Física aplicada à engenharia civil

Física aplicada à engenharia civil

(Parte 1 de 10)

Rui Lança, Eq. Professor Adjunto

Rui Lança, Eq. Professor Adjunto SETEMBRO DE 2008

1 Introdução1
1.1 Sistema de unidades3
1.2 Semelhança4
1.3 Cálculo vectorial6
1.4 Cálculo de determinantes1
1.5 Questões teóricas12
2 Cinemática13
2.1 Introdução13
2.2 Movimento de uma partícula material13
2.3 Vector deslocamento14
2.4 Espaço Percorrido14
2.5 Equação da trajectória14
2.6 Vector velocidade média e vector velocidade instantânea15
2.7 Vector aceleração média e vector aceleração instantânea16
2.8 Componente normal e tangencial do vector aceleração16
2.9 Questões teóricas23
3 Cinemática – movimentos24
3.1 Movimento rectilíneo24
3.2 Movimento circular28
3.3 Projecteis3
3.4 Questões teóricas3
4 Estática das partículas no plano35
4.1 Forças actuantes numa partícula35
4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes35
4.3 Resultante de várias forças36
4.4 Decomposição de uma força em componentes37
4.5 Equilíbrio de uma partícula38
4.6 Diagrama de corpo livre39
4.7 Questões teóricas42
5 Dinâmica de uma partícula4
5.1 As três leis do movimento de Newton4

Índice de matérias

5.2 Relação entre r

ae sua aplicação aos vários tipos de movimento46
5.3 Forças de ligação47
6 Quantidade de movimento de um sistema de partículas5
6.1 Impulso de uma força5
6.2 Momento linear de uma partícula e de um sistema discreto de partículas56
6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partículas56
6.4 Momento linear do centro de massa57
6.5 Lei do movimento do centro de massa58
6.6 Conservação do momento linear59
6.7 Colisões perfeitamente elásticas59
6.8 Colisões perfeitamente inelásticas60
7 Trabalho e energia61
7.1 Noção de trabalho61
7.2 Trabalho de uma força constante61
7.3 Trabalho realizado por uma força variável61
7.4 Forças que não realizam trabalho64
7.5 Trabalho de um sistema de forças64
7.6 Energia cinética64
7.7 Energia potencial65
7.8 Conservação da energia mecânica6
7.9 Lei da conservação da energia67
8 Mecânica dos fluidos68
8.1 Propriedades dos fluidos68
8.2 Pressão68
8.3 Distribuição hidrostática de pressões69
8.4 Vasos comunicantes71
8.5 Prensa hidráulica72
8.6 Pressão atmosférica72
8.7 Lei de Arquimedes74
9 Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de forças distribuídas75
9.1 Momento de uma força em relação a um ponto75
9.2 Centro de gravidade de um corpo bidimensional76
9.3 Centro de massa de uma placa homogénea7
9.4 Momentos de primeira ordem ou momento estático7
9.5 Baricentro de uma placa composta79
9.6 Teorema de Pappus-Guldin81
9.7 Cargas distribuídas sobre vigas81
10 Eixos principais de inércia, inércias máximas e mínimas84
10.2 Momentos de inércia86
10.3 Momento polar de inércia8
10.4 Raio de giração de uma superfície89
10.5 Teorema dos eixos paralelos90
10.6 Momento de inércia de superfícies planas compostas91
10.7 Momentos de inércia de figuras geométricas comuns94
1 Produto de inércia e círculo de Mohr97
1.1 Produto de inércia97
1.2 Extensão do teorema dos eixos paralelos97
1.3 Eixos e momentos principais de inércia98
1.4 Círculo de Mohr para momentos e produtos de inércia101

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1 Introdução

rotação

A física é a mais básica das ciências, aborta o comportamento e estrutura da matéria. Esta área tão abrangente divide-se em áreas do conhecimento que estudam o movimento, os sólidos, os fluidos, os gases, o calor, o som, a luz, a electricidade, o magnetismo, a relatividade, a estrutura atómica, a radioactividade, a física de partículas e a astrofísica entre outros. Na aplicação à engenharia civil abordamos apenas alguns tópicos relacionados com o movimento, sólidos e fluidos, dos quais se destacam: - Grandeza física e sistemas de unidades. Estas noções são fundamentais para quantificar as variáveis envolvidas nos diversos problemas e resolver. Para o Engenheiro Civil é fundamental ter uma noção das grandezas com que lida, saber o que significam e o que valem as unidade utilizadas para as quantificar e com a experiência adquirir sensibilidade para os valores das unidade e associar esses valores com a sua materialização na realidade. - Cinemática. Neste capítulo aborta-se o estudo do movimento em 1D e 2D, esta análise permite estabelecer cálculos sobre trajectórias, velocidade, tempos de viagem, tempos de queda de um corpo em queda livre. - Estáticas das partículas no plano. A estática é um caso particular do movimento (dinâmica), situação em que as forças aplicadas se equilibram. Neste capítulo utiliza-se o cálculo vectorial para o cálculo de situações de equilíbrio aplicado a casos reais com que o engenheiro civil se pode debater. - Centros de gravidade. O cálculo do centro de gravidade de uma superfície ou de um corpo é muito utilizado na Engenharia Civil, basta pensar que se for necessário segurar um corpo por um único ponto, esse ponto será o centro de gravidade. - Conceito de momento. O momento de uma força em relação a um ponto traduz o efeito de rotação que essa força causa num corpo que possa girar em torno do ponto. Em situações estáticas o conceito de momento também é importante pois permite determinar as condições de equilíbrio à - Momentos estáticos de uma superfície. O momento estático ou o momento de primeira ordem de uma superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pela distância ao eixo considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se distribuem numa secção de um elemento estrutural. - Estudo de forças distribuídas. Na natureza todas as forças são distribuídas, mas na concepção de um problema se a força actua numa área muito reduzida pode ser considerada como uma força concentrada. Existem outras situações em que para efeito da resolução de um problema podemos representar uma força distribuída como uma força concentrada desde esta abstracção não altere os resultados obtidos na resolução do problema.

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cinemática e da dinâmica de uma forma muito mais simples

- Momento de inércia de superfícies. O inércia ou o momento de segunda ordem de uma superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pelo quadrado distância ao eixo considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se distribuem numa secção de um elemento estrutural. Não confundir momento de inércia de uma superfície com inércia (propriedade de um corpo tem para oferecer resistência a alterações de velocidade). - Dinâmica de uma partícula. Neste capítulo introduzem-se as leis fundamentais da dinâmica clássica, ou seja, as três leis de Newton. Estas leis são aplicadas em situações práticas do dia a dia com ênfase para casos da engenharia civil. Também se aborda o movimento harmónico e a sua utilização na analise dinâmica de estruturas. - Trabalho e energia. O conceito de trabalho e energia permite resolver alguns problemas da - Mecânica dos fluidos. Neste capítulo faz-se uma ligeira abordagem aos estados da matéria, às propriedades dos fluidos e a alguns casos em que a acção hidrostática dos fluidos condiciona o resultado de uma observação, como a força exercida por um fluido nas paredes do recipiente que o contem, o funcionamento do barómetro de mercúrio, a prensa hidráulica e a aplicação do teorema de Arquimedes a corpos totalmente ou parcialmente imersos.

A Física Aplicada à Engenharia Civil não deve ser vista como uma disciplina estanque, mas sim como uma disciplina cujos conhecimentos são aprofundados e aplicados em outras disciplinas da engenharia civil como estática, estruturas, betão, hidráulica e solos.

Este manual da disciplina de Física Aplicada à Engenharia Civil não pretende ser o único elemento de consulta para apoio às aulas teóricas. Pretende ser uma referência para o primeiro contacto do aluno com as matérias leccionadas, as quais serão alvo estudo mais detalhado nas referências bibliográficas indicadas.

É recomendado que o estudante leve estes apontamentos para as aulas teóricas para não ser forçado a passar toda a informação do quadro e desta forma poder seguir a aula com tempo para raciocinar sobre os temas discutidos.

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1.1 Sistema de unidades

Uma medição de uma grandeza física é exprimida com base num valor padrão dessa grandeza. A esse valor padrão chama-se a unidade de medida da grandeza. Um sistema de unidades é um conjunto coerente de unidades, umas fixadas arbitrariamente por comparação com valores padrão (unidades fundamentais) e outras obtidas com base nas primeiras por meio de equações de definição (unidades derivadas). Na física mecânica as grandezas físicas fundamentais são três:

M massa L comprimento T tempo

Formando o sistema MLT, o qual é a base do sistema internacional (SI). As unidades de medida das grandezas físicas fundamentais no sistema internacional de pesos e medidas (S.I.) são

Quilograma (kg) massa Metro (m) comprimento Segundo (s) tempo

Unidades padrão

átomos de celcium

A unidade padrão para a massa é o (kg). O (kg) padrão é um cilindro de platina guardado no International Bureau of Weights and Measures próximo de Paris. A unidade padrão para o tempo é o (s) e é definido como 9 192 631 770 períodos da radiação de A unidade padrão para o comprimento é o (m). O metro padrão é o comprimento percorrido pela luz no vacum durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 (s). Todas as unidades utilizadas para quantificar as grandezas físicas fundamentais foram definidas por convenção e as medições são feitas por comparação do tamanho da grandeza física com a unidade padrão dessa mesma grandeza física.

Grandeza física derivada

Uma grandeza física derivada é exprimida por uma equação de definição. Como exemplo de equação de definição, pode-se considerar a equação da variação da posição num movimento rectilíneo uniforme.

dtvrd ⋅= r dt rdv r r =

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Para determinar as grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada velocidade, substitui-se na equação os símbolos das grandezas físicas fundamentais, obtendo-se.

Para a aceleração, que se define como a variação da velocidade em ordem ao tempo, obtém-se.

dt vda r r =

Substituindo na equação os símbolos das unidades fundamentais, vem.

a v

A força é definida pela segunda lei de Newton.

rrFma=⋅ E as respectivas grandezas físicas fundamentais são.

De um modo geral as grandezas físicas fundamentais de uma grandeza derivada X são.

Em que α, β e γ são as dimensões da grandeza. Quando αβγ===0 a grandeza diz-se adimensional, como por exemplo a densidade relativa e um ângulo. O quadro seguinte apresenta as dimensões das grandezas mais correntes da Física Mecânica, no sistema MLT.

Grandeza física [X] Dimensões Sistema

1.2 Semelhança

Na física e na engenharia civil utiliza-se modelos matemáticos que se baseiam em fórmulas e processos matemáticos para obter os resultados. Algumas vezes lida-se com problemas cuja

UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 5 caracterização através de modelos matemáticos pode ser difícil pelo que se torna rentável utilizar modelos físicos. Os modelos físicos assentam na construção de uma maquete à escala com comportamento semelhante à realidade. No modelo são colocados instrumentos que permitem obter leituras sobre velocidades, posições, forças, deformações, etc. A correlação entre as leituras obtidas no modelo e a realidade muitas vezes não são lineares. Quando se constrói um modelo podem-se ter escalas diferentes para as grandezas físicas comprimentos [L] segundo x, y e z (Lx), [Ly] e [Lz], para a massa [M] e para o tempo [T]. Ora vejase o seguinte exemplo:

Exemplo 1: Num modelo físico à escala [L] = 1/10, [T] = 1/1 e [M] = 1/20 desloca-se uma partícula com massa mModelo à velocidade Modelovr .

Questão: Qual será a velocidade real? Resposta: A grandeza física derivada velocidade define-se como:

dt rdv r r =

As grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada velocidade são:

Re 110 − ⋅⋅⋅= ModeloModeloal trv

Ou seja

Modeloal v r ⋅=10Re

A velocidade será 10 vezes superior na realidade do que no modelo. Nem sempre a relação de proporcionalidade é linear como se pode constatar neste exemplo para a velocidade. Questão: Qual será a energia cinética real? Resposta: A equação de definição da energia cinética é dada por:

Logo

ModeloModeloal vmE r ⋅⋅⋅⋅=

Modeloal C E ⋅= 1000 Re

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Exemplo 2: Para testar o comportamento de um reservatório, desenvolveu-se um modelo físico à escala [L] = 1/20; [T] = 1/1; [M] = 1/1.7. Sabendo que a acção da água sobre uma parede vertical plana com dimensões (H

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