Estatistica aula IIII

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Aula 5

Medidas de dispersão: Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão, Coeficiente de Variação e outras medidas de dispersão

Medidas de dispersão

Além do conhecimento de um valor central do conjunto de dados é importante conhecer a dispersão dos valores do conjunto em relação ao valor central. As medidas de dispersão dão uma idéia de homogeneidade, ou seja, do grau de concentração dos valores em torno do valor central. Algumas destas medidas, bastante utilizadas, são: amplitude total, desvio médio, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

Amplitude total (AT): é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados. AT = maior valor observado – menor valor observado

Desvio (d): é a diferença entre cada um dos valores do conjunto de dados e a média desse conjunto. Desvio médio (dm): é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios:

Variância: é a soma dos quadrados dos desvios de cada elemento da distribuição dividida pelo número total de elementos. Podemos considerar duas formas de calculo para a variância: variância populacional e variância amostral.

Amostras com pequeno número de observações são menos representativas da população do que amostras com maiores observações. Matematicamente o uso do denominador n - 1 no lugar de n corrige esse viés. Normalmente, em amostras maiores do que 30, não faz muita diferença, o uso de qualquer uma das equações apresentadas, no entanto esta regra é sempre observada para qualquer que seja o valor de n.

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Desvio Padrão: A variância consiste na média dos quadrados dos desvios e, portanto a unidade fica elevada ao quadrado (ex.: cm2), isto pode causar erros de interpretação devido a dimensão deste valor. Costuma-se então, usar o desvio padrão, como a raiz quadrada da variância.

Desvio Padrão Populacional -

Desvio Padrão Amostral -

Propriedades do desvio padrão 1. Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a todos os valores do conjunto de dados o desvio padrão não se altera. 2. Multiplicando-se uma constante k a todos os valores do conjunto de dados, o desvio padrão não se altera.

Coeficiente de Variação (CV) Essa medida corresponde a dispersão relativa da variabilidade dos dados em relação à sua média

Exemplo 1: Com o objetivo de melhorar o rendimento de seus empregados, uma empresa ofereceu curso de aperfeiçoamento. Os resultados, após a aplicação de um teste a 10 empregados, são dados abaixo:

Analise os desvios de cada uma das disciplinas. Para calcular os desvios precisamos da média aritmética. Para ambos os casos temos =7,0

Desvio médio xxn d n i

Economia 0 10

=⇒md

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Estatística 8,0

=⇒md

Redação

Note que em Economia não há variação das notas em torno da média, portanto, o desvio médio calculado foi zero. Algumas notas de Estatística se distanciam um pouco da média e, portando, o desvio médio foi um pouco superior. No caso das notas de redação, temos alguns valores bastante distantes da media e, portanto um desvio ainda maior. Desta forma podemos perceber que as medidas de dispersão dão uma idéia da homogeneidade dos dados.

Variância Populacional xxn n

Estatística

=mdσ

Redação

6610 6,6 Desvio Padrão Populacional

Economia

4 Apontamentos de Aula - Probabilidade e Estatística - Prof. Rubens A Requena Coeficiente de Variação

Economia

Quadro de resumo das notas Disciplina Desvio médio Variância Desvio padrão C. Variação Economia 0,0 0,0 0,0 0% Estatística 0,8 1,2 1,095 15,64% Redação 2,2 6,6 2,569 36,70%

Exemplo 2: Para o estudo do consumo de energia de elétrica em residências de famílias de classe media, foram selecionadas 200 amostras. Os valores do consumo são apontados na tabela de freqüência abaixo:

Vamos calcular o desvio médio, variância, desvio padrão e coeficiente de variação Solução:

Desvio médio

Consumo (kwh)

C ni

050 3
50100 8
100150 28
150200 57
200250 90
250300 14

Ponto médio

Pi Pi · ni

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Variância Populacional

Coeficiente de Variação

Exercícios Resolvidos

1) Determine o desvio médio, variância, desvio padrão e coeficiente de variação dos conjuntos de dados a) 1 24 12 9 19 16 14 15 14 16 b) 115 103 93 116 104 105 102 98 91

Solução

Desvio médio

Variância

√18 4,24

Coeficiente de Variação

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