(Parte 2 de 9)

[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f(x) = x2 + 1, no ponto de abscissa x0 = 1.

Se x0 = 1 então f(x0) = 2; logo, a reta tangente passa pelo ponto (1,2) e seu coeficiente angular é f′(1). Temos:

Figura 4.8: As retas tangente e normal ao gráfico de y = f(x).

[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = √ x que seja paralela à reta

Para determinar a equação de uma reta, necessitamos de um ponto (x0,y0) e do coeficiente angular f′(x0). Neste problema, temos que determinar um ponto. Sejam rt a reta tangente, r a reta dada, mt e m os correspondentes coeficientes angulares; como rt e r são paralelas, então mt = m; mas m = 2 e mt = f′(x0), onde x0 é a abscissa do ponto procurado; como

, resolvendo a equação f′(x0) = 2, obtemos x0 = 1

4 ; a equação é

144 CAPÍTULO4. DERIVADA

Figura 4.9: Reta tangente ao gráfico de f(x) = √ x paralela à reta 2x − y − 1 = 0.

[3] Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f(x) = x3

3 − 1 que sejam perpen- diculares à reta y + x = 0.

Sejam rt a reta tangente, r a reta dada, mt e m os correspondentes coeficientes angulares; como rt e r são perpendiculares,então mtm = −1; mas m = −1 e mt = f′(x0), ondex0 é a abscissa do

Teorema 4.1. Se f é derivável em x0 então f é contínua em x0. Para a prova veja o apêndice.

Seja f(x) = |x|. f é contínua em todo R; em particular em x0 = 0. Mas a derivada de f em 0 não existe; de fato:

= lim

= lim

Do teorema segue que não existe a derivada de f no ponto x0 se f é descontínua no ponto x0. Também não existe a derivada de f no ponto x0 nos eguintes casos:

i) Se existe"quina"no gráfico da função contínua no ponto de abscissa x0, como no ponto x0 = 0 do exemplo anterior.

i) Se f é contínua em x0 e se possui reta tangente vertical passando pelo ponto de abscissa x0.

Figura 4.1: Funções não deriváveis. Exemplo 4.5.

logo, a derivada em 0 existe; então, f é contínua em 0.

[2] f(x) = 3√ x é contínua em todo R e não é diferenciável em x = 0. De fato:

146 CAPÍTULO4. DERIVADA

4.4 Regras de Derivação

De fato, a função é contínua e seu gráfico coincide com sua reta tangente em qualquer ponto; logo, tem o mesmo coeficiente angular. Equivalentemente, t = mt

nxn−1 + t(n(n−1)2 xn−2 t+ tn−2)] − xn e:
nxn−1 + t(n(n−1)2 xn−2 t+ tn−1

Proposição 4.1. Sejam u = u(x) e v = v(x) funções deriváveis; então:

1. Regra da soma: As funções u ± v são deriváveis e

3. Regra do quociente: A função u v é derivável, e

Veja as provas no apêndice.

Da regra do produto temos: (k u(x))′ = k u′(x), para toda constante k. Da regra do quociente, temos: se u(x) = xn, x 6= 0, com n < 0, então u′(x) = nxn−1.

4.5. DERIVADADAFUNÇÃOCOMPOSTA 147

[4] Determine as equações das retas tangentes aos gráficos de: (a) f(x) = x2 − 3x que passa pelo ponto (3,−4). (b) g(x) = x3 − x, paralelas à reta y − 2x = 0.

(a) O ponto dado não pertence ao gráfico de f. Por outro lado a equação da reta tangente ao

Resolvendo a equação, obtemos: x0 = 1 e x0 = 5. Então, as equações obtidas são y + x + 1 = 0 e y − 7x+ 25 = 0.

(b) O coeficiente angular da reta tangente no ponto x0 é g′(x0) = 3x20 − 1 e deve ser igual ao coeficiente angular da reta dada; então 3x20 − 1 = 2; logo, x0 = ±1. As equações das retas tangentes são y − 2x + 2 = 0 e y − 2x − 2 = 0.

Figura 4.13: Gráficos do exemplo [4].

4.5 Derivada da Função Composta

Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão: u(x) = (x9 + x6 + 1)1000 com as regras dadas. Só temos a possibilidade de desenvolver o trinômio e aplicar sucessivamente a regra da soma ou escrever como produto de 1000 polinômios e usar a regra do produto. Como ambas as possibilidades são tediosas, vamos tentar reescrever esta função. Seja g(x) = x1000 e f(x) = x9 + x6 + 1; é claro que u(x) = (g ◦ f)(x). Logo, se soubermos derivar a composta de funções o problema estará resolvido. O seguinte teorema nos ensina a derivar uma função composta g ◦ f em termos das derivadas de f e g, que são mais simples.

148 CAPÍTULO4. DERIVADA

Teorema 4.2. Regra da Cadeia

Sejam f e g funções, tais que g ◦ f esteja bem definida. Se f é derivável em x e g é derivável em f(x), então g ◦ f é derivável em x e:

Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se y = g(x) e x = f(t), nas hipóteses do teorema, temos que:

dt = dy dx dx dt

[2] Calcule dy

Pela regra da cadeia:

dt = dy dx dx

Pela regra da cadeia:

dx = dy du du

4.6. DERIVADASDASFUNÇÕESELEMENTARES 149

Teorema 4.3. Função Inversa Seja f uma função definida num intervalo aberto I. Se f é derivável em I e f′(x) 6= 0 para todo x ∈ I, então f possui inversa f−1 derivável e:

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