Matemática - Fórmulas

Matemática - Fórmulas

(Parte 1 de 3)

30o 45o 60o sen 2

tg 3

1) an = a1+ (n-1) . r 10) Vparalelepípedo = a.b.c aan1. n 1) Vcubo =3a

3) an = a1 . qn –1 12) Vcone = 3 hAB .

4) Sn

6) !p)(n n!Ap n−= 15) Aesfera = 4.π.r2

7) Pn = n! 16) Alateral cone = π.r.g

9) !p)(np! n!C p n−=

Questão 21 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

02. Os astrônomos usam o termo ano-luz para representar a distância percorrida pela luz em um ano. Se a velocidade da luz é de 3,0 × 105 km/s e um ano tem aproximadamente 3,2 × 107 segundos, então a distância em quilômetros da estrela Próxima Centauri, que está aproximadamente a 4 anos-luz de distância da Terra, é 3,84 × 1013.

04. Para Pitágoras e seus discípulos um número é perfeito se a soma dos divisores desse número, com exceção dele mesmo, é igual ao próprio número. Portanto, segundo o critério dos pitagóricos, o número 28 não é perfeito.

08. Uma grandeza x (x>0) varia de forma inversamente proporcional ao quadrado da grandeza y (y>0). Se para x = 16 temos y = 3, então para x = 4 temos y = 12.

16. Numa padaria, o quilo do pão salgado custa 3 2 do preço do quilo do pão doce. Se para comprar 4 quilos de pão salgado e 6 quilos de pão doce você vai gastar R$ 26,0, então o quilo do pão salgado custa R$ 6,0.

que pesa 5 kg, deverá sentar a 1,4 m do centro para que a gangorra fique em equilíbrio

64. Se Lucas pesa 70 kg e senta a 1,1 m do centro de apoio de uma gangorra, então Sofia,

Gabarito: 98 (02+32+64) Número de acertos: 603 (8,78%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: difícil

A questão compreende sete proposições, que envolvem conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e sua aplicação em situações-problema, como potências e suas propriedades, notação científica, divisores de um número natural, grandezas diretamente e inversamente proporcionais e sistemas de equações do primeiro grau. A porcentagem de candidatos que obtiveram acerto total foi muito baixa (apenas 8,78%), com um espalhamento correlato distribuído entre várias respostas. Esta foi a segunda questão da prova a ter o menor índice de acerto e, portanto, a segunda mais difícil. É surpreendente o fato de que mais de 90% dos candidatos tiveram dificuldades de trabalhar com conhecimentos básicos e fundamentais de temas que, além de bastante explorados no Ensino Fundamental, são também utilizados ao longo do Ensino Médio e aplicados em situações reais, como comprar pão e brincar de gangorra. Além da resposta correta - 98 (02+32+64) -, outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem decrescente de preferência: 32 – 6,6%; 3 (01+32) – 4,60%; 36 (04+32) – 4,50%; 96 – (32+64) 4,38%; 34 (02+32) – 4,28%; 6 (02+64) – 3,51%; 37 (01+04+32) – 3,42%. Como pode- se observar mais uma vez, na dúvida os candidatos optam pelo acerto parcial, como pode-se verificar através dos índices das respostas 32, 34, 6 e 96. A proposição correta, 32, obteve 58,62% da preferência dos candidatos e foi responsável também pelos índices alcançados por outras respostas das quais fazia parte, como pode-se observar acima. Talvez o bom índice obtido por esta proposição se deva ao fato de que o tópico envolvido, ou seja, sistemas de equações do primeiro grau, é explorado desde a sexta série do Ensino Fundamental, além do fato de que o candidato poderia resolver a situação-problema proposta pelo método da tentativa e erro. Esperava-se ainda, um índice superior aos 41,16% obtidos pela proposição 64, já que ela envolve um dos mais básicos e fundamentais temas que é a proporcionalidade, em particular a aplicação da regra de três em situações de proporcionalidade inversa. A situação-problema desta proposição poderia também ser resolvida aplicando-se os conhecimentos de Física do Ensino Médio, mais especificamente aqueles relativos ao equilíbrio estático dos corpos. Outra forma, ainda, de o candidato intuir a veracidade ou não da proposição é o fato de que a gangorra está presente em praticamente todos os parques de diversão e qualquer criança que já brincou em uma gangorra com seus colegas de diferentes pesos sabe que a criança mais pesada deve aproximar-se (sentar mais próxima) do pivô para que a gangorra esteja em equilíbrio. As grandes responsáveis pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foram a consideração das proposições 01 e 04 como corretas, com 37,59% e 32,59% da preferência dos candidatos, respectivamente. Provavelmente, a maioria dos

que leva a 32:2= 2. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou a proposição 04 como correta não tenha dado a devida atenção ao fato de que um número é perfeito se a soma dos divisores desse número, com exceção dele mesmo, é igual ao próprio número, o que se verificava para o número 28 (28 = 1+2+4+7+14). Ou, talvez ao determinar os divisores de 28, tenham esquecido de considerar o número 1, que é divisor de todos os números, e assim julgaram equivocadamente a proposição como correta, isto é, o número 28 não é perfeito.

Questão 2 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Um vendedor recebe, ao final de cada mês, além do salário-base de R$ 40,0, uma comissão percentual sobre o total de vendas que realizou no mês. No gráfico abaixo estão registrados o total de vendas realizadas pelo vendedor e o salário total recebido por ele.

Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que a comissão do vendedor é de 20% sobre o total de vendas que realizou no mês.

02. Observe o quadrado de lado 10 cm da figura abaixo. A área da parte colorida será sempre a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido para x.

04. Em Química, o pH é definido por: pH = log, onde [H+] é a concentração de

hidrogênio em mol por litro de solução. Para uma solução de ácido clorídrico cuja concentração hidrogeniônica é 2 × 10-4 molL-1, o pH é igual a 4,3. Considere: log 2 = 0,30.

08. Uma decoradora comprou 240 rosas para colocar nas mesas de um salão. Na hora da festa, havia 4 mesas a mais do que o planejado. Por isso, ela precisou tirar 2 rosas de cada mesa para que todas ficassem com a mesma quantidade. O número de mesas que a decoradora havia planejado decorar era 12.

16. Bento vai para a escola. Depois de algum tempo caminhando, lembra-se da sua carteira de estudante e pára para procurá-la nos bolsos e na mochila. Percebe que esqueceu a carteira em casa e corre de volta para pegá-la. O gráfico abaixo corresponde a essa situação vivenciada por Bento.

Tempo Posição

600012000 18000

Total de vendas em reais

Total de salários em reais x x

Gabarito: 18 (02+16) Número de acertos: 2276 (3,25%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: médio

A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio: interpretação gráfica e aplicação da função polinomial do primeiro grau, áreas de figuras planas, aplicação dos logaritmos decimais e suas propriedades na área de Química para a determinação do pH, aplicação da equação do segundo grau, interpretação de gráficos de movimento. Esta foi a terceira questão da prova a ter o maior índice de acerto. A proposição 02 foi a proposição correta que teve o segundo maior índice de preferência dos candidatos: 75,12%. Ela foi responsável pelos índices das respostas: 02 – 10,94%; 06 (02+04) – 5,40%; 10 (02+08) – 4,24%; 18 (02+16) – 3,25% e 2 (02+04+16) – 9,93%. Talvez o alto índice de preferência dos candidatos por esta proposição deva-se à facilidade com que o seu resultado pode ser verificado com o auxílio do formulário

colorida será sempre a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido para x. Nesta questão também fica evidente, no quadro de freqüência de respostas da prova, a preferência dos candidatos por não arriscar e tirar proveito do acerto parcial, como se pode observar através dos índices das respostas 02 – 10,94% e 16 – 6,16%. A proposição incorreta 04 obteve 29,68% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 2,56%, 5,40%, 3,05% e 9,93% para as respostas 04, 06 (02+04), 20 (04+16) e 2 (02+04+16), respectivamente. Provavelmente a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como

e aplicado as propriedades dos logaritmos, obtendo

preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 2,47%, 4,24% e 2,86% para as respostas 08, 10 (02+08) e 26 (02+08+16), respectivamente. É surpreendente o fato de que quase 20% dos candidatos consideraram esta proposição como correta, já que a sua veracidade, ou não, podia ser facilmente verificada utilizando-se os próprios dados fornecidos no enunciado da proposição.

Questão 23 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A tabela abaixo mostra a relação entre a posição de uma figura e a quantidade de elementos que ela possui:

Posição 1 2 3 4 5 Número de elementos4 7 10 13 16

Com base nos dados fornecidos pela tabela, pode-se afirmar que na centésima posição haverá uma figura com 301 elementos.

02. Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética de razão dois. Se o perímetro do triângulo é de 57 cm, então o comprimento do maior lado é 19 cm.

desta substância radioativa é de 2 g, então a massa inicial da amostra era de 64 g

04. Certa substância radioativa tem tempo de meia-vida de 20 minutos, isto é, o tempo gasto para consumo de metade da massa radioativa dessa substância. Se após 2 horas a massa

08. Um relógio anuncia as horas batendo de uma a doze badaladas e a cada meia hora bate uma badalada. O número de badaladas que esse relógio dá em um dia é 179.

16. Na seqüência de triângulos eqüiláteros, representada nas figuras a seguir, cada novo triângulo eqüilátero tem seus vértices nos pontos médios dos lados do triângulo eqüilátero que o antecede. Se a área do primeiro triângulo eqüilátero é A e supondo que essa seqüência continue indefinidamente, então a soma de todas as áreas dos triângulos assim obtidas é 4 5A.

32. A soma das raízes da equação x3 – 12x2 + 44x – 48 = 0, sabendo-se que estão em progressão aritmética, é 12.

Gabarito: 3 (01 + 32) Número de acertos: 1159 (16,89%) Grau de dificuldade previsto: médio

Grau de dificuldade obtido: médio

Nesta questão, esperava-se que o candidato aplicasse seus conhecimentos sobre progressões aritméticas e progressões geométricas na resolução de situações-problema e na determinação das raízes de uma equação polinomial. A proposição 01 trata de um tema muito explorado no Ensino Médio e nos vestibulares, que é a identificação de regularidades e a aplicação do termo geral de uma progressão aritmética. A proposição 32 poderia ser resolvida calculando-se as raízes através do dispositivo prático de Briot-Ruffini e a seguir fazendo-se a soma entre elas, ou aplicando as relações de Girard e verificando diretamente que a soma das raízes é 12. Estas duas proposições obtiveram 65,5% e 46,70% da preferência dos candidatos, respectivamente, e foram responsáveis pelos índices das respostas 01 – 16,9%; 32 – 5,17% e 3 (01+32) – 16,89%. O fato de os candidatos concentrarem suas respostas em 01 e 32 vem, novamente, reforçar a tese de que eles, na dúvida, optam pelo acerto parcial. A proposição incorreta 04 obteve 27,54% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices obtidos pelas respostas: 04 – 2,97%; 05 (01+04) – 5,87% e 37 (01+04+32) – 3,85%. Talvez os candidatos que consideraram esta proposição como correta tenham feito equivocadamente o

Questão 24 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Observe a figura abaixo. Girando a flecha, a probabilidade de ela parar na cor branca é 12 1. Para o cálculo da probabilidade suponha que a flecha não pare sobre as linhas que são fronteiras comuns.

02. Uma moeda e um dado são lançados ao mesmo tempo. A probabilidade de se obter uma “cara” e um número menor que 4 é de 25%.

04. Para acessar um site da internet, o internauta deve realizar duas operações: digitar uma senha composta por quatro algarismos distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar uma segunda senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num alfabeto de 26 letras. O número máximo de tentativas necessárias para acessar o site é 5960.

08. Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI) será formada por cinco parlamentares indicados pelos três partidos A, B e C, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. O partido A tem 10 parlamentares e deve indicar 2 membros, o partido B tem 8 parlamentares e deve indicar 2 membros, e o partido C tem 4 parlamentares e deve indicar 1 membro. O número de CPIs diferentes que podem ser formadas é 5040.

16. O número de maneiras diferentes de colorir os quatro estados identificados no mapa abaixo usando as cores verde, vermelho, amarelo e azul, de modo que cada estado tenha uma cor diferente e que Santa Catarina só possa ser pintada de verde ou vermelho, é 24.

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