Baixe cinematica e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! CINEMÁTICA Velocidade A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca. A análise da velocidade se divide em dois principais tópicos: Velocidade Média e Velocidade Instantânea. É considerada uma grandeza vetorial, ou seja, tem um módulo (valor numérico), uma direção (Ex.: vertical, horizontal,...) e um sentido (Ex.: para frente, para cima, ...). Porém, para problemas elementares, onde há deslocamento apenas em uma direção, o chamado movimento unidimensional, convém tratá-la como um grandeza escalar (com apenar valor numérico). As unidades de velocidade comumente adotadas são: m/s (metro por segundo); km/h (quilômetro por hora); No Sistema Internacional (S.I.), a unidade padrão de velocidade é o m/s. Por isso, é importante saber efetuar a conversão entre o km/h e o m/s, que é dada pela seguinte relação: A partir daí, é possível extrair o seguinte fator de conversão: Velocidade Média Indica o quão rápido um objeto se desloca em um intervalo de tempo médio e é dada pela seguinte razão: Onde: = Velocidade Média = Intervalo do deslocamento [posição final – posição inicial ( )] = Intervalo de tempo [tempo final – tempo inicial ( )] Por exemplo: Um carro se desloca de Florianópolis – SC a Curitiba – PR. Sabendo que a distância entre as duas cidades é de 300 km e que o percurso iniciou as 7 horas e terminou ao meio dia, calcule a velocidade média do carro durante a viagem: = (posição final) – (posição inicial) = (300 km) – (0 km) = 300 km E que: = (tempo final) – (tempo inicial) = (12 h) – (7h) = 5 h Então: Mas, se você quiser saber qual a velocidade em m/s, basta dividir este resultado por 3,6 e terá: Velocidade Instantânea Sabendo o conceito de velocidade média, você pode se perguntar: “Mas o automóvel precisa andar todo o percurso a uma velocidade de 60km/h?” A resposta é não, pois a velocidade média calcula a média da velocidade durante o percurso (embora não seja uma média ponderada, como por exemplo, as médias de uma prova). Então, a velocidade que o velocímetro do carro mostra é a Velocidade Instantânea do carro, ou seja, a velocidade que o carro está no exato momento em que se olha para o velocímetro. A velocidade instantânea de um móvel será encontrada quando se considerar um intervalo de tempo ( ) infinitamente pequeno, ou seja, quando o intervalo de tempo tender a zero ( ). Saiba mais: Para realizar o cálculo de velocidade instantânea, os seja, quando o intervalo de tempo for muito próximo a zero usa-se um cálculo de derivada: Derivando a equação do deslocamento em movimento uniformemente acelerado em função do tempo: Para um maior estudo sobre cálculo de derivadas acesse: http://www.somatematica.com.br/superior.php Movimento Uniforme Quando um móvel se desloca com uma velocidade constante, diz-se que este móvel está em um movimento uniforme (MU). Particularmente, no caso em que ele se desloca com uma velocidade constante em trajetória reta, tem-se um movimento retilíneo uniforme. Uma observação importante é que, ao se deslocar com uma velocidade constante, a velocidade instantânea deste corpo será igual a velocidade média, pois não haverá variação na velocidade em nenhum momento do percurso. A equação horária do espaço pode ser demonstrada a partir da fórmula de velocidade média. Em um movimento uniforme, a velocidade se mantém igual no decorrer do tempo. Portanto seu gráfico é expresso por uma reta: Dado este diagrama, uma forma de determinar o deslocamento do móvel é calcular a área sob a reta compreendida no intervalo de tempo considerado. Velocidade Relativa É a velocidade de um móvel relativa a outro. Por exemplo: Considere dois trens andando com velocidades uniformes e que . A velocidade relativa será dada se considerarmos que um dos trens (trem 1) está parado e o outro (trem 2) está se deslocando. Ou seja, seu módulo será dado por . Generalizando, podemos dizer que a velocidade relativa é a velocidade de um móvel em relação a um outro móvel referencial. Movimento Uniformemente Variado Também conhecido como movimento acelerado, consiste em um movimento onde há variação de velocidade, ou seja, o móvel sofre aceleração a medida que o tempo passa. Mas se essa variação de velocidade for sempre igual em intervalos de tempo iguais, então dizemos que este é um Movimento Uniformemente Acelerado, ou seja, que tem aceleração constante e diferente de zero. O conceito físico de aceleração, difere um pouco do conceito que se tem no cotidiano. Na física, acelerar significa basicamente mudar de velocidade, tanto tornando-a maior, como também menor. Já no cotidiano, quando pensamos em acelerar algo, estamos nos referindo a um aumento na velocidade. O conceito formal de aceleração é: a taxa de variação de velocidade numa unidade de tempo, então como unidade teremos: Aceleração Assim como para a velocidade podemos definir uma aceleração média se considerarmos a variação de velocidade em um intervalo de tempo , e esta média será dada pela razão: Velocidade em função do tempo Mas quando este intervalo de tempo for infinitamente pequeno, ou seja, , tem-se a aceleração instantânea do móvel. Isolando-se o : Mas sabemos que: Então: Mas, se considerarmos , teremos a função horária da velocidade do Movimento Uniformemente Variado, que descreve a velocidade em função do tempo [v=f(t)]: Posição em função do tempo A melhor forma de demonstrar esta função é através do diagrama velocidade versus tempo (v x t) no movimento uniformemente variado. O deslocamento será dado pela área sob a reta da velocidade, ou seja, a área do trapézio. Onde sabemos que: logo: ou Interpretando esta função, podemos dizer que seu gráfico será uma parábola, pois é resultado de uma função do segundo grau. Equação de Torricelli Até agora, conhecemos duas equações do movimento uniformemente variado, que nos permitem associar velocidade ou deslocamento com o tempo gasto. Torna-se prático encontrar uma função na qual seja possível conhecer a velocidade de um móvel sem que o tempo seja conhecido. Para isso, usaremos as duas funções horárias que já conhecemos: (1) (2) Isolando-se t em (1): Substituindo t em (2) teremos: Reduzindo-se a um denominador comum: Exemplo Uma bola de futebol é chutada para cima com velocidade igual a 20m/s. (a) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para retornar ao solo. (b) Qual a altura máxima atingida pela bola? Dado g=10m/s². (a) Neste exemplo, o movimento é uma combinação de um lançamento vertical para cima + um lançamento vertical para baixo (que neste caso também pode ser chamado de queda livre). Então, o mais indicado é calcularmos por partes: Movimento para cima: Movimento para baixo: Como não estamos considerando a resistência do ar, a velocidade final será igual à velocidade que a bola foi lançada. Observamos então, que nesta situação, onde a resistência do ar é desprezada, o tempo de subida é igual ao de decida. (b) Sabendo o tempo da subida, e a velocidade de lançamento, podemos utilizar a função horária do deslocamento, ou então, utilizar a Equação de Torricelli. Lembre-se que estamos considerando apenas a subida, então t=2s ou Vetores Determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever: onde XY é um segmento qualquer do conjunto. O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou . um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos. As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. O módulo de se indica por | | . Soma de vetores Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por: v + w = (a+c,b+d) Propriedades da Soma de vetores Diferença de vetores Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por: v - w = (a-c,b-d) Produto de um número escalar por um vetor Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como: c.v = (ca,cb) Propriedades do produto de escalar por vetor Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores: Módulo de um vetor O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por: Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: u.v = |u| |v| cos(x) onde x é o ângulo formado entre u e v. Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como: desde que nenhum deles seja nulo. Aceleração e Velocidade Vetoriais Vetor Posição Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O. Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o móvel nesta trajetória por meio de um vetor. O vetor é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido. =P-O Velocidade Vetorial Vetor Velocidade Média: Considerando um móvel percorrendo a trajetória do gráfico acima, ocupando posições e nos instantes e , respectivamente. Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo: Observação: O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, pois é obtido quando multiplicamos um número positivo pelo vetor . Vetor Velocidade Instantânea: Análogo a velocidade escalar instantânea, quando o intervalo de tempo tender a zero ( ), a velocidade calculada será a velocidade instantânea. então: Aceleração Vetorial Vetor Aceleração Média: Considerando um móvel que percorre uma trajetória qualquer com velocidade em um instante e velocidade em um instante posterior . Sua aceleração média será dada por: Observação: Assim como para o vetor velocidade, o vetor aceleração terá o mesmo sentido e mesma direção do vetor velocidade pois é resultado do produto deste vetor ( ) por um número escalar positivo, . Vetor Aceleração Instantânea: A aceleração vetorial instantânea será dada quando o intervalo de tempo tender a zero ( ). Sabendo estes conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função do tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação vetorial: Por exemplo: Um corpo se desloca com velocidade , e aceleração constante , da forma como está descrita abaixo: Para estudar este movimento, deve-se considerar o movimento oblíquo como sendo o resultante entre o movimento vertical (y) e o movimento horizontal (x). Na direção vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade inicial igual a e aceleração da gravidade (g) Na direção horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a . Observações: • Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura máxima) onde , e desce aumentando a velocidade. • O alcance máximo é a distância entre o ponto do lançamento e o ponto da queda do corpo, ou seja, onde y=0. • A velocidade instantânea é dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical, ou seja, . O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada momento. Exemplo: Um dardo é lançado com uma velocidade inicial , formando um ângulo de 45° com a horizontal. (a) Qual o alcance máximo (b) e a altura máxima atingida? Para calcular este movimento deve-se dividir o movimento em vertical e horizontal. Para decompor o vetor em seus componentes são necessários alguns fundamentos de trigonometria: Genericamente podemos chamar o ângulo formado de . Então: logo: e: logo: (a) No sentido horizontal (substituindo o s da função do espaço por x): sendo temos: (1) No sentido vertical (substituindo h por y): sendo temos: (2) E o tempo é igual para ambas as equações, então podemos isolá-lo em (1), e substituir em (2): (1) e , então: onde substituindo em (2): (2) e onde o alcance é máximo . Então temos: mas , então: resolvendo esta equação por fórmula de Baskara: mas então: mas Então Substituindo os dados do problema na equação: (b) Sabemos que quando a altura for máxima , então pela equação de Torricelli no movimento vertical: , substituindo os dados do problema na equação: Chama-se espaço angular o espaço do arco formado, quando um móvel encontra-se a uma abertura de ângulo φ qualquer em relação ao ponto denominado origem. E é calculado por: Deslocamento angular (Δφ) Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial: Sendo: Por convenção: No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo. No sentido horário o deslocamento angular é negativo. Velocidade Angular (ω) Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento: Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s. Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero: Aceleração Angular (α) Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos aceleração angular média como: Algumas relações importantes Através da definição de radiano dada anteriormente temos que: mas se isolarmos S: derivando esta igualdade em ambos os lados em função do tempo obteremos: mas a derivada da Posição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada da Posição Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo: onde podemos novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremos: mas a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que no movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em função do tempo é igual a aceleração angular, então: Então: Linear Angular S = φR v = ωR a = αR Período e Frequência Período (T) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico se repita. Sua unidade é a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...) Frequência(f) é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e rpm. No movimento circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo sendo equivalente a velocidade angular. Para converter rotações por segundo para rad/s: sabendo que 1rotação = 2πrad, Movimento Circular Uniforme Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por um círculo com um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em todos os pontos do percurso. No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as pás de um ventilador girando. Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo existe uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos de Aceleração Centrípeta. Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma: Sabendo que e que , pode-se converter a função horária do espaço linear para o espaço angular: então: Movimento Circular Uniformemente Variado Quando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua velocidade angular, então este corpo tem aceleração angular (α). As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado são obtidas quando divididas pelo raio R da trajetória a que se movimenta o corpo. Assim: MUV MCUV Grandezas lineares Grandezas angulares E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração centípeta: