Mecanica Classica - modelagem newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana

Mecanica Classica - modelagem newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana

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Modelagens newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana de sistemas mecanicos discretos

Ricardo M. S. Rosa

Departamento de Matem atica Aplicada, Instituto de Matem atica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Caixa Postal 68530 Ilha do Fund~ao, Rio de Janeiro RJ 21945-970, Brasil

Cap tulo 1. Modelagem newtoniana 7 1. Princ pios da modelagem newtoniana 7 2. Exemplos de modelagem newtoniana 8

Cap tulo 2. Modelagem lagrangeana 1 1. Princ pios da modelagem lagrangeana 1 2. Exemplos de modelagem lagrangeana 13 3. Modelagem lagrangeana com restri c~oes impl citas 14

Cap tulo 3. Formula c~ao Hamiltoniana 17 1. Formula c~ao hamiltoniana a partir das equa c~oes de Newton 17 2. Formula c~ao hamiltoniana a partir do lagrangeano 19 3. Exemplos de modelagem hamiltoniana a partir da lagrangeana 21 4. Transformada de Legendre 2 5. Colchete de Poisson e estruturas simpl eticas 24 6. Vari aveis a c~ao-angulo 25

Cap tulo 4. Conserva c~ao de energia, simetrias e o teorema de N other 31 1. Conserva c~ao de energia 31 2. Simetrias 32 3. Quantidades conservadas e o teorema de N other 36

Cap tulo 5. Potenciais de For cas 41 1. Sistemas microsc opicos e macrosc opicos 41 2. For cas potenciais 42 3. For ca gravitacional 42 4. Campos eletrost aticos 43 5. Atra c~oes magn eticas 43 6. Campos eletromagn eticos 45 7. For cas el asticas 47 8. Modelagem molecular 47 9. Corpos r gidos 48 10. Movimentos relativ sticos 54

Cap tulo 6. Outros exemplos de modelagem 57 1. Pendulo em rota c~ao 57 2. Sistema massa-mola-pendulo tridimensional 59 3. Osciladores acoplados e vibra c~oes de pol meros 61 4. Movimento de uma bola sobre um relevo 62 5. Pendulo de uma bola dentro de uma roda sobre um relevo 64 6. For ca centr fuga 64 7. For ca de Coriolis 65 8. Movimento de um haltere girante 6 9. Movimento de um cilindro dentro de outro 67 10. Pendulo magn etico 70 1. Part cula carregada eletricamente em um campo magn etico uniforme 71 12. Pendulo relativ stico 72 13. Movimento de um sat elite 73 14. Movimentos de dois e tres corpos 74 15. Movimento restrito de tres corpos 75

Bibliogra a 79

Vamos comparar as modelagens newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana de sistemas mecanicos discretos. Em geral teremos um sistema idealizado de N ∈ N part culas pontuais de massa mi > 0 e posi c~ao xi 2 R3, i = 1;:::;N. Vamos, ver, tamb em, casos de corpos r gidos, onde o momento angular tamb em deve ser modelado. Mas sistemas cont nuous como gases, l quidos e s olidos el asticos, assim como sistemas mecanicos quanticos n~ao ser~ao vistos. Esses necessitam de uma teoria de campos \cont nua", n~ao mais discreta.

Vamos nos preocupar em grande parte com a in uencia de restri c~oes na geometria, como nos casos de um pendulo que est a restrito a um movimento circular e de uma bola se movendo sobre um dado relevo. Veremos que, nesses casos, a modelagem lagrangeano e bem mais apropriada que a newtoniana para nos revelar as equa c~oes de movimento do sistema.

A teoria ser a ilustrada com diversos exemplos. O objetivo e introduzir esses conceitos para estudantes avan cados de matem atica que n~ao tiveram um curso de mecanica e gostariam de entender as modelagens por detr as de diversas equa c~oes diferenciais que servem de exemplo na teoria de sistemas dinamicos.

Modelagem newtoniana

1. Princ pios da modelagem newtoniana

Na modelagem newtoniana, o princ pio fundamental e o da segunda lei de Newton, que a rma, no caso de massa constante, que for ca e igual a massa vezes acelera c~ao. Assim, buscamos analisar todas as for cas que agem em cada part cula e igualar a resultante Fi ao produto da massa mi com a acelera c~ao d2xi=dt2. Um nota c~ao comum em mecanica para as derivadas temporais e um ou mais pontos acima da vari avel,

Observe que este e um sistema de 3N equa c~oes, visto que para cada part cula temos tres coordenadas para a posi c~ao e tres para a for ca. Vale ressaltar, tamb em, que a for ca Fi pode depender do tempo t, da posi c~ao das outras part culas, Fi = Fi(t;x). Em certos casos, como em eletrodinamica, a for ca pode, tamb em, depender da ve- locidade, Fi = Fi(t; x; _x). Podemos reescrever esse sistema na forma vetorial completa onde M e uma matriz de \massas" apropriada. Essa matriz e diagonal.

No caso sistemas macrosc opicos tratados pontualmente s o que com massa vari avel, como no caso em que a queima de combust vel e signi cativa para o lan camento de um foguete, devemos usar a lei de Newton na sua forma mais geral, que implica em assim temos d

Em certos casos em que alguma simetria est a presente, podemos reduzir o n umero de coordenadas necess arias para descrever as posi c~oes xi e a for cas Fi. Por exemplo, o movimento de um corpo caindo verticalmente em queda livre pode ser descrito apenas pela altura do corpo em rela c~ao a ao solo; o movimento de uma massa presa a uma extremidade de uma mola, com a outra extremidade xa, e apresentado apenas um movimento unidimensional, longitudinal a mola, pode ser representado apenas pelo comprimento da mola; um pendulo com movimento planar pode ser descrito por apenas o angulo que o pendulo faz com o eixo vertical; um pendulo n~ao restrito a um

8 1. MODELAGEM NEWTONIANA movimento planar pode ser descrito por dois angulos, como nas coordenadas esf ericas com o raio xo; etc. Em geral, podemos representar por q as coordenadas levando em considera c~ao a geometria, com as coordenadas gerais dadas por uma fun c~ao de q, da forma x = X(q). A restri c~ao tamb em pode variar com o tempo, sendo do tipo x = X(t;q). A di culdade, por em, e que n~ao basta usarmos a regra da cadeia para acharmos uma equa c~ao para q a partir de M x = F(t;x; _x). As restri c~oes imp~oes certas for cas virtuais (tens~ao, centr fuga, de Coriolis, etc.) que precisam ser reobtidas, levando a um novo sistema da forma

As coordenadas q s~ao chamadas de posi c~oes ou coordenadas generalizadas, enquanto que os termos _q e q s~ao chamados de velocidades e acelera c~oes generalizadas. Em geral, por em, a obten c~ao dessa nova for ca sob restri c~oes um pouco complicadas, pode ser bastante dif cil e que, nesses casos, a modelagem lagrangeana e bem mais apropriada. Vejamos alguns exemplos concretos de modelagem newtoniana.

2. Exemplos de modelagem newtoniana

PSfrag replacements

Figura 1. Corpo em queda livre, com altura h(t) em rela c~ao ao solo e for ca gravitacional F = −mg.

2.1. Corpo em queda livre. No caso de um corpo pontual de massa m em queda livre, denotamos por h = h(t) a altura do objeto no instante de tempo t em rela c~ao a um plano horizontal representando o solo ( gura 1). No corpo, age uma for ca gravitacional vertical descendente de magnitude mg, onde g 9;2ms 1 e a acelera c~ao da gravidade. A velocidade vertical do objeto e _h(t) e a acelera c~ao, h(t). Pela lei de Newton, temos

O sinal a direita e devido ao fato de que a for ca gravitacional age no sentido de decrescimento da altura.

2. EXEMPLOS DE MODELAGEM NEWTONIANA 9

2.2. Pendulo planar. No caso do pendulo planar, temos uma massa presa em uma extremidade de uma haste r gida considerada de massa desprez vel. A outra extremidade ca presa a uma estrutura que permite que a haste descreva movimentos restritos a um plano perpendicular ao solo. Por exemplo, a estrutura pode ser uma outra haste paralela ao solo e presa a outras duas hastes verticais e os movimentos poss veis da haste com a massa s~ao perpendiculares a essa estrutura ( gura 2).

Podemos utilizar o angulo θ que a haste faz com o eixo perpendicular ao solo, com = 0 indicando a posi c~ao em que a massa est a na extremidade inferior da haste. Assim, aumenta em m odulo quando a massa se afasta do solo, pelo menos enquanto uma meia volta n~ao e completada, ou seja, enquanto estiver estritamente entre − e .

PSfrag replacements θ

Fn Ft

Figura 2. Pendulo com um objeto de massa m na ponta, preso por uma haste de comprimento l e massa desprez vel. O peso da massa tem magnitude mg e gera uma for ca vertical F com componente tangencial dada por Ft = mg sin . A componente normal Fn e balanceada pela tens~ao T na haste.

l . A for ca gravitacional que age no pendulo tem magnitude mg e e vertical, podendo ser decomposta em duas componentes, uma normal a circunferencia de raio l que o pendulo descreve e outra, tangencial a essa circunferencia. A componente normal e balanceada pela tens~ao T na haste, que e r gida. A componente tangencial tem magnitude mg sin . Assim, pela lei de Newton,

10 1. MODELAGEM NEWTONIANA

O sinal de menos se deve ao fato de que no caso em que θ e positivo, sin e positivo e a for ca gravitacional age no sentido de decrescimento de , devendo a resultante ser negativa. Por outro lado, no caso em que e negativo, sin e negativo e a for ca gravitacional age no sentido de crescimento de .

As simetrias impostas nesse modelo fazem com que as outras duas coordenadas espaciais do pendulo sejam constantes. A resultante das for cas nas outras coordenadas se anula e essas coordenadas n~ao aparecem explicitamente na equa c~ao.

Modelagem lagrangeana

1. Princ pios da modelagem lagrangeana

A a c~ao e de nida como a integral no tempo de uma fun c~ao chamada lagrangeano e de nido como sendo a energia cin etica menos a energia potencial do sistema. No caso de um sistema n~ao-restrito de N part culas,

onde j j denota a norma Euclidiana e V (t;x; _x) a energia potencial. Caso alguma restri c~ao da forma x = X(t;q) seja imposta, ou mais explicitamente

a nova energia cin etica Kr(t;q; _q) pode, de fato, depender tanto de _q como de q e t. A restri c~ao x = X(t;q) e uma restri c~ao expl cita. Restri c~oes impl citas, como

G(t;x) = 0, requerem o uso de \multiplicadores de Lagrange" e ser~ao vistas em seguida.

Mesmo no caso de restri c~oes expl citas, o princ pio da menor a c~ao e valido e, em cada intervalo de tempo [0;T], o sistema percorre o caminho q = q(t), 0 t T, entre certos pontos q(0) = q0 e q(T) = qT, que minimiza a a c~ao, dada por

Assim, o caminho correto e o de menor a c~ao, o que pode ser escrito da forma onde Q indica o conjunto de todos os caminhos ~q poss veis iniciados em ~q(0) = q0 e terminados em ~q(T) = qT. Nessa minimiza c~ao, as vari aveis q0, qT e T s~ao mantidas xas e, por isso, vamos simpli car a nota c~ao, escrevendo apenas A(q( )) =

12 2. MODELAGEM LAGRANGEANA

onde Q0 indica o conjunto de todos os caminhos ~q poss veis iniciados em ~q(0) = 0 e

os pontos em que o \gradiente" se anula. S o que a a c~ao n~ao e uma fun c~ao vetorial, ela e uma fun c~ao de outra fun c~ao, q( ) Isso torna as coisas um pouco mais complicada. Mas, essencialmente, vamos assumir que podemos formalmente derivar sob o sinal de integra c~ao e, ainda, escrever

Observe que a a c~ao depende de q( ) enquanto que o lagrangeano depende de q(t) e de _q(t). Isso faz sentido, porque, de fato, q(t) e _q(t) s~ao fun c~oes de q( ), s~ao valores instantaneos relativos a fun c~ao q( ) de nida no intervalo [0;T]. Al em disso, em rela c~ao a nota c~ao, r_qLr denota apenas o gradiente de Lr em rela c~ao a segunda vari avel, que e apenas \calculada" em _q(t). Isso e, de fato, um abuso de nota c~ao, mas e a conven c~ao. Para sermos mais precisos, dever amos ter de nido Lr = Lr(t;q;v), sem ter feito inicialmente uma rela c~ao direta entre v e _q, de modo que r_qLr seria simplesmente rvLr. Integrando por partes o segundo termo da a c~ao e usando as condi c~oes de contorno

Como isso vale para qualquer q 2 Q0, necessariamente o integrando deve se anular e

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