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Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, que defende a tese de que a Arithmetic de Diofanto (aprox. 250) esta por trás da influencia do desenvolvimento de uma teoria algébrica realizada na Europa Ocidental, passando pela matemática árabe, que se transferiu, através das obras escritas ou traduzidas pelos muçulmanos, para o continente europeu. E, segundo Jacob Klein, François Viète é autor de trabalhos que fazem estas conexões – no sentido de uma álgebra estruturada3 . Em sua obra Canon mathematicus, seu ad triangula, Viète trabalha na formulação de equações como tratada algebricamente pelos seus contemporâneos Cardano, Tartaglia, Nonius e Bombelli, por exemplo. Viète deve ter estudado a Arithmetic de Diofanto, tanto utilizando uma tradução da época como o original. Este estudo influenciou-o em sua álgebra simbólica, cujas características fundamentais estão esboçadas em In artem analyticen Isagoge (Introdução à arte analítica).

Viète havia recebido uma educação humanística nos moldes dos antigos pensadores gregos, mas isso não o impediu de procurar conciliar as novas idéias, daquilo que viria a ser a ciência moderna – que estava nascendo. Na matemática procurou conservar termos da terminologia dos antigos na medida do possível. Para ele, e para muitos do seu tempo, a inovação tratava-se de uma renovação.

Um comentário interessante feito por Viète, e transcrito por Jacob Klein é:

“There is in mathematics, Vieta says, a special procedure for discovery, ‘a certain way of investigating the truth’ (veritatis

3 Gilli Martins em sua tese (UNESP-Rio Claro) aprofunda e reorienta esta questão.

inquirendae via quaedam) which, so it is claimed, was first discovered by Plato. Theon of Alexandria gave this procedure the name of ‘analysis’ and defined it precisely, namely as a process beginning with ‘the assumption of what is sought as though it were granted, and by means of the consequences [proceeding to] a truth [which was in fact already] granted’ (adsumptio quaesiti tanquam concessi per consequentia ad verum concessum), just ‘as in converse’ (ut contra) he defined ‘synthesis’ as a process beginning with ‘the assumption of what is granted and by means of the consequences [proceeding to] the conclusion and comprehension of what is sought’ (adsumptio concessi per consequentia ad quaesiti finem et comprehensionem). [destaque em negrito meu] These definitions, which are here ascribed to Theon, also occur in Pappus in a modified and clarified form, namely at the beginning of his seventh book (Hultsch, I, P. 634, I f.). In a scholium to Euclid it is shown with reference to the first five theorems of the thirteenth book how the ‘synthesis’ results in each case from the preceding ‘anlysis’ by means of conversion (analysis and synthesis both proceeding ‘without drawing the figure’ - ανευ καταγραφηζ – Heiberg-Menge, Pp.

366,4; 368,16). And Pappus, who mentions the aforesaid procedure with reference to the so-called Treasury of Analysis

(αναλυοµενοζ τοποζ), emphatically stresses the relationship of

Assim, segundo Viète, é Teon de Alexandria (aprox. 390) quem alcunha o termo

Análise bem como define o que se deve compreender no emprego da mesma. É nesta trilha apontada que chegaremos a Weierstrass e Dedekind.

Viète desta forma cumpre, nesta dissertação, dois pontos relevantes: primeiro, vai formalizar através de algumas obras gregas, representados pelo menos por Diofanto, Pappus e Euclides, uma estruturação e uma simbologia algébrica (que será burilada e sofisticada pelos séculos vindouros); segundo, traz uma definição, de Teon de Alexandria, do que á a análise (aquela que se inicia com uma suposição do que é procurado, na forma que o mesmo fora concebido, e por meio de encadeamentos lógicos chega-se a uma verdade, (então já admitida); e do que é a síntese (a conclusão e a compreensão do que se procurava).

Esta será a busca perseverada por matemáticos como Bolzano, Cauchy, Weierstrass e Dedekind, entre outros. Sendo assim, a Análise Matemática se faz herdeira de um método grego (Grécia antiga) de se desenvolver teorias matemáticas. Aqui fazem eco os dizeres de Hankel, com as observações que fiz anteriormente.

Bonaventura Cavalieri

Este discípulo de Galileo Galilei, escreveu as obras: Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Bolonha, 1635), e Exercitationes geometricae sex (Bolonha, 1647). Antes de Cavalieri (1598 – 1647), Johannes Kepler (1571 – 1630) e Galileo Galilei (1564 – 1642) foram os primeiros a empregar os indivisíveis (quantidades infinitamente pequenas – que terá longa história) em seus métodos de desenvolvimento de cálculo de áreas e de volumes, em substituição ao método, trabalhoso, introduzido por Arquimedes. Os indivisíveis, aceito por alguns e contestado por outros – por carecer da mencionada análise, definida por Teon de Alexandria –, muito empregados por Cavalieri fez grandes influências pela Europa, conforme diz Baron (1985):

“Mesmo os que criticavam admitiam o uso [grifo meu] dos métodos de Cavalieri particularmente. Os dois livros de Cavalieri tornaram-se imediatamente fontes indispensáveis para os métodos de integração e o seu nome será sempre lembrado em relação aos ‘indivisíveis’ na matemática.” [Baron (1985), I, p.12]

Recorrerei a Howard Eves (1997) para obter uma descrição das idéias de Bonaventura Cavalieri:

“O tratado de Cavalieri é demasiado prolixo e pouco claro, sendo difícil até descobrir o que ele entendia por ‘indivisíveis’. Tudo indica que um indivisível de uma porção plana dada é uma corda dessa porção e um indivisível de um sólido dado é uma secção desse sólido. Considera-se que uma porção plana seja formada de uma infinidade [grifo meu] de cordas paralelas e que um sólido seja formado de uma infinidade de secções planas paralelas. Então, argumentava Cavalieri, fazendo-se deslizar cada um dos elementos [grifo meu] do conjunto das cordas paralelas de uma porção plana dada ao longo de seu próprio eixo, de modo que as extremidades das cordas ainda descrevam um contorno contínuo, a área da nova porção plana é igual à da original, uma vez que ambas são formadas das mesmas cordas. Um procedimento análogo com os elementos do conjunto das secções planas paralelas de um sólido dado fornecerá um outro sólido com o mesmo volume do original. [...] Estes resultados, ligeiramente generalizados, fornecem os chamados princípios de Cavalieri: 1. Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralelas a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante. 2. Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Os princípios de Cavalieri representam ferramentas poderosas para o cálculo de áreas e volumes, ademais, sua base intuitiva [grifo meu] pode facilmente tornar-se rigorosa com o cálculo integral moderno.” [Eves (1997), p.425-6]

Os grifos, acima anotados, marcam alguns pontos que serão temas de longos debates que virão, entre os matemáticos desta época, século XVI, até século X, com o trabalho, de Abraham Robinson (1918 – 1974), Non-Standard Analysis (1966), que recupera, em bases modernas de fundamentação, a noção de infinitésimos.

No desenvolvimento de Cavalieri é claro o apelo a intuição geométrica.

A título de exemplo, segue uma proposição de Cavalieri:

“PROPOSIÇÃO 23. Em qualquer paralelogramo tal como BD com base CD, tracemos uma paralela arbitrária EF a CD e a diagonal AC, interceptando EF em G. Então (): ou :DAAFCDEFFG=. AC é a primeira diagonal. Depois seja H o ponto sobre EF tal que

2::DAAFEFFH=, e assim em todas as paralelas a CD, de tal forma que todas as retas como esta, HF, terminem numa curva CHA. Do mesmo modo construímos uma curva CIA, onde

3::DAAFEFFI=, uma curva CLA tal que 4::DAAFEFFL=, etc. CHA é a segunda diagonal, CIA é a terceira, CLA é a quarta, etc. e do mesmo modo AGCD é a primeira diagonal espacial do paralelogramo BD, a figura AHCD é a segunda, AICD é a terceira, ALCD é a quarta, etc. Então eu digo que o paralelogramo BD é duas vezes o primeiro, três vezes o segundo, quatro vezes o terceiro, cinco vez o quarto espaço, etc.” [Baron (1985),I,p.14]

Não se sabe como Cavalieri obteve estes resultados. Supõe-se que ele tenha empregado muita inventividade e algum conhecimento de expansão binomial em potências inteiras, que será bastante empregada por outros matemáticos.

Em nossa notação, o que Cavalieri fez foi:

1) De DA EF

AF FG =, que conforme a figura, considerando a medida anotada no segmento EF como ordenada e CE como abscissa, podemos escrever: b a x y =, o que nos leva a ayxb =, no primeiro caso;

FHAF =, tem-se: 22ayxb

=, no segundo caso;

FIAF =, tem-se: 33ayxb

=, no terceiro caso.

Integrando estas funções, supondo reais, de zero até b, obtemos:

a abAGCD xdxb ==∫, (BD é duas vezes o primeiro – AGCD);

a abAHCD x dxb ==∫, (BD é três vezes o primeiro – AHCD).

a abAICD x dxb ==∫, (BD é três vezes o primeiro – AICD).

Ao que se sabe hoje, resultado correto.

René Descartes e Pierre de Fermat

René Descartes (1596 – 1650) conhecia e estava familiarizado aos indivisíveis de

Cavalieri, mas procurou evitá-los em seu trabalho. Descartes considerava a álgebra um instrumento de precisão e o método dos indivisíveis uma aproximação em matemática.

A partir deste ponto será introduzido o conceito de reta tangente num ponto de uma dada curva. Segundo Eves (1997, p.428-9), a diferenciação se originou, da resolução do problema da determinação da reta tangente, tendo como foco a determinação de mínimos e de máximos de funções, com Fermat em 1629; salientando (ele Eves) que este tipo de problema já havia sido abordado pelos gregos.

Apesar da indicação de Fermat por Eves, iniciarei a exposição da reta tangente pelo trabalho de Descartes, deixando Fermat, e o seu método para se determinar o mínimo ou o máximo de uma dada função, para a próxima descrição.

Para evitar um longo texto apresentado por Descartes, para em seguida apresentar uma versão em notação mais recente, vou transcrever a leitura apresentada por Baron, depois da exposição geral dada por Descartes em La Geometrie (1705).

Descartes, diz:

“Seja CE uma certa curva e de C tracemos uma reta fazendo um ângulo reto com CE. Suponhamos que este problema esteja resolvido e denominemos a reta por CP. Suponhamos também que a reta CP intercepte a reta GA cujos pontos serão relacionados com os de CE.

Então, seja MA[=CB] =y; e CM[=BA] = x. Devemos encontrar uma equação relacionando x a y. Faço PCs=, PAv=, logo PMvy=−.

Como PMC é uma triângulo retângulo, vemos que 2s, o quadrado da hipotenusa, é igual a 2222xvvyy+−+, a soma dos quadrados dos catetos. Isto significa que 2222xsvvyy=−+− ou 2 2y v s x= + −

. Por meio destas duas últimas equações, posso eliminar uma das duas quantidades x e y da equação que relaciona os pontos da curva CE e os da reta GA. Se queremos eliminar x não há problema, pois podemos trocá-lo, onde aparece, por 2222svvyy−+−, 2x pelo quadrado desta expressão, 3x por seu cubo, etc. Se quisermos eliminar y, basta

22vsx+−, e 2y, 3y,, pelo quadrado,

trocá-lo, onde aparece, por cubo, etc., desta expressão. O resultado será uma equação com apenas uma quantidade desconhecida, x ou y. ” [Baron (1985), I, p.3]

Considerando a figura:

“[...] tomemos a parábola 2xky=, onde AMy=, CMx=. Segundo

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