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vigas estrtuturais, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

apostila sobre vigas.

Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 09/12/2009

claudio-luis-hayasaki-8
claudio-luis-hayasaki-8 🇧🇷

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Baixe vigas estrtuturais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! 3 VIGAS ESTRUTURAIS 3.1 Hipóteses da teoria de viga de Euler Bernoulli Considera-se uma viga de comprimento L, de largura B, de altura H, área da seção transversal A e momento de inércia I, sobre a qual atua uma série de cargas verticais e momentos contidos no plano xz, Figura 3.1 Oñate (1992). A teoria de vigas de Euler Bernoulli compartilha das seguintes hipóteses. 1. Os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma mesma seção transversal são pequenos e iguais ao eixo da viga. 2. O deslocamento lateral (segundo o eixo y é nulo). 3. As seções transversais normais ao eixo da viga antes da deformação, permanecem planas e ortogonais ao eixo após a deformação. Figura 3.1 Viga convencional de Euler Bernoulli 46 3.2 Hipóteses da teoria de viga de Timoshenko Considera-se uma viga de comprimento L, de largura B, de altura H, área da seção transversal A e momento de inércia I, sobre a qual atua uma série de cargas verticais e momentos contidos no plano xz, Figura 3.2 Oñate (1992). A teoria de vigas de Timoshenko compartilha das seguintes hipóteses. 1. Os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma mesma seção transversal são pequenos e iguais ao o eixo da viga. 2. O deslocamento lateral (segundo o eixo y é nulo). 3. As seções planas normais para o eixo da viga antes da deformação mantêm-se planas, porém não necessariamente normais ao eixo depois da deformação, Figura 3.2. Figura 3.2 Teoria de flexão de vigas de Timoshenko. Deformação de uma reta normal à linha neutra. 49 Analisando a distribuição suposta da teoria de vigas de Timoshenko e a distribuição exata das tensões normais e tangenciais Figura 3.3, observa-se que a variação linear das tensões normais xσ com altura H na teoria de vigas de Timoshenko coincide com a distribuição exata. Pelo contrario, a variação uniforme da tensão tangencial zxτ com a altura H da teoria de vigas de Timoshenko está em contradição com a distribuição exata. Assim, considerando que a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da altura não é uniforme, porém aproximadamente parabólica introduz-se um fator α, xzxz Gγατ = (3.6) xzxz GAGAQ γγα *== (3.7) na qualα é o coeficiente de forma ou de distorção da seção, e AA α=* se denomina área reduzida. Na Figura 3.4 são apresentados os valores dos coeficientes de distorção que dependem da geometria da seção transversal. Figura 3.4 Valor do coeficiente de distorção α para tipos diferentes de seções de viga. 3.2.1 Princípio de trabalhos virtuais O princípio dos trabalhos virtuais ou princípio dos deslocamentos virtuais estabelece que o trabalho realizado pelas tensões internas na deformação virtual do corpo é igual ao trabalho realizado pelas forças exteriores nos deslocamentos virtuais dos seus pontos de aplicação Zienkiewicz (1988), Cook (2002). De um modo mais simples é comum afirmar que o trabalho interno de deformação é igual ao trabalho externo das forças aplicadas. 50 Trabalho Interno = Trabalho Externo (3.8) Considerando, f iWδ = Trabalho interno associado à flexão c iWδ = Trabalho interno associado à cortante eWδ = Trabalho externo De acordo com a Equação (3.8) tem-se: f iWδ + c iWδ = eWδ (3.9) Com base no principio de trabalhos virtuais Azevedo (2003), Craig (1981), tem-se: [ ] ∫∫ −− += 1 1 *1 1 )( ||])[(][||])[(][ ξξ dJBGABdJBEIBK cTcfTfe (3.10) [ ] ∫∫ −− += 1 1 1 1 )( ||][])[(||][])[( ξρξρ dJNNAdJNNIM TTe (3.11) Na qual [ ])(eK e [ ])( eM são matrizes quadradas, simétricas, denominadas matriz de rigidez e matriz de massa do elemento, respectivamente. 3.2.2 Elementos finitos para flexão de vigas de Timoshenko Na figura abaixo se encontra representado um elemento de viga com dois nós. Figura 3.5 Elemento de viga de Timoshenko de dois nós. Os deslocamentos generalizados dos nós do elemento finito representado na Figura (3.5) são os seguintes: 51 { }               = 2 2 1 1 θ θ w w a (3.12) A interpolação do deslocamento w e da rotação θ é efetuado separadamente para cada uma destas variáveis. Uma vez que w e θ apresentam dois valores nodais cada, é utilizada a seguinte interpolação unidimensional com dois nós. 2211 )()()( wNwNw ξξξ += (3.13) 2211 )()()( θξθξξθ NN += (3.14) As Equações (3.13) e (3.14) podem ser escritas na forma que se apresenta a seguir: [ ] { }∑ = ⋅=       2 1 )( )( )( i ii aN w ξ ξθ ξ (3.15) Na qual [ ])(ξiN é uma matriz )42( × constituída das funções de forma )(ξiN apresentadas nas Equações (2.20) e (2.21), [ ]       = )(0)(0 0)(0)( )( 21 21 ξξ ξξ ξ NN NN N i (3.16) e { }ia é uma matriz coluna )14( × constituída dos deslocamentos e das rotações de cada nó do elemento. { }               = 2 2 1 1 θ θ w w a i (3.17) Verifica que para cada nó do elemento estão associadas dois graus de liberdade: dois deslocamentos ( 1w e 2w ) e duas rotações ( 1θ e 2θ ). 54 [ ] { } { } { } { }              ⋅=       4 3 2 432 ~ ~ ~ )]( ~ [)]( ~ [)]( ~ [)]([ )( )( h h h i hhhi a a a a NNNN w ξξξξ ξθ ξ (3.25) De uma maneira compacta, a equação anterior pode, ainda ser dada por: { } [ ] { }aNu ⋅= (3.26) na qual { }u é uma matriz coluna )12( × , constituída dos deslocamentos e rotações iw e iθ , { }a é uma matriz coluna )110( × , constituída dos deslocamentos nodais iw e iθ e dos parâmetros hierárquicos hmw e hmθ . E [ ]N é uma matriz )102( × , constituída das funções de forma )(ξiN e )(ξhmN : [ ] [ ])](~[)](~[)](~[)]([ 432 ξξξξ hhhi NNNNN = (3.27) 3.3 Deslocamento axial de vigas O campo de deslocamento da viga se expressa da seguinte forma. )(),,( xuzyxu = 0),,( =zyxv (3.28) 0),,( =zyxw Por outro lado, a Equação (3.28) mostra que a deformação não nula é a seguinte: dx du x =ε (3.29) A tensão não nula xσ relaciona com a correspondente deformação, xx Eεσ = (3.30) 55 3.3.1 Princípios de trabalhos virtuais Com base no principio de trabalhos virtuais Azevedo (2003), Craig (1981), tem-se, de acordo com as Equações (3.8) e (3.9), [ ] ∫−= 1 1 )( ||])[(][ ξdJBEABK aTae (3.31) [ ] ∫−= 1 1 )( ||][])[( ξρ dJNNAM Te (3.32) Na qual [ ])(eK e [ ])( eM são matrizes quadradas, simétricas, denominadas matriz de rigidez e matriz de massa do elemento, respectivamente. O elemento finito de viga com dois nós considerando o deslocamento axial representado pela Figura 3.6. Figura 3.6 Elemento de viga de dois nós com deslocamento axial. O deslocamento axial dos nós do elemento finito representado pela Figura 3.6 são os seguintes: { }       = 2 1 u u a (3.33) A interpolação do deslocamento axial é efetuada utilizando a seguinte interpolação unidimensional com dois nós. 2211 )()()( uNuNu ξξξ += (3.34) A Equação (3.34) pode ser escrita na forma que se apresenta a seguir: 56 [ ]                     ⋅= 0 0 0 0 00)(00)()( 2 1 21 u u NNu ξξξ (3.35) De uma maneira compacta, a Equação (3.35) pode ser dada por: { } [ ] { }∑ = ⋅= 2 1i ii uNu (3.36) 3.3.2 Campo de deslocamento axial do elemento paramétrico De maneira análoga ao que foi apresentado na seção (3.2.4) e utilizando as mesmas funções de forma hierárquicas dadas pelas Equações (3.18) à (3.20) O deslocamento { })(ξu dado pela Equação (3.36) para o caso do elemento isoparamétrico, torna-se: { } [ ] { } [ ] { }∑∑ == ⋅+⋅= 4 2 2 1 m hmhm i ii uNuNu (3.37) para o caso de elemento paramétrico do tipo hierárquico. Nesta expressão, { }hmu é o vetor constituído do parâmetro hierárquico. As funções de forma )(ξhmN quando inseridas na Equação (3.37) não modificam o nível de aproximação do elemento, mas, a incógnita { }hmu deixa de ter o significado físico de variável nodal. Devido a introdução do grau de liberdade axial representado pela Equação (3.33), os deslocamentos dos nós dado pela Equação (3.12) passarão a ter a seguinte forma, { }                     = 2 2 2 1 1 1 θ θ w u w u a (3.38) 59 utilizando as Equações (3.40) e (3.41) a curvatura será dada por, ∑ ∑ = =       +      === 2 1 4 2i m hm hm i i d dN dx d d dN dx d d d dx d dx d θ ξ ξ θ ξ ξ ξ θξθ χ (3.51) e a deformação da cortante ( )∑ ∑ = =       +−      =−= 2 1 4 2i m hm hm iii i xz wd dN dx d Nw d dN dx d dx dw ξ ξ θ ξ ξ θγ (3.52) Utilizando uma formulação isoparamétrica idêntica a empregada para o elemento de barra de dois nós do Capitulo 2 obtém-se )(2 eldxd =ξ e as Equações (3.50), (3.51) e (3.52) podem ser escritas na seguinte forma matricial. [ ] { } [ ] { }∑ = ⋅+⋅= 4 2m hm a hmi a aBaBε (3.53) { } { }∑ = ⋅+⋅= 4 2 ~][][ m hm f hmi f aBaBχ (3.54) { } { }∑ = ⋅+⋅= 4 2 ~][][ m hm c hmi c xz aBaBγ (3.55) Na qual ][ aB é uma matriz )61( × relacionada a deformação axial, ][ fB é uma matriz )61( × relacionada a flexão, ][ cB é uma matriz )61( × relacionada ao cisalhamento e [ ]ahmB , ][ fhmB e ][ c hmB são matrizes )31( × , ][][ 654321 aaaaaaa BBBBBBB = (3.56) ][][ 654321 fffffff BBBBBBB = (3.57) ][][ 654321 ccccccc BBBBBBB = (3.58) ][][ ,3,2,1 a hm a hm a hm a hm BBBB = (3.59) ][][ ,3,2,1 f hm f hm f hm f hm BBBB = (3.60) ][][ ,3,2,1 c hm c hm c hm c hm BBBB = (3.61) 60 Os elementos das matrizes ][ aB , ][ fB , ][ cB , ][ fhmB , ][ c hmB e ][ a hmB são determinados pelas equações abaixo Elementos da matriz )]([ ξaB : ( )       = ξ ξ d dN J Ba 11 1 (3.62) ( ) 02 =ξaB (3.63) ( ) 03 =ξaB (3.64) ( )       = ξ ξ d dN J Ba 24 1 (3.65) ( ) 05 =ξaB (3.66) ( ) 06 =ξaB (3.67) Elementos da matriz )]([ ξcB : ( ) 01 =ξcB (3.68) ( )       = ξ ξ d dN J B c 12 1 (3.69) ( ) )( 13 NB c −=ξ (3.70) ( ) 04 =ξcB (3.71) ( )       = ξ ξ d dN J B c 25 1 (3.72) ( ) )( 26 NB c −=ξ (3.73) Elementos da matriz )]([ ξfB : ( ) 01 =ξfB (3.74) ( ) 02 =ξfB (3.75) 61 ( )       = ξ ξ d dN J B f 13 1 (3.76) ( ) 04 =ξfB (3.77) ( ) 05 =ξfB (3.78) ( )       = ξ ξ d dN J B f 26 1 (3.79) Elementos da matriz )]([ ξahmB ( )       = ξ ξ d dN J B hmahm 1 ,1 (3.80) ( ) 0,2 =ξa hmB (3.81) ( ) 0,3 =ξa hmB (3.82) Elementos da matriz )]([ ξchmB ( ) 0,1 =ξchmB (3.83) ( )       = ξ ξ d dN J B hmc hm 1 ,2 (3.84) ( ) 0,3 =ξc hmB (3.85) Elementos da matriz )]([ ξfhmB : ( ) 0,1 =ξfhmB (3.86) ( ) 0,2 =ξf hmB (3.87) ( )       = ξ ξ d dN J B hmf hm 1 ,3 (3.88) As Equações (3.53), (3.54) e (3.55) podem, ainda, serem dadas na seguinte forma matricial:
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