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Para a prova da primeira parte veja a bibliografia avançada. A fórmula pode ser obtida diretamente da regra da cadeia. De fato, (f ◦ f−1)(x) = x para todo x ∈ I. Derivando ambos os lados, temos que: (f ◦ f−1)′(x) = f′(f−1(x)) · (f−1)′(x) = 1.

x2. Aplicando o teorema:

, para todos os valores de x tais que n√ x seja definida.

De fato, seja u(x) = xn; para n par, x > 0 e para n ímpar, x não tem restrições; a inversa de u é

4.6 Derivadas das Funções Elementares

4.6.1 Função Exponencial Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1 e u(x) = ax Então,

150 CAPÍTULO4. DERIVADA ax+t − ax

t = ln(a)ax. Em particular, se a = e, temos :

Seja v = v(x) uma função derivável e considere a função: u(x) = av(x) Então:

O crescimento ou decrescimento exponencial, expresso pela função tem a propriedade Q′(t) = k Q(t), isto é, a sua derivada é proporcional à função. Aliás, isto é o que caracteriza a função exponencial.

Figura 4.14: A função exponencial em azul esua derivada em vermelho; para 0 < a < 1 e a > 1, respectivamente

[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função y = e−x2 no ponto de abscissa 1.

4.6. DERIVADASDASFUNÇÕESELEMENTARES 151

4.6.2 Função Logarítmica

Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1 e u(x) = loga(x) . Usando o teorema da função inversa para f−1 = u e f(x) = ax, temos que:

Usemos a regra da cadeia para calcular a derivada de u(x) = loga(v(x)) onde v(x) > 0 é uma função derivável. Em tal caso:

Em particular, se a = e:

Figura 4.15: Função logarítmica em azul e sua derivada em vermelho; para 0 < a < 1 e a > 1, respectivamente.

Para todo α ∈ R, se u(x) = xα, x > 0; então, u′(x) = (xα)′ = αxα−1. De fato, seja y = u(x). Aplicando logaritmoàexpressãoy = u(x) = xα: temos,ln(y) = ln(u(x)) = αln(x). Derivando, temos

ou seja, y′

x ; logo,

152 CAPÍTULO4. DERIVADA

Aqui α = 1

[2] Calcule a derivada de y = xe√ x

Aplicando logaritmo à função e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

Derivando: y′

xe√ x

[3] Calcule a derivada de y = x, x > 0. Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

[4] Calcule a derivada de y = x√ x, x > 0.

Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

[5] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = xx2 , (x > 0) no ponto de abscissa

Aplicando logaritmo a ambos os lados de y = xx2 , temos que: ln(y) = x2 ln(x); derivando,

4.6. DERIVADASDASFUNÇÕESELEMENTARES 153

então, 1 = ln[ lim

Tabela Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma constante. Se:

154 CAPÍTULO4. DERIVADA

4.6.4 Funções Trigonométricas

onde, para calcular o último limite usamos um limite fundamental. Se y = cos(x), sabendo que cos(x) = sen( pi2 − x) e utilizando a regra da cadeia com u(x) = pi2 − x, temos:

Se y = tg(x), sabendo que tg(x) = sen(x) cos(x) e utilizando a regra do quociente, temos:

Tabela

Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma constante. Se: [13] Se y = sen(u(x)), então y′ = cos(u(x))u′(x).

[1] Se y = sen(αx), α ∈ R. Fazendo u(x) = αx, temos u′(x) = α; utilizando a tabela, temos que y′ = αcos(αx). Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo. [2] Seja y = senβ(αx), onde α, β ∈ R − {0}.

Fazendo y = senβ(αx) = (sen(αx))β, derivando como uma potência e usando o exercício anterior, temos: y′ = β αsenβ−1(αx)cos(αx).

4.6. DERIVADASDASFUNÇÕESELEMENTARES 155

Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo. [3] Seja y = tg(sen(x)). Fazendo u(x) = sen(x), temos u′(x) = cos(x); logo, temos que y′ = cos(x)sec2(sen(x)).

[4] Determine as retas tangentes ao gráfico de u = sen(x) que tenham o coeficiente angular igual a 1

Sabemos que se u(x) = sen(x), então u′(x) = cos(x); logo, devemos resolver a equação :

ou seja, cos(x) = 12, que tem soluções x = ± pi 3

+ 2kpi, onde k ∈ Z. As equações são:

[5] Determine os pontos onde o gráfico da função y = x + 2sen(x) possui reta tangente horizontal.

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