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Lembrando que para

Euler v é um número infinito.

Joseph Louis Lagrange

Antes de chegar em Bolzano e Cauchy, faço uma sucinta apresentação da idéia de derivada10 de Lagrange (1736 – 1813).

Se conduzindo por uma regra levantada por Leibniz, que dizia respeito a relação entre diferenciais de ordem superiores do produto de duas variáveis e as potências de mesma ordem do desenvolvimento binomial destas variáveis. Assim, considerou a função

, que ao ser expandida por divisão fornece a série finita 21nxxx+++++,

já conhecida por muitos. Em posse desta expansão Lagrange por suposições, tais como toda função pode assim ser expandida, o que não é um factível. Sem ter-se percebido deste lapso, ele considerou que se, em tal expansão, multiplicarmos cada termo nx por !n, tínhamos a derivada n-ésima da função ()fx. Lagrange então criou, para estas derivadas,

a notação: ()fx′, ()fx′′,,

()()nfx, e assim por diante. Pensou, Lagrange que com este procedimento teria evitado a necessidade de limites e de infinitésimos.

De Bolzano a Dedekind11

Até aqui objetivei trazer passagens da história do Cálculo/Análise, sem querer esgotar a todas, mas que realçassem os primeiros pontos conceituais fundados então para servir de base para o novo desenvolvimento da quadratura e da tangente, já se mostrando em uma notação própria e insinuando-se para a necessidade de conceitos mais bem definidos. As associações com as formas geométricas foram uma constante, salvo as duas últimas apresentações, a de Euler e a de Lagrange, que já faziam uso natural das expressões algébricas.

10 Palavra cunhada por Lagrange. 1 A partir de Bolzano a referência bibliográfica principal será Bottazzini (1986).

A falta de consistência das formas ditas indivisíveis e dos infinitesimais, que

Lagrange procurou evitar, será a partir deste ponto abordada por Bolzano, Cauchy, Weierstrass, entre outros.

A forma de se trabalhar o Cálculo/Análise, ao redor do período em que viveram

Newton e Leibniz, conduziu-se por meio de forte apelo a intuição geométrica, mas concomitantemente permitiu uma evolução do trato, da manipulação das expressões algébricas, que acabaram por se mostrar, nos primeiros momentos, carentes de uma melhor definição e delimitação semântica, pois esta estavam sendo feitas justamente neste processo de construção do Cálculo/Análise. Daí tornar-se tarefa difícil a emissão de juízo de valores categóricos. Não vejo todo este movimento feito, por enumeráveis matemáticos e pensadores, com uma conotação de tempo perdido, como por vezes se tende a fazer. Vejo os modos humanos de construir um viver nas mais complexas relações. A matemática não se exclui deste universo complexo de tessituras inumeráveis.

O que deixa forte marca nesta história matemática registrada em documentos e livros, pelo menos com relação ao que nos chegam, é o vínculo persistente com o herdado rigor matemático da grécia antiga. Isto que nos dá a sensação da matemática ser um corpo único e de história retilínea no sentido posto por Hankel. É claro, que se vista nos detalhes, isto pode ser questionado, mas no geral, os novos caminhos procuram por um todo organizado. Neste sentido, que percebo a construção da álgebra, que de ferramenta paralelamente aplicada a geometria ganha contornos próprios através de aplicações e de questionamentos profundos.

Este momento histórico evidenciou a eclosão da álgebra e o seu tratamento analítico. Com o Cálculo/Análise os novos elementos matemáticos exigiram novas formas de argumentações, são os casos dos conceitos de função, de limite, de continuidade, e todos eles associados ao comportamento dos ditos números reais. E para melhor definir estes conceitos é que chego nesta parte final deste capítulo.

Rumando à aritmetização da Análise trarei alguns conceitos de alguns matemáticos em detrimento de outros. Vários e importantes nomes estão associados as idéias que levantarei, mas elegi aqueles cujos nomes mais freqüentemente aparecem na elaboração de teoremas na Análise.

Assim feito, retomo com Bernhard Bolzano (1781 – 1848 ). Pode-se dizer que o rigor analítico na Análise começa a se consolidar, em um artigo de 1826, com as idéias de uma monge boêmio12 chamado Bernhard Bolzano. Este monge viveu em Praga, e que lá permaneceu, em seu tempo, distante dos focos mais efervescentes das idéias matemáticas, que foram: França, Inglaterra, Alemanha e Suíça, contudo ele era conhecedor do que por essas bandas estavam fazendo. Mas, por este distanciamento, que se diz, que o seu trabalho não teve rápida influência na Europa.

Bolzano demonstrou o teorema do binômio – muito empregado na Análise, conforme já vimos, e deu um estudo detalhado do comportamento de ()1n x+, com n real, deixando de lado os casos em que x e n são números imaginários, bem como o caso em que n é irracional numa potência de número negativo, alegando que o conhecimento que se tinha até aquele ponto não permitia analisá-los.

Bolzano faz uma crítica ao emprego geométrico nas demonstrações em Análise, dizendo que isso cria certos vícios. Bem como não concorda com a utilização de tempo e de movimento nas demonstrações que solicitam o conceito de continuidade no tratamento com funções. A partir destas críticas, Bolzano introduz na Análise um critério de convergência fazendo considerações sobre séries – um antigo e permanente recurso empregado no Cálculo/Análise. Neste ponto, Cauchy desenvolverá, tempos depois, suas idéias de forma semelhante a de Bolzano.

A única observação restritiva que coube fazer ao trabalho de Bolzano deve-se a falta de uma teoria rigorosa de números reais, que virá com Dedekind e Cantor.

Bolzano começa anunciando:

r r s

Estabelecendo a seguir o seguinte teorema: “Theorem. When a sequence of quantities

()()()()12,,...,,...,nnrFxFxFxFx+[i.e. a sequence of partial sums] has the character that the difference between its nth member ()nFx and very later ()nrFx+, no matter how far distant it may be, remains smaller than every given quantity when n is taken large enough, then there is always a certain constant quantity, and only one, which the terms of this sequence always approach and can come as near to it as one wishes when the sequence is extended far enough.” [Bottazzini (1986), p.9]

Este teorema, que passou a ser conhecido como sendo de Cauchy, aponta para uma nova formalização na Análise, os famosos - εδ. Abaixo segue outro teorema, que passou a ser um marco também, enunciado por Bolzano e um roteiro de demonstração empregado por ele.

“Theorem. If a property M does not belong to all values of a variable quantity x, but to all that are smaller than a certain u, then there always is a quantity U which is the largest of those for which it can be said that all smaller x have the property M.” [Bottazzini (1986), p.100]

Desde que M é válido para todo x menor do que u, mas não para todo x, então existe uma quantidade VuD=+ (0D>) para o qual pode-se dizer que M não pertence a todo xV<. Considere-se a quantidade: /2muD+, com mN∈.

Se M pertence a todos x menor do que /2muD+, para todo m. Assim este u é o maior valor para o qual é verdade que todo xu< possui a propriedade M.

No caso contrário, Bolzano, por meio de raciocínios baseados na reiteração do

mesmo argumento, constrói uma série convergente:

Se U é a soma desta série, então M é verdadeira para todo xU<. Em seguida ele mostra, sem dificuldade, que M não é verdadeiro para xUε<+.

Aqui, notamos a diferença entre muitas demonstrações vistas até então. Bolzano emprega fundamentações puramente analíticas, não recorrendo a chamada intuição geométrica.

Bolzano comenta que o referido teorema será de grande importância para todos os ramos da matemática. Ao que parece ele estava certo. Este teorema vem ao encontro do que hoje constitui um conjunto de conceitos que embarcam: Ponto de Aderência, Ponto de Acumulação, Vizinhança, Supremo e Ínfimo, conceitos iniciais na Análise Moderna.

Em 1821, Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857), decide escrever e publicar uma série de lições de Análise Matemática que ele havia dado na École Polytechnique. Instituição em que se formara tendo aulas com Poisson, Lacroix, Ampère e Lagrange.

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