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Capítulo 2 Modelos de Máquina Síncrona, Turbinas e Reguladores de Velocidade

2.1 Introdução

Este capítulo tem por objetivo desenvolver os modelos matemáticos dos equipamentos que constituem as malhas de controle de velocidade primária e secundária associadas a um geradorsíncrono. Assim, naSeção2.2sãoderivadososmodelosdegeradorisoladoalimentando carga, de dois geradores formando um sistema interligado e o modelo de máquina conectada a uma barra infinita. A Seção 2.3 trata dos modelos de turbina a vapor, com e sem reaquecimento. O modelo de turbina hidráulica a ser utilizado no curso é desenvolvido na Seção 2.4. Finalmente, os modelos de reguladores de velocidade compatíveis com os tipos de turbina apresentados nas seções anteriores são derivados na Seção 2.5.

2.2 Modelos de Máquina Síncrona

2.2.1 A Equação de Oscilação

Se M é o momento de inércia da massa girante de um gerador síncrono, é a aceleração angular do rotor e W d é o torque líquido aplicado sobre o rotor, a segunda Lei de Newton na forma rotacional fornece:

Note que o torque W d apresenta como componentes o torque mecânico de entrada devido à ação da turbina, o torque devido às perdas rotacionais (atrito, ventilação, perdas no núcleo) e o torque eletromagnético. Este último pode ser subdividido em torque síncrono e torque assíncrono (efeito de motor de indução). Se

Wp = torque mecânico de entrada, corrigido para perdas rotacionais, e

Wh = torque eletromagnético, então

Em regime, esta diferença é nula, e não há aceleração. Durante perturbações, contudo,

Ao invés de medir a posição angular com respeito a um eixo fixo, é mais conveniente

Seção 2.2 Modelos de Máquina Síncrona fazê-lo com respeito a um eixo de referência que gira à velocidade síncrona z v em relação ao eixo fixo. Se é o ângulo medido em relação ao eixo fixo e é medido com respeito ao eixo que gira com velocidade z v (ver Fig. 1):

gw 5 gw 5 gw 5

Multiplicando (2.6) pela velocidade z:

gw 5 onde

P @ M z é a quantidade de movimento angular,

S h @ W h z é a potência elétrica de saída (corrigida pelas perdas elétricas) e

S p @W p z é a potência mecânica de entrada (corrigida pelas perdas rotacionais).

O uso da Eq. (2.7) é preferível, pois envolve a potência elétrica de saída, ao invés do torque. A Eq.(2.7) é a chamada equação de oscilação da máquina. No sistema MKS, S p e

Sh são expressas em watts, em radianos, w em segundos e P em joule-seg/rad. P én or- malmente suposta constante e igual ao seu valor à velocidade nominal. Na prática, contudo,

Capítulo 2 Modelos de Máquina Síncrona, Turbinas e Reguladores de Velocidade

Sp eSh estarãoemPZ ou p.u., emradianos ew emsegundos. Logo, Pdeveser expresso em PM-seg/rad. Se S d está em p.u., P deve estar em pu de PZ -seg/rad.

Define-se a constante K como:

K @ hqhujld flq hwlfd dupd}hqdgd d yhorflgdgh qrplqdo> Z srwahqfld dsduhqwh qrplqdo gd p dtxlqd> V Q

A energia cinética armazenada à velocidade nominal é dada por:

Mz 5 onde z é a velocidade nominal. Portanto, da Eq. (2.9):

5V Q K onde P está expresso em MJ-seg/rad, V Q está em MVA, K tem dimensão de segundos e z 3 está em rad/seg.

A quantidade K apresenta a propriedade desejável de que seu valor, ao contrário de P, não varia muito com a potência e a velocidade da máquina. K apresenta um valor típico para cada classe de máquina, que pode ser obtido de tabelas e gráficos construidos em função da potência e da velocidade nominais. A Fig. 2 ilustra a variação de K com a potência aparente nominal para geradores hidráulicos de eixo vertical 1 .

2.2.1.1 Equação de Oscilação em p.u. Re-escrevendo a Eq. (2.7) em função da velocidade z,

P gz e escrevendo Sp e Sh em p.u. da potência trifásica nominal, SQ

,e z em p.u. da velocidade nominal z

S p

S h

Figura reproduzida do livro ‘‘Power System Stability’’, E.W. Kimbark, Vol. I, Wiley. 10

Seção 2.2 Modelos de Máquina Síncrona

Figura 2: Variação da constante K com a potência nominal para hidrogeradores. ou, usando a Equação (2.1):

2.2.2 Modelo de Gerador Isolado Alimentando Carga para Pequenas Perturbações

Seja o sistema formado por um gerador alimentando carga isolada mostrado no Fig. 3. Em estudos de controle, trabalha-se em geral com a hipótese de pequenas perturbações com respeito a um ponto de operação. Considerando-se estas condições na Eq.(2.15) (o subscrito que indica sistema p.u. será, por conveniência, abandonado):

onde o superescrito ‘‘3’’ significa que as váriaveis correspondem ao ponto de operação com respeito ao qual é feita a linearização. Como z3 é constante e supondo S

Examinemos agora os termos S

. Dentro da faixa de variações de velocidade que se tem interesse, será suposto que S p depende essencialmente de variações na posição das válvulas de admissão de vapor ou do distribuidor das turbinas, e assim independe de z. Será também suposto que a potência elétrica pode ser afetada por variações de freqüência,

Capítulo 2 Modelos de Máquina Síncrona, Turbinas e Reguladores de Velocidade

~ Pm

Figura 3: Gerador alimentando carga isolada. sendo esta dependência expressa como:

onde SO corresponde a variações da carga à freqüência nominal e G é o coeficiente de vari- ação da carga com a freqüência. Em geral, as cargas industriais podem ser supostas como variando linearmente com a freqüência, na forma dada pela Eq.(2.18) 2. Para cargas puramente resistivas, G @3 . Substituindo-se (2.18) em (2.17):

p SO ou, aplicando a transformada de Laplace (com condições iniciais todas nulas):

Se for redefinido P @5 K:

O diagrama de blocos para o sistema ‘‘gerador alimentando carga isolada’’ é dado na Fig. 3.

2.2.3 Caso de Duas Máquinas Interligadas

A Fig. 5 representa esquematicamente um sistema composto por dois geradores interligados através de uma linha de transmissão cuja resistência é desprezada. A potência S 45 , conforme visto no Capítulo I, é dada por

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