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Mas, Newton, percebendo que os ditos infinitamente pequenos ainda deixavam margens para críticas, procurou se reorientar conceitualmente. Segue trecho do Livro I (Lema I) presente no Principia (1687):

“As quantidades e as razões das quantidades, que em qualquer tempo finito convergem continuamente para a igualdade, e antes do fim daquele tempo aproximam-se mais uma da outra do que por qualquer diferença dada, tornando-se finalmente iguais.

Se você negá-lo, suponha-as como finalmente desiguais, e tome D como sendo a última diferença. Portanto, elas não podem se aproximar mais da igualdade do que por essa diferença dada D; o que contraria a suposição. [“Newton (1990), p.35]

Indo ao Tractatus de Quadratura Curvarum (1704), encontra-se Newton explicando o seu método das fluxões em termos das famosas primeiras e das últimas razões.

Não considerarei aqui as quantidades matemáticas como sendo compostas de partes extremamente pequenas, mas como sendo geradas por um movimento contínuo. Linhas são descritas, e ao descrevê-las são geradas. Não por um alinhamento de partes, mas por um movimento contínuo de pontos. As superfícies são geradas pelo movimento de linhas, os sólidos pelo movimento de superfícies, os ângulos pela rotação dos seus lados, o tempo por um fluxo contínuo, etc. Essa gênese está baseada na natureza e pode ser vista dia a dia [grifo meu] no movimento dos corpos. E desta maneira os antigos nos ensinaram a gerar retângulos justapondo-se linhas retas móveis ao longo de retas imóveis numa posição ou situação normal a elas.

Percebe-se que as quantidades que aumentam em tempos iguais, e que são geradas por esses aumentos serão maiores ou menores conforme a sua velocidade, na qual aumentam e são geradas, seja maior ou menor; esforcei-me para encontrar um método que determinasse as quantidades das velocidades, dos movimentos ou incrementos, que as geraram. Chamando de fluxões às velocidades dos movimentos ou dos aumentos e de fluentes às quantidades geradas, esclareci aos poucos (nos anos 1665 e 1666) o método das fluxões, que aproveito aqui na Quadratura das curvas.

As fluxões são semelhantes aos aumentos dos fluentes, os quais são gerados em intervalos de tempos iguais, mas são infinitamente pequenos; e para ser mais exato, diria que estão na primeira razão dos aumentos nascentes, mas podem ser representados por quaisquer linhas proporcionais a elas. Se as áreas ABC, ABDG forem descritas pelas ordenadas BC e BD, que se movem uniformemente ao longo da base AB, então as fluxões dessas áreas estarão entre si como as ordenadas BC e BD que as descrevem e poderão ser representadas por aquelas ordenadas; isto é, tais ordenadas estão na mesma proporção que os aumentos nascentes das áreas.

Deixe a ordenada BC deslocar-se da sua posição BC para uma nova posição bc; complete o paralelogramo BCEb, trace a linha reta VTH tocando a curva em C e cortando os prolongamentos de bc e BA em T e V, agora os aumentos gerados da abcissa AB, da ordenada BC e da curva Acc serão Bb, Ec e Cc; e os lados do triângulo CET estão na primeira razão desses aumentos nascentes. Portanto, as fluxões de AB, BC e AC são como os lados CE, ET e CT do triângulo CET e poderão ser representadas por aqueles lados, ou, equivalentemente, pelos lados do triângulo VBC que é semelhante a CET. O mesmo acontece se tomarmos as fluxões na última razão das partes ínfimas [grifo meu]. Trace a linha reta Cc e prolongue-se até K. Com a ordenada bc em sua posição original BC faça os pontos C e c se aproximarem. A linha reta CK vai coincidir com a tangente CH e o triângulo ínfimo [grifo meu] Cec tornar-se-á semelhante ao triângulo CET. Seus lados ínfimos CE, Ec e Cc estarão na mesma proporção que os lados CE, ET e CT do outro triângulo CET. Portanto, as fluxões das linhas AB, BC e AC terão a mesma razão. Se os pontos C e c estiverem numa distância pequena qualquer, CK estará a uma distância pequena da tangente CH. Quando a linha reta CK coincidir com a tangente CH, e quando as últimas razões das linhas CE, Ec e Cd forem encontradas, os pontos C e c deverão se aproximar e coincidir exatamente. Erros, por menores que sejam, não devem ser negligenciados na matemática. [Baron (1985), I, p.31-3]

A solicitação geométrica é patente, e o infinitamente pequeno corre com o tempo, também infinitamente pequeno.

Ao modo de Viète, de Teon de Alexandria e de Descartes, Newton atingiu uma síntese facilitada por uma notação algébrica e por uma boa manipulação das técnicas analíticas, que eram recentes para a sua época, porém de largo uso. É de se notar que o gênio de Newton não sentiu necessidade de criar uma notação específica para a quadratura, trabalhando somente com a notação “ponto sobre a variável” para representar o que viria a ser a diferenciação, e com natural destreza algébrica a relacionava com a quadratura.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Não se vai adentrar aqui na discussão da primazia da descoberta/invenção do

Cálculo Diferencial e Integral, entre Newton e Leibniz (1646 – 1716), mas sim nas idéias desenvolvidas por ambos. Assim, chegou o momento do alemão Leibniz.

Leibniz iniciou seus estudos de matemática, sob orientação do holandês Christiaan

Huygens, através dos trabalhos de Barrow, Cavalieri, Pascal, Descartes, entre outros. Foi estudando o trabalho de Pascal que Leibniz teve o insight sobre o cálculo da inclinação da reta tangente a uma curva num certo ponto, construindo a razão entre as diferenças das ordenadas e das abscissas deste ponto com um outro, pertencente a curva, e que se avizinhasse a ele. Leibniz não publicou suas idéias de imediato, mas se sentiu forçado a fazê-lo quando percebeu que em artigos publicados, no Acta Eruditorum Lipsiensium, por E. W. von Tschirnhaus (1651 – 1708), que conhecia Leibniz e suas idéias.

Para trabalhar com suas idéias de diferenças Leibniz criou os símbolos dy e dx, o primeiro para representar a diferença infinitamente pequena entre as ordenadas, o segundo para representar a diferença infinitamente pequena entre as abscissas.

“As diferenças são ‘infinitamente pequenas’. Isto significa que podem ser comparadas entre si (a razão :dydx é finita). Mas com respeito às quantidades finitas ordinárias[6] as diferenciais podem ser desprezadas: xdxx+=. Produtos de diferenciais podem ser desprezados com respeito às próprias diferenciais: adxdydxadx+=, já que adya+=. Para cada ponto (),xy na curva podemos formar o

‘triângulo característico’ ,,dxdyds(ds é a diferencial do comprimento de arco s). Se o segmento de reta ds, infinitamente pequeno, for prolongado, formará a tangente à curva em (),xy e teremos ::::dxdydstyτ=. Portanto, para determinar as tangentes é suficiente determinar a razão :dydx. A relação entre y e x usualmente é dada em forma de uma equação (a equação da curva); a fim de calcular a razão entre dy e dx é preciso diferenciar essa equação, ou seja, é preciso formar a equação diferencial da curva. Para fazer isso deve-se aplicar as regras de cálculo: 0da= se a é constante,

v v

( ) 1n nd u nu du− = (também se n for uma fração ou negativo, porém não para 1n=−). Essas regras seguem o fato de que as diferenças podem ser desprezadas. ” [Baron (1985), p.58-9]

Leibniz não traz uma construção que fundamente suas idéias que possui uma forte conotação intuitiva. Sousa Pinto diz:

6 Ver comentários de Sousa Pinto mais adiante [destaque meu].

“A idéia de infinitésimo (e de número infinito) não pode ser realizada num universo construído com base no conjunto IR dos números reais. Leibniz, no entanto, preconizava para o estudo do Cálculo infinitesimal a adoção de um sistema numérico mais amplo que os dos números reais que incluísse, para além desses, números ‘ideais’ infinitos e infinitesimais e no qual continuassem a verificar-se as leis usuais dos números ordinários. Estes dois objetivos, assim formulados, são contraditórios!” [Pinto (2000), p.2]

Quanto a quadratura Leibniz tomou como base a soma de áreas de retângulos infinitamente pequenos entre a curva e o eixo das abscissas, empregando para tal soma das áreas a notação ydx∫. Note que não há referência quanto ao intervalo de integração. Mas, pela suas aplicações pode-se inferir que ele considera a abscissas variando de zero a um certo valor x.

“A diferença da área OCB) (a diferença de dois valores consecutivos daquela área) é o retângulo ydx à extrema direita: dydxydx=∫ o que mostra a relação inversa entre d e ∫. Reciprocamente dyy=∫[7], que é imediatamente evidente.” [Baron (1985), p.60]

Tem-se neste trecho a revelação, por parte e ao modo, de Leibniz do Teorema

Fundamental do Cálculo. Leibniz emprega processos simples e diretos. Ao que parece para ele tudo é simples e natural. É importante frisar que Leibniz foi um pensador respeitado e que se permitiu versar sobre filosofia, teologia, leis, história, economia, lingüística, lógica e probabilidade, e penso que em outras coisas mais – seus impulsos não devem ter parado por aí.

7 No início Leibniz havia adotado outra forma de notação para a quadratura. [destaque meu]

Interessante perceber a versatilidade do pensamento de Leibniz com o que ele chamou de transmutação. Bem que esta idéia não se originou8 com Leibniz, mas ele, desconhecendo que já a haviam utilizada, muito se impressionou com tal descoberta, dado o seu poder no auxílio de algumas quadraturas.

“Leibniz utilizou o triângulo característico para deduzir uma regra geral de transformação para as áreas sob curvas, que ele chamou ‘a transmutação’. O teor dessa regra, que se encontrou em 1673, pode ser resumido da seguinte maneira: a área sob uma curva pode ser considerada como sendo a soma das áreas de retângulos pequenos, mas também como sendo a soma das áreas de triângulos pequenos, situados como na figura. Portanto área OcCB = (∑ triângulos Occ′) + + OCB∆. Considere agora a tangente cg que intercepta o eixo vertical em s, e seja Op perpendicular à tangente. Então áreaOcc′= 1

O triângulo característico cdc′ é semelhante ao Ops∆, de sorte que ::cdccOpOs′=, logo ccOpcdOs′×=×. Agora, trace sq paralelo ao eixo interceptando as ordenadas bc e bc′′ em q e q′ respectivamente; então: áreaOcc′= 1 1 1

2 2 2 OpccOscd′×=×=área bqqb′′. Queremos agora somar as áreas Occ′, a fim de encontrarmos a quadratura da curva OcC. Para realizarmos isso, marcamos para cada ponto c na curva o ponto correspondente q, o qual gera uma nova curva OqQ.

2 =áreaOqQBOCB+∆. Essa é aregra de transmutação.” [Baron

Assim, por meio da transmutação a quadratura de uma dada curva é trocada por outra, construída a partir das tangentes da primeira. Isso, é claro, passa a ser interessante se a quadratura da segunda for mais fácil do que da primeira. A engenhosidade de tal procedimento é marcante, e mostra o quanto Leibniz foi um pensador virtuoso que buscava novas formas de abordagens, e de soluções de problemas.

8 Elas estavam também presente nos trabalhos de Barrow e Gregory.

Leonhard Euler

Rapidamente apresentarei uma pequeníssima passagem da vasta obra do mestre

Euler (1707 – 1783) discípulo da família Bernoulli, que por sua vez havia dado continuidade as idéias de Leibniz.

O trecho que apresentarei consta da obra Introductio Analysin Infinitorum. Ver-se-á um desenvolvimento algébrico mais direto. Euler foi um exímio algebrista e calculista. O que segue aqui é o seu desenvolvimento9 algébrico para se definir o número irracional e – aliás, símbolo por ele inventado.

Para 1a>, seja 01a=, assim para um valor ε infinitamente pequeno tem-se:

1akεε=+. Se assinalarmos um número real positivo, x ε, este será um número infinitamente grande, que pode ser escrito como sendo o número v infinito. O que nos conduz a: ()()1vvxvaaakεεε===+. Para este último recorrendo a fórmula do binômio de Newton, tem-se:

( ) ( ) ( )21 11
1 1

v n x v v v v v nkx kx kx kx a v

v v v n v que pode ser reescrito como:

1

x n v v v v nk k k a x x x v v v v n

Euler considera v infinitamente grande e sem mais detalhes escreve:

1

v v v

E com algumas manipulações algébricas obtém:

21

Em seguida define o número e fazendo 1x=, para a constante k também igual a 1.

9 Em linhas gerais segue a apresentação dada por Sousa Pinto (2000).

1 1 1
1 1

Decorrendo então: 2 1! 2! ! v n x x x x x e v n

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