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Guias e Dicas
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p2 mat2456 2007, Notas de estudo de Engenharia Civil

p2 de mat2456 de 2007

Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 13/12/2009

marylia-gutierrez-11
marylia-gutierrez-11 🇧🇷

17 documentos

Pré-visualização parcial do texto

Baixe p2 mat2456 2007 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Instituto de Matemática e Estatística da USPMAT2456 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia2a. Prova - 2o. Semestre 2007 - 22/10/2007Turma BQuestão 1:(a) (1,5 ponto) Encontre a série de Taylor para f(x) = ln (1 + x4), em x0 = 0, e determine todos os valoresde x para os quais a série é convergente.(b) (1,5 ponto) Calcule ∫ 10 ln (1 + x4)dx com erro < 180 .Solução:(a) ln (1 + t) = ∫ t 0 1 1 + u du = ∫ t 0 ∞ ∑ n=0 (−u)ndu = ∞ ∑ n=0 (−1)n ∫ t 0 undu = ∞ ∑ n=0 (−1)ntn+1 n+ 1 , se − 1 < t ≤ 1Fazendo t = x4, vem que ln (1 + x4) = ∞ ∑ n=0 (−1)nx4n+4 n+ 1 , para − 1 ≤ x ≤ 1pois, neste caso, a série é convergente nos dois extremos, x = ±1.(b) ∫ 1 0 ln (1 + x4)dx = ∞ ∑ n=0 (−1)n 1 (4n+ 5)(n + 1)converge por Leibniz e basta considerar N ∑ n=0 (−1)n 1 (4n + 5)(n + 1)para se obter um erro menor que aN+1 = 1 (N + 2)(4N + 9) . Logo, queremos N tal que (N+2)(4N+9) > 80, o que ocorre para N ≥ 3, uma vez que (3 + 2)(4.3 + 9) = 5.21 > 80. Portanto, 3 ∑ n=0 (−1)n 1 (4n+ 5)(n + 1) = 1 5 − 1 9.2 + 1 13.3 − 1 17.4 ≈ ∫ 1 0 ln (1 + x4)dx, com erro menor que 1 80 .1 Questão 2:(a) (1,5 ponto) Determine a soma da série ∑∞ n=0(−1) n x 2n (2n+1)! .(b) (1,5 ponto) USANDO SÉRIES, determine α ∈ R, α ≥ 0, tal que o seguinte limite exista lim x→0+ ex 2 − x2 − 1 3xα 6= 0,±∞.Solução:(a) sen x = ∞∑ n=0 (−1)n x2n+1 (2n+ 1)! , ∀x ∈ RSe x 6= 0, senx x = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n (2n+ 1)! .Logo, ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n (2n + 1)! = { sen x x x 6= 0 1 x = 0(b) ex = ∞ ∑ n=0 xn n! ,∀x ∈ R.Então, ex2 = ∞∑ n=0 x2n n! , x ∈ R ex 2 = 1 + x2 1! + x4 2! + x6 3! + . . . ⇔ ex 2 − x2 − 1 = x4 2! + x6 3! + . . .Então, ex 2 − x2 − 1 3xα = 1 3xα ( x4 2! + x6 3! + . . . ) e o lim x→0+ ex 2 − x2 − 1 3xα existe e é um número real não nulo, se, esomente se, α = 4 e, neste caso, o limite é igual a 1 2!.3 = 1 6 . 2
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