Estudo do cubo

Estudo do cubo

(Parte 1 de 2)

CIFP CAMETÁ 2009

Trabalho apresentado ao Centro Integrado de Formação Profissional de Cametá, como requisito de avaliação parcial na disciplina Matemática, ministrada pelo Professor Benedito Carvalho dos Santos.

CIFP CAMETÁ 2009

1 Introdução03
2 A Geometria Espacial04
2.1 Definição e Classificação dos Poliedros04
2.2 Poliedros de Platão06
2.3 Poliedros Eurelianos06
2.4 Relação de Euler07
2.5 Noção de Prisma07
2.6 Classificação dos Prismas08
3 Estudo do Cubo09
3.1 Elementos do cubo09
3.2 Propriedades do Cubo09
3.3 Planificação09
3.4 Área do Cubo (LATERAL & TOTAL)09
3.5 Volume do Cubo10
3.6 Diagonal do Cubo1
4 Considerações Finais12
5 Referência Bibliográfica13

SUMÁRIO 6 Anexo ..............................................................................................................................14

1 INTRODUÇÃO

Ao entrarmos em uma loja de móveis, observamos medidas que informam a profundidade, a largurae a alturade qualquer objeto disponível para compra. Essas três dimensões são essenciais para encaixarmos em nossa casa, de uma forma minimamente planejada, as mesas, as cadeiras e todos os outros móveis.

Essa experiência de encaixar objetos em um determinado espaço é desafiadora e contribui para o aprendizado do conceito relacionado aos vários poliedros que tenham a forma semelhante aalguns moveis.

Logo, a resolução deste (o tamanho do imóvel encaixa na sala de casa?) e outros problemas é possível com o estudo de assuntos que veremos a partir deste momento como, por exemplo, calculo da área total e volume de um prisma (cubo), a noção e poliedro, etc.

2A GEOMETRIA ESPACIAL

Dizem que na entrada da Academia de Platão havia uma inscrição onde se lia: “Somente aqueles familiarizados com a Geometria podem ser admitidos aqui.”

Na verdade, a Geometria vem da Matemática, dos números. Temos conhecimento da

Escola de Pitágoras, para quem tudo era número, que diz que o Universo se expressa através de Números. Para ele existe O Um, a Mônada, a partir da qual tudo passa a ter existência. O Dois, a dualidade na sua forma mais pura, a simples polaridade do nosso mundo. O Três é o número de Deus, da Divindade. O Quatro, o número do mundo material, da manifestação terrena, dos quatro elementos. O conhecimento era sagrado e não podia ser revelado a nãoiniciados, tal o poder que eles conferiam a quem conhecesse sua linguagem. Assim, surgiram as Escolas Iniciáticas na Suméria, no Egito, na Grécia e, se vocês repararem, até na Bíblia quando se fala dos frutos proibidos da Árvore da Vida.

Podemos pensar na Geometria como a descrição gráfica do Universo. Diferente da matemática, abstrata, a geometria tem forma, comprimento, profundidade e conteúdo, muito conteúdo.

E o que faz uma Matemática Sagrada ou uma Geometria Sagrada? Robert Lawlor dizia que entre os conceitos dos antigos filósofos, que têm caráter sagrado, e os modernos, puramente racionais, tem uma diferença fundamental. Os antigos viam a Matemática e a Geometria como uma meditação sobre o Um Metafísico. Um esforço em contemplar e visualizar a ordem pura e simétrica que brota da Unidade. União do que é Matéria e do que é Espiritual, Divino.

Logo, aGeometria Espacialestuda as figuras geométricas espaciais, ou seja, figuras geométricas de três dimensões (3D).

2.1 DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS

Do grego -poly (muitas) + edro (face). Os poliedros fazem parte do pensamento grego, foram estudados pelos grandes filósofos da antiguidade e tomaram parte nas suas teorias sobre o universo. Diz-se poliedro todo sólido limitado por polígonos planos. Os polígonos, chamados faces do poliedro, são colocados lado a lado, não pertencentes ao mesmo plano, definindo um trecho fechado no espaço. O ângulo entre duas faces é chamado ângulo diedro. Os lados são chamados arestas do poliedro. Os vértices dos polígonos coincidem com os vértices do poliedro. As arestas que saem de um mesmo vértice formam um ângulo sólido do poliedro. Os sólidos geométricos ou poliedros podem ter qualquer configuração desde que fechem um espaço; criando um volume. Os poliedros são divididos em três grupos:

I.Os regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro) I.Os semi-regulares (tetratroncoedro, cuboctatroncoedros, dodecaicositroncoedros) I.Os irregulares (pirâmides e prismas).

Os poliedros também se classificam em: I.Os convexos I.O côncavos

Sabe-se que um plano divide o espaço tridimensional em duas regiões. Admita-se o poliedro em uma dessas regiões e verifique-se se o mesmo se mantém todo nessa região, qualquer que seja a face que pertença ao plano. Se isso acontecer, o poliedro chama-se convexo, do contrário, será côncavo.

POLIEDROS REGULARES: São os poliedros cujas faces são polígonos regulares iguais entre si, e cujos ângulos poliédricos são todos iguais. Os poliedros regulares classificam-se em:

I.Convexos: tetraedro (quatro faces), hexaedro (seis faces), octaedro (oito faces), dodecaedro (doze faces) e icosaedro (vinte faces). I.Estrelados: dodecaedro e icosaedro.

6 As figuras espaciais abaixo são exemplos de poliedros.

2.2 POLIEDROS DE PLATÃO

Um poliedro é chamado Poliedro de Platãoquando satisfaz três condições:

1)Todas as faces tem o mesmo número (n) de arestas; 2)Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo número (m) de arestas; 3)O poliedro é eureliano.

2.3 POLIEDROS EURELIANOS

São chamados poliedros eurelianos, poliedros convexos em que é válidaa relação de

Fonte: DANTE, Matemática: volume único.p. 360.

O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) descobriu uma importante relação entre o número de vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.

Observe o exemplo:

Observe que para o poliedro dado acima, o número de arestas é exatamente 2 unidades menos do que a soma do número de faces com o número de vértices.

Essa relação pode ser escrita assim:

(relação de Euler)

2.4NOÇÃO DE PRISMA As figuras espaciais abaixo são exemplos de prismas.

As figuras espaciais acima possuem três dimensões: largura, comprimento e altura (ou profundidade).

Fonte: Estudo da Geometria.ppt

F = 6 V = 8 A = 12

V +F = A + 2 Fonte: Cubo.html

Consideremos dois planos ࢻe ࢼ, distintos e paralelos entre si, um polígono convexo P, contido em ࢻ, e uma reta rque intercepta ࢻe ઺nos pontos X e Y(Figura 2).

Os pontos de interseção dessas retas com ࢻe ࢼdeterminam segmentos congruentes ao segmento XY(Figura 3).

A reunião desses segmentos é um sólido que chamamos prisma.

2.5CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS

Quanto ao número de lados dos polígonos de cada base, os prismas são classificados em triangular, quadrangular, pentagonal, etc., conforme a base seja, respectivamente, um triangular, um quadrilátero, um pentágono, etc.

Quanto à inclinação das arestas laterais em relação aos planos das bases, os prismas são classificados em:

Fonte: IEZZI, Gelson.Matemática: Ciências e Aplicações. p. 417

Fonte: IEZZI, Gelson.Matemática: Ciências e Aplicações. p. 418

Prisma obliquo–arestas laterais obliquas aos planos das bases; Prisma reto–arestas laterais perpendiculares aos planos das bases;

Prisma regular–prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

Portanto, o Cubo é um prisma reto quadrangular.

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