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4.12 A Derivada como Taxa de Variação

A velocidade de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função derivável u = u(t) no tempo t é v(t) = u′(t) e representa a razão do deslocamento por unidade de variação de tempo. u′(t) expressa a taxa de variação de u(t) por unidade de tempo:

Se y = f(x) é função derivável, então f′(x) é a taxa de variação de y em relação a x.

A interpretação da derivada como taxa de variação se aplica em diversas áreas da ciência. Por exemplo, se y = f(t) mede a concentração de glóbulos vermelhos no sangue no instante t, f(t+h)−f(t)f mede a taxa de variação média da concentração de glóbulos vermelhos durante o intervalo de tempo [t,t+h] e f′(a) mede a taxa de variação instantânea de glóbulos vermelhos no instante t = a.

[1] Uma partícula move-se ao longo do gráfico de y = x3 + 1, de modo que quando x = 6 a abscissa cresce a uma velocidade de 2cm/seg. Qual é a velocidade de crescimento da ordenada nesse instante?

Seja x = x(t) a abscissa no instante t e y = x3 + 1; devemos calcular:

4.12. ADERIVADACOMOTAXADEVARIAÇÃO 173 dt = dy dx dx

Temos: dy

[2] Um ponto move-se ao longo da elipse de equação x2 + 2y2 = 6. Determine os pontos da elipse que satisfazem à equação dx

Se x = x(t) e y = y(t) são a abscissa e a ordenada do ponto no instante t, derivando implicita- mente a equação da elipse: 2x dx dt +4y dy dt = 0 e usando a condição dada:

2x dx dt +4y dy

[3] O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico cujo diâmetro cresce à razão de 1

4 cm/ano e sua altura cresce à razão de 1m/ano (m=metros). Determine a taxa de variação do volume do tronco quando o diâmetro é 3cm e sua altura é 50m.

Seja r = r(t) o raio no instante t e h = h(t) a altura no instante t. O volume é V (t) = pi r2 h; devemos calcular dV dt ; derivando implicitamente:

dt + r2 dh dt o raio é a metade do diâmetro: r = 3

4 e dh

[4] Uma partícula move-se ao longo da curva de equação y = √ x. Quando a partícula passa pelo ponto (4,2), sua abscissa cresce à razão de 3cm/seg. Com que velocidade está variando a distância da partícula à origem nesse instante?

Sejam x = x(t) e y = t(t) a ordenada e a abcissa no instante t e p2 = x2 + y2 o quadrado da distância da origem ao ponto (x,y). Derivando implicitamente ambos os lados:

2p dp dt = 2x dx dt +2y dy

logo, dp

, pois y = √ x. Logo

[5] Um reservatório de água está sendo esvaziado. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V (t) = 50(80 − t)2. Calcule:

i) A taxa de variação do volume da água, após 8 horas de escoamento. i) A quantidade de água que sai do reservatório, nas primeiras 5 horas de escoamento.

i) A taxa de variação é dV

dt = −7200l/h. O sinal negativo é porque o volume da água está diminuindo com o tempo, já que o reservatório está sendo esvaziado.

174 CAPÍTULO4. DERIVADA

[6] De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de 3dm3/seg. Se o raio da base do funil é de 12dm e a altura é de 24dm, calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo, quando o nível estiver a 6dm do tôpo.

Sejam r o raio do círculo que forma o nível da água e h a altura no tempo t, respectivamente.

3 é o volume do cone de raio r e altura h.

Pela semelhança de triângulos, temos: r dt = dV dh dh

Mas, dV dt = −3, pois o volume está diminuindo e h = 24 − 6 = 18; resolvendo a equação

[7] Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de 4cm/seg, enquanto os outros dois lados diminuem, de tal modo que o retângulo resultante permanece com área constante de 100cm2. Qual é a velocidade com que o perímetro diminui quando o comprimento do lado que aumenta é de 20cm? Quais são as dimensões do retângulo, quando o perímetro deixar de diminuir? i) Seja x o lado que aumenta e y o lado que diminui no tempo t; logo x = x(t) e y = y(t); o perímetro é P = 2(x + y) e a área é A = xy = 100. Derivando estas expressões em t, temos:

dt + dy e x dy dt +y dx dt = 4, da última equação, temos que dy

i) O perímetro deixa de diminuir quando dP dt = 0, o que é equivalente a dx dt = −dy dt ; mas

100 = x2; ou seja, um quadrado de 10cm de lado.

[8] Uma escada de 10m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se a extremidade inferior da escada começa a deslizar horizontalmente à razão de 0.5m/seg, com que velocidade o topo da escada percorrerá a parede, quando a extremidade inferior estiver a 6m do solo?

4.12. ADERIVADACOMOTAXADEVARIAÇÃO 175

Sejam x = x(t) e y = y(t) os lados do triângulo formado pela parede, a escada e o solo, no instante t. Pelo teorema de Pitágoras x2 + y2 = 100; derivando implicitamente:

x dx dt +y dy

Devemos calcular dy

a escada está deslizando a uma velocidade de 23 m/seg.

[9] A dilatação de um disco de cobre aquecido é tal que o raio cresce com a velocidade de 0.01 cm/seg. Com que velocidade cresce a área do disco quando o raio tem 2cm?

Sejam x = x(t) o raio e y = y(t) a área do disco no instante t, respectivamente. Então y = pi x2.

Derivando: dy dt = 2pi x dx para x = 2 e dx

dt = 0.04pi cm2/seg. A área do disco cresce com uma velocidade de 0.04pi cm2/seg.

[10] A lei de Boyle para gases confinados a uma temperatura constante C é P V = C, onde V é o volume e P a pressão. Se em certo instante o volume é de 600cm3, a pressão é de 150k/cm2 e a pressão cresce à razão de 20k/cm2/min, com que taxa estávariando o volume nesseinstante?

Sejam V = V (t) o volume e P = P(t) a pressão no instante t, respectivamente. Escrevamos o volume como função da pressão: V (P) = C

Usando a regra da cadeia: dV

dt = −80cm3/min. O volume decresce à razão de

[1] (Sistema de Lotka-Volterra) No estudo de ecossistemas, modelos de presa-predador são utilizados para estudar a interação entre as espécies. Se uma população de lobos siberianos é dada por L = L(t) e uma população de cervos por K = K(t), a interação das duas espécies pode ser medida pelo sistema:

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