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Descartes, temos: ()222xkysvy==−− de tal modo que (eliminando x) obtemos uma equação em y que pode ser escrita na forma:

Em geral esta equação tem duas raízes distintas, isto é, existem dois valores de y para s escolhido arbitrariamente. Se CP é a normal, então o círculo, centrado em P, toca a curva em C, logo a equação tem duas raízes iguais. Comparando nossa equação com: 2 2 0y ye e− + =

Note que, considerando ()xfy= e 2xky=(1), e derivando em y, obtêm-se:

x x

=(2). Isolando k em (1) e substituindo em (2), tem-se: , x AM x tg y FM α=== (Seja α a medida do ângulo CFM). De onde segue que 2FMy=,

conforme apontado por Descartes.

Agora Pierre de Fermat (1601(?) uma função dada pelo método

“SOBRE UM MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DE MÁXIMO E MÍNIMO Dividir o segmento AC em E, de tal modo que o retângulo possa ser máximo.

Seja a reta possa ser um máximo Seja AC o retângulo, cujo máximo procuramos, será

AE+ formado pelos segmentos será consid termos comuns:

Desprezando dividir a reta ao meio: é impossível existir um método mais geral.”

Fermat (o qual obtivemos de Diofanto), como “aproximadamente igual” (usando representar constantes e variáveis, ao mesmo tempo. p.36]

Fermat empregou o mesmo método para determinar a tangente à curva. Ou seja, num dado momento desprezava alguma grandeza sem exp seguintes dizeres:

“O método nunca falha: ele pode ser estendido a vários problemas; temos usado também para determinar centros de gravidade de figuras limitadas por retas e curvas assim como de sólidos. Ele une vários outros res [Baron (1985), I, p.37]

Agora Pierre de Fermat (1601(?) – 1665) com a questão de máximo e mínimo de pelo método da tangente:

OBRE UM MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DE MÁXIMO E MÍNIMO. Dividir o segmento AC em E, de tal modo que o retângulo possa ser máximo.

Seja a reta AC dividida em E, de tal modo que o retângulo possa ser um máximo AC igual a B e um dos segmentos igual a A: o outro será o retângulo, cujo máximo procuramos, será BAAq

AE a primeira parte de B, o resto será BAE−− formado pelos segmentos será BAAqBEAEEq−+−− consideraremos ser aproximadamente igual a BAAq termos comuns: ~2BEAEEq+ e dividindo por E,

Desprezando E, B é igual a 2A. Para resolver o problema devemos dividir a reta ao meio: é impossível existir um método mais geral.”

Obs.: 1) 2 significa AqA, 2) Traduzimos o termo

Fermat (o qual obtivemos de Diofanto), como “aproximadamente igual” (usando o símbolo ~), 3) Fermat usou letras maiúsculas para representar constantes e variáveis, ao mesmo tempo.

Fermat empregou o mesmo método para determinar a tangente à curva. Ou seja, num dado momento desprezava alguma grandeza sem explicações, e encerra com

“O método nunca falha: ele pode ser estendido a vários problemas; temos usado também para determinar centros de gravidade de figuras limitadas por retas e curvas assim como de sólidos. Ele une vários outros resultados que podemos descrever adiante se o tempo permitir.” [Baron (1985), I, p.37]

1665) com a questão de máximo e mínimo de

OBRE UM MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DE MÁXIMO E Dividir o segmento AC em E, de tal modo que o retângulo AEEC⋅

, de tal modo que o retângulo AEEC⋅

: o outro será BA−, e BAAq−. Agora seja

BAE−− e o retângulo 2BAAqBEAEEq−+−−, que

BAAq−. Removendo

. Para resolver o problema devemos dividir a reta ao meio: é impossível existir um método mais geral.”

, 2) Traduzimos o termo adaequabitur, de

Fermat (o qual obtivemos de Diofanto), como “aproximadamente o símbolo ~), 3) Fermat usou letras maiúsculas para representar constantes e variáveis, ao mesmo tempo. [Baron (1985), I,

Fermat empregou o mesmo método para determinar a tangente à curva. Ou seja, licações, e encerra com os

“O método nunca falha: ele pode ser estendido a vários problemas; temos usado também para determinar centros de gravidade de figuras limitadas por retas e curvas assim como de sólidos. Ele une vários ultados que podemos descrever adiante se o tempo permitir.”

A maneira, de Fermat, de encerrar algum comentário, ao que parece, costuma dar trabalho por alguns séculos.

Fermat também apresentou trabalhos sobre quadraturas. Desenvolverei, em notação atual, a idéia de Fermat sobre a determinação da área sob curvas dadas por funções reais dadas por lei do tipo: nyx= (n inteiro positivo), segundo apresentação feita por Eli Maor em seu livro: e: A História de um Número.

“Fermat fez a aproximação da área sob cada curva através de uma série de retângulos cujas bases formam uma progressão geométrica decrescente. Isto sem dúvida, é muito semelhante ao método da exaustão de Arquimedes; mas ao contrário de seu predecessor, Fermat não evitou recorrer a uma série inifinita.” [Maor (2003), p. 89]

Consideremos no eixo horizontal o segmento ON como sendo de medida a, e vamos dividí-lo em segmentos menores de modo que OMar=, 2OLar=, 3OKar= e assim ad infinitum (notar que 01r<<). Assim, as alturas (ordenadas) em cada ponto são:

ar, ad infinitum. Seja rS a soma das áreas dos retângulos para um dado r, então:

nnnnnnnrSaaraararararararararar=−+−+−+−+ ou

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 3 31 1 1 1

n n n n n n nrS a r a r r a r r a r r

( ) ( ) ( ) ( )2 31 1 1 1 1 11 1

n n n n n r n S a r r r r a r

, ou seja:

a r S

n n

forma:

2 31

r n aS r r r r

= + + + + + . O próximo passo foi considerar r adaequabitur 1, o que, pode-se supor, levou Fermat a substituir o denominador por 1n+, concluindo que:

11nr aS n

= + . O que está em concordância com o que hoje se sabe ser:

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