(Parte 4 de 9)

Devemos resolver a equação y′ = 0 ou, equivalentamente, cos(x) = −1 2 ; logo, os pontos tem

156 CAPÍTULO4. DERIVADA

4.6.5 Funções Trigonométricas Inversas Seja y = arcsen(x). A função arco seno, definida para x ∈ [−1,1] é a função inversa da função

2 ). Usando a fórmula do teorema da função inversa, temos: se y = f−1(x) = arcsen(x), ou seja, sen(y) = x, então:

Tabela Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma constante. Se:

4.6.6 Funções Hiperbólicas

As derivadas das funções hiperbólicas são calculadas diretamente, pois todas elas envolvem exponenciais. Por exemplo, seja y = senh(x) = 12 (ex − e−x); derivando, temos: y′ = cosh(x).

4.6. DERIVADASDASFUNÇÕESELEMENTARES 157

Tabela Seja u(x) derivável. Usando a regra da cadeia, temos:

x , temos que cos (1x x sen (1x

Fazendo u(x) = 1x , temos y = arctg(u(x)); usando a tabela:

158 CAPÍTULO4. DERIVADA

Fazendo u(x) = ln(x), temos y = sen(u(x)); usando a tabela:

Fazendo u(x) = cos(x−1x ), temos y = ln(u(x)); usando a tabela:

se x > e

[1] Calcule a área do triângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta tangente à curva y = 1 x no ponto x = 2.

então x = 4. A altura do triângulo é igual a 1 e a base é igual a 4. Logo, a área do triângulo é: A = 2u.a.

[12] Uma partícula move-se ao longo da curva y = 1 − 2x2. Quando x = 3 a partícula escapa pela tangente à curva. Determine a equação da reta de escape.

4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 159

4.7 Derivação Implícita Seja F(x,y) = 0 uma equação nas variáveis x e y.

Definição 4.5. A função y = f(x) é definida implicitamente pela equação F(x,y) = 0, quando F(x,f(x)) = 0.

Em outras palavras, quando y = f(x) satisfaz à equação F(x,y) = 0.

[3] Seja a equação F(x,y) = 0, onde F(x,y) = x2 +y2 −25; esta equação define implicitamente

2 são definidas implicitamente pela equação F(x,y) = 0, pois:

Observemos que nada garante que uma função definida implicitamente seja contínua, derivável, etc. Na verdade, nem sempre uma equação F(x,y) = 0 define implicitamente alguma função. Por exemplo, considere a seguinte equação:

160 CAPÍTULO4. DERIVADA

4.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita

Podemoscalcular a derivadade uma função definidaimplicitamente semnecessidadedeexplicitá-la. Para isto usaremos novamente a regra da cadeia. Suponha que F(x,y) = 0 define implicitamente uma função derivável y = f(x). Através de exemplos mostraremos que podemos calcular y′ sem conhecer y.

Seja y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação x2 + y2 = 1. [1] Calcule y′.

[2] Verifique que a função f(x) = √1 − x2 é definida implicitamente por x2 + y2 = 1 e calcule f′.

Comoy = f(x),temosx2+((f(x))2 = 1. Derivandoemrelação axambososladosdaigualdade e usando a regra da cadeia, obtemos:

É imediato que a função f(x) = √1 − x2 é definida implicitamente pela equação x2 + y2 = 1 e

Método de Cálculo

Dada uma equação que define y implicitamente como uma função derivável de x, calcula-se y′ do seguinte modo:

Deriva-se ambos os lados da equação em relação a x, termo a termo. Ao fazê -lo, tenha em mente que y é uma função de x e use a regra da cadeia, quando necessário, para derivar as expressões nas quais figure y.

O resultado será uma equação onde figura não somente x e y, mas também y′. Expresse y′ em função de x e y. Tal processo é chamado explicitar y′.

Exemplo 4.15. Calcule y′ se y = f(x) é uma função derivável, definida implicitamente pelas equações dadas:

4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 161

[2] x2+xy+xsen(y) = ysen(x). Derivando ambos os lados2x+y+xy′+sen(y)+xcos(y)y′ = y′ sen(x) + y cos(x). Expressando y′ em função de x e y:

[3] sen(x+y) = y2 cos(x). Derivandoambos oslados(1+y′)cos(x+y) = 2y y′ cos(x)−y2 sen(x). Expressando y′ em função de x e y:

O processo de derivar implicitamente pode ser usado somente se a função determinada pela forma implícita é derivável. Mas, para os exemplos e exercícios, sempre consideraremos esta exigência satisfeita.

[4] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função implícita definida por:

Derivando a equação implicitamente:

Expressando y′ em função de x e y: y′ = 3x2 +4x

é o coeficiente angular da reta tangente no

[5] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função

Derivando a equação implicitamente

162 CAPÍTULO4. DERIVADA

Lembrando que x = 1

2 ) = 2 é o coeficiente angular da reta

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