Curso Completo de Raciocínio Lógico - Apostilas - Comunicação Social Parte1, Notas de estudo de Literatura

Baixe Curso Completo de Raciocínio Lógico - Apostilas - Comunicação Social Parte1 e outras Notas de estudo em PDF para Literatura, somente na Docsity! CURSOS ON-LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 1 AULA 0: ORIENTAÇÕES INICIAIS Olá, amigos! Venho hoje apresentar-lhes o novo Curso on-line de RACIOCÍNIO LÓGICO! Antes de tratarmos acerca do conteúdo, uma breve palavra sobre a matéria. Do que se trata? Trata-se de uma disciplina bastante nova no cenário dos concursos públicos. Tal como a Informática, o Raciocínio Lógico começou ainda muito timidamente a freqüentar os editais lá pelos idos de 1996, só que de forma ainda bastante esporádica. Todavia, de algum tempo para cá, vêm-se multiplicando as provas que passaram a exigir o Raciocínio Lógico em seus programas. São exemplos: Auditor-Fiscal e Técnico da Receita Federal (até 1998), Fiscal do Trabalho, Analista e Técnico de Finanças e Controle, Tribunal de Contas da União (TCU) e Tribunais de Contas Estaduais, Especialista de Políticas Públicas e Gestão Governamental (MPOG), Analista de Planejamento e Orçamento (MPOG), Assistente de Chancelaria (MRE), Auditor de Tributos Estaduais e Municipais, Analista do Serpro, Analista e Técnico do MPU, entre outros. A grande novidade é que até concursos dos Tribunais Regionais (TRF, TRE e TRT) passaram, mais recentemente, a exigir também o Raciocínio Lógico. E o que parecia ainda mais improvável: até para cargos jurídicos, como é o caso do Delegado da Polícia Federal, está-se exigindo a disciplina. Aliás, no caso específico da Polícia Federal, todos os cargos – Delegado, Perito, Escrivão, Agente e Papiloscopista – fazem esta prova! Enfim, a quem pode interessar este curso on-line? A toda e qualquer pessoa que pretende prestar concurso público. Outra coisa que sempre me perguntam: qualquer pessoa pode aprender Raciocínio Lógico? Sem hipocrisia, a resposta é sim. Se não cresse nisso, sequer me atreveria a iniciar este curso. Obviamente que, a princípio, alguns têm mais facilidade em resolver as questões que outros, mas o importante é que, ao passar a conhecer as técnicas de resolução, todos serão capazes de chegar ao resultado! O curso é, portanto, escrito para os alunos que nunca viram a matéria, para que estes possam – logo, logo – chegar ao nível daqueles que sabem tudo! Para isso, abusaremos da resolução de questões de provas passadas. Não se aprende o Raciocínio Lógico sem se resolver o máximo de exercícios! Estou muito confiante que este curso on-line será um marco na preparação de quem o fizer. E muito contente, pois terei ao meu lado um professor que ainda não é conhecido do grande público concurseiro, senão no Recife, que é o meu grande amigo Weber Campos. Trata- se, a meu ver, de um dos maiores conhecedores do Raciocínio Lógico para concursos do Brasil. Será meu parceiro nesta empreitada, e sua participação somente enriquecerá nossas aulas. O Prof. Weber tem graduação e mestrado em Engenharia de Telecomunicações pelo IME – Instituto Militar de Engenharia, e é uma das pessoas mais inteligentes e brilhantes que conheço. Passemos a falar do curso em si. Dividiremos as aulas por módulos, que correspondem aos diferentes assuntos a serem estudados. O conteúdo destas aulas abrangerá o mais completo dos programas da disciplina, elaborado pela Esaf. Após a apresentação de cada módulo, seguem duas questões de prova que se referem ao respectivo assunto, somente para dar uma noção do que tratará aquele estudo. A programação que seguiremos é a seguinte: Módulo I – Conceitos Iniciais do Raciocínio Lógico Esse módulo tratará dos primeiros conceitos, imprescindíveis ao entendimento da matéria. Falaremos sobre proposições, valores lógicos, conectivos, tabelas-verdade, tautologia, contradição, equivalência entre proposições, validade dos argumentos, entre vários outros. Trabalharemos este módulo em duas aulas. Questões Modelo: CURSOS ON-LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 2 01. (Papiloscopista 2004 CESPE) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P ∨ Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ∧ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes. 1. As tabelas de valorações das proposições P∨Q e Q ¬P são iguais. 2. As proposições (P∨Q) S e (P S) ∨ (Q S) possuem tabelas de valorações iguais. 02. (AFC 2002 ESAF) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. Módulo II – Estruturas Lógicas e Lógica de Argumentação Um dos assuntos prediletos da Esaf e de outras mesas elaboradoras! Questão costumeiramente certa nas provas de raciocínio lógico. Aqui conheceremos a fundo os tipos de estrutura lógica e como são trabalhadas nos enunciados. Usaremos três aulas neste módulo. Questões Modelo: 01. (Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana, a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado. b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia. c) Didi não estudou e Didi foi aprovado. d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque. e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado. 02. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo: a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto. b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia. c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto. e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. Módulo III – Questões de Associação Também um estilo de questão quase sempre presente nas provas. Às vezes, enunciados imensos deixam os alunos sem estímulo para resolvê-los. Aprenderemos as técnicas necessárias para ganhar tempo nestas resoluções! Usaremos duas aulas. Questões Modelo: CURSOS ON-LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 5 02. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) 2 d) 48 b) 4 e) 120 c) 24 Módulo VII – Probabilidade Um assunto que às vezes assusta muita gente! Felizmente, o grau de complexidade das questões de concurso sobre probabilidade não é assim tão profundo! Resolvendo o máximo de exercícios extraídos de provas recentes, certamente nos familiarizaremos com alguns segredos muito importantes! Duas aulas nesse estudo. Questões Modelo: 01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a a) 0,624. b) 0,064. c) 0,216. d) 0,568. e) 0,784. 02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a a) 0,25. b) 0,35. c) 0,45. d) 0,15. e) 0,65. Módulo VIII – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Assuntos vistos por todos nós, no ensino médio (antigo 2º grau). Certamente que muitos já estão esquecidos daqueles dias... (e outros tantos talvez fizeram questão de esquecê-los!), mas na verdade não são questões difíceis! Teremos, obviamente, que relembrar vários conceitos. E o faremos em duas aulas. Questões Modelo: 01. (AFTN/98 ESAF) - Sejam as matrizes A = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 10 01 , B = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 4/257/4 8/75/3 , C = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 4/297/3 00 e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é: a) - 7/8 b) 4/7 c) 0 d) 1 e) 2 02. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes CURSOS ON-LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 6 A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 Módulo IX – Trigonometria Para quem se lembra, o estudo deste assunto no colégio é feito em um semestre, aproximadamente. Ou até um pouco mais! Gastaremos apenas uma aula, para recordar as relações trigonométricas mais importantes. Felizmente (ou não!) este não é um dos assuntos mais cobrados em prova! Questões Modelo: 01. (Fiscal do Trabalho 98 ESAF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: a) 2 b) 0 c) -1 d) -2 e) 1 02. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Sabendo que x = 3 sen t e y = 4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: a) 16 y2 - 9 x2 = 144 b) 16 x2 - 9 y2 = 144 c) 16 y2 + 9 x2 = 144 d) 16 x2 + 9 y2 = 144 e) 9 y2 - 16 x2 = 144 Módulo X – Geometria Este tópico está presente em alguns editais, aonde vem escrito Geometria Básica. Veremos noções de geometria plana e espacial de acordo com o que tem sido exigido nos concursos. Também veremos que alguns enunciados podem ser rapidamente resolvidos pelo uso da geometria. Usaremos uma aula em seu estudo. Questões Modelo: 01. (Oficial de Chancelaria - MRE 2002 ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer ABC mede 76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C deste triângulo vale: a) 50° b) 52° c) 56° d) 64° e) 128° 02. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente daquele) em que é possível ouvir simultaneamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra CURSOS ON-LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO – PROF. SÉRGIO CARVALHO www.pontodosconcursos.com.br 7 Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em linha reta, do ponto onde está João Guilherme. Fernando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer ponto até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra. Portanto, a distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno e João Guilherme é: a) 650 b) 600 c) 500 d) 700 e) 720 Módulo XI – Porcentagem Um assunto elementar e essencial para o Raciocínio Lógico. Muitas questões já foram cobradas em concurso. Outras tantas ainda o serão! Esse tema merece, portanto, a nossa atenção. Uma aula. Questões Modelo: 01. (Fiscal do Trabalho 2003) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou- se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 b) 10 c) 20 d) 40 e) 70 02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser igual a a) R$ 25,00. d) R$ 50,00. b) R$ 30,00. e) R$ 60,00. c) R$ 40,00. Módulo XII – Questões envolvendo Movimento Algumas questões de raciocínio lógico nos fazem relembrar um pouco da física que estudamos no ensino médio, nas quais trabalharemos conceitos como velocidade e espaço. Veremos que algumas dessas questões poderão ser resolvidas até mesmo sem o uso de nenhuma fórmula da cinemática. Em duas aulas concluiremos este módulo. Questões Modelo: 01. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas no mesmo instante, cada um com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam pelo mesmo percurso, mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam quando se cruzaram. Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de Paulo. Já Paulo chegou à casa de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a uma velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, foi de a) 60 minutos b) 50 minutos CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 AULA 1: CONCEITOS INICIAIS Olá, amigos! É uma alegria recebê-los para darmos início a mais este projeto. Dentro de algumas semanas, se Deus quiser, e contando com o esforço e a vontade de cada um, estaremos muito mais preparados para enfrentar o desafio de resolver uma prova de Raciocínio Lógico de concurso. Gostaria, antes de dar início, de ratificar a presença, na feitura destas aulas, do Prof. Weber Campos. É um curso escrito a quatro mãos, e estou certo que todos só têm a ganhar com isso. O prof. Weber é profundo conhecedor da matéria, e isso se fará ver ao longo das semanas que virão. Iniciemos, pois, tratando dos fundamentos da lógica. Fundamentos da Lógica: # Primeiros Conceitos: O conceito mais elementar no estudo da lógica – e portanto o primeiro a ser visto – é o de Proposição. Trata-se, tão somente, de uma sentença – algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos – e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso. Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição, cujo valor lógico é verdadeiro. Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F). E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. Concluímos, pois, que... sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Feliz aniversário!” sentenças interrogativas: “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?” sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”. ... não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas – que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas. Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São outros exemplos de proposições, as seguintes: p: Pedro é médico. q: 5 < 8 r: Luíza foi ao cinema ontem à noite. Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F. Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes: Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade); Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não- Contradição); Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído). Proposições podem ser ditas simples ou compostas. Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada mais fácil de ser entendido. Exemplos: CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 Todo homem é mortal. O novo papa é alemão. Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos: João é médico e Pedro é dentista. Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. Ou Luís é baiano, ou é paulista. Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia. Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria. Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas. Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de conectivo que as une. # Conectivo “e”: (conjunção) Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “∧”. Então, se temos a sentença: “Marcos é médico e Maria é estudante” ... poderemos representá-la apenas por: p ∧ q onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras. Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é estudante. Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas. Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento. Retomemos as nossas premissas: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p ∧ q V V V Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p ∧ q V F F CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 3 Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p ∧ q F V F Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p ∧ q F F F Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora disso não há! Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”. Teremos: p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos. Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola e te darei uma bicicleta”. Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também verdadeiras! Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes (p e q), saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo a seguinte estrutura: p q Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois “vês” seguidos de dois “efes”. Assim: p q V V F F Enquanto a variação das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas, para a premissa q é diferente: “vês” e “efes” se alternando a cada linha, começando com um V. Assim: p q V V V F F V F F CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 6 p q ou p ou q V V F V F V F V V F F F # Conectivo “Se ... então...”: (condicional) Estamos agora falando de proposições como as que se seguem: Se Pedro é médico, então Maria é dentista. Se amanhecer chovendo, então não irei à praia. Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença. Se nasci em Fortaleza, então sou cearense. Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. Por exemplo: Se nasci em Belém, então sou paraense. Se nasci em Niterói, então sou fluminense. E assim por diante. Pronto? Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense. Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou cearense, então este conjunto estará todo falso. Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras: suficiente e necessário. Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. Teremos: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a: “Se Pedro for rico, então Maria é médica” Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a: “Se Pedro for rico, então Maria é médica” O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos. Não podemos, pois esquecer disso: Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7 A sentença condicional “Se p, então q” será representada por uma seta: p q. Na proposição “Se p, então q” , a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a proposição q é dita conseqüente. Teremos: p q p q V V V V F F F V V F F V As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se p, então q": Se A, B. A é condição suficiente para B. B, se A. B é condição necessária para A. Quando A, B. A somente se B. A implica B. Todo A é B. Daí, a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das seguintes maneiras: Se chove, faz frio. Faz frio, se chove. Quando chove, faz frio. Chover implica fazer frio. Chover é condição suficiente para fazer frio. Fazer frio é condição necessária para chover. Chove somente se faz frio. Toda vez que chove, faz frio. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q): p ⊂ q # Conectivo “... se e somente se ...”: (bicondicional) A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas sentenças simples. Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser: “Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”. É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: “Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre”. Ou ainda, dito de outra forma: “Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre”. São construções de mesmo sentido! q p CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 8 Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa. Sabendo que a frase “p se e somente se q” é representada por “p↔q”, então nossa tabela- verdade será a seguinte: p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição composta: “se p então q e se q então p”, ou seja, “ p ↔ q “ é a mesma coisa que “ (p → q) e (q → p) “ São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se q" as seguintes expressões: A se e só se B. Se A então B e se B então A. A somente se B e B somente se A. A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A. B é condição necessária para A e A é condição necessária para B. Todo A é B e todo B é A. Todo A é B e reciprocamente. Via de regra, em questões de prova, só se vê mesmo a bicondicional no seu formato tradicional: “p se e somente se q”. # Partícula “não”: (negação) Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição. No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos: João é médico. Negativa: João não é médico. Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante. Reparemos que, caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não), então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim: João não é médico. Negativa: João é médico. Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante. Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques! p = q CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 11 ~(p ∧ q) ~p ∨ ~q F F V V V V V V Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p e q, negaremos p, negaremos q, e trocaremos e por ou. Já sabendo disso, não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para saber como se faz a negativa de uma conjunção! Esse exercício que fizemos acima, de comparar as colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica. Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a outra, basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas. Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q) Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira (~p); 2) Negaremos a segunda (~q); 3) Trocaremos ou por e. Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”. Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima, faremos: 1) Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista” 2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro” 3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte: “Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”. Na linguagem apropriada, concluiremos que: ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovação – via tabelas-verdade – desta conclusão acima. Somos curiosos? Claro! Tomemos a primeira parte: ~(p ∨ q). Teremos, de início: p q V V V F F V F F Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q), teremos: p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F Finalmente, fazendo a negação da coluna da disjunção, teremos: CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 12 p q p ∨ q ~(p ∨ q) V V V F V F V F F V V F F F F V Guardemos essa coluna resultado para o final. E passemos à segunda parte da análise: a estrutura ~p ∧ ~q. Teremos, a princípio, o seguinte: p q V V V F F V F F Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos: p Q ~p ~q V V F F V F F V F V V F F F V V Finalmente, fazendo a conjunção ~p e ~q, teremos o seguinte resultado: p Q ~p ~q ~p ∧ ~q V V F F F V F F V F F V V F F F F V V V Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ∧ ~q) com aquela que estava guardada da estrutura ~(p ∨ q). Teremos ~(p ∨ q) ~p ∧ ~q V V V V V V F F Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar “p ou q”, negaremos p, negaremos q, e trocaremos ou por e. Negação de uma Proposição Condicional: ~(p q) Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma: 1º) Mantém-se a primeira parte; e 2º) Nega-se a segunda. Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”? 1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e 2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”. Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 13 Na linguagem lógica, teremos que: ~(p q) = p ∧ ~q Vejamos a questão seguinte, que caiu na prova de Gestor Fazendário de Minas Gerais, realizada há poucos dias: (GEFAZ/MG-2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’. b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’. c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’. Sol.: Vamos pensar juntos. Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade que...”. Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposição condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”. Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional, manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos: 1) Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e 2) Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”. O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos! Só há duas opções de resposta que começam com “É verdade que...”, que são as letras a e e. Estão, pois, descartadas essas duas opções. Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com “Não é verdade que...”. Ou seja, começam com uma negação! Daí, fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris, a qual havíamos chegado. Ou seja, a proposição Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris será o resultado de uma negação! Ora, aprendemos há pouco que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção (e), e vice-versa. Vejamos: ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q e ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjunção (e): ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao resultado ~p ∧ ~q, que é a segunda parte da igualdade. Estamos à procura da primeira parte, que é ~(p ∨ q). Logo, teremos que: o til (~) corresponde a: “Não é verdade que...” o p corresponde a: “Pedro não está em Roma”; o ∨ corresponde a ou; o q corresponde a: “Paulo está em Paris”. E chegamos a: “Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 AULA 2: CONCEITOS INICIAIS (Continuação) Olá, amigos! Retornamos hoje para dar seqüência aos Fundamentos da Lógica – conceitos iniciais – que demos início na aula passada. Convém sabermos que estas duas primeiras aulas são, por assim dizer, os pilares do curso inteiro. É possível que hoje tenhamos uma aula de muitas páginas, mas faremos o máximo esforço para que tudo seja explicado da forma mais minuciosa possível. Doravante, passaremos a ter o cuidado de numerar todas as tabelas do texto, a fim de facilitar futuras referências a qualquer uma delas. Comecemos com duas erratas da aula um. A primeira delas foi logo na primeira página, quando estávamos apresentando o conceito de proposição, e citamos alguns exemplos, chamando- as de proposições p, q e r. Pois bem, a premissa q tinha o texto: “5 < 8”. Acharam? Logo em seguida, dissemos que o valor lógico dessa proposição era falso (VL(q)=F)! Erramos! Obviamente que é verdadeiro que 5<8. Corrigiremos, trocando o sinal de ‘menor que’ pelo ‘maior que’ (>). E aí, sim, terá valor lógico falso a proposição “5 > 8”. A segunda correção diz respeito à última tabela que apresentamos na página 12, no momento em que estávamos comparando as tabelas-verdade que resultam das estruturas ~(p v q) e ~p ∧~q. Na ocasião, concluímos que: ~(p ∨ q) ~p ∧ ~q V V V V V V F F Ora, os resultados destas duas estruturas são, sim, iguais! Só que, na verdade, seus resultados são, corrigindo as tabelas acima, os seguintes: ~(p ∨ q) ~p ∧ ~q F F F F F F V V Correções feitas, passemos a uma breve revisão (breve mesmo!) do que vimos até aqui, e do que temos obrigação de saber até agora: REVISÃO DA AULA PASSADA: # Proposição: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso); haverá proposições simples ou compostas. # As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas estruturas, dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições componentes. Assim, haverá proposições compostas chamadas conjunções (E), disjunções (OU), disjunções exclusivas (OU...OU...), condicionais (SE...ENTÃO...), e bicondicionais (...SE E SOMENTE SE...). # Para entendermos mais facilmente o funcionamento dos três primeiros tipos de proposições compostas (conjunção, disjunção e disjunção exclusiva), podemos fazer uma analogia com a promessa de um pai para um filho. Lembram-se? “Te darei uma bola e te darei uma bicicleta”; “te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”, “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”. TABELA 01 TABELA 02 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 # Conjunção é aquela proposição composta que assume o formato “proposição p E proposição q”. Uma conjunção somente será verdadeira se ambas as sentenças componentes também forem verdadeiras. A tabela-verdade de uma conjunção será, portanto, a seguinte: p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F Recordando: a promessa do pai só terá sido cumprida se as duas partes dela forem observadas! # Disjunção é a proposição composta que assume o formato “proposição p OU proposição q”. Para que uma disjunção seja verdadeira, basta que uma das sentenças componentes também o seja. A tabela-verdade de uma disjunção será, portanto, a seguinte: p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F Recordando: basta o pai cumprir uma das partes da promessa e toda ela já terá sido cumprida! # Disjunção Exclusiva é a proposição que tem o formato “OU proposição p OU proposição q”. Na disjunção exclusiva, o cumprimento de uma parte da promessa exclui o cumprimento da outra parte. A tabela-verdade de uma disjunção exclusiva será, portanto, a seguinte: p q p ∨ q V V V V F F F V F F F V Recordando: a promessa do pai só é válida se ele der apenas um presente! # Condicional é a proposição composta que tem o formato “SE proposição p, ENTÃO proposição q”. Para o melhor entendimento deste tipo de estrutura, somente para efeitos didáticos, lembraremos da seguinte proposição: “Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”. A estrutura condicional é de tal forma que “uma condição suficiente gera um resultado necessário”. Ora, o fato de alguém ter nascido em Fortaleza já é condição suficiente para o resultado necessário: ser cearense. Pensando desta forma, a única maneira de tal estrutura se tornar FALSA seria no caso em que existe a condição suficiente, mas o resultado (que deveria ser necessário!) não se verifica! Ou seja, só é falsa a condicional se a primeira proposição (condição suficiente) for VERDADEIRA e a segunda proposição (resultado necessário) for FALSA. A tabela-verdade de uma condicional será, portanto, a seguinte: p q p q V V V V F F F V V F F V TABELA 03 TABELA 04 TABELA 05 TABELA 06 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 3 Como já era o esperado, a maioria das dúvidas enviadas para o nosso fórum versaram acerca da condicional. Uma coisa tem que ficar perfeitamente clara: o exemplo com o qual trabalhamos acima (“se nasci em Fortaleza então sou cearense”) foi escolhido exclusivamente para efeitos didáticos! Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o conteúdo das proposições componentes da condicional. Por exemplo, poderemos ter a seguinte sentença: “Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão” Viram? O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma condição suficiente para a obtenção de um resultado necessário. Este resultado necessário será justamente a segunda parte da condicional. Voltemos a pensar na frase modelo da condicional: “Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”. No fórum, alguém perguntou como seria possível considerar a condicional VERDADEIRA, sendo a primeira parte dela falsa e a segunda verdadeira (vide terceira linha tabela-verdade): p q p q V V V V F F F V V F F V Ora, seria possível que eu não tenha nascido em Fortaleza, e ainda assim que eu seja cearense? Claro! Posso perfeitamente ter nascido em qualquer outra cidade do Ceará, que não Fortaleza! Certo? Ou seja, não invalida a condicional o fato de a primeira parte ser falsa e a segunda ser verdadeira. Ok? É imprescindível que fique guardado na memória de vocês a seguinte conclusão: Esta é a informação crucial. Mesmo que a compreensão da estrutura não tenha, neste primeiro momento, ficado inteiramente clara para alguém, o mais importante, por hora, é guardar bem a conclusão acima. Ok? Ao longo das aulas, temos certeza que alguns pontos irão clareando mais e mais. # Bicondicional é a proposição composta do formato “proposição p SE E SOMENTE SE proposição q”. Nesta estrutura, as duas partes componentes estão, por assim dizer, amarradas: se uma for VERDADEIRA, a outra também terá que ser VERDADEIRA; se uma for FALSA, a outra também terá que ser FALSA. Será, portanto, válida a estrutura bicondicional se esta característica se verificar: ambas as proposições verdadeiras, ou ambas falsas. A tabela-verdade de uma bicondicional será, portanto, a seguinte: p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V TABELA 07 A condicional somente será FALSA quando o antecedente for VERDADEIRO e o conseqüente for FALSO! TABELA 08 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 6 Questão semelhante já havia sido cobrada também pela Esaf. A frase em análise então era a seguinte: “Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras”. Como interpretar essa frase? Do mesmo jeito: primeiramente, troquemos as partes negativas por afirmações correspondentes. Teríamos o seguinte: “É mentira que todas as pessoas daquela família são gordas”. Ora, se é mentira que todas são gordas, então é porque pelo menos uma delas é magra! Só isso e mais nada. Adiante! 03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. Sol.: Esta é bem simples! Trata-se da negação (“não é verdade que...) de uma conjunção (E). Ora, sabemos que na hora de negar uma conjunção, teremos: ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q Daí, negando a primeira parte, teremos: Pedro não é pobre. Negando a segunda parte: Alberto não é alto. Finalmente, trocando o E por um OU, concluiremos que: Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é igual a: Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. Resposta (letra A)! Deixemos a questão 4 para daqui a pouco. 05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas Sol.: Esta questão agora se tornou muito fácil, após termos feito a questão dois. Aprendemos, inclusive com uma tabela apropriada, que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM (=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos”, o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase! Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo menos um economista não é médico! É nossa resposta – opção A! Pulemos a sexta, por enquanto! 07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva Sol.: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de uma condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a segunda! Daí, concluiremos o seguinte: CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7 "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é igual a: “está chovendo E eu não levo o guarda-chuva” Resposta (letra E)! Ao longo desta aula, resolveremos as questões que ficaram faltando! # TABELAS-VERDADE: Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE. Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas. Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado por: Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade terá 4 linhas, já que 22=4. E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p, q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 23=8. E assim por diante. TABELAS-VERDADES PARA p E q: Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade será sempre aquela que já aprendemos na aula passada. Qual seja: p q V V V F F V F F E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que estarão presentes na proposição composta. Já sabemos construir, pelo menos, cinco tabelas-verdade de proposições compostas! Claro! A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, da disjunção exclusiva, da condicional e da bicondicional. Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer outra proposição condicional formada por duas proposições componentes (p e q). Designaremos tal proposição composta da seguinte forma: P(p, q). Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta: P(p, q)=~(p v ~q) ...e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme sabemos, sempre o mesmo. Teremos: TABELA 11 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 8 p q V V V F F V F F Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando [~(p v ~q)] e comparemos o que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o ~q? Ainda não! Então, é nosso próximo passo: construir a coluna da negação de q. Teremos: p q ~q V V F V F V F V F F F V Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente ao parênteses (p v ~q). Trata-se pois, de uma disjunção, cujo funcionamento já é nosso conhecido (só será falsa se as duas partes forem falsas!). Colocaremos em destaque (sombreado) as colunas de nosso interesse para a formação desta disjunção. Teremos: p q ~q p v ~q V V F V V F V V F V F F F F V V Ficou claro para todo mundo? Vejamos de novo: colocando as duas colunas (p e ~q) lado a lado, veremos que só na terceira linha ocorre a situação FALSO e FALSO, a qual torna também FALSA a conjunção. Vejamos: p ~q p v ~q V F V V V V F F F F V V Por fim, concluindo a análise desta proposição composta, resta-nos construir a coluna que é a própria proposição: ~(p v ~q). Ou seja, faremos a negação da conjunção acima. Para isso, quem for VERDADEIRO vira FALSO e vice-versa. Teremos: p Q ~q p v ~q ~(p v ~q) V V F V F V F V V F F V F F V F F V V F É este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposição ~(p v ~q). Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de construirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma certa ordem de precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a uma seqüência. Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois, passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte ordem: TABELA 12 TABELA 13 TABELA 14 TABELA 15 TABELA 16 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 11 Suponhamos que alguém (uma questão de prova, por exemplo!) nos peça que construamos a tabela-verdade da proposição composta seguinte: P(p,q,r)=(p ∧ ~q) (q v ~r) A leitura dessa proposição é a seguinte: Se p e não q, então q ou não r. Vamos fazer esse exercício? Começaremos sempre com a estrutura inicial para três proposições. Teremos: p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Daí, já sabemos que existe uma ordem de precedência a ser observada, de modo que trabalharemos logo os parênteses da proposição acima. Começando pelo primeiro deles, faremos os seguintes passos: 1º Passo) Negação de q: P q r ~q V V V F V V F F V F V V V F F V F V V F F V F F F F V V F F F V 2º Passo) A conjunção do primeiro parênteses: (Só recordando: somente se as duas partes forem verdadeiras é que a conjunção (e) também o será!) p q r ~q p ∧ ~q V V V F F V V F F F V F V V V V F F V V F V V F F F V F F F F F V V F F F F V F 3º Passo) Trabalhando agora com o segundo parênteses, faremos a negação de r: p q r ~r V V V F V V F V V F V F V F F V F V V F F V F V F F V F F F F V TABELA 25 TABELA 26 TABELA 27 TABELA 28 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 12 4º Passo) A disjunção do segundo parênteses: Só recordando: basta que uma parte seja verdadeira, e a disjunção (ou) também o será! p q r ~r q v ~r V V V F V V V F V V V F V F F V F F V V F V V F V F V F V V F F V F F F F F V V 5º Passo) Finalmente, já tendo trabalhado os dois parênteses separadamente, agora vamos fazer a condicional que os une: Só recordando: a condicional só será falsa se tivermos VERDADEIRO na primeira parte e FALSO na segunda! p ∧ ~q q v ~r (p ∧ ~q) (q v ~r) F V V F V V V F F V V V F V V F V V F F V F V V Novamente, se assim o quiséssemos, poderíamos ter feito todo o trabalho em uma só tabela, como se segue: TABELA 31 p q r ~q p ∧ ~q ~r q ∨ ~r (p ∧ ~q) (q ∨ ~r) V V V F F F V V V V F F F V V V V F V V V F F F V F F V V V V V F V V F F F V V F V F F F V V V F F V V F F F V F F F V F V V V Pronto! Concluímos mais uma etapa! Já estamos aptos a construir qualquer tabela-verdade para proposições compostas de duas ou de três proposições componentes! Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, Contradição e Contingência. # TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem. Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso! Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p ∨ q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: TABELA 29 TABELA 30 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 13 p q p ∧ q p ∨ q (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ∧ q) → (p ∨ q), que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro. Passemos a outro exemplo de Tautologia: [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p . Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma tautologia: TABELA 33: p q s p ∨ q p ∧ s (p ∨ q) ∧ (p ∧ s) [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p V V V V V V V V V F V F F V V F V V V V V V F F V F F V F V V V F F V F V F V F F V F F V F F F V F F F F F F V Demonstrado! Observemos que o valor lógico da proposição composta [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p, que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos que p, q e s assumem. # CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem. Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição. Exemplo 1: A proposição "p ↔ ~p" (p se e somente se não p) é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente do valor lógico de p, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: p ~p p ↔ ~p V F F F V F Exemplo 2: A proposição (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) também é uma contradição, conforme verificaremos por meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos: TABELA 32 TABELA 34 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 16 Como podemos observar na última coluna da tabela-verdade acima, o valor lógico da proposição p → (p ∧ q) pode ser verdadeiro ou falso. Isto nos leva a concluir, portanto, que esta proposição não é uma tautologia, nem uma contradição, mas, sim, a chamada contingência. Antes de seguirmos adiante, façamos uma solução alternativa para a questão acima: Observem que em todas as alternativas aparece o conectivo “→”, ou seja, todas as proposições são condicionais. Na tabela verdade do conectivo “→” só temos o valor lógico falso quando na proposição condicional o antecedente for verdade e o conseqüente for falso. Sabendo que uma tautologia sempre tem valor lógico verdade, então dentre as proposições condicionais apresentadas nas alternativas, aquela em que nunca ocorrer o antecedente verdade e o conseqüente falso será uma tautologia. - Análise do item ‘a’: p → (p ∨ q) Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, também o conseqüente será verdade, e assim a proposição nunca será falsa, logo esta proposição é uma tautologia. A questão terminou, mas vamos analisar os restantes. - Análise do item ‘b’: p → (p ∧ q) Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, o conseqüente será verdade se q for verdade, e falso se q for falso. Assim, a proposição pode assumir os valores lógicos de verdade e falso. Não é uma tautologia. - Análise do item ‘c’: (p ∨ q) → q O antecedente desta proposição sendo verdade, o valor lógico de q pode ser verdade ou falso, e daí o conseqüente que é dado por q também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. - Análise do item ‘d’: (p ∨ q) → (p ∧ q) O antecedente desta proposição sendo verdade, os valores de p e q podem ser verdade ou falso, e portanto o conseqüente também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. - Análise do item ‘e’: (p ∨ ~p) → q Observem que o antecedente é sempre verdade independente do valor lógico de p, já o conseqüente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso. Portanto, concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. Passaremos agora a tratar de um tema da maior relevância no Raciocínio Lógico, e que, inclusive, já foi exaustivamente exigido em questões de provas recentes de concursos. Estamos nos referindo à Equivalência Lógica. Ou seja, vamos aprender a identificar quando duas proposições compostas são equivalentes uma à outra. Vamos lá! # PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos. Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p ⇔ q , ou simplesmente por p = q. Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convém conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 17 Equivalências Básicas: 1ª) p e p = p Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente 2ª) p ou p = p Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema 3ª) p e q = q e p Exemplo: o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte 4ª) p ou q = q ou p Exemplo: o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco 5ª) p ↔ q = q ↔ p Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo 6ª) p ↔ q = (p q) e (q p) Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo Para facilitar a nossa memorização, colocaremos essas equivalências na tabela seguinte: p e p = P p ou p = P p e q = q e p p ou q = q ou p p ↔ q = q ↔ p p ↔ q = (p → q) e (q → p) Equivalências da Condicional: As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Inclusive, serão utilizadas para resolver algumas questões do dever de casa que ficaram pendentes. Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. São as seguintes as equivalências da condicional: 1ª) Se p, então q = Se não q, então não p. Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove 2ª) Se p, então q = Não p ou q. Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso TABELA 40 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 18 Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorização, teremos: p → q = ~q → ~p p → q = ~p ou q Tomemos as questões restantes do dever de casa, e as resolvamos agora: 01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. Sol.: Conforme aprendemos na aula passada, a estrutura condicional pode ser traduzida também com uso das expressões condição suficiente e condição necessária. Lembrados? Usando essa nomenclatura, teremos que: a primeira parte da condicional é uma condição suficiente; e a segunda parte da condicional é uma condição necessária. Daí, tomando a sentença “Se Marcos não estuda, então João não passeia”, teremos que: Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear ou João não passear é condição necessária Marcos não estudar. Ocorre que nenhum desses dois resultados possíveis acima consta entre as opções de resposta! Daí, resta-nos uma saída: teremos que encontrar uma condicional equivalente à esta da questão. Qual seria? Basta ver a primeira linha da Tabela 39 acima: p q = ~q ~p. Teremos: Se Marcos não estuda, então João não passeia = Se João passeia, então Marcos estuda. Viram o que foi feito? Fizemos as duas negativas e trocamos a ordem! Daí, agora analisando esta condicional equivalente, concluiremos que: João passear é condição suficiente para Marcos estudar ou Marcos estudar é condição necessária para João passear. Resposta! (Letra E) 04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro Sol.: Aqui temos uma questão mais bonita! Teremos que usar as duas equivalências da condicional para resolvê-la. Vejamos: o enunciado nos trouxe uma disjunção. Replicando a tabela 39, temos que... p → q = ~q → ~p p → q = ~p ou q TABELA 41 TABELA 42 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 21 1ª) Nenhum A é B = Todo A é não B Exemplo:Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (=Todo médico não é louco) 2ª) Todo A é B = Nenhum A é não B Exemplo: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é bela) Colocando essas equivalências numa tabela, teremos: Nenhum A é B = Todo A é não B Todo A é B = Nenhum A é não B # LEIS ASSOCIATIVAS, DISTRIBUTIVAS E DA DUPLA NEGAÇÃO: Na seqüência, algumas leis que podem eventualmente nos ser úteis na análise de alguma questão. São de fácil entendimento, de modo que nos limitaremos a apresentá-las. Leis associativas: (p e q) e s = p e (q e s) (p ou q) ou s = p ou (q ou s) Leis distributivas: p e (q ou s) = (p e q) ou (p e s) p ou (q e s) = (p ou q) e (p ou s) Lei da dupla negação: ~(~p) = p Daí, concluiremos ainda que: S não é não P = S é P Todo S não é não P = Todo S é P Algum S não é não P = Algum S é P Nenhum S não é não P = Nenhum S é P Exemplos: 1) A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica 2) Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional 3) Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural 4) Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural TABELA 45 TABELA 46 TABELA 47 TABELA 48 TABELA 49 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 22 Bem! Acreditamos que por hoje já houve uma dose suficiente de informações! A princípio, planejávamos uma aula ainda maior, mas decidimos ficar por aqui, e deixar que vocês tenham condições de ler com calma o conteúdo visto até este momento, e de fixar bem o que aprenderam. E não há jeito melhor no mundo de fixar o aprendizado do que resolvendo questões, não é mesmo? Por isso, trazemos na seqüência o Dever de Casa, para vocês se divertirem durante esta semana! Não deixem passar a oportunidade de tentar resolvê-las! Mesmo que surjam algumas dificuldades, não desanimem! Há muito mais mérito em tentar e não conseguir, do que em ficar esperando a resolução pronta na aula seguinte! Lembrem-se disso. E chega de lero-lero. Fiquem todos com Deus! Um grande abraço nosso! E estudem! DEVER DE CASA (Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE) Texto para os itens de 01 a 08 Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 01. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é verdadeira. 02. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa. 03. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira. -------------------------------------- Considere as sentenças abaixo. i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. P Fumar deve ser proibido. Q Fumar deve ser encorajado. R Fumar não faz bem à saúde. T Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 04. A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T). 05. A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R). 06. A sentença III pode ser corretamente representada por R → P. 07. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 23 08. A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)). Gabarito: 01. E 02. E 03. C 04. E 05. C 06. C 07. C 08. E (TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir: 09. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬P (¬R ∧ ¬Q) 10. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q 11. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P Q é falsa. 12. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) P é inferior a 9. Gabarito: C C E C 13. (Analista Ambiental - Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE) Julgue o item seguinte: ~(P → ~Q) é logicamente equivalente à (Q → ~P). (SERPRO 2004 – CESPE) 14. Julgue o item seguinte: A tabela de verdade de P → Q é igual à tabela de verdade de (P → ¬Q) → ¬P . (Analista Petrobrás 2004 CESPE) Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS: Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia. Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima. 15. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano. 16. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia. Gabarito: C, E (Papiloscopista 2004 CESPE) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 Teremos: (~P) ∨ (~Q) = (~V) ∨ (~V) Ora, a negação (~) do Verdadeiro é o Falso (~V=F) e vice-versa (~F=V). Daí, teremos: = F ∨ F Estamos diante de uma disjunção (OU), a qual já conhecemos bem: basta que uma das partes seja verdadeira, que a disjunção será verdadeira. Mas, se as duas partes forem falsas, como neste caso, então, a disjunção é FALSA. Teremos, finalmente, que: F ∨ F = F Resposta! O item 1 está errado! 02. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa. Sol.: Usaremos o mesmo artifício da questão acima. Teremos: R (~T) F (~V) F F Redundamos numa condicional. Conforme sabemos, a condicional só é falsa quando a primeira parte é verdadeira e a segunda é falsa. Lembrados? Daí, como não é o caso, teremos: F F = V Resposta! O item 2 está errado! 03. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P∧R)→(¬Q) é verdadeira. Sol.: Mais uma vez, a resolução seguirá o mesmo caminho já utilizado acima. Teremos: (P ∧ R) (~Q) (V ∧ F) (~V) Trabalhemos o primeiro parênteses, observando que se trata de uma conjunção. Como já é do conhecimento de todos, somente se as duas partes forem verdadeiras é que a conjunção o também o será! Não é o nosso caso. Assim, teremos: F (~V) Ora, sabemos que ~V=F. Daí: F F E agora? O que dizer desta condicional? Teremos: F F = V Resposta! O item 3 está correto! Considere as sentenças abaixo. i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 3 P Fumar deve ser proibido. Q Fumar deve ser encorajado. R Fumar não faz bem à saúde. T Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 04. A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T). Sol.: Façamos o caminho inverso: partindo da simbologia, construiremos a frase. Ora, P ∧ (~T) = P e não T = Fumar deve ser proibido e não é verdade que muitos europeus fumam. Conclusão: o item 4 está errado! A representação correta para a sentença I é P ∧ T . 05. A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R). Sol.: Tomemos a representação simbólica e façamos sua tradução. Teremos: (~P) ∧ (~R) = não P e não R = Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. Conclusão: o item 5 está correto! 06. A sentença III pode ser corretamente representada por R → P. Sol.: Temos que R P = Se R, então P. Daí: = Se fumar não faz bem à saúde, então fumar deve ser proibido. Conclusão: o item 6 está correto! 07. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P. Sol.: Temos que (R ∧ (~T)) P = Se R e não T, então P = Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. Conclusão: o item 7 está correto! 08. A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)). Sol.: Temos que: T ((~R) ∧ (~P)) = Se T, então não R e não P = Se muitos europeus fumam, então é falso que fumar não faz bem à saúde e é falso que fumar deve ser proibido. Percebam que a sentença V inverte a ordem da condicional acima. Ora, sabemos que p q não é equivalente a q p. Daí, o item 8 está errado! A representação correta para a sentença V é ((~R) ∧ (~P)) T . CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 4 (TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir: 09. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬P (¬R ∧ ¬Q) Sol.: Usemos o mesmo artifício: tomemos a sentença em simbologia e façamos sua tradução. Sabendo que: P = hoje choveu Q = José foi à praia R = Maria foi ao comércio Teremos: ~P (~R ∧ ~Q) = Se não P, então não R e não Q = Se hoje não choveu, então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia. Conclusão: o item 9 está correto! 10. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q Sol.: Tomando a sentença P ∧ ~Q , teremos que sua tradução será a seguinte: = Hoje choveu e José não foi à praia. Conclusão: o item 10 está correto! 11. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P Q é falsa. Sol.: Questão semelhante às primeiras que resolvemos hoje! Usaremos o mesmo artifício. Primeiramente, observemos que a questão atribuiu valores lógicos às seguintes sentenças: Hoje não choveu = (~P) = F ; e José foi à praia = Q = V ~P Q F V Ora, sabemos que a única situação em torna a condicional falsa é Verdadeiro na primeira parte e Falso na segunda! Como isso não está ocorrendo, teremos que: F V = V Conclusão: o item 11 está errado! 12. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) P é inferior a 9. Sol.: Observem que se trata de uma proposição composta, formada por três proposições simples (P, Q e R). Daí, se fôssemos formar uma tabela-verdade para esta sentença composta, quantas linhas ela teria? Teremos que nos lembrar da aula passada, na página 7, que: Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões Daí, se há 3 proposições, teremos que: Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 3 = 8 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7 A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes. 17. As tabelas de valorações das proposições P→Q e Q → ¬P são iguais. Sol.: Sequer necessitaríamos construir as respectivas tabelas-verdades, uma vez que já sabemos que não há equivalência lógica entre essas duas condicionais! Na verdade, a única condicional que seria equivalente a p q seria a seguinte: ~q ~p. Todavia, caso queiramos realmente comparar as tabelas-verdade, e começando com a condicional, teremos: p q (p q) V V V V F F F V V F F V Já a tabela-verdade da segunda construção (q ~p) será a seguinte: p q ~p q ~p V V F F V F F V F V V V F F V V Como queríamos demonstrar, não há equivalência lógica entre as duas construções analisadas. Conclusão: o item 17 está errado! 18. As proposições (P∨Q)→S e (P→S) ∨ (Q→S) possuem tabelas de valorações iguais. Sol.: Faremos o mesmo procedimento: construiremos as duas tabelas-verdade. Para a sentença (p∨q) s, teremos: p q s p v q s (p v q) s V V V V V V V V F V F F V F V V V V V F F V F F F V V V V V F V F V F F F F V F V V F F F F F V Para a segunda sentença: (p s) v (q s), teremos: P q S p s q s (p s) v (q s) V V V V V V V V F F F F V F V V V V V F F F V V F V V V V V F V F V F V F F V V V V F F F V V V Comparando os dois resultados acima, concluímos que o item 18 é errado! TABELA 05 TABELA 06 TABELA 07 TABELA 08 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 8 19. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: P: “A ou B” Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista” B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. Sol.: Essa questão é muitíssimo recente. Temos aí uma proposição composta no formato de uma disjunção: A ou B. Ora, logo em seguida o enunciado disse que esta disjunção é falsa! Ora, dizer que uma sentença qualquer é falsa é o mesmo que colocar as palavras “não é verdade que...” antes dela. Em suma: a questão quer que façamos a negação da disjunção. É isso! Como negar uma disjunção é algo que já sabemos fazer: 1º) Nega-se a primeira parte; 2º) Nega-se a segunda parte; 3º) Troca-se o ou por um e. Teremos: ~(A ou B) = ~A e ~B Vamos por partes! Negando A, teremos: ~A = Carlos não é dentista. Agora chegou a hora de fazermos a negação de B. Só temos que observar que a proposição B é uma condicional. Como se nega uma condicional? Já sabemos: 1º) Repete-se a primeira parte; e 2º) Nega-se a segunda parte. Teremos: ~B = Ênio é economista e Juca não é arquiteto. Finalmente, concluímos que: ~(A ou B) = ~A e ~B = Carlos não é dentista e Ênio é economista e Juca não é arquiteto. Resposta! = Opção B. 20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que: a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo. c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo. d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo. Sol.: Uma questão interessante! Vamos simplificar nossa vida, definindo as seguintes proposições simples. Teremos: P = Pedro é pintor C = Carlos é cantor M = Mário é médico S = Sílvio é sociólogo CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 9 Daí, a sentença trazida pelo enunciado será a seguinte: (P ou C) → (~M e ~S). Até aqui, tudo bem? Vamos em frente! A questão quer saber qual das opções de resposta traz uma conclusão decorrente da sentença do enunciado. Isto é o mesmo que saber qual é a alternativa que é sempre verdadeira se nós considerarmos a sentença do enunciado como verdadeira. Para resolver a questão é aconselhável também traduzir para a linguagem simbólica cada uma das alternativas. Executando este procedimento, teremos: a) (P e ~C) → (M ou S) b) (P e ~C) → (M ou ~S) c) (P e C) → (M e ~S) d) (P e C) → (M ou S) e) (~P ou C) → (~M e S) Como já foi dito, precisaremos atribuir à sentença trazida no enunciado da questão o valor lógico Verdade. Simbolicamente, teremos que: (P ou C) → (~M e ~S) é Verdade. Ora, em uma proposição condicional, se a sua 1ª parte tiver o valor lógico verdade, a 2ª parte também deverá ter este mesmo valor lógico, a fim de que toda a condicional seja verdadeira, não é isso? (Sabemos que uma condicional será falsa se sua primeira componente for verdadeira e a segunda for falsa). Assim, considerando a 1ª parte da condicional – (P ou C) – como verdade, a 2ª parte da condicional – (~M e ~S) – necessariamente será também verdade. Daí, para que (P ou C) seja Verdade, em se tratando de uma disjunção, teremos as seguintes combinações possíveis: (basta lembrar da tabela-verdade da disjunção): - P é V e C é V - P é V e C é F - P é F e C é V Obs.: Estamos lembrados que para a disjunção ser verdadeira, basta que uma de suas partes o seja. Trabalhemos agora com a segunda parte da nossa condicional. Para que (~M e ~S) seja Verdade, em se tratando de uma conjunção, concluímos que só há uma combinação possível: - M é F e S é F. Obs.: Lembramos que uma conjunção só será verdadeira se ambas as suas componentes também o forem. Daí, neste caso, ~M e ~S são verdadeiras; logo, as suas negativas (M e S) são falsas! Pois bem! Entendido isto, agora vamos testar estas combinações de valores lógicos em cada uma das alternativas da questão, a fim de encontrar a nossa resposta. Lembrando que a alternativa correta é aquela que apresenta uma sentença cujo valor lógico é sempre Verdade. Todas as alternativas desta questão trazem proposições condicionais, e sabemos que a condicional só é F quando a 1ª parte é V e a 2ª parte é F . Iniciaremos os testes analisando a segunda parte das condicionais das opções de resposta, lembrando-nos de que M e F são ambas falsas! Chegaremos aos seguintes resultados: a) ... → (M ou S) = (F ou F) = F b) ... → (M ou ~S) = (F ou V) = V c) ... → (M e ~S) = (F e V) = F d) ... → (M ou S) = (F ou F) = F e) ... → (~M e S) = (V e F) = F CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 12 Exemplo 2) p1: Todos os cientistas são loucos. p2: Martiniano é louco. c : Martiniano é um cientista. O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja, silogismo é aquele argumento formado por duas premissas e a conclusão. Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se eles são válidos ou inválidos! É isso o que interessa. Então, passemos a seguir a entender o que significa um argumento válido e um argumento inválido. # Argumento Válido: Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a própria conclusão poderão ser visivelmente falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, será considerado válido. Isto pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente a validade deste. Exemplo: O silogismo... p1: Todos os homens são pássaros. p2: Nenhum pássaro é animal. c: Portanto, nenhum homem é animal. ... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a veracidade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis. Repetindo: o que vale é a construção, e não o seu conteúdo! Ficou claro? Se a construção está perfeita, então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão! Num raciocínio dedutivo (lógico), não é possível estabelecer a verdade de sua conclusão se as premissas não forem consideradas todas verdadeiras. Determinar a verdade ou falsidade das premissas é tarefa que incumbe à ciência, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer tema, como Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, Química, Direito etc., assuntos que talvez desconheçamos por completo! E ainda assim, teremos total condição de averiguar a validade do argumento! Agora a questão mais importante: como saber que um determinado argumento é mesmo válido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento é utilizando-se de diagramas de conjuntos. Trata-se de um método muito útil e que será usado com freqüência em questões que pedem a verificação da validade de um argumento qualquer. Vejamos como funciona, usando esse exemplo acima. Quando se afirma, na premissa p1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos representar essa frase da seguinte maneira: Conjunto dos pássaros Conjunto dos homens CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 13 Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao conjunto maior (dos pássaros). E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, um dentro do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra todo. Ficou claro? Pois bem! Façamos a representação gráfica da segunda premissa. Temos, agora, a seguinte frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavra- chave desta sentença é nenhum. E a idéia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois conjuntos. Vejamos como fica sua representação gráfica: Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”: dois conjuntos separados, sem nenhum ponto em comum. Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e as analisemos em conjunto. Teremos: Agora, comparemos a conclusão do nosso argumento – Nenhum homem é animal – com o desenho das premissas acima. E aí? Será que podemos dizer que esta conclusão é uma conseqüência necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens está totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais. Resultado: este é um argumento válido! Ficou entendido? Agora, vejamos o conceito de argumento inválido. # Argumento Inválido: Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Entenderemos melhor com um exemplo. Conjunto dos Animais Conjunto dos Pássaros Homens Pássaros Animais CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 14 Exemplo: p1: Todas as crianças gostam de chocolate. p2: Patrícia não é criança. c: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate. Veremos a seguir que este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa não afirmou que somente as crianças gostam de chocolate. Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade do argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifício, que o argumento em análise é inválido. Vamos lá: Comecemos pela primeira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. Já aprendemos acima como se representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos: Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. O que temos que fazer aqui é pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar localizada a Patrícia, obedecendo ao que consta nesta segunda premissa. Vemos facilmente que a Patrícia só não poderá estar dentro do círculo vermelho (das crianças). É a única restrição que faz a segunda premissa! Isto posto, concluímos que a Patrícia poderá estar em dois lugares distintos do diagrama: 1º) Fora do conjunto maior; 2º) Dentro do conjunto maior (sem tocar o círculo vermelho!). Vejamos: crianças Pessoas que gostam de chocolate crianças Pessoas que gostam de chocolate PATRÍCIA PATRÍCIA CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 17 Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido: (p ∧ q) → r ~r_______ ~p ∨ ~q Sol.: Como interpretar este argumento sem frases? A primeira coisa a saber é que o que há acima da linha são as premissas, enquanto que abaixo dela encontra-se a conclusão! Neste caso, temos duas premissas e a conclusão (um silogismo). As premissas e a conclusão deste argumento poderiam ser frases que foram traduzidas para linguagem simbólica. 1º passo) Construir as tabelas-verdade para as duas premissas e para a conclusão. Teríamos, portanto, três tabelas a construir. Para economizarmos espaço, ganharmos tempo e facilitarmos a execução do 2º passo, faremos somente uma tabela-verdade, em que as premissas e a conclusão corresponderão a colunas nesta tabela, como pode ser visto abaixo. Observemos que as premissas e a conclusão são obtidas pelos seguintes procedimentos: - A 1ª premissa (5ª coluna da tabela) é obtida pela condicional entre a 4ª e a 3ª colunas. - A 2ª premissa (6ª coluna) é obtida pela negação da 3ª coluna. - A conclusão (9ª coluna) é obtida pela disjunção entre a 7ª e a 8ª colunas. TABELA 09 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª p q r (p ∧ q) 1ª Premissa (p ∧ q) → r 2ª Premissa ~r ~p ~q Conclusão ~p ∨ ~q 1ª V V V V V F F F F 2ª V V F V F V F F F 3ª V F V F V F F V V 4ª V F F F V V F V V 5ª F V V F V F V F V 6ª F V F F V V V F V 7ª F F V F V F V V V 8ª F F F F V V V V V 2º passo) Agora, vamos verificar quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas são todos V. Daí, observamos que a 4ª, 6ª e 8ª linhas apresentam todas as duas premissas com valor lógico V. Prosseguindo, temos que verificar qual é o valor lógico da conclusão para estas mesmas 4ª, 6ª e 8ª linhas. Em todas elas a conclusão é também V. Portanto, o argumento é válido. 3º MÉTODO) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as premissas verdadeiras. Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a validade de um argumento. Porém, só devemos utilizá-lo na impossibilidade do primeiro método. Iniciaremos aqui considerando as premissas como verdades. Daí, por meio das operações lógicas com os conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em verdade, para que o argumento seja considerado válido. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 18 Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido: p ∨ q ~p___ q Sol.: Este terceiro método de teste de validade de argumentos se dá considerando-se as premissas como verdades e, por meio de operações lógicas com os conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar em verdade, para que o argumento seja válido. 1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é: para a 1ª premissa o valor lógico de p ∨ q é verdade para a 2ª premissa o valor lógico de ~p é verdade. 2º passo) Partimos para descobrir o valor lógico das proposições simples p e q, com a finalidade de, após isso, obter o valor lógico da conclusão. Vamos iniciar pela análise da 2ª premissa, a fim de obter o valor lógico da proposição simples p. (Se iniciássemos pela 1ª premissa não teríamos como obter de imediato o valor lógico de p, e nem de q.) - Análise da 2ª premissa: ~p é verdade Como ~p é verdade, logo p é falso. - Análise da 1ª premissa: p ∨ q é verdade Sabendo que p é falso, e que p ∨ q é verdade, então o valor lógico de q, de acordo com a tabela verdade do “ou”, é necessariamente verdade. Em suma, temos até o momento: O valor lógico de p é Falso O valor lógico de q é Verdade 3º passo) Agora vamos utilizar os valores lógicos obtidos para p e q a fim de encontrar o valor lógico da Conclusão. Como a conclusão é formada somente pela proposição simples q, então a conclusão tem o mesmo valor lógico de q, ou seja, verdade. Desta forma, o argumento é válido. Passemos a mais um exemplo utilizando o terceiro método. Exemplo: Vamos verificar a validade do seguinte argumento: 1ª premissa: A → (~B ∧ C) 2ª premissa: ~A → B 3ª premissa: D ∧ ~C_ Conclusão: B → ~D CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 19 Sol.: 1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é: para a 1ª premissa o valor lógico de A → (~B ∧ C) é verdade para a 2ª premissa o valor lógico de ~A → B é verdade para a 3ª premissa o valor lógico de D ∧ ~C é verdade 2º passo) Partimos para descobrir o valor lógico das proposições simples A, B, C e D, com a finalidade de obter o valor lógico da conclusão. Vamos iniciar pela análise da 3ª premissa, pois somente esta pode fornecer de imediato o valor lógico de pelo menos uma proposição simples, conforme veremos a seguir. - Análise da 3ª premissa: D ∧ ~C é verdade Para que a proposição D ∧ ~C seja verdade, é necessário (segundo a tabela-verdade do conectivo “e”) que o valor lógico de D seja verdade e de ~C seja verdade. Logo, o valor lógico de C é falso. - Análise da 1ª premissa: A → (~B ∧ C) é verdade Sabemos que C é falso, então a proposição (~B ∧ C) também terá valor lógico falso. E o valor lógico de A? Pela tabela-verdade da condicional, sabemos que quando o conseqüente é falso, é necessário que o antecedente também seja falso, para que a condicional seja verdadeira. Então, como a proposição composta A→(~B ∧ C) deve ser verdade e como o valor lógico obtido para (~B∧C) foi falso, conclui-se que o valor lógico de A é falso. - Análise da 2ª premissa: ~A → B é verdade O valor lógico de A é falso, daí ~A é verdadeiro! Então, de acordo com a tabela verdade da condicional, para que a proposição ~A → B seja verdade é necessário que B seja verdade. - Em suma: O valor lógico de D é verdade O valor lógico de C é falso O valor lógico de A é falso O valor lógico de B é verdade 3º passo) Obtenção do Valor Lógico da Conclusão: A conclusão é dada pela condicional B→~D, e sabemos que o valor lógico de B é verdade e o valor lógico de D também é verdade. Então qual será o valor lógico da conclusão? Substituindo os valores lógicos de B e de D na conclusão, obteremos: verdade → não (verdade) = verdade → falso = falso. Daí, como a conclusão é falsa, o argumento é inválido. 4º MÉTODO) Utilizando as operações lógicas com os conectivos, considerando premissas verdadeiras e conclusão falsa. É indicado este caminho quando notarmos que a aplicação do terceiro método (supra) não possibilitará a descoberta do valor lógico da conclusão de maneira direta, mas somente por meio de análises mais complicadas. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 22 Análise da alternativa “a”: (P e ~C) → (M ou S) Vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do argumento. Pelo 4º método, devemos designar o valor lógico falso para a proposição da conclusão. Daí: (P e ~C) → (M ou S) é falso Para que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1ª parte, (P e ~C), tenha valor V e a 2ª parte, (M ou S), tenha valor F. Daí: - Para que (P e ~C) seja V, é necessário que: P é V e ~C é V (e é claro C é F). - Para que (M ou S) seja F, é necessário que: M é F e S é F . Em suma: P é V , C é F, M é F e S é F A premissa (P ou C) → (~M e ~S) pode ser verdade com esses valores lógicos? Vamos testar substituindo os valores lógicos: (V ou F) → (~F e ~F) , que é o mesmo que: (V ou F) → (V e V) . Resolvendo esta última proposição, obtemos V → V, que resulta no valor lógico V. Portanto, acabamos de verificar que é possível existir a situação: conclusão falsa e premissa verdade. Logo, esta conclusão não é conseqüência obrigatória da premissa, e por isso esta alternativa não é a correta. Análise da alternativa “b”: (P e ~C) → (M ou ~S) Agora vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do argumento. Pelo 4º método, devemos designar o valor lógico falso para a proposição da conclusão. Daí: (P e ~C) → (M ou ~S) é falso Para que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1ª parte, (P e ~C), tenha valor V e a 2ª parte, (M ou ~S), tenha valor F. Daí: - Para que (P e ~C) seja V, é necessário que: P é V e ~C é V (e é claro C é F). - Para que (M ou ~S) seja F, é necessário que: M é F e ~S é F (e é claro S é V). Em suma: P é V , C é F, M é F e S é V A premissa (P ou C) → (~M e ~S) pode ser verdade com esses valores lógicos? Vamos testar substituindo os valores lógicos: (V ou F) → (~F e ~V) , que é o mesmo que: (V ou F) → (V e F) . Resolvendo esta última proposição, obtemos V → F, que resulta no valor lógico F. Portanto, acabamos de verificar que não é possível existir a situação: conclusão falsa e premissa verdade. Logo, esta conclusão é conseqüência obrigatória da premissa, e por isso esta alternativa é a resposta da questão. Pronto! Por hoje é só de teoria! Esta aula de hoje é uma que merece ser estudada e revisada com calma e com carinho, procurando-se sempre entender cada passo de resolução explicado! Nossas duas próximas serão bem, digamos, interessantes: trabalharemos um assunto chamado Estruturas Lógicas! Portanto, nossa recomendação é a seguinte: aproveitem, enquanto ainda estamos na fase inicial do curso, e revisem, durante esta semana, tudo o que foi visto. Refaçam os exercícios todos, rememorizem os conceitos, as tabelas, as negações, as equivalências, tudo! A partir da próxima aula a bola de neve ganhará mais e mais volume! E um número crescente de informações será passado a cada módulo. Façam, pois, bom proveito desta semana! Não percam esta oportunidade, ok? Um abraço forte a todos! Fiquem com Deus, e com o nosso dever de casa! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 23 DEVER DE CASA (TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir: Item 1. A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. Item 2. A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. Gabarito: 1.E, 2.E (SERPRO/2004/ CESPE) Julgue o item a seguir. Item 3. A argumentação • Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo. • Lógica não é fácil. • Sócrates não foi mico de circo. é válida e tem a forma • P → Q • ¬P • ¬Q Gabarito: 3.E (Agente da Polícia Federal/2004/CESPE) Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. Item 4. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira. Item 5. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido. Item 6. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido. Item 7. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal. Gabarito: 4.E, 5.E, 6.E, 7.C CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 24 Questão 8: (TRT-9ª Região/2004/FCC) Observe a construção de um argumento: Premissas: Todos os cachorros têm asas. Todos os animais de asas são aquáticos. Existem gatos que são cachorros. Conclusão: Existem gatos que são aquáticos. Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que: (A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro. (B) A não é válido, P e C são falsos. (C) A é válido, P e C são falsos. (D) A é válido, P ou C são verdadeiros. (E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso. Questão 9: (SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que: a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas. b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira. c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira. d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira. e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri. Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos: 10. P → Q ¬P____ ¬Q 11. P ∨ Q Q ∨ R_ P ∨ R 12. P → Q R → ¬Q R______ ¬P 13. Se x=1 e y=z, então y>2 Y = 2________________ y ≠ z CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 Todavia, vamos seguir um roteiro baseado no quadro acima, para chegarmos ao melhor caminho de resolução. Poderemos usar as seguintes perguntas: 1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum? A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos à pergunta seguinte. 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples? A resposta também é não! Temos aí três proposições simples! Portanto, descartamos também o 2º método. Adiante. 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção? A resposta é sim! A segunda proposição é (~r). Podemos optar então pelo 3º método? Sim, perfeitamente! Mas caso queiramos seguir adiante com uma próxima pergunta, teríamos: 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma condicional? A resposta também é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso queiramos, poderemos utilizar, opcionalmente, o 4º método! Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º métodos. Obviamente que, na prova, ninguém vai fazer isso! Basta resolver uma vez! Adiante: Resolução pelo 3º Método) Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão verdadeira. Teremos: 2ª Premissa) ~r é verdade. Logo: r é falsa! 1ª Premissa) (p∧q) r é verdade. Sabendo que r é falsa, concluímos que (p∧q) tem que ser também falsa. E quando uma conjunção (e) é falsa? Quando as duas partes são falsas. Logo: p é falsa e q é falsa. Em suma, obtivemos que: p, q e r são todos falsos! Agora vamos testar a conclusão, a qual terá que ser verdadeira, com base nos valores lógicos obtidos acima. Teremos: ~p ∨ ~q = V ou V = V Só precisaremos nos lembrar de que o teste, aqui no 3º método, funciona assim: se a conclusão for também verdadeira, então o argumento é válido! Conclusão: o argumento é válido! Resolução pelo 4º Método) Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos: Conclusão) ~p v ~q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verdadeiro! Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas verdadeiras! Teremos: 1ª Premissa) (p∧q) r é verdade. Sabendo que p e q são verdadeiros, então a primeira parte da condicional acima também é verdadeira. Daí, resta que a segunda parte não pode ser falsa. Logo: r é verdadeiro. 2ª Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que ~r é falso! Opa! A premissa deveria ser verdadeira, e não foi! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 3 Neste caso, precisaríamos nos lembrar de que o teste, aqui no 4º método, é diferente do teste do 3º: não havendo a existência simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras, teremos que o argumento é válido! Conclusão: o argumento é válido! Nem poderia ser outro modo! Vimos, pois, que os distintos métodos, se aplicados da forma correta, não podem ter resultados diferentes. Na aula passada, resolvemos esse mesmo exercício usando o 2º método, e a conclusão foi a mesma: argumento válido! Passemos agora à resolução do dever de casa. DEVER DE CASA (TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir: Item 1. A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. Sol.: Claramente vemos que é possível usarmos o 1º método. Teremos: A conclusão nos diz que João não sabe lidar com orçamento, logo, o argumento é válido! Como a questão afirma que a argumentação é inválida, teremos que o item é ERRADO! Item 2. A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. Conhece contabilidade JOÃO Paga imposto É honesto CARLOS CARLOS Sabe lidar com orçamento CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 4 Carlos não necessariamente é uma pessoa honesta! Vejam que ele pode estar simplesmente dentro do círculo maior (azul) e sem tocar o menor (vermelho)! Daí, o argumento é inválido! Como a questão diz que é válido, o item está ERRADO! (SERPRO/2004/ CESPE) Julgue o item a seguir. Item 3. A argumentação • Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo. • Lógica não é fácil. • Sócrates não foi mico de circo. é válida e tem a forma • P → Q • ¬P • ¬Q Sol.: A forma simbólica está correta. Isso é facilmente constatado. O que temos que analisar é sobre a validade do argumento. Qual o melhor método a ser utilizado? Vamos ao roteiro aprendido acima! 1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum? Resposta: Não! Descartamos o 1º método! 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples? Resposta: Sim! Se quisermos, podemos usar o 2º método, facilmente! 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção? Resposta: Sim! A segunda premissa é uma proposição simples! Se quisermos, poderemos usar o 3º método! 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma condicional? Resposta: Sim, também! A conclusão é uma proposição simples. Opcionalmente, poderemos igualmente usar o 4º método! São três alternativas: poderemos concluir acerca da validade do argumento, por meio do 2º ou do 3º ou do 4º método! Como são apenas duas proposições simples, optaremos pelo 2º método, e construiremos a tabela-verdade! Teremos: P Q P Q ~P ~Q V V V F F V F F F V F V V V F F F V V V TABELA 02 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7 Questão 9: (SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que: a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas. b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira. c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira. d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira. e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri. Sol.: Trata-se de uma questão meramente conceitual, e de resolução, portanto, imediata. Se o enunciado está afirmando que um argumento qualquer é inválido, isso significa, tão- somente, que a conclusão não é decorrência necessária (obrigatória) das premissas! É o que diz a opção A Resposta! Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos: 10. P → Q ¬P____ ¬Q Sol.: Mesmo argumento já foi analisado no item 03 supra! Como o argumento traz apenas duas proposições simples (p e q), usamos o 2º método, da construção da tabela-verdade. Chegamos a: P Q P Q ~P ~Q V V V F F V F F F V F V V V F F F V V V Pela análise das duas últimas linhas, concluímos que o argumento é inválido! 11. P ∨ Q Q ∨ R_ P ∨ R Sol.: Temos três proposições simples neste argumento, de sorte que não é muito conveniente usarmos o 2º método. Vamos escolher entre o 3º e o 4º. Façamos as duas últimas perguntas do roteiro. Teremos: TABELA 03 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 8 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção? Resposta: Não! Descartemos, pois, o 3º método! 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma condicional? Resposta: Sim! A conclusão é uma condicional. Adotaremos, pois, o 4º método! 4º Método) Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos: Conclusão) P v R é falso. Logo: P é falso e R é falso! Agora, passamos a testar as premissas. Teremos: 1ª Premissa) P v Q é verdade. Sabendo que P é falso, teremos que Q terá que ser verdadeiro! 2ª Premissa) Q v R é verdade. Os valores lógicos obtidos anteriormente foram: Q é V e R é F. Substituindo estes valores lógicos nesta premissa (Q v R), teremos como resultado um valor verdadeiro. O que concorda com a consideração feita inicialmente de que a premissa era verdadeira. Lembramos que, no 4º método, quando se confirma a situação premissas verdadeiras e conclusão falsa, constataremos que o argumento é inválido! 12. P → Q R → ¬Q R______ ¬P Sol.: Aplicaremos novamente aqui o 4º método. Teremos: Conclusão) ~P é falso. Logo: P é verdadeiro! Considerando as premissas verdadeiras e testando-as, teremos: 1ª Premissa) P Q é verdade. Sabendo que P é verdadeiro, teremos que Q terá que ser também verdadeiro! 2ª Premissa) R ~Q é verdade. Sabendo que Q é verdadeiro então ~Q é falso. Daí, sendo ~Q falso, teremos que R terá que ser também falso. 3ª Premissa) Sabendo (da 2ª premissa) que R é falso, constatamos que a 3ª premissa é falsa! Ou seja, se a conclusão é falsa, e 1ª e 2ª premissa são verdadeiras, então esta premissa não pode ser verdadeira! Ora, falhou a situação premissas verdadeiras e conclusão falsa! Daí, o argumento é válido! 13. Se x=1 e y=z, então y>2 Y = 2________________ y ≠ z Sol.: Aplicando o 3º método, iremos considerar as premissas verdadeiras e testar a conclusão. Teremos: CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 9 2ª Premissa: y=2 é verdadeira! 1ª Premissa: Ora, se é verdadeiro que y=2, então a segunda parte da 1ª premissa (y>2) é falsa. E sendo falso que y>2, teremos que a primeira parte desta condicional deverá ser também falsa. Ou seja, é falso que x=1 e y=z. Daí, teremos que: x≠1 OU y≠z. Este ou da análise acima denota que não é uma conclusão necessária que y≠z. Pode ser, ou não! Daí, diremos que o argumento é inválido! 14. Se trabalho não posso estudar. Trabalho ou serei aprovado em Matemática. Trabalhei.___________________________ Fui aprovado em Matemática. Sol.: Só para variar, vamos resolver essa aqui por meio da Tabela-Verdade, embora sejam três proposições simples a compor esse argumento. Vamos chamar de: P = trabalho Q = estudo R = aprovado em matemática Daí, nosso argumento em linguagem simbólica será o seguinte: P ~Q P ou R P R Nossa tabela-verdade será a seguinte: TABELA 04: P Q R ~Q P ~Q P ou R P R V V V F F V V V V V F F F V V F V F V V V V V V V F F V V V V F F V V F V V F V F V F F V F F F F F V V V V F V F F F V V F F F Nossa análise se prenderá à terceira e à quarta linhas, nas quais os valores lógicos das premissas são, simultaneamente, verdadeiro! Daí, vemos que na terceira linha a conclusão é verdadeira, mas o mesmo não se dá na quarta linha. Logo, constatamos que o argumento é inválido! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 12 2º tipo: Quando todas as premissas do argumento possuem mais uma forma de ser verdadeira. Nesta presente aula, veremos somente o 1º tipo, deixando o 2º para a próxima. O 1º tipo, definido acima, é resolvido utilizando-se o 3º método de teste de validade de argumentos, já nosso conhecido! Como já vimos, o 3º método é realizado por meio dos seguintes passos: 1º passo: consideram-se as premissas verdadeiras, e com o conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, descobrimos os valores lógicos das proposições simples que compõe o argumento. 2º passo: A partir dos valores lógicos das proposições simples, devemos encontrar qual é a alternativa que traz uma proposição que é conseqüência obrigatória das premissas, ou seja, que possui valor lógico necessariamente verdadeiro. Não há melhor maneira de se aprender a trabalhar questões de Estruturas Lógicas do que por meio da resolução de questões! Passemos a elas! EXEMPLO 01: (AFC 2002 ESAF) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo, a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. Solução: O enunciado da questão traz três afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo: P1. Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. P2. Carmem não é cunhada de Carol. P3. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Da mesma forma que já fizemos em diversas soluções de questões, vamos traduzir simbolicamente as frases acima, a fim de tornar a solução mais rápida. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples: A = Carina é amiga de Carol B = Carina é cunhada de Carol C = Carmem é cunhada de Carol Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim: P1. A → C P2. ~C P3. ~B → A Agora vamos a solução propriamente dita. Observe os passos abaixo: 1º PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A , B e C). Veja o procedimento seqüencial feito abaixo: CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 13 a) Começamos pela 2ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só possui uma forma de ser verdadeira. P1. A → C P2. ~C ⇒ Como ~C é verdade, logo C é F P3. ~B → A Resultado: O valor lógico de C é F. b) Substitua C pelo seu valor lógico F P1. A → F ⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que A tenha valor lógico F P2. ~F P3. ~B → A Resultado: O valor lógico de A é F. c) Substitua A pelo seu valor lógico F P1. F → F P2. ~F P3. ~B → F ⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que ~B tenha valor lógico F, e daí B é V. Resultado: O valor lógico de B é V. - Em suma: A é F , significa que: “Carina é amiga de Carol” é falso. Daí: (“Carina não é amiga de Carol” é verdade) B é V , significa que: “Carina é cunhada de Carol” é verdade. C é F , significa que: “Carmem é cunhada de Carol” é falso. Daí: (“Carmem não é cunhada de Carol” é verdade) 2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificaremos qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira. Não há necessidade de traduzirmos as frases das alternativas da questão para linguagem simbólica. Observemos como é fácil descobrir a alternativa correta: falso falso a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. falso CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 14 verdade verdade b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. verdade falso falso c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. falso falso falso d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. falso falso verdade e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. falso A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a letra “B” Resposta! EXEMPLO 02: (ANEEL 2004 ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, a) estudo e fumo. b) não fumo e surfo. c) não velejo e não fumo. d) estudo e não fumo. e) fumo e surfo. Solução: O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo: P1. Surfo ou estudo. P2. Fumo ou não surfo. P3. Velejo ou não estudo. P4. Não velejo. Ora, as premissas são frases pequenas, então não há necessidade de definir letras para representar as proposições simples. Vamos trabalhar do jeito que está! Agora vamos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo: 1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Vejamos a seqüência abaixo: a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 17 Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim: P1. A ou B P2. B → ~C P3. C ↔ D P4. D Agora passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo: 1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, C e D). Vejamos a seqüência abaixo: a) Começaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira. P1. A ou B P2. B → ~C P3. C ↔ D P4. D ⇒ D é V Resultado: O valor lógico de D é V . b) Substitua D por V P1. A ou B P2. B → ~C P3. C ↔ V ⇒ para que a bicondicional seja verdade, é necessário que C tenha valor lógico V P4. V Resultado: O valor lógico de C é V. c) Substitua C por V, e ~C por F P1. A ou B P2. B → F para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor lógico F. P3. V ↔ V P4. V Resultado: O valor lógico de B é F. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 18 d) Substitua B por F P1. A ou F ⇒ para que a conjunção seja verdade, A deve ser V. P2. F → F P3. V ↔ V P4. V Resultado: O valor lógico de A é V. - Em suma: A é V , significa que é verdade que: “André é inocente” B é F , significa que é verdade que: “Beto não é inocente”, ou seja, “Beto é culpado” C é V , significa que é verdade que: “Caio é inocente” D é V , significa que é verdade que: “Dênis é culpado” 2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira. a) Caio e Beto são inocentes. falso b) André e Caio são inocentes verdade c) André e Beto são inocentes falso d) Caio e Dênis são culpados falso e) André e Dênis são culpados falso A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a “B” Resposta! EXEMPLO 04: (Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de inglês nem a professora de francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo, a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula. b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião. c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião. d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião. e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula. Solução: O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo: CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 19 P1. Se a professora de matemática foi à reunião, então nem a professora de inglês nem a professora de francês deram aula. P2. Se a professora de francês não deu aula, então a professora de português foi à reunião. P3. Se a professora de português foi à reunião, então todos os problemas foram resolvidos. P4. Pelo menos um problema não foi resolvido. Na premissa P1 aparece a palavra nem. Podemos reescrever esta premissa tirando tal palavra, mas sem mudar o sentido: P1. Se a professora de matemática foi à reunião, então a professora de inglês não deu aula e a professora de francês não deu aula. Na premissa P3 temos a proposição: “todos os problemas foram resolvidos”, e na premissa P4 temos a proposição: “Pelo menos um problema não foi resolvido”. Qual a relação entre estas duas proposições? Ora, a proposição “Pelo menos um problema não foi resolvido” é a negação de “todos os problemas foram resolvidos”. Vamos utilizar este resultado na representação simbólica das premissas que será feita abaixo. Traduziremos as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples: M = a professora de matemática foi à reunião I = a professora de inglês deu aula Fr = a professora de francês deu aula P = a professora de português foi à reunião R = todos os problemas foram resolvidos Assim, as frases traduzidas para a linguagem simbólica serão as seguintes: P1. M → (~I e ~Fr) P2. ~Fr → P P3. P → R P4. ~R Agora vamos a solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo: 1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a seqüência abaixo: a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira. P1. M → (~I e ~Fr) P2. ~Fr → P P3. P → R P4. ~R ⇒ Como ~R é V , então R é F Resultado: O valor lógico de R é F. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 22 Na 1ª premissa aparece a palavra 'nem'. Vamos reescrever esta premissa tirando tal palavra, mas preservando o sentido: P1. Se Vera viajou, então Camile não foi ao casamento e Carla não foi ao casamento. Agora, vamos traduzir as premissas acima para a forma simbólica, a fim de tornar mais rápida a solução. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples: A = Vera viajou B = Vanderléia viajou C = Camile foi ao casamento D = Carla foi ao casamento E = o navio afundou Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim: P1. A → (~C e ~D) P2. ~D → B P3. B → E P4. ~E Passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo: 1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, C, D e E). Vejamos a seqüência abaixo: a) Começamos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira. P1. A → (~C e ~D) P2. ~D → B P3. B → E P4. ~E ⇒ Como ~E é verdade, logo E é F Resultado: O valor lógico de E é F. b) Substitua E por F , e ~E por V P1. A → (~C e ~D) P2. ~D → B P3. B → F ⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor lógico F P4. V Resultado: O valor lógico de B é F. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 23 c) Substitua B por F P1. A → (~C e ~D) P2. ~D → F ⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que ~D tenha valor lógico F, daí D é V. P3. F → F P4. V Resultado: O valor lógico de D é V. d) Substitua D por V, e ~D por F P1. A → (~C e F) ⇒ A conjunção (~C e F) tem um termo F, daí o valor da conjunção também é F . Logo a condicional simplifica para: A → F . Esta condicional deve ser verdadeira, então A é F . P2. F → F P3. F → F P4. V Resultado: O valor lógico de A é F. - Em suma: A é F , significa que é verdade que: “Vera não viajou” B é F , significa que é verdade que: “Vanderléia não viajou” D é V , significa que é verdade que: “Carla foi ao casamento” E é F , significa que é verdade que: “o navio não afundou” 2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira. Não há necessidade de traduzir as frases das alternativas da questão para linguagem simbólica. Observe como é que descobriremos qual é a alternativa correta. V F a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. falso indeterminado F b) Camile não foi ao casamento e Carla não foi ao casamento falso CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 24 F V c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou falso F F d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou falso V V e) Vera não viajou e Vanderléia não viajou verdade A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a E Resposta! EXEMPLO 06) (MPOG 2002 ESAF) Se M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w – 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M = 0, então M+H = 1. Ora, M+H ≠ 1. Logo, a) 2w – 3r = 0 b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r c) M ≠ 2x + 3y d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r e) M = 2w – 3r Solução: O enunciado da questão traz cinco afirmações (premissas), que são descritas abaixo: P1. Se M=2x+3y, então M=4p+3r. P2. Se M=4p+3r, então M=2w–3r. P3. M=2x+3y, ou M=0. P4. Se M=0, então M+H=1. P5. M+H≠1 Quando a questão se apresenta desta forma é melhor não substituirmos as proposições simples por letras, mas somente simplificar os conectivos. Assim teremos: P1. M=2x+3y → M=4p+3r. P2. M=4p+3r → M=2w–3r. P3. M=2x+3y ou M=0. P4. M=0 → M+H=1. P5. M+H≠1 Observemos os passos de resolução abaixo: 1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a seqüência abaixo: