Estudo de Sistemas de Elétrons Livres e Semicondutores: Fermi e Propriedades, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Baixe Estudo de Sistemas de Elétrons Livres e Semicondutores: Fermi e Propriedades e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! IFUSP FAP2293 Fı́sica para Engenharia Elétrica 4 PROVA 3 08/12/2009 Gabarito – 6 de dezembro de 2009 Questão 1 PARTE A Considere o sistema composto por um gás deN elétrons livres confinados a uma região bi-dimensional de área A = L2, no zero absoluto . Neste caso, a densidade de estados g(E) pode ser obtida de forma análoga ao tratamento para o metal em três dimensões. O resultado obtido é: g(E) = mA π~2 , de tal forma que g(E) não depende da energia E. (0,5): a) Determine a energia de Fermi EF do gás de elétrons. (0,5): b) Calcule a energia média por elétron Eméd, expressando-a em termos da energia de Fermi. (0,5): c) Determine a velocidade média dos elétrons vm e expresse o resultado em termos da velocidade de Fermi vF = √ 2EF /m. Sugestão: O numero dN de elétrons com energias no intervalo dE é dN = g(E)f(E)dE, onde f(E) é a distribuição de Fermi-Dirac. PARTE B Considere agora um semicondutor intrı́nseco com lacuna de energia (gap) Eg. As densidades de es- tados das bandas de condução e de valência são tais que o nı́vel de Fermi se localiza exatamente no centro do gap. (0,5): c) Tomando como referência a energia do topo da banda de valência,Ev = 0, quais são a energia no fundo da banda de condução, Ec, e o nı́vel de Fermi EF ? (0,5): d) A temperaturas muito baixas, o semicondutor intrı́nseco é um isolante quase perfeito. A sua condutividade pode ser aumentada por iluminação (foto-condutividade). Qual é o máximo comprimento de onda da luz necessário para que ocorra o fenômeno da foto-condutividade? Elétrons livres, semicondutores a) Para T = 0, f(E) = 1 para E < EF e f(E) = 0 para E > EF : N = ∫ EF 0 g(E)dE = mA π~2 EF ⇒ EF = π~2 m N A . b) Eméd = 1 N ∫ EF 0 E g(E)dE = 1 2N mA π~2 E2F ⇒ Eméd = 1 2 EF . c) Como para os elétrons livres E = 1 2 mv2, v = √ 2 m E1/2 e, do ı́tem anterior g(E) = N/EF . vm = 1 N ∫ EF 0 v(E)g(E)dE = √ 2 m 1 EF ∫ EF 0 E1/2dE = 2 3 √ 2EF m ⇒ vm = 2 3 vF . d) Ec = Eg, EF = 1 2 Eg. e) Para excitar um elétron do topo da banda de valência para o fundo da banda de condução é necessário um fóton com energia mı́nima Eg: hc λ ≥ Eg ⇒ λ ≤ hc Eg . Questão 2 Considere 1 mol de um gás diatômico ideal, em equilı́brio térmico a temperatura absoluta T em que suas moléculas, de massa m e momento de inércia I , podem ser consideradas rı́gidas (sem vibração). (0,5): a) Dê a expressão para a energia interna do gás. (0,5): b) Determine a velocidade quadrática média do centro de massa das moléculas, vqm. (0,5): c) Determine a média do módulo da velocidade do centro de massa das moléculas, vm. (0,5): d) Calcule a velocidade angular quadrática média de rotação das moléculas em torno de 1 eixo perpendicular ao seu eixo, ωqm. (0,5): e) Determine o calor especı́fico molar a pressão constante deste gás, cP . Obs.: uqm = √ u2 Teoria cinética do gás ideal a) Para um gás ideal U = ncV T . A molécula diatômica sem vibração tem f = 5 graus de liberdade, portanto, pelo teorema da equipartição da energia: cV = 5 2 R e U = 5 2 RT. b) Pelo teorema da equipartição da energia, a energia cinética média de translação do centro de massa é: K = 3 2 nRT = 3 2 NkT . Como K = 1 2 Nmv2 = 1 2 Nmv2qm: vqm = √ 3kT m . c) Usando a distribuição de Maxwell-Boltzmann, vm = v = 1 N ∫ ∞ 0 vNvdv = ( m 2πkT )3/2 4π ∫ ∞ 0 vv2dv e−mv 2/2kT Fazendo u = v2, du = 2vdv: vm = ( m 2πkT )3/2 2π ∫ ∞ 0 udu e−au, com a = m/2kT. A integral é dada no formulário e vale (2kT/m)2, portanto: vm = √ 8πkT πm . d) Pelo teorema da equipartição da energia 1 2 Iω2 = 1 2 Iω2qm = 1 2 kT ⇒ ωqm = √ kT I . e) Do resultado para cV no ı́tem a) e da relação cP = cV +R, válida para qualquer gás ideal: cP = 7 2 R. IFUSP FAP2293 Fı́sica para Engenharia Elétrica 4 Formulário Prova 3 — 08/12/2009 c = 3,00×108 m/s e = 1,60×10−19 C µ0 = 4π×10−7 N A−2 = 1,26×10−6 N A−2 e2/4π0 = 2,31×10−28 J·m = 1,44 eV·nm 0 = 1/µ0c2 = 8,85×10−12 F/m me = 9,11×10−31 kg = 0,511 MeV/c2 h = 6,63×10−34 J·s = 4,14×10−15 eV·s λC = h/mec = 2,43×10−3 nm ~ = h/2π = 1,05×10−34 J·s = 6,58×10−15 eV·s h2/2me = 2,41×10−37 J·m2 = 1,504 eV·nm2 hc = 2,00×10−25 J·m = 1240 eV·nm a0 = 4π0~2/mee2 = 5,29×10−2 nm σ = 5,67×10−8 W m−2 K−4 mp = 1,673×10−27 kg = 938,3 MeV/c2 b = 2,90×10−3 K m mn = 1,675×10−27 kg = 939,6 MeV/c2 R = 8,315 J/(mol ·K) u = 1,661×10−27 kg = 931,5 MeV/c2 NA = 6,022×1023 mol−1 k = R/NA = 1,38×10−23 J/K=8,62×10−5 eV/K θi = θr n1 sen θi = n2 sen θt v = ω k = λf = c n φ ≈ 2πd sen θ λ I = Imax cos2 (φ/2) d sen θbril = mλ d sen θesc = ( m+12 ) λ Φ ≈ 2πa sen θ λ I = Imax [ sen (Φ/2) (Φ/2) ]2 a sen θesc = mλ (m = ±1,±2, . . . ) θmin ≈ λ/a; θmin ≈ 1,22λ/D 2nt = ( m+12 ) λ 2nt = mλ d sen θbril = mλ (m = 0,±1,±2, . . . ) 2d sen θ = mλ (m = 0,±1,±2, . . . ) I = I0 cos2 θ En = nhf ; n = 0,1,2,3, . . . RT = σT 4 λmaxT = b = 2,90×10−3 K m E = hf = hc λ ; p = E c = h λ Kmax = hf − φ = e∆Vs E = √ (pc)2 + (mc2)2 λ′ − λ0 = λC(1− cos θ) λC = h mec L = n~ En=− Z2e2 8π0a0 1 n2 ≈−Z 2 n2 13,6 eV E = hf = ~ω p = h λ = ~k vf = ω k = E p vg = dω dk = dE dp ∆x∆px ≥ ~ 2 ∆E∆t ≥ ~ 2 − ~ 2 2m d2ψ dx2 + U(x)ψ = Eψ En = h2 8mL2 n2 En = (n+ 12) ~ω − ~ 2 2m [ 1 r2 d dr ( r2 dψ dr ) −`(`+1) r2 ψ ] +U(r)ψ=Eψ U(r)=− Ze 2 4π0r En=− Z2e2 8π0a0 1 n2 ≈ −Z 2 n2 13,6 eV P (x)dx = |ψ(x)|2dx ∫ +∞ −∞ |ψ(x)|2dx = 1 〈f(x)〉 = ∫ +∞ −∞ ψ∗(x)f(x)ψ(x)dx P (r)dr = |ψ(r)|2dV = |ψ(r)|24πr2dr∫ +∞ 0 P (r)dr = 1 〈f(r)〉 = ∫ +∞ 0 f(r)P (r)dr R = (k1 − k2)2 (k1 + k2)2 ; T = 4k1k2 (k1 + k2)2 T ≈ e−2CL, ~C = √ 2m(U0 − E) |~L| = L = √ `(`+ 1)~ Lz = m`~ |~S| = S = √ s(s+ 1)~ Sz = ms~ ∆` = ±1 ∆m` = 0,± 1 Erot = ~2 2I J(J + 1), J = 0,1,2, . . . Evib = (ν + 12)~ω, ω = √ K/µ, ν = 0,1,2, . . . µ = m1m2 m1 +m2 , I = µr20 ∆J = ±1 ∆ν = ±1 f(E) = 1 e(E−EF )/kT + 1 EF0 = ~2 2m ( 3π2n )2/3 PV = nRT U = ncV T cV = 12fR cP = cV +R Nv(v)dv = N ( m 2πkT )3/2 4πv2dv e−mv 2/2kT ∆U = Q−W dU = dQ− PdV TC = T − 273,15 e = W |Qq| = 1− |Qf | |Qq| eC = 1− Tf Tq ∆S ≥ 0 dS = dQ T ∫ +∞ −∞ e−au 2 du = √ π a∫ +∞ −∞ u2e−au 2 du = 1 2 √ π a3∫ ∞ 0 une−audu = n! an+1∫ ∞ 0 u3e−au 2 du = 1 2a2 ∫ (senu)2 du = 1 2 (u− senu cosu)∫ (cosu)2 du = 1 2 (u+ senu cosu)