulo Henrique Reimberg, Fabıola Diacenco Xavier e Marcio Andre Prieto Aparıcio Lopez aos quais somos muito gratos por correcoes e sugestoes.

As Secoes 14.B, pagina 871, e 18.4.1, pagina 1014, foram originalmente escritas por Daniel Augusto

Cortez. A Secao 10.6, pagina 613, foi originalmente escrita por Andre M. Timpanaro, Fleury J. Oliveira e Paulo H. Reimberg. A eles dedicamos agradecimentos especiais.

Joao Carlos Alves Barata Sao Paulo, 23 de maio de 2006. Departamento de Fısica Matematica

“O comportamento de um fısico em relacao a Matematica e similar a de um ladrao inteligente em relacao ao codigo penal: ele estuda apenas o suficiente para evitar punicoes”. I. M. Gelfand (1913-).

“A mente nao e um vaso a ser repleto, mas uma tocha a ser acesa”. Plutarco (46?-120).

“Talvez eu nao tenha tido exito em fazer as coisas difıceis tornarem-se faceis, mas pelo menos eu nunca fiz um assunto facil tornar-se difıcil”. F. G. Tricomi (1897-1978).

“In science, self-satisfaction is death. Personal self-satisfaction is the death of the scientist. Collective self-satisfaction is the death of the research. It is restlessness, anxiety, dissatisfaction, agony of mind that nourish science”. Jacques Lucien Monod (1910-1976), in New Scientist, 1976.

“Nao existe nenhuma categoria da Ciencia a qual se possa dar o nome de Ciencia Aplicada. O que existe sao a Ciencia e as aplicacoes da Ciencia, intimamente ligadas, como frutos a arvore que os gerou”.

Louis Pasteur (1822-1895), in “Pourquoi la France n’a pas trouve d’hommes superieurs au moment du peril”, Revue Scientifique (Paris, 1871).

Para facilitar a consulta e a leitura, listamos aqui sem muitos comentarios um pouco da notacao que empregaremos nestas Notas.Se z e um numero complexo denotaremos seu complexo conjugado por z. A notacao z∗ (mais comum em textos de Fısica) pode ocorrer mais raramente.O sımbolo A := B ou B =: A denota que A e definido pela expressao B. O sımbolo A ≡ B indica

que A e B sao duas notacoes distintas para o mesmo objeto.Se x = (x1,, xn) e y = (y1, ..., yn) sao vetores reais com n componentes (ou seja, elementos

de Rn) entao definimos

Trata-se do produto escalar usual em Rn.Se x = (x1,, xn) e y = (y1, ..., yn) sao vetores complexos com n componentes (ou seja,

elementos de Cn) entao definimos

Trata-se do produto escalar usual em Cn.Se x = (x1,, xn) e y = (y1, ..., yn) sao vetores complexos com n componentes (ou seja,

elementos de Cn) entao definimos

Trata-se de uma forma bilinear em Cn.Mat(R, n) ou Mat(n, R) designa o conjunto de todas as matrizes reais n × n. Mat(C, n) ou

Mat(n, C) designa o conjunto de todas as matrizes complexas n × n.Se A e um elemento de Mat(R, n) ou de Mat(C, n), entao AT designa a matriz transposta de

A, ou seja, a matriz cujos elementos de matriz ij sao ( AT

= Aji.Se A e um operador linear em um espaco vetorial complexo (com um certo produto escalar), seu adjunto e denotado por A∗. Em textos de Fısica e mais comum denota-lo por A†, mas nao usaremos isso aqui.

Assim, se A ∈ Mat(C, n), entao A∗ sera a adjunta de A (em relacao ao produto escalar usual, acima). O elemento de matriz ij de A∗ sera (A∗)ij = Aji.Denotaremos o operador identidade agindo em um espaco vetorial (a matriz identidade, agindo em um espaco vetorial de dimensao finita) pelo sımbolo . Esse sımbolo tambem representara a unidade de uma algebra.

19/1461Designaremos um produto escalar entre dois vetores u e v sempre por 〈u, v〉 e nunca por (u, v), para nao causar confusao com a notacao para par ordenado. Outra notacao possıvel e aquela empregada frequentemente em textos de Mecanica Quantica: 〈u|v〉, mas faremos raramente uso dessa notacao.Ainda sobre produtos escalares, seguiremos sempre a convencao dos textos de Fısica: um produto escalar em um espaco vetorial sobre os complexos e linear em relacao ao segundo argumento e antilinear em relacao ao primeiro. Assim, se α e β sao numeros complexos, teremos 〈αu, βv〉 = αβ〈u, v〉. Textos de Matematica adotam por vezes a convencao oposta (ou mesmo ambas!).Sobre o emprego das palavras funcao, aplicacao, mapeamento, mapa, funcional, operador, operacao, produto e forma, que por vezes causam perplexidade em estudantes, remetemos ao comentario a pagina 25.Dado um conjunto X 6= ∅, denota-se por (X) a colecao de todos os sub-conjuntos de X. (X) e denominado o conjunto das partes de X.A topologia usual da reta real R sera denotada aqui por τR.A σ-algebra de Borel de R sera (quase sempre) denotada aqui por M[τR].A σ-algebra dos sub-conjuntos de R mensuraveis por Lebesgue sera (quase sempre) denotada aqui por MµL

.Para x ∈ R, o sımbolo ⌊x⌋ designa o maior inteiro menor ou igual a x. O sımbolo ⌈x⌉ designa o

naturais N. Em algumas secoes adotou-se 0 ∈ N, ou seja, N = {0, 1, 2, 3,} em outras,
adotou-se 0 6∈ N, ou seja, N = {1, 2, 3,}. Esperamos que isso seja definitivamente corrigido

menor inteiro maior ou igual a x.Ha ainda nestas Notas um problema nao totalmente sanado quanto ao conjunto dos numeros futuramente. Por ora, pedimos atencao ao leitor.O sımbolo 2 indica o fim de um enunciado. O sımbolo indica o fim de uma demonstracao. O sımbolo 6 indica o fim do enunciado de um exercıcio. O sımbolo ◊ indica o fim do enunciado de um exemplo.B(X) designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espaco de Banach X. B(H) designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espaco de Hilbert H.C(L) designa o conjunto de todas as funcoes contınuas (reais ou complexas, dependendo do caso), definidas em L (na topologia que se estiver considerando em L).B(L) designa a colecao de todos os conjuntos Borelianos de L (em relacao a topologia que se estiver considerando em L). Bl(L) designa a colecao de todas as funcoes Borelianas (reais ou complexas, dependendo do caso), definidas em L.O domınio de um operador T (agindo em um espaco de Banach ou de Hilbert) sera denotado por D(T) ou por Dom(T). A imagem (“range”) de T sera denotada por R(T) ou por Ran(T) ou, mais raramente, por Im(T), mas essa ultima notacao pode causar confusao com a da parte imaginaria de um numero complexo ou mesmo com a da parte imaginaria de um operador agindo em um espaco de Hilbert: Im(T) := 1 2i

(T − T∗).As nocoes de propriedade valida quase em toda parte e de propriedade generica sao definidas nas paginas 1080 e 1196, respectivamente.

• Intervalos

Ainda nao introduzimos os numeros reais nem a relacao de ordem entre eles mas, como essas nocoes sao conhecidas, vamos colocar aqui uma palavra sobre a nomenclatura usada para descrever intervalos da reta real. Para a < b ∈ R o conjunto

(a, b) = {x ∈ R, com a < x < b} e dito ser um intervalo aberto. Para a ≤ b ∈ R o conjunto [a, b] = {x ∈ R, com a ≤ x ≤ b} e dito ser um intervalo fechado. Para a < b ∈ R os conjuntos [a, b) = {x ∈ R, com a ≤ x < b}

sao ditos ser intervalos semi-abertos (ou semi-fechados).

E importante dizer que a nomenclatura “aberto” ou “fechado” acima e usada independentemente da topologia usada em R (a nocao de topologia sera introduzida adiante).

Parte I Capıtulos Introdutorios

Capıtulo 1 Nocoes Basicas

1.1 Conjuntos, Relacoes e Funcoes23
1.1.1 Relacoes e Funcoes24
1.1.2 Relacoes de Ordem31
1.1.3 Cardinalidade38
1.1.4 Infimos e Supremos de Famılias de Conjuntos4
1.2 Estruturas Algebricas Basicas47
1.2.1 Semi-grupos, Monoides e Grupos49
1.2.2 Corpos5
1.2.3 Espacos Vetoriais58
1.2.4 Aneis, Algebras e Modulos60
1.2.5 Mais sobre Aneis65
1.2.6 Acoes e Representacoes68

Conteudo

domorfismos e Automorfismos71

1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En-

Grupo73
1.3.1 Cosets73
1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente75
1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores7
1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos78
1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais82
1.5.1 Discussao Informal Preliminar82
1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relacoes84
1.5.3 Somas Diretas86
1.5.4 Produtos Tensoriais87
1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitrarios8
1.5.6 Modulos e Derivacoes89
1.6 Topicos especiais90
1.6.1 O Grupo de Grothendieck90
1.6.2 Grupoides92
1.6.3 Quaternions94

1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um 2

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Versaode 23de maiode 2006. Capıtulo 1 23/1461 ste capıtulo introdutorio pretende (re)apresentar ao leitor uma serie de nocoes matematicas basicas abrangendo rudimentos da teoria (“ingenua”) dos conjuntos e algumas estruturas algebricas. O objetivo nao e um tratamento extensivo dos diversos assuntos, ja que varios deles serao desenvolvidos em capıtulos futuros. Trata-se quase de um guia de consulta onde sao apresentadas, junto com exemplos simples, varias nocoes e definicoes basicas que utilizaremos. O estudante deve retornar a este capıtulo sempre que necessario.

1.1 Conjuntos, Relacoes e Funcoes

Partiremos do pressuposto de serem familiares as nocoes basicas envolvendo conjuntos, como a nocao de conjunto vazio ∅, a nocao de pertinencia x ∈ C, de uniao de dois conjuntos A ∪ B e de intersecao de dois conjuntos A ∩ B.

Para A, B ⊂ X denotamos por A \ B a chamada diferenca entre os conjuntos A e B, a saber

Por vezes usa-se a notacao A− B para A \ B. Para A ⊂ X denota-se por Ac o chamado complemento de A em relacao a X: Ac := X \ A. Note-se que ao usar-se o sımbolo Ac deve estar subentendido qual o conjunto X ao qual o complemento se refere. E facil ver que se A, B ⊂ X entao A \ B = Bc ∩ A. Vale tambem (Ac)c = A e A∩ B = A\ Bc = B \ Ac para todos A, B ⊂ X.

Dizemos que um conjunto B ⊂ A e um subconjunto proprio de A se A \ B 6= ∅, ou seja, se todo elemento de B for elemento de A mas houver elementos em A que nao pertencem a B.

Se A e B sao conjuntos e A ∩ B = ∅ entao A ∪ B e dita ser uma uniao disjunta de A e B.

Se X e um conjunto denota-se por (X) a colecao de todos os subconjuntos de X. (X) e por vezes chamado de conjunto das partes de X. Por convencao adota-se sempre que ∅ ∈ (X). Assim, dizer que A ⊂ X equivale a dizer A ∈ (X).

Por A△B denota-se a chamada diferenca simetrica entre A e B:

• Pares ordenados

Um conceito basico importante em Matematica e o de par ordenado. O conceito de par ordenado (a, b) formado por dois elementos genericos a, b ∈ X e intuitivo. Pela intuicao, entende-se como par ordenado uma lista de dois elementos sendo que um deles assume a posicao de “primeiro” elemento da lista (no caso, a) e o outro a de “segundo” (no caso, b). Formalmente define-se (a, b) como sendo o conjunto {a,{b}}. Esta definicao formal corresponde a intuicao pois, no conjunto C = {a,{b}}, ha

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Versaode 23de maiode 2006. Capıtulo 1 24/1461 uma distincao entre o papel de a e de b, dado que a e um elemento do conjunto C, enquanto que b e um elemento de um subconjunto de C, a saber do conjunto C \ {a}. Apesar de existir a definicao formal acima, recomenda-se ao estudante fiar-se inicialmente na intuicao por tras do conceito.

Dados dois conjuntos A e B definimos por A × B o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) sendo a ∈ A e b ∈ B. O conjunto A × B e chamado de produto Cartesiano1 de A e B. Note que, em geral, A × B 6= B × A (por que?).

Mais adiante apresentaremos generalizacoes das nocoes de acima.

• Relacoes

Sejam A e B conjuntos e seja o produto Cartesiano A × B. Um subconjunto de A × B e dito ser uma relacao binaria, ou simplesmente relacao entre A e B.

Exemplo. Seja A o conjunto de homens vivos e B o conjunto de mulheres vivas e seja R ⊂ A × B o conjunto R := {(a, b), a e irmao de b}. R representa uma relacao (de irmandade) entre homens e mulheres.

Outros exemplos virao abaixo.

Dada uma relacao G ⊂ A × B entre conjuntos A e B ha duas nocoes importantes associadas: a de domınio da relacao e a de imagem da relacao. Define-se por domınio de G o conjunto

Define-se por imagem de G o conjunto

Note-se que Dom(G) ⊂ A e que Im(G) ⊂ B.

• Funcoes

Este e talvez o mais importante exemplo de relacao. Sejam A e B conjuntos e F uma relacao entre

A e B. Entao, a relacao F e dita ser uma funcao de A em B se Dom(F) = A e se (a, b) ∈ F e (a, b′) ∈ F so for possıvel caso b = b′. Em outras palavras, a cada elemento a de A a funcao associa um e apenas um elemento b de B que faz o papel de segundo elemento do par ordenado (a, b). Este segundo elemento associado pela funcao F ao elemento a, e mais conveniente denota-lo por F(a). Assim, uma funcao e o conjunto de pares {(a, F(a)) ∈ A × B, a ∈ A}. Frequentemente denotamos uma funcao F de A em B por F : A → B.

• Aplicacoes, mapeamentos, mapas, funcionais, operadores, operacoes, produtos etc.

1Assim chamado em honra a Rene Descartes (1596-1650). O adjetivo Cartesiano provem da latinizacao de seu nome como Cartesius.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Versaode 23de maiode 2006. Capıtulo 1 25/1461

Muito frequentemente usam-se as palavras aplicacao, mapeamento, mapa, funcional, operador, operacao, produto, transformacao, forma, e talvez ainda outras, para designar certos tipos de funcoes entre conjuntos. Essa abundancia de palavras causa frequentemente confusao e mesmo perplexidade em estudantes recem-iniciados mas, em essencia, todos esses objetos sao funcoes, no sentido abstrato que definimos acima.

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