(Parte 5 de 9)

tangente no ponto (1

) e a equação desta reta é 2y −4x+1 = 0. A equação da reta normal é

[6] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função implícita definida por:

em qualquer ponto; (a e b constantes não nulas). Derivando a equação implicitamente:

Expressando y′ em função de x e y: y′ = −b2 x

se y0 6= 0, temos: f′(x0) = −b2x0 a2y0 , que é o coeficiente angular da reta tangente no ponto (x0,y0) e a equação desta reta é: y − y0 = −[ b2 x0

] (x − x0). Ou, equivalentemente,

A equação da reta normal é:

Estas são as equações da reta tangente e da reta normal num ponto qualquer (x0,y0) da elipse. Em particular se a = b = r, temos todas as retas tangentes e normais num ponto qualquer

(x0,y0) de um círculo de raio r.

4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 163

Figura 4.23: A elipse e suas tangentes.

[7] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função implícita definida por: x2

em qualquer ponto; (a e b são constantes não nulas). Derivando a equação implicitamente:

Explicitando y′: y′ = b2 x

a2 y0 , que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto

(x0,y0) e a equação desta reta é: [ y0

A equação da reta normal é:

se x0 6= 0. Estas são as equações da reta tangente e da reta normal a uma hipérbole num ponto (x0,y0) arbitrário.

Figura 4.24: A hipérbole e suas tangentes.

164 CAPÍTULO4. DERIVADA

[8] Ache a equação da reta tangente ao gráfico das funções implícitas definidas por: i) x3 + y3 = 6xy, no ponto (3,3). (Folium de Descartes). i) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), no ponto (3,1). (Lemniscata de Bernoulli). i) Derivando a equação implicitamente:

No ponto (3,3), y′ = −1 e a equação da reta tangente é x + y = 6. i) Derivando a equação implicitamente:

Folium de Descartes e da Lemniscata de Bernoulli, repectivamente:

Figura 4.25: Folium de Descartes e Lemniscata de Bernoulli, respectivamente.

4.8 Famílias de Curvas Ortogonais

As famílias de curvas ortogonais são muito utilizadas em diferentes áreas. Na Física, por exemplo, as linhas de força de um campo eletrostático são ortogonaisàs linhas de potencial constante e as curvas isotérmicas (de igual temperatura) são ortogonais ao fluxo do calor.

Definição 4.6. Duas curvas são ditas ortogonais num ponto de interseção se suas retas tangentes nesse ponto são perpendiculares. Uma família de curvas é ortogonal a outra família de curvas se cada curva de uma família é ortogonal a todas as curvas da outra família.

[1] A família de parábolas y2 = 4ax é ortogonal à família de elipses 2x2 + y2 = b2.

Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam m1 os coeficientes angulares correspondentes à família de parábolas e m2 os coeficientes angulares correspondentes à família de elipses. Logo,

4.9. DERIVADASDE ORDEMSUPERIOR 165

[2] A família de círculos x2 + y2 = ax é ortogonal à família de círculos x2 + y2 = by.

Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam m1 os coeficientes angulares correspondentes à família x2 + y2 = ax e m2 os coeficientes angulares correspondentes à família x2 + y2 = by. Logo,

4.9 Derivadas de Ordem Superior

Definição 4.7. Seja f uma função derivável. Se a derivada f′ é uma função derivável, então sua derivada é chamada derivada segunda de f e é denotada por (f′)′ = f′′. Se f′′ é uma função derivável, então sua derivada é chamada derivada terceira de f e é denotada por (f′′)′ = f′′′. Em geral, se a derivada de ordem (n − 1) de f é uma função derivável, sua derivada é chamada derivada n-ésima de f e é denotada por (f(n−1))′ = f(n).

166 CAPÍTULO4. DERIVADA

Figura 4.28: Gráficos de y = f(x) (verde) e suas derivadas.

Em geral, se f é uma função polinomial de grau n, então, f(n)(x) = n!an e f(p)(x) = 0 para p > n.

x , calcule f(n).

2n , para todo n ∈ N.

) , para todo n ∈ N.

x ; então:

[6] Se y = ex (Ax + B) satisfaz à equação 3y(3) − 6y′′ − 2y′ + 4y = xex, determine o valor das constantes A e B.

Calculando as derivadas:

Em geral, nada garante que quando calculamos sucessivamente as derivadas de uma função, estas sejam funções deriváveis.

Logo f′(x) = 3x|x|, para todo x ∈ R; analogamente temos que f′′(x) = 6|x| para todo x ∈ R; mas f′′ não é derivável no ponto x0 = 0. Verifique.

A função f : A ⊂ R −→ R é dita de de classe Ck (0 ≤ k ≤ +∞) em A, se f possui as derivadas até a ordem k e f(k) é contínua em A..

Como f(0) = f, se f é de classe C0, então f é contínua.

[1] As funções polinomiais são de classe C∞ em R. [2] As funções exponenciais são de classe C∞ em R.

[3] As função logarítmicas são de classe C∞ em (0,+∞).

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