(Parte 2 de 9)

Analisando a história da matemática ocidental vê-se que as coisas não transcorrem nesta suave evolução contígua como sugere Hankel, pois no próprio século XIX muitos conceitos matemáticos foram revistos para se poder consolidar um caminho viável em conformidade com um todo matemático. Mas não se pode deixar de citar o pensamento intuicionista que parte por um caminho distinto de se construir os entes matemáticos, quando comparado com o formalismo consolidado, entre outros, por David Hilbert. Para os intuicionistas a demonstração indicada no início deste – a demonstração por absurdo – não é aceitável. Nisto várias das demonstrações matemáticas tornam-se inválidas sob o olhar dos seguidores de Luitzen Brouwer (1881 – 1961).

Voltando a academia matemática grega e sua estrutura axiomática compilada e elaborada, por volta de 300a.C., por Euclides em seus Elementos. Esta obra foi alicerçada nos trabalhos de Eudoxo (408-355 a.C.), com relação a teoria das proporções por ele desenvolvida, para abarcar os ditos incomensuráveis, os irracionais. Bem como o método da exaustão a ele é atribuído por Arquimedes, que muito vai empregá-lo. A axiomática dos Elementos possuía e possui uma forma geométrica; grandezas são representadas por segmentos de linhas retas, planos e regiões limitadas por curvas, retas e superfícies planas e curvas. Nestas formas foram incorporadas idéias sobre números.

No Livro V dos Elementos, lê-se nas seis primeiras definições (segundo Aníbal Faro, da Edições Cultura – SP, 1944, p.119):

Uma grandeza se diz parte de outra grandeza, a menor da maior, quando a menor mede a maior. I

A grandeza maior se diz múltipla, ou multíplice da menor, quando a menor mede a maior. I

A razão entre duas grandezas, que são do mesmo gênero, é um respeito recíproco de uma para outra, enquanto uma é maior, ou menor do que a outra, ou igual a ela. IV

As grandezas têm entre si razão, quando a grandeza menor, tomada certo número de vezes, pode vencer a grandeza maior.

As grandezas têm entre si a mesma razão, a primeira para a segunda, e a terceira para a quarta, quando umas grandezas, quaisquer que sejam, eqüimultíplices da primeira e da terceira a respeito de outras, quaisquer que sejam, eqüimultíplices da segunda e da quarta, são ou juntamente maiores, ou juntamente iguais, ou juntamente menores. VI

As grandezas, que têm entre si a mesma razão, se chamam proporcionais.

Este é o caminho tomado por Eudoxo e seguido por Euclides para se construir, o que se poderia chamar de, uma álgebra para os comensuráveis e para os incomensuráveis.

Decorre que Aristóteles, diz:

“Se adicionarmos continuamente a uma quantidade finita, excederemos qualquer grandeza dada e, do mesmo modo, se subtrairmos continuamente dela chegaremos a alguma coisa menor do que ela.” [Baron (1985), I, p.27]

No primeiro caso: dadas duas grandezas a e b(dois segmentos de reta), com ab>

, é possível fazermos:b+++(n parcelas) de modo que ...bnba+++=>. No
segundo caso: é possível encontrarmos:b+++(m parcelas) de modo que

Tem-se com isso o que chamamos de princípio arquimediano, de fundamental importância para se discutir a construção dos reais e dos infinitesimais. E procede diretamente da definição IV.

E a definição V, pode ser ilustrada da seguinte forma:

Seja :xy (primeira e segunda grandezas) e :wz (terceira e quarta grandezas).

Para todo n e m (grandezas quaisquer);

Se nx>=<nw (eqüimultíplices da primeira e da terceira) então nw>=<nz (eqüimultíplices da segunda e da quarta).

Temos aqui uma questão de ordem e a lei da tricotomia. Segundo Boyer (1987):

“Na verdade a definição não esta longe das definições de número real dadas no século dezenove, pois divide a coleção dos números racionais mn em duas classes, conforme manb≤ ou manb>. Porque existem infinitos números racionais, os gregos, por implicação, se defrontavam com o conceito que desejavam evitar, o de conjunto infinito; mas pelo menos era possível agora dar demonstrações satisfatórias dos teoremas sobre proporções.” [Boyer (1987), p.6-7]

Como veremos adiante, Dedekind vai construir seus cortes, à semelhança do que foi dito acima, bem como uma aritmética dos seus “novos” entes matemáticos.

Zenon de Eléia

Um marco, na arte de se perturbar o status quo da matemática, são os Paradoxos de Zenon.

A escola pitagórica havia admitido que o espaço e o tempo são constituídos por pontos e instantes. Intuitivamente pode-se dizer que o tempo e o espaço possuem uma propriedade que é a continuidade. Zenon de Eléia (c. 450a.C.) criou quatro histórias, que conduziram o raciocínio vigente na matemática (à sua época) a uma cilada aos referenciais pitagóricos. Os ditos Paradoxos de Zenon, que são: (1) a Dicotomia, (2) o Aquiles, (3) a Flecha e (4) o Estádio.

Descreverei aqui duas delas, segundo Howard Eves:

“A Dicotomia: Se um segmento de reta pode ser subdividido indefinidamente, então o movimento é impossível pois, para percorrêlo, é preciso antes alcançar seu ponto médio, antes ainda alcançar o ponto que estabelece a marca de um quarto do segmento, a assim por diante, ad infinitum. Segue-se, então, que o movimento jamais começará.

A Flecha: Se o tempo é formado de instantes atômicos indivisíveis, então uma flecha em movimento está sempre parada, posto que em cada instante ela está numa posição fixa. Sendo isso verdadeiro em cada instante, segue-se que a flecha jamais se move.

Já se deram muitas explicações para os paradoxos de Zeno.

Por outro lado, não é difícil mostrar que eles desafiam as seguintes crenças da intuição comum: de que a soma de um número infinito de quantidades positivas é infinitamente grande, mesmo que cada uma

delas seja extremamente pequena 1ii ε ∞=

∑ e de que a soma de um número finito ou infinito de quantidade de dimensão zero é zero ()0 e 0n×=∞×=. Qualquer que tenha sido a motivação dos paradoxos, o fato é que eles excluíram os infinitésimos da geometria demonstrativa grega.” [Eves (1997), p.418]

Cabe chamar a atenção para as seguintes questões: Os paradoxos de Zenon e as divisões áureas têm uma estreita relação no que diz respeito a medidas infinitamente pequenas e a questão do contínuo. Estas questões estarão permanentemente presente em neste trabalho.

Arquimedes1

Dos problemas célebres da antiguidade, o da quadratura do círculo muito interessa, dado que permite aproximar o desenvolvimento da integração, realizada no tempo de Newton e Leibniz, com a tradição matemática grega, que aqui será representada por Arquimedes.

A demonstração da fórmula que calcula a área do círculo que se seguirá, deve-se a

Arquimedes, que empregou o método da exaustão (de Eudoxo, segundo o próprio Arquimedes) e a dupla redução ao absurdo. O primeiro esta presente na forma com que se aproxima da circunferência por polígonos convexos regulares e o segundo na negação de duas de três possibilidades construídas na hipótese.

Primeiro Método de Exaustão de Eudoxo:

“Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte não menor que sua metade e do resto novamente subtrai-se não menos que a metade e se esse processo de subtração é continuado, finalmente restará uma

1 Deste ponto até Leibniz a referência bibliográfica principal será Baron (1985).

grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espécie.” [Boyer (1987), p. 67]

Notar que há aqui uma proximidade com o conceito de limite.

Agora vamos ao cáculo da área do círculo por Arquimedes:

“A área de qualquer círculo é igual a área de um triângulo retângulo, no qual um dos lados, partindo do vértice cujo ângulo é reto, é igual ao raio, e o outro é igual à circunferência do círculo.” [Baron (1985), I, p.34]

Demonstração, segundo Baron, com alguns adendos meus em itálico:

“Seja ABCD o círculo, e K o triângulo em questão. Então, se o círculo não for igual a K, ele deve ser maior ou menor. Suponhamos que o círculo seja maior do que K. Inscreva um quadrado ABCD, divida AB, BC, CD, DA ao meio, depois (se necessário) suas metades e assim por diante, até que os lados do polígono inscrito, cujos pontos angulares são os pontos de divisão, contenham segmentos cuja soma seja menor do que o excesso da área do círculo, menos K.

[Seja iS a referida soma e oA a área do círculo, então: ioSAK<− (1). Por construção, temos: ipoSAA+=(2)].

Assim a área do polígono é maior do que K.

Seja AE qualquer lado dele, e ON a perpendicular baixada sobre AE do centro O. Então, ON é menor do que o raio do círculo, portanto menor do que um dos lados adjacente ao ângulo reto de K. Também o perímetro do polígono é menor do que a circunferência do círculo, isto é, menor do que o outro lado adjacente ao ângulo reto de K. Assim, a área do polígono é menor do que K. Isto é inconsistente com a hipótese.

[Se dividirmos o polígono em triângulo isósceles cujas bases são congruentes a AE e cada um deles com altura ON (conforme descrito), fazendo t o perímetro do polígono, então 2p

ON tA ⋅

(Parte 2 de 9)

Comentários