(Artigo) Lógica Clássica e Lógicas Não-Clássicas

(Artigo) Lógica Clássica e Lógicas Não-Clássicas

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Sobre a história da lógica, a lógica clássica e o surgimento das lógicas não-clássicas1

Ítala Maria Loffredo D’OttavianoHércules de Araujo Feitosa
Centro de Lógica, Epistemologia e História da Ciência Departamento de Matemática
UNICAMP, CLE / IFCHUNESP, Faculdade de Ciências
itala@cle.unicamp.brhaf@fc.unesp.br

Introdução

A lógica, ciência do raciocínio dedutivo, estuda a relação de conseqüência dedutiva, tratando entre outras coisas das inferências válidas; ou seja, das inferências cujas conclusões têm que ser verdadeiras quando as premissas o são. A lógica pode, portanto, ser considerada como “o estudo da razão” ou “o estudo do raciocínio”.

O objetivo da lógica consiste, então, na menção e estudo dos princípios lógicos usados no raciocínio dedutivo. Sob essa concepção, temos a lógica dedutiva.

Podemos, entretanto, considerar uma outra lógica, a lógica indutiva, que se ocupa não das inferências válidas, mas das inferências verossímeis. Consideremos o seguinte argumento:

O sol tem nascido todos os dias. Logo, o sol nascerá amanhã.

Obviamente este argumento não é dedutivo e, portanto, não é logicamente válido.

A(s) premissa(s), ainda que verdadeira(s), não implica(m) logicamente a conclusão, embora esta possua uma certa plausibilidade.

A lógica contemporânea tem se convertido em disciplina matemática, a lógica matemática, com características próprias, dedutiva; é o estudo do tipo de raciocínio feito pelos matemáticos. Nesse sentido, para estudarmos o tipo de enfoque da lógica matemática, devemos examinar os métodos utilizados pelos matemáticos.

A lógica, particularmente sob a acepção dedutiva, constitui a ciência subjacente às investigações no domínio do puramente racional.

Porém, existe uma única razão? Existe uma única lógica? Um dos objetivos deste texto consiste em discutir essas duas questões. Faremos uma síntese, sucinta, sobre o desenvolvimento da lógica até o princípio do século X. Discutiremos a crise dos paradoxos e o surgimento das lógicas não-clássicas.

Os lógicos contemporâneos edificam linguagens artificiais adequadas para lidar com a relação de conseqüência, linguagens essas que possuem duas dimensões relevantes: a sintática e a semântica.

Para trabalharmos numa teoria formal, é necessário explicitarmos sua linguagem: seus símbolos e as regras de combinação às quais estão sujeitos estes símbolos, para a construção dos termos e fórmulas (expressões bem formadas). Entre as fórmulas bem formadas da linguagem são especificados os axiomas (leis básicas). As regras independem do significado dos símbolos. Através dos axiomas e regras de dedução, são demonstrados os teoremas da teoria.

1 Este trabalho corresponde a uma versão, com pequenas alterações, do texto produzido pelos autores para o mini-curso ‘História da lógica e o surgimento das lógicas não-clássicas’, ministrado pela professora Ítala no “V Seminário Nacional de História da Matemática”, ocorrido na UNESP, Rio Claro, em abril de 2003.

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À dimensão combinatória de uma linguagem, chamamos de dimensão sintática.

A dimensão semântica de uma linguagem leva em consideração os objetos extralingüísticos, aos quais os símbolos e expressões da linguagem se referem, e o significado dos mesmos. Lida com os conceitos de estrutura, validade de fórmulas e modelo.

As teorias contemporâneas, construídas sobre linguagens, axiomas lógicos, axiomas não-lógicos específicos e regras de dedução, são constituídas pela teoria formal – axiomática e pela semântica.

Os resultados relativos à completude, consistência, decidibilidade, metateoremas importantes, estabelecem a relação entre essas duas dimensões.

Entretanto, até princípios do século X, havia uma única lógica: pura, formal ou teórica, fundada por Aristóteles (384 a 322 a. C.) e cujo sistematizador mais importante foi Frege (1848-1925).

1. Um pouco de história e os paradoxos auto-referenciais

Apresentamos nesta seção aspectos da história da lógica e uma discussão de alguns dos famosos paradoxos auto-referenciais.

1.1. De Aristóteles ao final do século XIX e a sistematização da lógica clássica

A história da lógica antiga inicia-se propriamente com Aristóteles, no século IV a. C. (384-322 a. C.).

Na antiguidade, os gregos foram preponderantes no cultivo, prática e gosto pelo argumento. Entre os predecessores de Aristóteles (Platão, sem dúvida) devemos chamar a atenção para o trabalho dos sofistas, classe de tutores privados da Grécia antiga; e convém mencionarmos que paradoxos e argumentos falaciosos, argumentos que, de premissas aparentemente verdadeiras e por passos aparentemente válidos, levam a conclusões aparentemente falsas, eram conhecidos na Grécia antiga.

A maior parte da contribuição relevante de Aristóteles, para a lógica, encontra-se no grupo de trabalhos conhecidos como Organon, mais especificamente nos Analytica Priora e no De Interpretatione.

Aristóteles criou a teoria do silogisimo e axiomatizou-a de diversas formas. Iniciou o desenvolvimento da lógica modal, lidando com as noções de necessidade, possibilidade e contingência: uma sentença A é contingente se A é não necessária, porém não impossível. É famosa a questão dos futuros contingentes de Aristóteles. Exemplo: Haverá uma batalha naval amanhã.

1.1.1. Teoria dos silogismos

A teoria dos silogismos constitui um dos primeiros sistemas dedutivos já propostos.

Filósofos e historiadores da lógica consideram a teoria do silogismo como a mais importante descoberta em toda a história da lógica formal, pois não constitui apenas a primeira teoria dedutiva, mas também um dos primeiros sistemas axiomáticos construídos.

Modernamente, podemos interpretá-la como um fragmento da lógica de primeira ordem, ou seja, do cálculo de predicados de primeira ordem.

ção (∨, “ou”), condicional (→ “seentão”), e bicondicional (↔, “equivalente” ou “se, e

Consideremos, de imediato, como intuitivamente claro em termos pré-formais, o uso de variáveis e símbolos de predicados e o significado dos operadores lógicos para: existencial (∃, “existe”), universal (∀, “para todo”), negação (¬, “não”), conjunção (∧, “e”), disjunsomente se”).

A teoria dos silogismos, em sua linguagem, lida com termos (substantivos ou idéias), que podem ser termos gerais, ou termos singulares; e com predicados. São exemplos de termos gerais: “homem”, “número”, etc; são exemplos de termos singulares: “Sócrates”,

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“dois”, etc; são exemplos de predicados: “mortal”, “par”, etc.

A teoria dos silogismos trata de proposições categóricas, no sentido de “incondicionais”; e de proposições singulares. “Todo homem é mortal” é um exemplo de proposição categórica; e “Sócrates é mortal” e “Pedro é um homem” são exemplos de proposições singulares.

Há quatro tipos de proposições categóricas, que diferem entre si em qualidade, pois afirmam ou negam; e em quantidade, pois são universais ou particulares. São os seguintes os quatros tipos de proposições:

• Afirmação universal: Todos os S são P. Notação: A

• Negação universal: Nenhum S é P. Notação: E

• Afirmação particular: Alguns S são P. Notação: I

• Negação particular: Alguns S não são P. Notação: O

Aristóteles estabeleceu as relações entre esses quatro tipos de proposições categóricas através de seu famoso quadrado das proposições:

• A e O, e I e E são contraditórias. Não podem ser ambas verdadeiras; e não podem ser ambas falsas.

• A e E são contrárias. Não podem ser ambas verdadeiras; mas podem ser ambas falsas.

• I e O são subcontrárias. Não podem ser ambas falsas; mas podem ser ambas verdadeiras.

• I é subalterna de A e O é subalterna de E.

Se A é verdadeira, então I é verdadeira. Se E é verdadeira, então O é verdadeira.

O que é um silogismo? Um silogismo é uma regra de inferência que deduz uma proposição categórica – a conclusão – a partir de duas outras, chamadas premissas. Cada uma das premissas contém um termo comum com a conclusão – o termo maior e o termo menor, respectivamente; e um termo comum com a outra premissa – o termo médio.

Contrárias A E

I Subalternas O

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