Derivadas_resumo.odt Prof. Alexandre Ortiz Calvão

Derivada de uma função. A derivada de f em x é dada por f'(x)=Lim x 0 [f(x+ x)-f(x)]/ x desde que o limite exista.

Derivada de f(x) no ponto a é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a,f(a)) f'(a)=Lim x 0 [f(a+ x)-f(a)]/ x e determina a taxa de variação instantânea de f em a.

Taxa de variação média de f em [a,b] = [f(b)-f(a)]/(b-a)

Esta relação é a inclinação da reta secante de f(x) em um intervalo [a,b].

As unidades de f'(x) são: Unidades de f(x)/Unidades de x.

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA. Se y está definida implicitamente por uma equação como função de x, então, para calcular dy/dx devemos diferenciar a equação(lembrando de aplicar a regra da cadeia) (d/dx)f(g(x))=f'(g(x)).g'(x)

Informações dadas pela derivada Primeira derivada - Se f'>0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo. -Se f'<0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo. Segunda derivada - Se f''>0 em um intervalo, então f é convexa, nesse intervalo. (côncava para cima) - Se f''<0 em um intervalo, então f é côncava, nesse intervalo. (côncava para baixo)

Linearidade local - A reta tangente em (a,f(a)) é o gráfico de y=f(a)+f'(a)(x-a). - Aproximação pela reta tangente. Para valores de x perto de a,

A expressão f(a)+f'(a)(x-a) é chamada de linearização local de f perto de x=a.

APLICAÇÕES Regra de L'Hospital. Se f e g são contínuas,

MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS. f tem um máximo local em p se f(p) é maior ou igual ao valor de f em todos os pontos próximos a p. f tem um mínino local em p se f(p) é menor ou igual ao valor de f em todos os pontos próximos a p.

MÁXIMOS E MÍNIMOS GLOBAIS em um intervalo. f tem um máximo global em p se f(p) é maior ou igual ao valor de f em todos os pontos do intervalo. f tem um mínimo global em p se f(p) é menor ou igual ao valor de f em todos os pontos do intervalo. PONTO CRÍTICO. Um ponto crítico de uma função f(x) é um ponto no domínio de f onde f'(p)=0 ou f'(p) não está definida. Teorema. Os máximos e mínimos que não ocorrem nos extremos do domínio ocorrem nos pontos críticos. O TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA PARA MÁXIMOS E MÍNIMOS. a) Se f' troca de sinal em p, de negativa para positiva, então f tem mínimo local em p. b) Se f' troca de sinal em p, de positiva para negativa, então f tem máximo local em p. O TESTE DA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS. a) Se f'(p)=0 e f''(p)>0, então f tem um mínimo local em p. b) Se f'(p)=0 e f''(p)<0, então f tem um máximo local em p. c) Se f'(p)=0 e f''(p)=0, nada podemos afirmar. Para encontrar máximos e mínimos globais de uma função em um intervalo, comparamos os valores de f em todos os pontos críticos do intervalo e os valores de f nos extremos do intervalo (Limx->∓∞ se o intervalo é ilimitado)

Ponto de inflexão de f é um ponto onde o gráfico de f muda de concavidade; f'' é zero ou não está definida em um ponto de inflexão.

Teoremas sobre Derivadas

TEOREMA DE ROLLE Se uma função é contínua em um intervalo fechado [a,b], derivável no intervalo aberto (a,b) e se f(a)=f(b), então f'(c)=0 para ao menos um número c em (a,b).

Se uma função é contínua em um intervalo fechado [a,b], e se f(a)=f(b), então f tem ao menos um um ponto crítico no intervalo aberto (a,b).

TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO Se uma função é contínua em um intervalo fechado [a,b], e é diferenciável no intervalo (a,b), então existe um número c em (a,b), tal que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

Uma função diferenciável é contínua. Se f é diferenciável no ponto x=a, então f é contínua em a. Obs. Uma função pode ser contínua em um ponto e não ser diferenciável nele.

w.abacoaulas.com côncava convexa

Ponto de inflexãoPonto de máximo Ponto de mínimo

Pontos de inflexão f(x) ba

Teorema de Rolle g(x)

Teo. Val. Intermediário

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