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Capítulo 4 DERIVADA

4.1 Introdução

Neste capítulo estabeleceremos a noção de derivada de uma função. A derivada envolve a variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos. Inicialmente apresentaremos a definição de reta tangente ao gráfico de uma função. Posteriormente, definiremos funções deriváveis e derivada de uma função num ponto, dando ênfase ao seu significado geométrico.

4.2 Reta Tangente

uma função definida num domínio D que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos, ou ainda, D tal que para todo intervalo aberto I que contenha x0, se tenha: I ∩ (D − {x0}) 6= ∅.

Considere P = (x0,f(x0)) e Qi = (xi,f(xi)) (i = 1, 2, 3) pontos no gráfico de f, P 6= Qi;

seja r1 a reta secante que passa por P e Q1; seu coeficiente angular é:

Fixemos o ponto P e movamos Q1 sobre o gráfico de f em direção a P, até um ponto Q2 =

(x2,f(x2)) tal que Q2 6= P; seja r2 a reta secante que passa por P e Q2; seu coeficiente angular é:

Suponha que os pontos Qi (i = 1, 2, 3) vão se aproximando sucessivamente do ponto P

(mas sem atingir P), ao longo do gráfico de f; repetindo o processo obtemos r1, r2, r3,..., retas secantes de coeficientes angulares m1, m2, m3,..., respectivamente. É possível provar, rigorosamente, que quando os pontos Qi vão se aproximando cada vez mais de P, os mi respectivos, variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que denotaremos por mx0 .

138 CAPÍTULO4. DERIVADA

P x x x x x r r rf(x)

Definição 4.1. A reta passando pelo ponto P e tendo coeficiente angular mx0 , é chamada reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)).

mx0 = lim existe, fazendo a mudança t = x − x0, temos:

mx0 = lim

Como x0 é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f para qualquer ponto (x,f(x)):

Assim, mx só depende x.

Definição 4.2. Se f for contínua em x0, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)) é:

se o limite existe,

[1] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 4 − x2, no ponto (1,3).

Denotemos por m1 o coeficiente angular da reta tangente à parábola y = 4 − x2 passando pelo ponto (1,f(1)) = (1,3). Seja P = (1,3) e Q = (x0,4 − x20) pontos da parábola; o coeficiente angular da reta secante à parábola passando por P e Q é:

Do desenho, é intuitivo que se Q aproxima-se de P (x0 aproxima-se de 1), os coeficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais; logo:

A equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (1,3) é y − 3 = −2(x − 1) ou, equivalentemente, y + 2x = 5.

[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 1

Seja m12 o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = x passando pelo ponto

) pontos da curva; o coeficiente angular da reta secante à

curva passando por P e Q é:

mPQ =

140 CAPÍTULO4. DERIVADA

Q x

Novamente do desenho, é intuitivo que se Q aproxima-se de P ( x0 aproxima-se de

) os coe- ficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais; logo:

A equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (12,2) é y − 2 = −4(x − 12) ou, equivalentemente, y + 4x = 4.

[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 − x + 1, no ponto (1,1). Utilizemos agora diretamente a definição:

Logo m1 = 2. A equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (1,1) é y − 2x = −1.

4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 141

Figura 4.6: Da definição segue que a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)) é:

4.3 Funções Deriváveis

Definição 4.3. Seja f : D −→ R uma função definida num domínio D que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos ou ainda, D tal que para todo intervalo aberto I que contenha x0, se tenha: I ∩ (D − {x0}) 6= ∅. f é derivável ou diferenciável no ponto x0 quando existe o seguinte limite:

Fazendo a mudança t = x − x0, temos:

f′(x0) é chamada a derivada de f no ponto x0. Como x0 é um ponto arbitrário, podemos calcular a derivada de f para qualquer ponto x ∈ Dom(f);

Assim f′ é função de x e f′(x0) ∈ R.

Definição 4.4. Uma função f é derivável (ou diferenciável) em A ⊂ R, se é derivável ou diferenciável em cada ponto x ∈ A.

Outras notações para a derivada de y = y(x) são:

dx ou Dxf.

142 CAPÍTULO4. DERIVADA

Interpretação Geométrica A função F : (D − {x0}) −→ R, definida por

representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f passando pelos pontos (x0,f(x0)) e (x,f(x)). Logo, quando f é derivável no ponto x0, a reta de coeficiente angular f′(x0) e passando pelo ponto (x0,f(x0)) é a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)). Se f admite derivada no ponto x0, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)) é:

A equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)) é:

4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 143

Figura 4.7: As retas tangente e normal ao gráfico de y = f(x).

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