vunesp2008 - cee - mat

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Para aumentar as vendas de camisetas, uma loja criou uma promoção. Clientes que compram três camisetas têm desconto de 10% no preço da segunda camiseta e 20% no preço da terceira camiseta. Todas as camisetas têm o mesmo preço. Qual o desconto que, aplicado igualmente sobre o preço original das três camisetas, resulta no mesmo valor para a compra conjunta de três camisetas na promoção?

Resposta

Seja p o preço original de cada camiseta. Na promoção, o preço da segunda camiseta é (1 0,10)− p = 0,9p e o preço da terceira camiseta é (1 0,20)− p = 0,8p. Assim, o valor total pago na promoção é p 0,9p 0,8p 2,7p++= , o que representa um des- conto de 3p 2,7p3p 10%− = em relação ao preço original das três camisetas.

Escreva as equações das retas que sejam, ao mesmo tempo, perpendiculares à reta

Resposta

As retas pedidas têm coeficiente angular − = 1

1 =− 1e admitem equações da forma yx b=− + ⇔ ⇔+ − =xyb 0. Como tais retas são tangentes à circunferência, a distância do centro C a elas é igual ao raio.

Assim, há duas retas satisfazendo as condições do enunciado: yx=− e yx=− + 4.

Os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Qual o comprimento da hipotenusa se o perímetro do triângulo mede 12?

Resposta

Sendo xr− e x os catetos e xr+ a hipotenusa do triângulo:

Um tanque de combustível cilíndrico, cuja base mede 2 metros quadrados e cuja altura é de 3 metros, encontra-secompletamentecheio e precisa ser esvaziado. Nesse processo, acionou-se uma bomba que retira do tanque 100 litros por minuto. Após 20 minutos,uma segunda bomba,que tambémretira do tanque 100 litros por minuto, foi acionada, funcionando em conjunto com a primeira. Esboce o gráfico da função que descreve a altura de combustível no tanque em função do tempo decorrido. Considere o tanque na posição vertical (base circular na horizontal) e o início do tempo no momentode acionamentoda primeira bomba.

Resposta

O volume inicial de combustível no tanque é

Para um tempot, em minutos,0t 20≤≤ ,ov olume

te no tanque é, em metros, 60 ,1t2

Questão 3Questão 1

Questão 2 Questão 4

te no tanque é, em metros, 80 ,2t2

Uma companhia telefônica oferece aos seus clientes 2 planos diferentes de tarifas. No plano básico, a assinatura inclui 200 minutos mensais de ligações telefônicas. Acima desse tempo, cobra-se uma tarifa de R$ 0,10 por minuto. No plano alternativo, a assinatura inclui 400 minutos mensais, mas o tempo de cada chamada desse plano é acrescido de 4 minutos, a título de taxa de conexão. Minutos adicionais no plano alternativo custam R$ 0,04. Os custos de assinatura dos dois planos são iguais e não existe taxa de conexão no plano básico. Supondo que todas as ligações durem 3 minutos, qual o número máximo de chamadas para que o plano básico tenha um custo menor ou igual ao do plano alternativo?

Resposta

Seja n o número de chamadas de 3 minutos. No plano básico, as ligações correspondem a 3n minutos e no plano alternativo, a (3 4)n 7n+= minutos. Para 3n 200≤ , paga-se somente a assinatura no plano básico, um custo menor ou igual ao do plano alternativo, em que se paga pelo menos a assinatura.

Quantos números de nove algarismos podem ser formados contendo quatro algarismos iguais a 1, três algarismos iguais a 2 e dois algarismos iguais a 3?

Resposta

A quantidade de números distintos com 9 algarismos que podem ser formados é igual à quantidade de anagramas de 9 elementos, com a repetição de 4 algarismos iguais a 1, 3 algarismos iguais a2e2 algarismos iguais a 3, ou seja, 9!

=números distintos.

As raízes de xa 04 −= sãoo sv érticesd eu m quadrado no plano complexo. Se uma raiz é 1i+ eoc entrod oq uadradoé 0+ i, determine o valor de a.

Resposta

Num determinado ambiente convivem duas espécies, que desempenham o papel de predador (C) e de presa (H). As populações dessas espécies, em milhares de indivíduos, são dadas pelas seguintes equações:

onde t é o tempo em meses. Determine qual a duração do ciclo de crescimento e decrescimento das populações, isto é, a cada quan- matemática 2

Questão 5 Questão 6

Questão 7 Questão 8 to tempo as populações voltam, simultaneamente, a ter as mesmas quantidades de indivíduos de t = 0.

Resposta

Para que as populações voltem a ter simultaneamente as mesmas quantidades de indivíduos de t=0, deve-se ter C(t)=C(0) e H(t)=H(0).

2kππππ, k∈Z⇔

Além disso, H(t)=H(0)⇔

2t 4 2k ou, k∈Z⇔=t2kπou

⇔= π,k ∈Z, de modo que as populações voltem a ter as mesmas quantidades de indivíduos de t = 0 simultaneamente a cada 2 π meses.

A altura y(t) de um projétil, lançado a 15 m do solo, numa região plana e horizontal, com velocidade vertical inicial 10 m/s, é dada por mo o instante do lançamento. A posição horizontal x(t) é dada por x(t) = 10 3 t. Determine a altura máxima e o alcance (deslocamento horizontal máximo) que o projétil atinge, considerando que ele caia no solo.

Resposta Vamos supor que x(t) ey(t) são dados em metros.

A altura máxima que o projétil atinge é o valor máximo da função quadrática y(t) 5t 10t 152=− + + ,

Considereu mc ubod ea restaa .S ejaBu m poliedro de oito faces triangulares, cujos vértices são os centros das faces do cubo. Determine a razão entre os volumes desse cubo e do poliedro B.

Resposta Consideremos a figura a seguir:

Como A, B, C, D, E e F são centros das faces do cubo de aresta a, temos um octaedro regular inscrito num cubo. Já que BCDE é um quadrado com diagonais iguais a a e esse quadrado divide o oc- taedro em duas pirâmides congruentes de altura a

Portanto a razão entre os volumes do cubo e do

poliedro nele inscrito éa a matemática 3

Questão 9 Questão 10

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