Modelagem matemática de sistemas dinâmicos

Modelagem matemática de sistemas dinâmicos

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Controle envolve

Modelagem de sistemas dinâmicos Análise de características dinâmicas

Conjunto de equações que representa a dinâmica do sistema precisamente, ou pelo menos tão bem quanto se necessita.

OBSERVAÇÃO: Um sistema pode ter diversas representações matemáticas, ou diversos modelos

Equações diferenciais Representação no espaço de estados Funções de transferência, dentre outros

Maior complexidade implica maior precisão: deve-se buscar um modelo adequado para cada problema.

Muitas vezes ignoram-se não-linearidades e comportamentos mais complexos de descrever.

Lineares Não-lineares

Sistemas lineares são aqueles onde o PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO se aplica: “a resposta do sistema à aplicação de entradas simultâneas é a soma das respostas individuais”.

Exemplo: Verificação do Princípio da Superposição Considera-se o sistema descrito por:

Desta forma, para duas entradas diferentes e , tem-se:

A resposta do sistema à soma das entradas é dada por:

Logo, a resposta do sistema à soma das entradas é igual à soma das respostas do sistema às entradas individualmente!

Exemplo: Não verificação do Princípio da Superposição Considera-se agora o sistema descrito por:

Neste caso, para duas entradas diferentes e , tem-se:

A resposta do sistema à soma das entradas é dada por:

Logo, a resposta do sistema à soma das entradas não é igual à soma das respostas do sistema às entradas individualmente!

A aproximação linear por partes de sistemas não-lineares permite a aplicação de técnicas de análise e projeto desenvolvidas para sistemas lineares: linearização em torno de pontos de operação supondo-se pequenas variações em torno.

A Função de Transferência pode ser definida para sistemas lineares, invariantes no tempo, descritos por equações diferenciais, como a razão entre a Transformada de Laplace da saída pela Transformada de Laplace da entrada assumindo-se todas as condições iniciais nulas.

Exemplo: Seja um sistema descrito por onde é a entrada e é a saída. Então é a Função de Transferência do sistema. OBSERVAÇÕES:

O sistema descrito por uma equação diferencial passou a ser descrito por uma equação algébrica em .

Se a Função de Transferência de um sistema é conhecida, a saída deste sistema para vários tipos de entrada pode ser obtida.

A Função de Transferência de um sistema pode ser experimentalmente obtida aplicando-se uma entrada conhecida e estudando-se a saída obtida.

Se então que é a definição de integral de convolução, com . Uma vez que então ou seja, a Função de Transferência do sistema é igual à Função de Transferência da saída para uma entrada impulso unitário. Desta forma e é chamada a resposta ao impulso do sistema, que é a resposta do sistema a uma entrada impulso unitário quando todas as condições iniciais são nulas.

Se é a Função de Transferência do sistema, é possível então caracterizar completamente um sistema linear, invariante no tempo, excitando-o com uma entrada impulso unitário e medindo-se sua resposta.

Representação gráfica que mostra:

A função de cada componente Os fluxos de sinais A interrelação entre os componentes do sistema

Exemplo: Sistema em Malha Aberta

Deve-se ter atenção às unidades! Exemplo: Sistema em Malha Fechada

Pelo diagrama de blocos, tem-se que: Logo:

Exemplo: Sistema em Malha Fechada com sensor de medição da saída

Pelo diagrama de blocos, tem-se que: Logo:

Os sistemas em malha fechada são a essência do controle! No diagrama de blocos anterior:

é a Função de Transferência de malha fechada do sistema. A saída do sistema depende da Função de Transferência de malha fechada e da entrada.

Os sistemas podem estar sujeitos a perturbações:

Cada entrada deve ser tratada independentemente

As saídas correspondentes a cada entrada isolada são adicionadas para obter-se a saída completa

OBSERVAÇÃO: estas premissas são sempre válidas quando o sistema é linear, ou seja, obedece ao princípio da superposição!

Exemplo: Sistema em Malha Fechada com sensor de medição da saída e perturbação

Pelo diagrama de blocos, e considerando-se para obter-se , tem-se que: Logo:

Considerando-se agora para obter-se , tem-se que: Logo:

Finalmente:

ou equivalentemente:

No sistema em questão:

é a Função de Transferência do elemento sensor da saída é a Função de Transferência do processo é a Função de Transferência do controlador, que deve ser projetado

Notar que, se , pode-se aproximar:

Neste caso, o controlador pode ser escolhido de forma que , o que implicaria , ou seja, haveria rejeição da perturbação e o seu efeito seria minimizado!

Exemplo: no quadro!

Teoria de controle convencional

Aplicável a sistemas lineares, invariantes no tempo, mono-variáveis (uma entrada e uma saída)

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