(Parte 7 de 9)

3 x, etc. estavam numa progressão

Deste ponto Newton começa a desenvolver sua interpolação comparando os coeficientes. E mais adiante, na mesma carta, continua:

“[...] isto significa que os coeficientes dos termos da quantidade a ser

surgem pela multiplicação repetida dos termos dessa série m m m − − − ×, etc., tal que (por exemplo)

Assim, a redução geral de radicais a séries infinitas, através da regra que expus no começo da minha carta anterior, chegou ao meu conhecimento antes que eu tivesse estado familiarizado com a extração de raízes. Mas uma vez conhecido isso, o outro não podia ficar oculto de mim por muito tempo.”[Baron (1985), I, p.15]

Após mais alguns esclarecimento sobre o seu processo de descoberta, ele conclui:

“Depois de ter esclarecido isso, abandonei totalmente a interpolação de séries e usava somente essas operações, pois davam fundamentações mais naturais. Tampouco existia um segredo qualquer acerca da redução pela divisão que, em todo caso, é um assunto mais fácil.” [Baron (1985), I, p.15]

Em posse das séries infinitas Newton pode calcular a área sob uma curva (dada por expressões que envolviam raízes), integrando termo a termo. Da mesma forma ele executava a retificação da mesma. Nota-se que ele não trabalha a questão da convergência das séries. Mas, é de se supor que ele tinha conhecimento do trabalho feito por Gregory, considerando que recebera orientações de estudo de Barrow, bem como este havia deixado a disposição de Newton sua biblioteca. Então Newton começa a quadrar curvas, como segue, do livro De Analysi:

“Retrospectivamente dois pontos antes de todos os outros precisam de uma demonstração.

Preparação para demonstrar a primeira regra.

1. A quadratura de curvas simples segundo a regra 1. Seja então ADδ uma curva qualquer que tem a base ABx=, a ordenada perpendicular BDy=, como antes. Simultaneamente seja Boβ=, BKv= e seja o retângulo ()BHKovβ igual ao epaço BDβδ. Portanto, Axoβ=+ e

Azovδβ=+. Com essas premissas procuro 1y a partir de um relacionamento arbitrário entre x e z da seguinte maneira.

9 xz=. Então, se ()xoAβ+ for substituído em lugar de x e ()zovAδβ+ em lugar de z surgirá (pela natureza da

Eliminando-se as quantidades (34 9 x e 2z) e dividindo-se o resto por o sobra ()2232243329 xoxoozovov++=+. Se supusermos que Bβ é infinitamente pequeno, quer dizer, que o seja zero, v e y serão iguais e os termos multiplicados por o desaparecerão e conseqüentemente restará xzyxy==, quer dizer,

()12232xxxy==. Reciprocamente, portanto, se 12xy=, teremos

Demonstração:

Ou em geral, se ()()mnn nmnaxz++= , quer dizer, ao colocar pncxz= ou npncxz=, então, se

xo+ for substituído em lugar de x e (ou equivalentemente, zoy+)

em lugar de z, surgirá ()1 n p p n nc x pox z noyz− −+ = + , omitindo- se os outros termos, os quais foram desprezados, para sermos exatos.

Agora, eliminando-se os termos iguais npcx e nz e dividindo-se o resto por o, vai sobrar ()11npnnnppncpxnyznyzznycxcx−− ===.

Quer dizer, ao dividir por npcx, obtemos 1 p npx ny cx− = ou ; em outras palavras, pela restauração de ()namn+ para c e ()mn+ para p, quer dizer, m para pn− e na para pc, teremos m n axy=.

Reciprocamente, portanto, se m n axy=, então

( ) ( )m n n nmnaxz++= . Como queríamos demonstrar.

O descobrimento de curvas que podem ser quadradas. De passagem podemos mencionar aqui um método pelo qual podem ser encontradas tantas curvas de áreas conhecidas quantas quisermos: a saber, assumindo-se uma equação arbitrária para o relacionamento da área z, podemos procurar conseqüentemente a ordenada y [grifo meu].

Assim, se supusermos 2 2a x z + =

, podemos determinar

2 2x a x y + = . E semelhantemente em outros casos.

Eis, assinalado, no final deste trecho, uma indicação para o teorema fundamental do cálculo.

Acima tem-se uma exposição de Newton sobre as séries finitas e em seguida uma sobre quadratura. Agora um registro sobre os fluxões e os fluentes, já empregando uma notação específica.

“Falta agora, como uma ilustração dessa arte analítica, explicitar alguns problemas típicos e tão especiais como a natureza de curvas que o representam. Mas sobretudo eu observaria que as dificuldades dessa espécie podem ser todas reduzidas a somente dois problemas que proporei com vista ao espaço percorrido por qualquer movimento local acelerado ou retardado:

1 Dado o comprimento do espaço percorrido continuamente [grifo meu] (quer dizer, em cada [instante do] tempo), ache a velocidade do movimento num instante qualquer.

2 Dada continuamente a velocidade do movimento, ache o comprimento do espaço percorrido num instante qualquer.

Assim, na equação 2xy= se y significa o comprimento do espaço percorrido num instante qualquer que é medido e representado por um segundo x, que cresce com velocidade uniforme, então, 2xx& designará a descrição da velocidade pela qual o espaço no mesmo momento de tempo está sendo percorrido. E, portanto, considerarei em seguida as quantidades como se fossem geradas por um aumento contínuo do espaço no qual um objeto se move descrevendo sua trajetória.

Não podemos ter, porém, uma estimativa do tempo, exceto no sentido de ser exposto e medido por um movimento local uniforme. Além disso, somente quantidades da mesma espécie e, do mesmo modo, as suas taxas de crescimento e decrescimento podem ser comparadas entre si. É por essas razões que no que se segue não considerarei o tempo como tal. Portanto, de uma das quantidades apresentadas que são da mesma espécie, suporei que elas aumentam num fluxo uniforme: a ela, e a todas as outras, podemos nos referir como se fossem o tempo. Assim, a palavra ‘tempo’ não deve ser transferida erradamente a ela por simples analogia. Desta forma, se você encontrar em seguida a palavra ‘tempo’ (como a tenho tratado no meu texto a fim de obter mais clareza e distinção) esse nome não deve ser entendido como tempo formalmente considerado, mas como sendo aquela outra quantidade cujo aumento ou fluxo uniforme interpreta e mede o tempo.

Mas, para distinguir as quantidades que considero perceptíveis, porém indefinidamente crescente, das outras que em todo caso devem ser consideradas como conhecidas e determinadas e que são designadas pelas letras iniciais a, b, c, etc., chamarei as primeiras de fluentes e designá-las-ei pelas letras finais v, x, y e z. As velocidades com as quais elas fluem e que aumentam pelo movimento gerador (que eu chamaria mais adequadamente de fluxões ou simplesmente de velocidades) designarei pelas letras v&, x&, y& e z&: a saber para a velocidade da quantidade v colocarei v& e para as velocidades das outras quantidades colocarei x&, y& e z&, respectivamente.[Baron

Aqui, Newton esclarece, no primeiro ponto, a questão da velocidade instantânea (derivada) e no segundo, a questão da quadratura (integração), e relacionando estas com seus fluxões e fluentes. Nota-se o trabalho se encaminhando, como no texto anterior, para o teorema fundamental do cálculo ao estreitar as distâncias entre os tipos de problemas. Neste trabalho de Newton, percebe-se, o que se costuma dizer, como o Cálculo Diferencial e Integral se originou no conceito de movimento. Bem que a idéia de movimento de pontos, segmentos de retas e até de região plana antecede a Newton, claro é que a fundamentação rigorosa destes modos de se fazer matemática ainda não estava a contento, ou pode-se dizer, quase não existia.

Neste caso, está se considerando que o Cálculo Diferencial e Integral foi criado por

Newton (ou por Leibniz, conforme citaremos mais adiante). Isto é razoável, caso o ponto de partida para tal análise seja associar a criação do Cálculo no momento em que se dá existência ao Teorema Fundamental do Cálculo. Assim, definindo-se a discussão sobre quem criou o Cálculo, fica restrito, até onde se sabe, entre Newton e Leibniz e quiçá podese incluir neste pequeno rol o nome de James Gregory, conforme descrito acima. No caso de Gregory, Baron realça que o seu desenvolvimento fora na forma geométrica, e levanta , de certa maneira, dúvidas se ele considerava tal relação como fundamental. Ainda em se levando tais questões em conta, conceitualmente Gregory trabalhou no sentido que hoje compreendemos o Teorema Fundamental do Cálculo. E, ainda no quesito publicar, ele antecede Newton e Leibniz. O que diferencia estes dois últimos do primeiro é a notação algébrica empregada, que acabou por se mostrar, contrário do que afirmou Hobbes, útil ao desenvolvimento matemático, abrindo novas fronteiras para se pensar a matemática, sem abandono da geometria dos antigos, conforme fica claro ao lermos os trabalhos e as preocupações dos pensadores matemáticos ou não da idade média na Europa. Nesta observação pode-se querer fazer coro com Hankel.

Ainda, tendo em vista os grifos deixados na passagem acima, é forte o apego geométrico-intuitivo, que origina a concepção de continuidade empregada por Newton e que será foco de discussões acaloradas por matemáticos do século XIX, principalmente, em particular por Dedekind. O que corroborará para a aritmetização da Análise Matemática. Aliás, o nome Analysi já empregado por Newton em seu trabalho.

Continuando com Newton, por Baron, em seu De Quadratura Curvarum (publicada em 1711):

Os movimentos das quantidades fluentes (quer dizer, as suas partes infinitamente pequenas, pela adição das quais elas aumentam durante um período qualquer de tempo infinitamente pequeno) estão relacionados com as suas velocidades de fluxo. Por essa razão, se o momento de cada uma e em particular se x for expresso pelo produto da sua velocidade x& por uma

momentos das outras v, y, z,, serão expressos por vo&, yo&, zo&, ... o que

quantidade o que é infinitamente pequena (quer dizer, por xo&) então os mostra que vo&, xo&, yo&e zo&estão relacionados como v&, x&, y& e z&.

Agora, como os momentos (digamos xo& e yo&) das quantidades fluentes

(digamos x e y) são os incrementos infinitamente pequenos [grifo meu], pelos quais aquelas quantidades aumentam durante cada intervalo de tempo infinitamente pequeno, segue que aquelas quantidades x e y, depois de qualquer intervalo infinitamente pequeno, tornar-se-ão xxo+& e yyo+&.

Conseqüentemente, uma expressão que expressar uma relação uniforme entre as quantidades fluentes em todos os instantes expressará aquela relação uniforme entre xxo+& e yyo+& da mesma maneira como entre x e y.

Portanto, xxo+& e yyo+& podem ser distribuídos pelas últimas quantidades x e y na equação considerada. Dada a equação 3230xaxaxyy−+−=, substitua xxo+& em lugar de x e yyo+& no lugar de y: surgirá

Agora, pela hipótese 3230xaxaxyy−+−= quando esses termos forem cancelados e o resto dividido por o, restará

Supondo-se o infinitamente pequeno, a fim de expressar os momentos das quantidades, os termos que contêm o como fator podem ser desprezados

[grifo meu]. Portanto, restará 223230xxaxxaxyayxyy−++−=&&&&&, como no exemplo acima. Deve-se observar que os termos não multiplicados por o em mais de uma dimensão. Da mesma forma, os termos restantes depois da divisão por o sempre aceitarão a forma que devem ter de acordo com esta regra. É isso que queria mostrar,” [Baron (1985), I, p.28-9]

É de se notar que o uso dos infinitésimos continua presente na obra de Newton, e estes suscitarão investigações, nos próximos séculos, com relação ao conceito de limite e de continuidade. Pois, funções de comportamentos, como se diz, patológicos serão inventadas para por em cheque determinadas afirmações no tocante a continuidade e de diferenciação, esta associada ao conceito de limite , e não passará ilesa a própria definição de função, tão correntemente citada neste trabalho, ao procurar aproximar as idéias dos matemáticos aqui referidos com a matemática do nosso tempo. Estas questões, função, continuidade e limite, serão abordadas mais adiante deste trabalho.

(Parte 7 de 9)

Comentários