Baixe gabarito P3 FEP2196 2009 e outras Provas em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! FEP2196 Físi a para Engenharia IIProva P3 10/12/2009 GabaritoFormulário x′ = γ(v)(x − vt) t′ = γ(v)(t − v c2 x) γ(v) = 1 √ 1 − v 2 c2 x = γ(v)(x′ + vt′) t = γ(v)(t′ + v c2 x′) y′ = y z′ = z l = 1 γ(v) l0 τ = γ(v)τ0 u′x = ux − v 1 − vuxc2 u′y = 1 γ(v) uy 1 − vuxc2 ~p = γ(v)m0~v E = γ(v)m0c 2 E2 = p2c2 + m0 2c4 sen30◦ = cos 60◦ = 1 2 sen60◦ = cos 30◦ = √ 3 2 sen45◦ = cos 45◦ = √ 2 2Questão 1: GP do Brasil e SupernovaNo Grande Prêmio (GP) do Brasil de Fórmula 1 em Interlagos, o piloto A ganha a orrida ruzandoa linha de hegada um segundo antes do piloto B. Supondo que o autódromo de Interlagos possa ser onsiderado um referen ial iner ial (S), responda:(a) [1,0℄ A ordem de hegada é a mesma em qualquer referen ial S′ que se move om relação a S,independentemente de sua velo idade om relação a S? Mostre que o intervalo de tempo entre as hegadas dos pilotos medido em S é sempre menor ou igual a um intervalo de tempo medido emum outro referen ial S′.R: Em S, ∆t = 1 s , ∆x = 0Já em S′, ∆t′ = γ(v)(∆t − v c2 ∆x) = γ∆t > ∆t .Portanto, a ordem de hegada é inalterada (∆t > 0 e ∆t′ > 0), e o intervalo de tempo em S′ ésempre maior que o em S.(b) [0,5℄ Um ano depois da orrida (em S) o orre uma explosão de uma estrela supernova a 100 anos-luz de distân ia da terra (obs: 1 ano-luz é a distân ia que a luz per orre em um ano). Quantos anosdepois do nal da orrida a luz da explosão da supernova será observada por astrnomos na terra?R: O tempo é 1 ano + 100 anos-luz/c = 101 anos.( ) [1,0℄ Para um observador situado em um referen ial iner ial S′, que se afasta de S om velo idade v, a explosão da supernova o orre um ano antes do GP do Brasil. Estime a velo idade do sistema S′ om relação a S em m/s ( onsidere a velo idade da luz omo sendo c = 3.0 × 108 m/s; se vo êa har ne essário, utilize também o fato de que um ano orresponde a aproximadamente 3× 107 s).R: Temos que o evento da explosão da supernova, que no referen ial S o orre em t2 = 1 ano, e x2 = 100 anos-luz, o orre em S′ num instante: t′2 = γ(t2 − v c2 x2) = −1 anoAgora, usando que γ = 1/√1 − v2/c2 e resolvendo para v obtemos que: v = 200 104 + 1 c ≃ 6 × 106 m/s .1 Questão 2: Metralhadora espa ialUma metralhadora atira balas relativísti as om velo idade 0,5 , a uma taxa de 60 balas por minuto, ontra uma espaçonave inimiga. A nave inimiga, por sua vez, se aproxima da metralhadora om velo idade0,5 .(a) [0,5℄ Qual é a distân ia entre as balas no referen ial da metralhadora (S)?R: Em S temos que λ = 0.5c× 1 s = 1, 5 × 108 m .(b) [0,5℄ Cal ule o intervalo de tempo entre dois disparos onse utivos no referen ial da nave (S′)?R: Dilatação temporal apli ada ao intervalo τ = 1 s de disparos em S: τ ′ = γ(v = 0, 5c)τ = 2√ 3 =≃ 1, 15 s .( ) [0,5℄ Qual a velo idade das balas no referen ial S′?R: Vamos hamar de u a velo idade da bala no referen ial S, e u′ será a velo idade no referen ial S′. Vamos também supor que a metralhadora está no eixo x, à esquerda da nave inimiga, que semove para a esquerda (na direção −x̂) om velo idade 0,5 c.Usando a fórmula para a transformação de velo idades na direção paralela ao movimento relativoentre os referen iais, temos que a velo idade das balas é dada por: u′ = 0, 5 c− (−0, 5 c) 1 − (0.5 c)(−0,5 c)c2 = 1 c 5/4 = 4 5 c = 2, 4 × 108 m/s .(d) [1,0℄ Qual é a distân ia entre balas onse utivas no referen ial da nave (S′)?R: É a distân ia (u′τ ′) per orrida pela bala no intervalo entre disparos (τ ′) menos a distân ia (vτ ′)per orrida pela metralhadora no mesmo intervalo de tempo. λ′ = (u′ − v)τ ′ = (4 5 − 0, 5)c 2√ 3 = √ 3 5 c = 1, 04 × 108 m .Questão 3: Nave espa ial que engole asteróideUma espaçonave ruza nossa galáxia om os propulsores desligados e uma velo idade v próxima davelo idade da luz, medida no referen ial S que está em repouso om relação à galáxia. Ao longo datrajetória da nave ela aptura um pequeno asteróide que estava em repouso na galáxia, aumentandoassim sua massa e diminuindo um pou o sua velo idade.Sendo M e m as massas de repouso da nave e do asteróide, respe tivamente, responda (deixando,quando ne essário, suas respostas em função de γ(v) = [1 − (v/c)2]−1/2):(a) [1,0℄ Qual a velo idade nal u da nave (após a aptura) para um observador em repouso na galáxia(no referen ial S)?R: Usando onservação de energia e momento, temos que, no referen ial S: γ(v)Mv = γ(u)Mfu ,e γ(v)Mc2 + mc2 = γ(u)Mfc 2 ,onde u é a velo idade da nave após ela apturar o asteróide, e Mf é a massa nal da nave após a aptura (note que Mf 6= M + m, pois se trata de um hoque inelásti o!)Substituindo γ(u)Mf da segunda equação na primeira, temos que: u = γ(v)M γ(v)M + m v .2