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=. Dado que Krc=⋅ (r, raio da circunferência, e c, o perímetro da

mesma), e como (por construção)e ONrtc<<, então pAK<(4). De (3) e (4), tem-se

um absurdo].

Assim a área do círculo não pode ser maior do que K. Se possível seja o círculo menor do que K. Circunscreva um quadrado, e trace dois lados adjacentes, tocando o círculo nos pontos E e H encontrando-se em T. Divida os arcos ao meio, entre os pontos adjacentes de contado, e tome as tangentes aos pontos da divisão. Seja A o ponto médio do arco EH e FAG a tangente em A. Então, o ângulo TAG é um ângulo reto.

Logo TGGA> e TGAF>.

Segue que o triângulo FTG é menor do que a metade da área TEAH. Do mesmo modo, se o arco AH é dividido ao meio e a tangente ao ponto da divisão é tomada, ela cortará mais da metade da área de GAH. Continuando assim o processo, chegamos finalmente a um polígono circunscrito cujos espaços entre ele e o círculo, somados, serão menores do que o excesso entre K e a área do círculo.

[Seja eS a referida soma e oA a área do círculo, então: eoSKA<− (5). Por construção, temos: eopSAA+=(6)].

Logo, a área do polígono será menor do que K.

Como a perpendicular de O sobre qualquer lado do polígono é igual ao raio do círculo, enquanto o perímetro do polígono é maior do que a circunferência do círculo, segue-se que a área do polígono é maior do que o triângulo K, o que é impossível.

[Se dividirmos o polígono em triângulo isósceles cujas bases são congruentes a HI (um dos lados desse polígono) e cada um deles com altura OB (B ponto médio de HI), fazendo t o perímetro do polígono, então 2p

OB tA ⋅ =. Dado que Krc=⋅ (r, raio da

circunferência, e c, o perímetro da mesma), e como (por construção)e OBrtc=>,

Portanto, a área do círculo não é menor do que K. Como a área do círculo não é maior e nem menor do que K, só pode ser igual a K. [Baron (1985),I, p.35]

O que resta saber é como foi que Arquimedes chegou na comparação da área do círculo com a área de um triângulo retângulo com catetos medindo conforme condições mencionadas no teorema demonstrado. Ao que parece foi através de um forte senso intuitivo aliado a algum método empírico. Assim pode-se dizer que não é de todo razoável banir da matemática a intuição e o empirismo. O que não é possível, segundo o rigor em vigor, é se bastar somente neles. Mas, a história da matemática aponta, com grande freqüência, que a junção da estrutura axiomática, e o seu rigor demonstrativo, com a intuição, bem como com certos empirismos, é extremamente frutífero para a construção de uma linguagem que exprime um pensamento sustentado numa suficiência lógica.

“Assim, a lógica e a intuição têm cada uma seu papel necessário. Ambas são indispensáveis. A lógica, a única que pode dar a certeza, é o instrumento da demonstração: a intuição é o instrumento da invenção.” [Poincaré (1998), p.2]

O método empregado por Arquimedes na determinação de áreas e volumes de modo geral sempre recorrem a estrutura axiomática, e as demonstrações são rigorosas. Fato este que será, sempre uma referência, um enorme paradigma para os matemáticos da época de Newton e Leibniz, entre outros, ao justificar os resultados obtidos como se verá em alguns exemplos.

Nos trabalhos de Arquimedes, com quadratura e cubatura, recorre às séries. E as obtém por um método puramente geométrico. O exemplo que segue, é mostrado por Baron (1985), I, p.41.

Seja 123,,,,a

Com isso tem-se: 212aa= em progressão geométrica.

(1232++1aaaana++=+

É fácil perceber que: decorre que:

123++na++=
Logo:1231123aaaaaaaaa++<<++

Esta desigualdade, Arquimedes empregou para provar o volume de um (um sólido obtido por rotação de uma curva parabólica em torno de seu eixo).

Vale uma nota: Suspeita feita por este genial matemático, já era de conhecimentos dos babilônios antigos, que possuíam conhecimentos das fórmulas:

Nos trabalhos de Arquimedes, com quadratura e cubatura, freqüentemente às séries. E as obtém por um método puramente geométrico. O exemplo que segue, é mostrado por Baron (1985), I, p.41.

,,,,naaaa um conjunto de grandezas, onde 21321aaaaa−=−==

21aa, 313aa= e assim sucessivamente. Logo tem

)()2++1nnaaaana++=+
e(12312+ ... +1nnaaaana−

2n n

++=e 1231+ ... +na−
1231123+++ ... +2nnnn

Esta desigualdade, Arquimedes empregou para provar o volume de um (um sólido obtido por rotação de uma curva parabólica em torno de seu eixo).

Vale uma nota: Suspeita-se que alguns empregos, do que se chamaria de séries, feita por este genial matemático, já era de conhecimentos dos babilônios antigos, que cimentos das fórmulas:

freqüentemente ele às séries. E as obtém por um método puramente geométrico. O exemplo que segue,

21321...a−=−==. e assim sucessivamente. Logo tem-se uma seqüência

)()12312++1nnaaaana−

2n n

Esta desigualdade, Arquimedes empregou para provar o volume de um conóide (um sólido obtido por rotação de uma curva parabólica em torno de seu eixo).

se que alguns empregos, do que se chamaria de séries, n n i

+=∑,

n n r r

e

n n n i

Thomas Bradwardine e Nicole Oresme

Na idade média, muitas obras filosóficas, de física e de matemática foram desenvolvidas por escolástico. No caso da matemática, dá-se continuidade à busca e emprego do rigor vindo da Grécia antiga, tendo os Elementos de Euclides como referência. Mas neste período, já se nota uma influência dos trabalhos elaborados por pensadores árabes, em especial através do livro Liber abaci, de Fibonacci ou Leonardo de Pisa (1180 – 1250), um tratado sobre números e processos algorítmicos com emprego da numeração indo-arábico. Apesar de herdeira de uma tradição hindu-arábica não havia nesta obra um vínculo entre aritmética e geometria [Boyer (1987), p. 185]. Boyer chama atenção para o fato de, já no século XIII, Fibonacci empregava a barra horizontal para representar frações, mas o uso comum desta notação só se efetivou no século XVI. Aqui se tem um exemplo da necessidade de se inventar notações e novos símbolos para representar entes matemáticos, e concomitantemente dá-se um processo de firmemente associar significados a eles.

Neste ponto da história da matemática, creio que se deva ter uma maior atenção aos trabalhos dos pensadores e sábios do mundo árabe. Mas isto não será aqui objeto de análise, somente faço uma observação. Uma tensão mais forte entre a cultura árabe e a cultura européia se com o advento das Cruzadas.

“Elas [as Cruzadas] ajudaram a despertar a Europa de seu sono feudal, espalhando sacerdotes, guerreiros, trabalhadores e uma crescente classe de comerciantes por todo o continente; intensificaram a procura de mercadorias estrangeiras; arrebataram a rota comercial entre o Oriente e o Ocidente, tal como antes.” [Huberman (1979), p.30]

Os registros históricos apontam, para este período europeu, um fato interessante: as vilas e as cidades cresceram tão rapidamente que, por volta do século XIV, em algumas regiões, metade da população havia sido deslocada para as atividades comerciais e artesanais. É neste contexto que surge o Liber abaci de Fibonacci, cujo “pai, natural de Pisa, tinha negócios no norte da África e o filho estudou com um professor muçulmano e viajou pelo Egito, Síria e Grécia.” Assim, não é de se estranhar que “Fibonacci conhecesse a fundo os métodos algébricos árabes”. [Boyer (1987), p. 185].

Este registro, sobre o Liber abaci e da inserção dos trabalhos árabes na Europa2 , considero relevante, pois é um passo importante para o processo de algebrização, com uma forma própria, juntando-se a geometria que esta se construindo no Ocidente. Nesta direção as idéias de Nicolau Oresme é um marco importante, bem como é relevante o pensamento de Thomas Bradwardine, conforme se mostrará.

Segundo Boyer (1987), Thomas Brawardine, 1290(?) – 1349, foi “um filósofo, teólogo e matemático que subiu à posição de Arcebispo de Canterbury” (p.191), e Nicole Oresme, 1323(?) – 1382, um “sábio parisiense que se tornou Bispo de Lisieux” (p.191).

“O espírito filosófico de toda a obra de Bradwardine aparece mais claramente na Geometria speculativa e no Tractatus de continuo, em que ele dizia que as grandezas contínuas, embora contendo um número infinito de indivisíveis, não são formados desses átomos matemáticos, mas são compostas de um número infinito de contínuos de mesma espécie. Diz-se, às vezes, que suas idéias se assemelham às dos modernos intuicionistas; seja como for, as especulações medievais sobre o continuum, populares entre os pensadores escolásticos como S. Tomás de Aquino, mais tarde influenciaram o infinito cantoriano do século dezenove.” [Boyer (1987), p.191]

Os registros alinhados até o momento traz razão, em linhas gerais, aos dizeres de

Hankel , citado anteriormente. Os matemáticos, de modo geral, constroem uma ciência sempre com o olho firme no passado. No entanto, há pontos que eles discordam, como se perceberá na obra de referência de Cavalieri – para citar um. Mas, antes de se chegar à Cavalieri é importante fazer referência à obra: O Tractatus de latitudinibus formarum, cujo registro deve-se a Nicole Oresme ou a algum estudante seu. Esta obra reimpressa pelo menos quatro vezes entre 1482 e 1515, constituía-se de um resumo da obra maior: Tractatus de figuratione potentiarum et mensurarum, segundo Boyer (1987, p.193).

“Aqui Oresme chegou a sugerir uma extensão a três dimensões de sua ‘latitude de formas’ em que uma função de duas variáveis independentes era representada como um volume formado de todas as ordenadas erigidas segundo uma regra, dada em pontos numa parte do

2 Gilli Martins em sua tese (UNESP-Rio Claro) aprofunda nesta questão.

plano de referência. Encontramos até uma insinuação de uma geometria de quatro dimensões quando Oresme fala em representar a intensidade de uma forma para cada ponto de um corpo ou volume de referência. O que ele realmente precisava ter era, naturalmente, uma geometria algébrica em vez da representação pictorial que tinha em mente; mas a fraqueza técnica prejudicou a Europa durante todo o período medieval.[Boyer (1987), p.193-4]

Três pontos a salientar dos dizeres acima: primeiro, o claro desenvolvimento de representações de curvas no plano (e no espaço) do que se passaria a chamar cartesiana; segundo, o quanto a escrita e o pensamento matemático vai se conduzindo para uma álgebra formalizada; terceiro, é curioso este pensamento de Boyer, prejudicou a Europa. É claro, que esta frase pode ser compreendida no sentido de que se alongou o caminho para a construção matemática que viria a se consolidar pelos idos da segunda metade do século XIX e início do século X. Mas, por outro lado pode-se entender que esta frase carrega também uma semântica da frustração pelo que não se fez, ao se julgar daqui, séculos X – XXI, que se esteve tão perto de fazê-lo.

A ‘latitude de formas’, acima mencionada vem da seguinte idéia de Oresme:

“Tudo é mensurável, escreveu Oresme, é imaginável na forma de quantidade contínua; por isso ele traçou um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com aceleração constante. Ao longo de uma reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de tempo (ou longitudes), e para cada instante ele traçou perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a velocidade (que chamamos ordenadas) preencherá um triângulo retângulo (ver fig. abaixo). Como a área desse triângulo representa a distância percorrida, Oresme forneceu assim uma verificação geométrica da regra de Merton, pois a velocidade no ponto médio do intervalo de tempo é a metade da velocidade final.” [Boyer (1987), p.192-3]

Oresme claramente antecipa a idéia, conforme já foi dito, a chamada representação cartesiana de curvas no plano, só fica lhe faltando a notação e as operações algébricas. Tem-se também um prelúdio de Integral aplicada a física, relacionando distância percorrida com área de uma região limitada por uma curva e o eixo horizontal, caminho para uma possível algebrização da geometria.

François Viète

O ponto de vista que será levantado aqui estará alicerçada no trabalho de Jacob

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