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[4] A função f(x) = x2|x| do exemplo [7] é de classe C1 em R e não é de classe C2.

4.10 Aproximação Linear

É intuitivo pensar que uma função derivável restrita a um pequeno intervalo contido em seu domínio "comporta-se"como uma função polinomial do primeiro grau.

Por exemplo, consideremos y = f(x) = x2. Estudando f num pequeno intervalo contendo x = 1, por exemplo I = [0.9,1.01], obtemos:

168 CAPÍTULO4. DERIVADA

A reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1 é dada por y = 2x − 1; seu coeficiente angular é 2. Determinemos os coeficientes angulares das retas passando pelos pontos (0.9,f(0.9)), (1,f(1)) e (1.001,f(1.001)), (1,f(1)), respectivamente:

m1 e m2 são valores bastante próximos de 2. Observe que se |x − 1| → 0 (x perto de 1), então f(x) = x2 fica próxima de y = 2x − 1. De fato:

Isto nos leva a estabelecer a seguinte definição:

Definição 4.8. Seja y = f(x) uma função derivável em x0. A aproximação linear de f em torno de x0 é denotada por l(x) e definida por:

A função l(x) também é chamada linearização de f ao redor do ponto x0. A proximidade de f(x) e l(x) nos permitirá fazer algumas aplicações. A notação para f(x) próxima a l(x) é f(x) ≃ l(x). O erro da aproximação é E(x) = f(x) − l(x) e satisfaz à seguinte condição:

lim x→x0

[1] Suponhaque não dispomosde calculadora ou de outro instrumentode cálculo e precisamos resolver os seguintes problemas:

(1 + 2x)4 representa a temperatura num arame, calcule a temperatura f(0.01).

i) Se f(t) = e0.3t representa o crescimento de uma população de bactérias, calcule a população de bactérias para t = 20.012.

i) Considere a função f(x) = x7 − 2

para todo x próximo de 1. Em particular, para x = 1.001,

Figura 4.30: Gráficos de i), i) e ii), respectivamente:

[2] Considere a função logística L(t) = A

1 +Be−Ct . Determinesuaaproximação linearnoponto

Derivando: L′(t) = ABCe−Ct

170 CAPÍTULO4. DERIVADA

Figura 4.31: Desenhos para t0 = 0 e t0 = 1, respectivamente.

[3] Calcule o valor aproximado do volume de uma esfera, construida de uma folha de aço de 0.05cm de espessura sendo seu raio interno igual a 2cm.

O volume de uma esfera é V (r) = 4

3 pir3. Seja r0 = 2; então, a linearização do volume é:

4.1 Velocidade e Aceleração

Da Física elementar sabemos que a velocidade percorrida por um móvel em linha reta é dada pelo quociente da distância percorrida pelo tempo transcorrido. Usaremos a definição de derivadaparadeterminaravelocidadeinstantâneadeum móvelquesemoveao longodequalquer trajetória derivável.

Suponha que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função u = u(t). Se [a,b] é um pequeno intervalo contido no domínio de u, a velocidade média da partícula no intervalo [a,b] é:

vab = distância

a b c vab v ac

4.1. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 171 vab é o coeficiente angular da reta passando por (a,f(a)) e (b,f(b)). vab não dá informação sobre a velocidade da partícula no tempo t = t0. Se estamos interessados na velocidade ins-

Analogamente para h < 0.

Definição 4.9. A velocidade instantânea de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função derivável u = u(t) em t = t0, é:

De forma análoga definimos a aceleração média: aab = v(b) − v(a)

Definição 4.10. A aceleração instantânea de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função duas vezes derivável u = u(t) em t = t0, é:

O movimento harmônico simples s = s(t) é caracterizado por a(t) = −ks(t) (k > 0) e o movimento harmônico amortecido por a(t) = kv(t) + ps(t) (k, p ∈ R).

[1] Uma partícula move-se ao longo da curva u(t) = t3 − 5t2 + 7t − 3. Calcule a aceleração no instante em que a velocidade é zero.

aceleração no instante t é a(t) = 6t − 10; logo a( 7

[2] Uma sonda é lançada para cima verticalmente, sendo a distância acima do solo no instante t dada por s(t) = t(1000 − t).

i) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo. i) Qual é a altura máxima que a sonda atinge? i) Asondaatingeosoloquandos(t) = t(1000−t) = 0ouseja quandot = 0out = 1000; a sonda atinge o solo após 1000seg e a velocidade é v(t) = s′(t) = 1000 − 2t e v(1000) = −1000m/seg. O sinal negativo é porque a sonda está caindo.

[3] Um ponto move-se ao longo do gráfico de y = x2 + 1 de tal modo que sua abscissa x varia com uma velocidade constante de 3cm/seg. Qual é a velocidade da ordenada y quando x = 4cm?

Sejam x = x(t) e y = y(t) a abscissa e a ordenada no instante t, respectivamente. Seja t0 o instante tal que x(t0) = 4. Queremos calcular a velocidade de y no instante t0; em outras palavras, queremos calcular dy dt para t = t0. Usando a regra da cadeia:

dt = dy dx dx dt = 2x dx

172 CAPÍTULO4. DERIVADA

O ponto tem velocidade constante igual a 3; logo, dx dt = 3 e dy

[4] Um homem de 1.80m de altura afasta-se de um farol situado a 4.5m do solo, com uma velocidade de 1.5m/seg. Quando ele estiver a 6m do farol, com que velocidade sua sombra estará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra?

Seja y o comprimento da sombra e x a distância entreo homeme o ponto do solo acima do qual está o farol. Pela semelhança de triângulos: 4.5

3 e dy dt = dy dx dx

Como dx

dt = 1m/seg e o comprimento da sombra é y = 4m.

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