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n aS x dx n

O emprego de séries com infinitos termos para quadratura vai se tornar uma rotina nos trabalhos de vários matemáticos deste período. Bolzano e Cauchy vão se manifestar contra o emprego indiscriminado de séries infinitas e fixarão um critério conforme se verá.

Cilles Persone de Roberval

Roberval (1602 – 1675), matemático francês, reforça a idéia de uma curva como sendo formada pelo movimento de um ponto, no plano, que se compõe de dois movimentos conhecidos, cuja resultante dos vetores dos dois movimentos fornece a reta tangente a curva no ponto.

Quanto a quadratura, em seu Traité des indivisibles, Roberval trabalhou com os conceitos de indivisíveis, empregado por Cavalieri, se relacionando com o conceito de infinitesimais, ao modo de Fermat.

“[...] El indivisible procede de uma subdivisión continua de uma superficie que se puede ir estrechando hasta el infinito em pequeñas superfícies. [...] Uma superfície no está compuesta realmente de líneas, o um sólido compuesto de superfícies, sino constituido de pequeñas piezas de superficies y sólidos respectivamente, pero estas infinitas cosas son consideradas como si fueran indivisibles. [...] No se comparan heterogéneos, sino que los infinitos o indivisibles se conciben así: una línea etá compuesta de líneas pequeñas, infinitas en número, pero se hablará del infinito número de puntos, de forma análoga a como el infinito números de líneas de una superficie representará el ininito número de pequeñas superfícies que llenan la superficie entera. [...]” [Urbaneja (1992), p.121-2]

Aquí, estarei interessado na quadratura desenvolvida por Roberval, que trabalhou com subdivisões recorrerndo ao cálculo aritméticos envolvendo séries. Destaco o emprego de suas idéias na determinação do cálculo da área sob uma parábola, nas palavras de Urbaneja – que a transcreve numa notação atual.

“[...] sea ABC um segmento de una parábola cuyo vértice es A y cuyo eje es AB. Roberval divide la tangente AD en un número infinito de partes iguales: AE, EF; traza las líneas EL, FM, ..., paralelas a AB por

, [...] donde ‘todas las lineas’ significa la suma de

Urbaneja recorre a notação de função, para desenvolver o pensamento de Roberval, da seguinte maneira:

Considerando as figuras planas F1 e F2 como tendo uma base AD, limtadas pelos gráficos de duas funções bem como pelas linhas AB e DC, conforme figura que segue.

Assim, Roberval determina a razão 12:F da seguinte forma:

: lim n i

ADf i n AD n

ADf i n AD n

Na quadratura da parábola F1 é um segmento da mesma e F2 é um retângulo. Sendo assim:

i n n n n n n

Para calcular este limite Roberval faz apelo à intuição geométrica, considerando que para um n suficientemente grande a soma ()()21216nn+ é desprezível se comparado com n3 , o que leva a 1

,logo:

3 3 F F F ==. Em outras palavras, 113

Seja ()21fxx=, integrando de zero a a:

aFxdx==∫, logo

Os resultados obtidos por matemáticos da época de Roberval são interessantíssimos, dado que o advento da notação algébrica e de sua manipulação é, então, extremamente recente. E neste ponto, há de se ressalvar que todos os trabalhos deste período – até, pelo menos, ao de Euler (1707 – 1783)–, com todas estas “especulações” ao se tratar dos indivisíveis ou dos infinitesimais – dada a ausência do rigor, do ponto de vista da análise–, em muito se contribuiu para o avanço das fundamentações da Análise. Contrabalanceandose ao enfoque veemente, que muitas vezes se dá, no sentido dos erros cometidos. Pois, com muitos resultados, que hoje se sabe corretos, matemáticos foram forçados a pensar em como a chamada intuição geométrica, fortemente associado a idéias e pensamentos que se culminariam na chamada aritmetização da Análise, possibilitou tal fato. É neste período, de Viète e Roberval, que se associa formas e ferramentas de pensamento dos gregos antigos com a nova álgebra que esta surgindo com fortes vínculos aritméticos (ainda não totalmente formalizados). O emprego das séries vai cada vez mais fortalecer a fundamentação que se virá. Neste tocante vale salientar os dizeres de Roberval por Urbaneja:

“Pero Roberval tambiém maneja intuitivamente un límite de magnitudes geométricas, pues maneja lo que llama un método para reducir las demonstraciones por los indivisibles a los antiguos geómetras, mediante polígonos inscritos y circunscritos, reconciliando así ambos métodos a base de utilizar un lema general que enuncia así:

‘Si tenemos una razón R/S y dos cantidades A y B, tales que para una cantidad añadida a A la suma tiene con B una razón mayor que R/S y para una pequeña cantidad sustraída a A la diferencia tiene con B una razón menor que R/S; entonces digo que A/B = R/S.’ [grifo meu] Mediante la aplicación de este lema, Roberval resuelve nuevamente la cuadratura de la parábola, a base de encajarla en dos series de pequeños rectángulos, unos interiores y otros exteriores, siendo la diferencia entre las dos series inferior a una cantidad dada Z, lo cual es siempre posible dividiendo el lado AD en partes suficientemente pequeñas. La consideración de los diversos pequeños rectángulos muestra, según el lema general, que el área limitada por la parábola es la del rectángulo circunscrito como 1 es a 3.” [Urbaneja (1992), p.128-9]

O destaque que fiz acima é para frisar a semelhança de tal lema com o método desenvolvido por Arquimedes, bem como perceber o quanto as idéias se direcionam para uma definição de limite.

John Wallis e James Gregory

O que segue, foi obtido de Boyer (1987): Wallis (1616 – 1703), um respeitável matemático inglês que antecede Newton, deu importante contribuição à análise infinitesimal. No cálculo da área sob o semicírculo 2yxx=−, Wallis, pode-se dizer, antecipou um resultado que seria desenvolvido por Euler mais adiante. Quanto ao cálculo da área do semicírculo ele chegou ao resultado 8pi. Empregando o método de indução e de interpolação4 , Wallis, chegou as expressões interessantes, como a que se escreveria hoje como sendo ( )1 2 pi =, ou seja 1 pi =. Este é

uma situação particular da função beta de Euler –()()1 1

, 1 nmB m n x x dx

4 Isaac Newton recorrerá a estes expedientes.

É assaz curioso o que Thomas Hobbes (1588 – 1679), registra, segundo Boyer, sobre a “aritmetização da geometria de Wallis, reprovando fortemente a ‘todo o rebanho daqueles que aplicam sua álgebra à geometria’, e referindo-se à Arithmetica infinitorum como ‘uma sarna de símbolos’.” [Boyer (1987), p.282].

Com relação Gregory (1638 – 1675), seguirei o que diz Baron: Matemático de origem escocesa que estudou na Itália, convivendo com o método dos indivisíveis. Em sua obra Vera circuli et hyperbolae quadratura ele procurou generalizar a aplicação do método de exaustão de Arquimedes, no qual uma quantidade procurada se inseria entre duas seqüências de figuras, inscritas I e circunscrita C, de modo que as áreas formadas por

estas possibilitam as desigualdades: 123321nnIIIILCCCC<<<<<<<<<<.

Imbuído da mentalidade clássica, Gregory traçou o que seria o início de uma teoria da convergência para as referidas seqüências5 . Ele tentou definir o que hoje se escreve como:

( ) ( )lim limn n n n

“Com base nestas idéias ele tentou provar a impossibilidade de, racionalmente ou algebricamente, ‘quadrar’ o círculo, a elipse e a hipérbole (isto é, expressar o que hoje conhecemos como o número racional pi, ou obtê-lo por operações algébricas). Embora sua demonstração estivesse incorreta, ele foi o primeiro a tentar demonstrar uma proposição deste gênero.” [Baron (1985), I, p.43].

É importante registrar que Gregory antecipou, os resultados obtidos por Brook Taylor (1685 – 1731) e Jean Bernoulli (1667 – 1748), nas séries, ditas de Taylor:

2

x dy x d yydx yx

Já em sua obra Geometriae pars universalis, Gregory elabora um tratado, todo verbal e geométrico, sistemático, cujas demonstrações são alicerçadas nas idéias de Arquimedes, com todas as operações para se determinar arco, tangente, área e volume, próprias de cálculo infinitesimal de seu tempo.

“Não existe nenhuma dúvida de que Gregory tinha clara compreensão da relação inversa entre tangente e quadratura. Na proposição VI ele passa diretamente da quadratura de uma curva à construção da

5 Um prenúncio do que viria fazer Cauchy.

tangente de uma outra curva (isto é, 0 kuzdx=∫ kdudxz⇒=.

Podemos considerá-la como a primeira afirmação publicada, em forma geométrica [grifo meu], do que agora conhecemos como o teorema fundamental do cálculo. Se Gregory o considerou como ‘fundamental’ é uma outra questão!” [Baron (1985), I, p.4]

Baron, destaca que Isaac Barrow (1630 – 1677), em seu Lectiones geometricae desenvolveu idéias bastante próximas a de Gregory, que só percebeu após já ter escrito a sua própria obra. Esta observação é relevante dado que Isaac Newton será orientado por Barrow em seus estudos de matemática.

Isaac Newton

Newton (1642 – 1727) teve a peculiaridade de publicar seus trabalhos tempos depois de tê-los idealizados, o que lhe rendeu uma controvérsia com relação a primazia da descoberta/invenção do cálculo integral e diferencial, a numa certa medida foi ou é atribuída a Leibniz, que publicou suas idéias antes de Sir. Newton.

Apresentarei primeiro as idéias de Newton, segundo exposição encontrada em Baron, I.

Segue alguns trechos da carta (de 24 de outubro de 1676) que Oldenburg (secretário da Sociedade Real de Londres) enviou a Leibniz, reproduzindo a história escrita pelo próprio Newton.

“Ao iniciar meus estudos matemáticos, tendo já conhecimento dos trabalhos do nosso célebre Wallis sobre a série por intercalação, cuja área do círculo e da hipérbole ele próprio enuncia, considerei o fato de que, na série de curvas cujo eixo ou base comum é x e cujas ordenadas

()5221x−, etc. se as áreas dos fatores intercalados, nominalmente x,

3 5 7 x−+−, etc., pudessem ser interpolados, deveríamos obter as áreas dos fatores intermediários das quais o primeiro ()21x− é o círculo: de modo a interpolar essa série, notei que em todas elas o primeiro termo era x e que os segundos termos 30

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