Notas de aula Integridade estrutural

Notas de aula Integridade estrutural

(Parte 1 de 9)

Notas de Integridade Estrutural Prof. Rodrigo Rossi

Sumário

1.1 Estado de tensão em um ponto4
1.1.1 Vetor tração4
1.2 Tensor tensão7
1.2.1 Diferentes notações para as componentes do tensor tensão7
1.2.2 Simetria do tensor tensão7
1.2.3 Relação entre o vetor tração o tensor tensão8
1.2.4 A equação de equilíbrio8
1.3 Tensões principais e invariantes do tensor tensão9
1.3.1 Invariantes do tensor σ10
1.4 Exercícios12

1 Equilíbrio e Tensão 4

2.1 Deformações infinitesimais - pequenas deformações13
2.1.1 Representação tensorial da deformação infinitesimal16
2.1.2 Equações de compatibilidade18
2.1.3 Deformação volumétrica18
2.2 Deformações finitas — grandes deformações19
2.3 Exercícios2
3.1 Materiais elásticos lineares23
3.1.1 Materiais Isotrópicos24
3.1.2 Casos especiais27
3.2 Parte hidrostática e desviadora do tensor tensão28
3.3 Exercícios30

2 Introdução à cinemática da deformação 13 3 Aspectos básicos sobre equações constitutivas 23

4.1 Equações importantes na teoria da elasticidade32
4.2 Funções de tensão de Airy3
Kirsch35
4.3.1 Notas importantes:38
4.4 Funções complexas38
4.5 Tensões em torno de um furo elíptico - Solução de Inglis39
4.6 Tensões próximas de uma trinca pontiaguda - Solução de Westergaard43

4 Soluções fechadas da teoria da elasticidade 32 4.3 Tensões em torno de um furo circular em uma placa infinita - Solução de

5.1 Tensão de ruptura teórica46
5.2 Teoria de Griffith49
5.3 Extensão da teoria de Griffith52
5.4 Análise de Irwin-Westergaard - Fator intensificador de tensão53
5.5 Fatores de intensidade de tensão para alguns casos específicos57
5.6 Bibliografia57

5 Introdução à mecânica da fratura elástica linear 46 20 de outubro de 2009 1

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1 Corpo Ω com forças aplicadas4
2 Forças internas atuando em um plano com normal n5

Lista de Figuras

vetor tração de acordo com o sistema cartesiano x,y e z6
são positivas6
5 Exemplos de estados de tensões em termos das tensões principais10
6 Estado plano de tensão em um ponto12
7 Modelo para deslocamento-deformação normal uniaxial13
8 Modelo para deslocamentos-deformações normais para o caso biaxial14
9 Deformação de cisalhamento15

3 Vetores tração de normais ex, ey e ez no ponto o e decomposição do de um 4 Estado geral de tensões em um ponto. Todas as tenões apresentadas aqui

10 Deformações de cisalhamento no plano. Repare que ∂v ∂x e ∂u ∂y podem ter

valores diferentes15
1 Possibilidades válidas da representação da deformação de cisalhamento16
12 Estado de deformações no plano17
13 Deformação volumétrica19
14 Modelo de grandes deformações20
15 Exemplos de materias com certo grau de anisotropia25
16 Estado de tensão hidrostático29
17 Decomposição do tensor tensão em parte hidrostática e parte desviadora29
18 Placa com furo. Adaptado de Timoshenko & Goodier (1951)35
19 Coordenadas elípticas. Adapado de Roylance (2001)40
20 Placa infinita com furo elíptico sujeita a carregamento σ41

21 Tensões na vizinhança do furo elíptico com tensão σ uniaxial aplicada na

direção y. (a) tensão σy, (b) tensão σx42
2 Trinca pontiaguda em uma placa infinita43
de Branco et al. (1999)4
24 Representação de rede cristalina46
25 Representação de dois átomos da rede cristalina46
ração atômica47
27 Curva de tensão-deformação atômica48

23 Sistema de coordenadas movido para a extremidade da trinca. Adaptado 26 Energia de ligação e força de interação como função da distância de sepa- 28 a) Variação da energia com o comprimento da trinca. b) Variação das taxas

trinca de Griffith)51
DERSON (2004)53
de Branco et al. (1999)54
31 Modos de abertura da trinca54
32 Lista de tenacidade à fratura de alguns materiais. BRANCO (1986)56
2a57

de energia com o comprimento da trinca. (ac é o comprimento crítico da 29 Propagação da trinca em materiais frágeis e dúteis - Adapatado de AN- 30 Sistema de coordenadas movido para a extremidade da trinca. Adaptado 3 Intensificador de tensão para placa finita com trinca central de comprimento 20 de outubro de 2009 2

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a58
a sujeita a flexão - espessura da placa unitária58
circular de comprimento 2a59

34 Intensificador de tensão para placa finita com trinca lateral de comprimento 35 Intensificador de tensão para placa finita com trinca lateral de comprimento 36 Intensificador de tensão para placa finita com trinca central oriunda de furo 20 de outubro de 2009 3

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1 Equilíbrio e Tensão

1.1 Estado de tensão em um ponto

Vamos começar a nossa discussão generalizando um pouco o conceito de tensão. Muitas vezes ao longo do curso procuramos encontrar as tensões em, digamos, seções convenientes para sua análise por equilíbrio, como é o caso dos elementos tipo barras, eixos, vigas, vaso de pressão etc. Baseado nestes tipos de elementos definimos tensões normais como sendo as que atuam perpendicularmente a área e cisalhantes como sendo as que atuam transversamene a esta área.

Pode-se generalizar este conceito de tensão. Para tanto, considere o corpo em equilíbrio com com forças prescritas na sua fronteira, como mostrado na fig 1. Vamos passar uma seção de corte arbitrária e separar este corpo em duas partes.

Figura 1: Corpo Ω com forças aplicadas.

Ao passar esta seção, devem surgir um conjunto de forças por unidade de área tais nesta seção que mantenha o corpo em equilíbrio, veja a figura 2. Este conjunto de forças por unidade de área é tal que age em cada ponto da seção transversal podendo variar de ponto para ponto, mas não é arbitrária. Para auxiliar na determinação neste campo de forças por unidade de área vamos definir o chamado vetor tração t.

Para definir melhor a seção de corte feita no corpo vamos associar a ela a normal n. Para definir o vetor tração assuma que se possa dividir a seção de corte em pequenos elementos de área ∆A. Sobre um destes pequenos elementos de área ∆A, digamos um definido na vizinhança do ponto o figura 2, assuma que atue a resultante de forças ∆ F. O vetor tração é então definido da seguinte forma

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Figura 2: Forças internas atuando em um plano com normal n.

O vetor tração definido tn acima representa a intensidade de força ou tensão que atua no ponto o de uma seção tranversal com norma n.

Se consideramos agora um sistema cartesiano fixo x,y,z com vetores unitários ex, ey e ez,1 então pode-se escrever o vetor tração tn decomposto em componentes de acordo com x,y e z da seguinte maneira.

Um estado de tensão em um ponto é conhecido se para qualquer plano passando pelo ponto é possível calcular o vetor tração. As componentes tnx,tny e tnz são as componentes da tensão na direção x,y e z para o sistema de coordenadas cartesianas escolhida.

Se conhecermos o vetor tração (força por unidade de área) nos três planos mutuamente ortogonais passando pelo ponto o então sempre poderemos calcular o vetor tração em qualquer outro plano passando por o.

Seja a normal n dada por cada um dos vetores unitários ex, ey e ez no ponto o. Isto os quais atuam respectivamente nos planos yz,xz e xy, veja figura 3. Cada uma destes vetores tração tem três componentes que são

1Os vetores unitários ex, ey, ez são idênticos aos vetores unitários i, j e k. 20 de outubro de 2009 5

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Figura 3: Vetores tração de normais ex, ey e ez no ponto o e decomposição do de um vetor tração de acordo com o sistema cartesiano x,y e z.

Isto é, as componentes cartesianas da tensão são as componentes dos vetores tração em termos de x,y e z. Ao projetar as componentes de tensão em cada um dos planos temos a representação mostrada na figura 4. Deste modo o equilíbrio de um

Figura 4: Estado geral de tensões em um ponto. Todas as tenões apresentadas aqui são positivas.

ponto em termos de tensão pode ser expresso em termos das 9 componentes apresentadas na figura 4.

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1.2 Tensor tensão As componentes de tensão podem ser representadas através do chamado tensor tensão

σ = σij = σx σxy σxz σyx σy σyz σzx σzy σz

O tensor tensão é uma representação matricial onde as componentes tem referência a uma base cartesiana. Este tensor mostrado na equação 4 é conhecido como tensor tensão de Cauchy ou ainda tensor tensão verdadeira de Cauchy (Cauchy true stress tensor). Estas componentes de tensão são chamadas verdadeiras pois atuam na confuguração deformada atual do corpo.

1.2.1 Diferentes notações para as componentes do tensor tensão

A representação das componentes do tensor pode mudar de acordo com a bibliografia. Muitos autores preferem utilizar a notação de von Karman para descrever as componentes de tensão, ela é

σ = σij = σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz

Repare que está é a notação utilizada pelo livro texto usado na disciplina de mecânica dos sólidos. Já quando o sistema cartesiano é tomado como sendo x1,x2 e x3 ao invés de x,y e z os vetores unitários se tornam e1, e2 e e3 e a representação das componentes do tensor tensão ficam da seguinte forma

Assim, dependendo da bibliografia consultada pode-se encontrar variações na escrita das componentes de tensão mas deve-se ter em mente que σ = σij = σx σxy σxz σyx σy σyz

σzx σzy σz τyx σy τyz τzx τzy σz

Estas diferenças de representação também aparecem quando tratamos das componentes das deformações.

1.2.2 Simetria do tensor tensão

O equilíbio de momentos em torno de um estado geral de tensões como o mostrado pela 4 resulta em que o tensor tensão é simétrico (σyx = σxy,σzx = σxz,σzy = σyz), isto é

σ = σx σxy σxz σxy σy σyz

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